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KOLLEKTIYMASSLEHRE
VON
GUSTAV THEODOR FECHNER
IM AUFTRAGE
DER
KÖNIGLICH SÄCHSISCHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAHEN
HERAUSGEGEBEN
VON
GOTTL. FRIEDR. LIPPS
LEIPZIG
VERLAG VON WILHELM ENGELMANN
1897.
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liJ-.-. ' NOX AND j T.l: = n '^. JM-)i>TION3.
Alle Hechte, insbesondere das der Übersetzung, vorbehalten.
Yorbemerkimg des Herausgebers.
iias Mannskript der EoUcktivmaßlehre fand sich nur teilweise vollendet im Nachlasse Fechner's vor. Es musste daher einesteils das. Vorhandene geordnet, anderenteils das Fehlende ergänzt werden. Um beide Aufgaben auszufllhren, wurde ein Plan für den Aufbau der KoUcktivmaßlehre entworfen, der aus der gruppenweisen Zusammen- fassung der Kapitel in der Inhaltsangabc (S. IX) zu ersehen ist. Auf Grund desselben ergab sich die Anordnung des Stoffes, der übrigens für die vier ersten Kapitel in fest geordneter Reihenfolge vorlag, zugleich mit der Feststellung der Lücken in eindeutiger Bestimmtheit.
Bei Ausfüllung der Lücken war die Absicht maßgebend, dem Werke im Sinne seines Verfassers eine solche Vollendung zu geben, dass es keine Fragmente, sondern ein in sich geschlossenes Ganzes darstelle. Darum wurden zunächst die vorhandenen Kapitel, soweit sie lückenhaft geblieben waren, ergänzt. Da ferner einzelne Kapitel vollständig fehlten, so musste, unter Beschränkung auf die notwen- digsten Ausführungen, ein Ersatz für dieselben gegeben werden. Jede Zuthat aber, selbst wenn sie bloß in der Beifügung von Zitaten bestand, wurde in eckige Klammem gesetzt und so kenntlich gemacht.
Damit hat nun allerdings das Werk keineswegs diejenige Voll- endung erhalten, die ihm sein Verfasser gegeben haben würde. Ins- besondere hätte der zweite Teil durcli die Ausführungen, die in der Absicht Fechner's lagen, wesentlich gewonnen. Es war jedoch nicht thunlich, die ergänzenden Untersuchungen, die sich auf neu gesammeltes Untersuchungsmaterial stutzen mussten, noch weiter
~ Vorbemerkung des Herausgeber«.
LL*ctftirrTi- ^^•llte nicht die schon langre verzögerte Drucklegung des '**':rL^ ü'-y-h weiter hinausgeschoben werden. Vielmehr war ich ••-.•iiIIl nachdem die Manuskripte Fechner's im Frühjahre 1895 ai:r ni-^stellt worden waren, die Bearbeitung derselben zu einem 'sLOj^Ti AWhlu??sc zu bringen.
V'.'^jh müchte ich bemerken, dass die Rechnungen, die in großer Ai^^irhzjung teiU zur Bewährung, teils zur Begründung der Theorie tf^^-ea- durchweg geprüft oder von neuem ausgeftLhrt wurden. Der V rwurf etwaiger Versehen muss daher mich allein treflFen.
>traßburg i Klsass. im Januar 1897.
Dr. G. F. Lipps.
Vorwort
Vorliegondes Werk ist schon seit vielen Jahren von mir angelegt, Material dazu gesammelt und in der Ausarbeitung desselben vor- gegangen, diese aber vielfach durch andere Arbeiten unterbrochen, längere Zeit ganz beiseite gelegt und somit der Abschluss des Werkes bisher verzögert worden. Ihn länger zu verzögern, möchte bei meinem Alter nicht rätlich sein, wenn das Werk überhaupt erscheinen soll; auch glaube ich wohl, dass es sich nach wiederholtem Zurückkommen darauf endlieh getrauen darf, zu erscheinen, zwar nicht als ein voll- kommenes Werk, aber als Unterlage flir einen weiteren Ausbau der hier behandelten Lehre. Bestimmter spricht sich das folgende Ein- leitungskapitel über die Aufgabe der Lehre aus; und so mögen hier nur noch folgende allgemeine Bemerkungen darüber Tlatz finden.
Mit dem neuen Namen, unter dem die Lehre hier auftritt, gebe ich sie doch nicht als eine ganz neue Lehre; nur dass der bisherige Stand ihrer Ent>vicklung das Bedürfnis noch nicht nahe legte, sie überhaupt unter einem besonderen Namen für sich aufzustellen. Überall spezialisiert sich ja die Wissenschaft im Wege ihrer wachsen- den Entwicklung und verlangt demgemäß trennende Bezeichnungen ihrer verschiedenen Gebiete. Nun dürfte das Allgemeinste, Inter- essanteste, Verdienstlichste, was von unserer Lehre bisher vorlag, in Qi'Etelet's »Lettres sur la theoric des probabilitest (1846) und seiner »Physique sociale« (1869) zu finden sein, und wenn man will, kann man in ihm ebenso den Vater der Kollektivmaßlehre, wie in ^ H. Weber den der Psychophysik sehen; doch wird man sich ans dem Verfolg dieses Werkes Ubcracugeu können, wieviel Anlas«
V I Vorwort.
(Iticli wjii', uirlii nur wrKciitlirli erweitornd, »ondcm auch berichtigend Ulirr ihn hiHuiiH/u;4:('li(*ii.
Iii di(*Hrr UivJrliiin^ iiiaohc ich von einer Seite als Hauptfrncht, Villi iiiidiTor iiIk llaiiptwiirzol der p:aiizen folgenden Untersuchung dio Hioh ^'pMiHi'tts koiitrolliorcnde mathematische Begründung und oiiipiriHoho liowUhrmig einer Verallgemeinerung des GAUSS'Schen <ioHeir.oH AutliUiger Ahwoiehunpon geltend, wodurch die Beschrän- kung dosselbou auf svmmetrisoho Wahrscheinlichkeit und verhältniö- iiiHUigt' Kleinheit der heiderseitigiMi Abweichungen vom arithmetischen Miltol gt^holuMi wird, und bisher unbekannte gesetzliche Beziehungen aurtrtiow» deren >\iehtigsle man § 55 zusjimmengestellt findet. In der Thal ist in dii^er Yer;dlü>Mneiueruiur der sülsremeinste Regulator aller \« der KolloktiMuaBlehre /.ur Spniehe kommenden Verhältnisse oWwsi* a^^^^lvn. al* im einfache« li. vi ss**i*hen Gx^etze der Regulator üllor j*h\ sikaUs^'heu und asinnionüsche« Genauigkoitsbestimmungen, ,i\^i ,5r.rrte su*h selbsi noch frai;^n\. ob nicht {trinzipiell auch hier jiuf o.ÄS sllix^v.u^iv.on* v%cscu s\\ rokurrienru warf, worüber man die
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lv.>».*:Vr/. »v.i* K.*V.o^u^v.":^S*o^rx* auf ciuer VorMnduni: von Be-
.■\3i:>,Txv,i iv;. 5i;*;hv.v,'.vj: iv. ix*^^',*,so;iicx^r IVsiohuiiC honiht darf
xr; v.'.! ix .l;v ;\.VK:;r. ', v ?.:\*:: n.\hv.e:* l^^.s' Ixr.rfn. die auf eine
N.i'.iv >;M ,'■',■ rri.V:^ Vv.vv •':!;'>. 'r.Ätvv- '.as?s;*v. aV: tSfrhacpt einen 'S*.'!.: ii\'>»:).'.c; ;•;:; vrA.', ,'.. T >\*>..--?.s*:: i'rr.- K;>i':Tj.:s' 5* Obenan >r^:J':'i V:«:i.ii. V Vv—. . ... .:;. r'^x'Sv ^v.,' c''"*>s: w*.: ««!*; wegen
i';»* S.i ^ •;r';^s..-. ■. :. ■■■>,■•:}■; ;. ,' \ .v. \ VkAr-v XV'.: ^Jlr■3*':il;:ä: ihrer
Vit. v,.i..v; Mi!.*.. •.•!-. ■'.■ ^ xi ■ •,'^'v.-. ...• .■,VM.-* I.-'. .«•; jr'^civ^Jien
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Vorwort. VII
In betrcflF der Fonn und Weite so mancher Ausführungen wird zu berücksichtigen sein, dass das Werk nicht sowohl für Fach- mathematiker bestimmt ist, denen die hier in Rücksicht kommenden fundamentalen Punkte schon geläufig sind, als für solche, denen es um Kenntnisnahme und Anwendung der Lehre zu thun ist, ohne dass sie schon im Besitz solcher Vorkenntnisse sind.
Hiemächst möchte ich zur Forderung unserer Lehre noch einen Wunsch an Rechner vom Fach richten. In den bekannten Tabellen, welche das GAUSs'sche Wahrscheinlichkeitsintegral der zufälligen Abweichungen vom Mittel (Beobachtungsfehler) gewöhnlich als
F^/
e-"dt
V
ausgedrückt darstellen, ist das Argument t bloß bis auf zwei Dezi- malen ausgeführt, was für den beschränkten Gebrauch, den Physiker und Astronomen davon zu machen haben, unter Zuziehung einer Interpolation mit ersten und zweiten Differenzen ausreicht; aber für den weit ausgedehnteren Gebrauch, der in der Kollektivmaßlchre davon zu machen ist, auf dasselbe herauskommt, als w^enn man für die vielen Rechnungen, die mittelst Logarithmen zu führen sind, das Zahlenargument, wozu die Logarithmen gehören, bloß auf zwei oder drei Ziffern reduzieren und Zwischenbestimmungen nur der Inter- polation anheimgeben wollte. Also wäre erwünscht, wenn im Inter- esse unserer Lehre, was übrigens von der psycliophysisclien Methode der richtigen und falschen Fälle geteilt wird, Tabellen vorlägen, worin t mindestens auf vier Dezimalen ausgeführt ist'), um Inter- polationen teils zu ersparen, teils zu erleichtern, und jedenfalls habe ich selbst solche Tabellen bei Ausführung dieser Arbeit schmerz- lich vermisst. Natürlich würde die Ausdehnung der Tabellen damit
I) [Eine Ausführung dieser Tabelle auf drei Dezimalen von /, mit Be- schränkung des Intcgralwertes auf vier resp. fünf Dezimalen, findet man im Anliang § 183.1
• rr: Virv-.n
dAEßit z« w^tss^^, l.'n*: «•.Ihr e» de&s keü ijtr>ii«>m]äclie8 oder t^rfite*fD haL ila.^ M*:h ilrr .SarlM: AUiäiuttc' Ateh ließe $ieb wohl
Inhaltsangabe.
Erster Teil.
Vorläufige DarlegtLngen.
äoitu
I. Einleitung. § i, 2 3— 6
II. Vorläufige Übereicht der wescutlichst^n Punkte, welche bei der Untersuchung eines Kollektivgegenstandes in Hctraclit kommen,
und darauf bezügliche Bezeichnungen. § 3 — 11 7 — 26
III. Vorläufige Übersicht des Untersuchungsmatcrials und allgemeinere Bemerkungen dazu. § 12 27— 30
IV. liequisiten; Abnormitäten. § 13—23 31 — 54
V. Qauss'sches Gesetz der zufälligen Abweiclnuigen Beobaclitungs-
fehler und dessen Verallgemeinerungen. § 24 — 37 55 — 83
VI. (/harakteristik der Kollektiv gegenstände durcli ihre Bestimmungs-
stQckc oder sog. Elemente. §38—46 84— 98
Die rechnerische Behandlung der Kollektivgegenstände.
VII. Primäre Verteilungstafclu. § 47 — 52 99-110
VIII. Reduzierte Verteilungstafeln. § 53 — 67 in— 140
IX. Bestimmung von la, l^a,, Sa\ m, , m\ If-J,, Ih'. § 68—75 • 141— '59 X. Zusammenstellung und Zusammenhang der Hauptcigenschnften
der drei Hauptwerte A, C, D\ fenier R, T, F. § 76—86 . . 160- 181 XI. Der dichteste Wert D. § 87—92 1 82- 194
Die Asymmetrie der Kollektiygegenstände.
XII. Gründe dafür, dass wesentliche Asymmetrie der Abweichungen bezüglich des arithmetischen Mittels und Gültigkeit des asym- metrischen Verteilungsgesetzes bezüglich des dichtesten Wertes JJ im Sinne des verallgemeinerten Gauss'schen Gesetzes Kap. V.
der allgemeine Fall sei. tj 93 — 95 195 — 202
XIll. Mathematische Verhältnisse der Verbindung von wesentlicher und
unwesentlicher Asramctrie. § 96 203— 205
X luhaltsaugabe.
Sdt« XIV. Formeln für den mittleren und wahrscheinlichen Wert des
Yon rein zufälliger Asymmetrie abhängigen Unterschiedes u .
§ 97 — loi 206 — 214
XV. Wahrscheinlichkeitsbestimmungen für den von rein zuf&Uiger
Asymmetrie abhängigen Unterschied u beim Ausgange vom
wahren Mittel. § 102 — iii . 215 — 247
XVI. Wahrscheinlichkeitsbestimmungen für den yon rein zufälliger
Asymmetrie abhängigen Unterschied v beim Ausgange yom
falschen Mittel. § 112 — 117 248 — 270
Die Verteilungsgesetse der Kollektivgegenstände naoh
arithmetisohem Prinzip.
XVII. Das einfache und das zweiseitige Gauss Whc Gesetz. § 118
bis 122 271-282
XVIII. Das Siunmengcsetz und das Supplementaryerfahren. § 123
bis 128 283 — 293
XIX. Die Asymmetriegesetzc. § 129 — 136 294 — 320
XX. Die Extremgesctzc. § 137 — 142 321 — 338
Das logarithmiBohe Vertellungsgesets.
XXI. Die logarithmische Behandlung der KoUektiygegenstaudc. § 143
bis 146 339—35»
XXII. KoUcktiyc Behandlung yon Verhältnissen zwischen Dimensionen.
Mittlere Verhältnisse. §147—151 352—364
Anhangskapitel.
XXIII. Abhängigkeitsverhältnisse. § 152—155 365—375
Zweiter Teil.
Speoielle UnterBuchungen.
XXIV. über den räumlichen und zeitlichen Zusammenhang der Varia- tionen der Rekrutengröße. § 156 — 163 379—402
XXV. Gliederung und Asymmetrie des Roggens. § 164 — 169 . . . 403 — 417
XXVI. Die Dimensionen der Gallcricgemälde. § 170—175 418—435
XXVII. Kollcktivgcgenstände aus dem Gebiete der Meteorologie.
§ 176—179 436—455
XXVIII. Die Aß\Tnmctric der Fehlcrreihen. § 180 — 182 456 — 466
Anhang. Die ^-Tabelle. §183 467—476
Register 477—481
Verzeichnis der Tabellen 482 — 483
Erster Teil.
Allgemeine XJntersucli'angen.
KoHakÜTiiiaQIehre. 1
\
I. Einleitung.
§ I. Unter einem Kollektivgegenstande (kurz K.-G.) verstehe ich einen Gegenstand, der aus unbestimmt vielen, nach Zufall variierenden, Exemplaren besteht, die durch einen Art- oder Gattungsbegriff zu- sammengehalten werden.
So bildet der Mensch einen Kollektivgegenstand im weiteren Sinne, der Measch von bestimmtem Geschlechte, bestimmtem Alter und be- stimmter Rasse einen solchen im engeren Sinne, wie überhaupt das, was man den Umfang eines K.-G. nennen kann, sich nach der Aus- delmung des Gattungs- oder Artbegriffs, unter den er tritt, ändert.
Die Exemplare eines K.-G. können räumlich oder zeitlich ver- schieden sein und hiemach einen räumlichen oder zeitlichen K.-G. 1)ilden. So können die Rekruten eines Landes oder Ähren eines Kornfeldes als Exemplare eines räumlichen K.-G. gelten. So giebt die (mittlere) Temperatur des i. Januar, an einem gegebenen Orte durch eine Anzahl von Jahren verfolgt, ebenso viele Exemplare eines zeitlichen K.-G. Statt des i. Januar kann man jeden anderen Jahres- tag, statt eines bestimmten Tages einen bestimmten Monat, statt der Temperatur den Barometerstand setzen u. s. w. und wird damit Exemplare eben so vieler zeitlicher K.-G. erhalten.
Anthropologie, Zoologie, Botanik haben es überhaupt wesentlich mit K.-G. zu thun, da es sich darin nicht um eine Charak- teristik einzelner Exemplare, sondern nur um das handeln kann, was einer Gesamtheit derselben zukommt, die aus dem oder jenem Ge- sichtspunkte als Gattung oder Art in größerer oder geringerer Weite zusammengefasst wird. Die Meteorologie bietet nach eben ange- führten Beispielen in ihren nicht periodischen WitterungsiDhänomenen
1*
zalihvifhe Beispiele davon dar; und selbst in der Artistik lü,sst sich von solchen sprechen, sofern Bücher, Visitenkarten darunter gehören.
Die Exemplare eines K.-G. nun sind einerseits qualitativ, anderer- seits quantitativ, d. i. nach Maß und Zahl, bestimmt, und nur um letztere Bestimmtlieit handelt es sich in der KoUektivmaßlehre. Ein K.-G. macht in der That hinsichtlich seiner quantitativen Bestimmt- heit dieselben Ansprüche als ein einzelner Gegenstand; nur dass in gewisser (freilich nur gewisser) Hinsicht die Teile des einzelnen Gegen- standes dui'cli die Exemplare des K.-G. vertreten werden. Gelte es 2. B. Reki-ut*n eines gegebenen Landes, so fragt es sich: wie groß sind die Rekruten im Mittel, wie stark schwanken die einzelnen Maße um ihr Mittel, wie groß sind die größten und kleinsten, wie ver- halten sich die Rekrutenmaße nach diesen Bestinunungea in den einzelnen Jahrgängen, wie in verschiedenen Ländern unter einajider. Solche und damit zusammenhängende, später zu betrachtende Fragen lassen sich bei jedem K.-G. aufwerfen; und sofern ein räumlicher Gegenständ verschiedene zu unterscheidende Teile und Dimensionen hat, lassen sie sich auf Jeden dieser Teile und Dimensionen Ite- sonders aufwerfen, und diese sich insofern als besondere K.-G. be^ handeln, so Schädel, Gehirn. Hände, Füße eines Menschen, Höhe, Gewiclit, Volumen des ganzen Menschen oder gegeliener Teile des Menschen; aber auch quantitative Verhältnisse werden in Frage kommen, wie denn bei Vergleicbuug der Menschen verschiedener Rassen die Verhältnisse der mittleren Höhe, Breite, Länge des Schädels ein besonderes Interesse in Anspruch nehmen.
§ 2. über alle diese Ejnzelfrjigen aber erhebt sich eine allge- meinere, die wichtigste, uro die es sich überhaupt in dieser Lehre handeln kann und demgemäß im Folgenden handeln wu-d, die Frage nach dem Gesetze, wie sich die Exemplare eines K.-G. nach Maß und Zald verteilen. Unter dem Ausdrucke Vorteilung aber ist die Bestimmung zu verstehen, wie sich die Zalil der Exemplare eines gegebenen K.-G. mit ihrer Größe ändert. Bei jedem, in einer größeren Zahl von Exenq)laren vorhandenen K.-G. kommen die kleinsten und größten Exemplare, fcui:; Extreme, am seltensten vor. am häutigsten solche von einer gewissen mittleren Größe. Aber giebt es nicht ein
^^^H Einleituiif;. g
^^V Allgfiueiuf !s, auf alle uder weiiigsUris dio meisten K.-ti. iiiiwfndiiari's
I Gesetz der Abhängigkeit der Zald von der Größe der Exemplare?
In der Tliat wird sieh ein solches aufstellen lassen, und eine Haupte
»aufgäbe lIpm Folgende» auf seine FesLstelUmg gehen. Von vornherein freilich kann man bezweifeln, dasa bei der außer- ordentlichen Verschiedenheit der K.-G. gesetzliche Verteilungsver- baltnisse in einer gewissen Allgemeinheit dafür überhaupt zu tiudeu sind. Inzwischen, da nach dem Begriffe der K.-G. ein solcher aus nach Zufall variierenden Exemplaren besteht, finden jedenfalls anch die allgemeinen Wahrscheinhchkeitsgesetze des Zufalk -— und jeder Mathematiker weiß, dass es solche giebt — darauf Anwendung. In der That werden die Verteilungsverhältnis.se der K.-G. allgemein von solchen beherrscht, indes dieselben Wahrscheinlichkeitsgesetze bei physikalischen und astronomischen MaBbestimmungen nur neben- Nächlich für die Sicherheitsbestiinniung der erlangten Mittehnaße in Betracht kommen, hiermit hier eine ganz andere und viel unwesent-
I liebere Rolle spielen als in der MaBlehre der K.-G. Insofern aber der Zufall unter bestimmten, für die vei-schiedenen K.-G. verschiedenen, iLuBeren und inneren Bedingungen spielt, lassen sich, durch alle Zufällig- keiten durch, die verschiedenen K.-G. diu-ch charaktenstische, aus ihren "Verteilungsverhältniasen ableitbare Konstanten unterscheiden. Diese sind es, worin die Bestimmtheit derselben gegen einander iniht; und diese gilt es mit Berücksichtigung der allgemeinen Wabr.'^cheinlich- keitsgesetze aufzusuchen. Nun hat man schon von jeher in dieser "Hinsicht den arithmetischen Mittelwert der Exemplare ins Auge ge- fasst und Fleiß auf seine Bestimmung bei den verschiedenen K.-G. gewandt, daneben auch wohl noch die Exti-eme, seltener die mittlere Abweichung vom Mittel berücksichtigt. Aber so wichtig diese Be- StinuuungHstucke sind und immer bleiben werden, sind sie doch bisher zu eJneeitig bei-ücksicbtigt wonlen, indes andere, prinzipiell nicht minder wichtige, dabei außer Acht fallen.
Insofern nun die Behandlung der K.-G. nach der Gesamtlieit der vorigen Beziehungen überhaupt anderen Gesichtspunkten unter- liegt und andere Bestimmungsweisen mitfuhrt, als bei physikahschen und astronouüschen Maßnahmen in Bücksicht kommen, kann ilie
0 EinldtuDfi.
Maßlelu-e der K.-(t., oder sagen wir kiu'z KolIcktiviiuiÜlelire, als eine Lelire ihrer Art besonders aufgestellt iind behandelt werden, und wird dies folgcnds zur Aufgal».' gemüdit werden.
Da in unseren Begiiff der K.-G. der Begriff einer zufälligen Variation iler Exemplare eingeht, kann maji vorweg eine Definition des Zufalls und Erklärung über sein Wesen wünschen. Der Versuch, eine solche aus pliilosopbischein Gesichtspunkte ku geben, wurde aber für die folgende Untersuchung wenig fruchten. Es niuss hier genügen, den, fiir das Folgende zu Grunde gelegten, faktischen Gesichts- punkt von mehr negativem als positivem Charakter dafür anzugeben. Unter einer zufälligen Variation der Exemplare verstehe ich eine solche, welche ebenso unabhängig von einer auf die Größenbestim- mung gehenden Willkür, als von einer die Größenverhiiltnisse dazwischen regelnden Naturgesotzlichkeit ist. Mag die eine oder andere an den Bestimniiingen der Gegenstände Anteil haben, so sind doch zufällig nur (be davon unabliangigen Veränderungen. Daher kann durch kein Zufallsgesetz bestimmt werden, wie groß dieses oder jenes einzelne Exemplar ist, obwohl, in welchen Größengrenzen sich eine gegebene Zahl derselben mit diesem oder jenem Grade der Wahrscheinlichkeit halten wird.
Damit wird nicht geleugnet, dass es aus allgemeinstem Ge- sichtspunkte keinen Zufall giebt, indem durch die bestehenden Natur- gesetze unter den bestehenden Bedingungen (be Größe jedes einzelnen Exemplares mit Notwendigkeit als bestimmt angesehen werden kann. Aber ivir sprechen so lange von ZufaU, als idr zu einer Ableitung der Einzelbestimaiungen aus solchen allgemeinen Gesetzlichkeiten weder aufzusteigen, noch aiis den vorbegenden Thatsachen dai-auf zu schließen im stände sind. Insoweit es der Fall ist, hört der Zufall auf, und hört die Anwendbarkeit der hier vorzuführenden Gesetze auf oder wird dadurch gestört.
n. Vorläufige Übersicht der wesentlichsten Punkte,
welche bei der Untersuchung eines K.-G. in Betracht
kommen, und darauf bezügliche Bezeichnungen.
§ 3. Die folgende Zusanmienst^'ilung wird (üfnen können, die Ausdehnung und den Cliarakter der Untersuclmngen , init denen wir uns fulgends zu bescliäftigen haben, liestimniter übersehen zu lasnen, und sieh über die meisten der zu brauchenden Bezeii;hnungen voi-weg im Zusaninienliange zu orientieren; eine eingehendere Besprechung dieser Punkt« aber bleibt den folgenden Kapiteln vorbehalten.
Bei der zufälligen Ordnung, in welcher sich die Exemjilare eines K.-G. darzubieten pHegen, wiii-de sich weder eine Übersicht über die Verhältnisse derselben nach Maß und Zahl gewinnen lassen, noch eine methodische Bearbeitung derselben möglich sein, wenn man ihre, allgemein mit a zu bezeichnenden MaUe in derselben zutdlligen Ord- nung, in der man sie erhalten und in einer sog. Urliste verzeichnet bat, belassen wollt«; also sind sie vor allem ilu-er Größe nach ku urdnen und so geordnet in einer Tabelle, sog, Verteilungstatel, aufzufülu'en. Hat man nun keine große Zahl von Exemplaren eines Giegenstandes vorhegen, so wird jedes a oder werden doch die meisten a nur einmal in der Tafel erscheinen, und werden die Größen- distanzen zwisclien den aufeinanderfolgenden n sehr unregelmäßig wechseln ; bei rielzaldigen Gegenständen aber, d. h. von welchen viele Exemplare vorhegen, wie sie für das Folgende hauptsächlich voraus- zusetzen sind, werden, wenn nicht alle doch viele oder die meisten a, welche der Maßstab und the Schätzung hergiebt, mehr oder weniger tift wiederhiilt vcirkommen, und dann richtet man die Verteilungatafel so ein, ilass man in einer Kolumne der « jedes a zwaj' nui" einmal
VorlSuGge Übeiaieht der weaentlichiten Funkte; Becüohnunften.
auffülirt, aller in einer beigegt'bi'neii Kolumne der x die Zalil a. angiebtfl wie oft es vorkonunt. Die Gesamtzahl der a, welche in teilungstafel eingehe», stimmt natürlich mit der Summe ^x, welche man durch Zusammenzälilen aller x der Tafel entliiilt, überein und wird von mir mit m bezeiehnet.
Die Aufstellung einer solchen Tafel ist so zu sa^^en der erste Schritt, den man bei Bearbeitung eines vielzaliligen K,-G. von der Urliste aus zu thun liat.
Ein zweiter Schiitt ist dieser: dass man den, mit A zu bezeich- nenden, ai-ithmeti sehen Mittelwert der Ein/elniaBe und die positiven und negativen Abweichungen davon bestimmt, deren Zahl x natüilich mit der der abweichenden a übereinstimmt.
Hierzu aber können als Ausgangspimkt der Abweichungen statt A auch manche andere Werte, welche mit mathematisclier Bestimmt- heit aus der Verteilungstafel ableitbar sind, dienen; und durch jede andere Wahl in dieser Hinsicht kommen neue Beziehungen zum Vor- schein, von denen später zu siireehen sein wird. Allgemein nun nenne ich Werte, die zur Entwickelung solcher Beziehungen als AusgangBwert« der Abweichungen gebraucht werden, Hauptwerte und bezeichne sie mit 77, wovon also A nur ein besonderer Fall ist, auf dessen Berücksichtigung man sich bisher in der Behandlung von K.-G. allein beschränkt hat, was aber eine willkürliche Einschränkui der KoUektivmaßiehre mitführt, wie leicht aus später folgenden 1 merfcungen hervorgehen wn'rd. Allgemein nenne ich Ahweichungei von welchem Hauptwerte sie auch abhängig gemacht werden mögt Kollektivabweichungen.
§ 4. Leicht nun überzeugt man sich von folgendem Umstand« Ein je gi'öBeres m in die Verteilungstafel eines K.-G. eingeht, 80 regelmäßiger wird der Gang der zu ilen a zugehörigen x, und i so bestimmter stellen sich die Gesetzlichkeiten heraus, von denen 1 zu sprechen haben werden. Der ideale Fall wäre der, dass man ( unendliches fn hatte, wo man einen ganz regelmäßigen Gfang dsl X und eine ganz genaue Erfüllung der betreffenden Gesetzlichkeita zu erwM^en haben würde, wonach man auch ideale Verhältcisse 1 Gesetxhchkeiten, wie sie eine ideale Tafel hergeben würde,
■ Vorttnfige Übersicht der wcscntBchrten Punkte; Beicichnunpcn. Jl
tjmpiriscUe, welche in mehr oder weniger großen Anniilieruiigeii ilai'aii bestetten, zu unterscheiden hat.
Alle Wahrscheinlichkcitsgi^si'tze dva Zufalls iilicrliiuijit, und die Verteilungsgesetze der K.-G. sind solche, haben das gemein, daas ihre Befolgung um so sicherer zu erwarten ist, auf eine je größere Zahl von Fällen sie sich beziehen, eine sozasagen ideale Gültigkeit aber nur für den Fall einer unendlichen Zahl von Fällen besitzen, was nicht auaschlielit, das» schon bei einer empirisch wohl zu hti- schftffenden Zahl von Fallen die Bestätigung der beti-effenden Gesetze in großer AnnKlierung stattfindet. Insofern man nun jedenfalls in Wirklichkeit nur mit K.-G. aus einer endlichen Zahl von Exem- pliu-en zu thun hat, welche ebenso viele Fälle repräsentieren, bezeichne ich die Abweichungen, welche wegen Endlichkeit der Zahl der Exem- plare von den ideal gesetzlichen Beatimmungen stattfinden, als un- wesentliche, und, insofern sie gleichgiltig nach der einen und linderen Seite gehen, als durch unausgeglichene Zufälligkeiten henorgenifen, indes ich die, für die Voraussetzung emer unendhcheu Zahl von Fällen, unseren Falles von Etemplaien, geltenden Bestim- mungen als wesentliche oder normale bezeitline Das allgemeine Herkmal der Unwesentlichkeit einer Bestmimung besteht darin, dasa sie um so mehr verschwindet, je mehr man die Zahl der Fälle, resp. Exemplare, unter Einltaltung der Bedingungen, welche den Begriff des K.-G. bestimmen, vergrößert, so dass man voraussetzen kann, sie würde bei unendlicher Zahl der Fälle ganz wegfaUen; wonach für Untersuchung der Gesetze in unserem Falle überhaupt nur viel- zaklige Gegenstände geeignet sind.
Selbst bei kleinem m aber beweist sieh die ünwesentlichkeit einer Bestimmung dadurch, dass bei Wiederholung der Bestimnumg mit demselben kleijien ni aus immer neuen Exemplaren des.selben Gegenstandes Größe und Richtung der Bestimmung unbestimmt wechselt, wogegen bei Wesentlichkeit derselben sich im Mittel einer Mehrheit von Wiederholungen ein bestimmtes Größenresultat und eine bestimmte Bichtung desselben um so fester herausstellt, je größer
^^ die Zahl d^ Wiederholungen und das m jeder einzelnen ist.
^^ Wir sprechen von einer symmetrischen Verteilung der Wert*
10
VorlSnfige Überucbt der wegen tlichelen Funkte; Beteiehniiugen.
bezüglich eines gegebenen Hauptwertes H, wenn jeder Abweichung eines a ins Positive von H die gleicb große negative Abweichung eines anderen a von H entspricht, so dass gleich stark nach beiden Seiten von H abweichenden a gleicb große x zugehören. Bei einem K.-(t. aus einer endlichen Zald von Exemplaren kann man wegen der nicht ausgeglichenen Zufälligkeiten überhaupt nicht erwarten, bezüglich irgend eines Hauptwertes eine vollständig symmetrische Vei-teilung zu finden, und selbstverständbch kann eine sj-mmetrische Verteilung nicht bezüglich mehrerer Hanptwerte zugleich bestehen; es ist aber ein wichtiger Gegenstajid der Untersuchung, oh sich nicht ein Hauptwert finden läßt, bezüglich dessen sich die Verteilung um Bo mehi' der symmetrischen nähert, je mehr man das m des K.-G. vergrößert, in der Art, dass man bei unendlichem rn eine wirklich eyinmetrische Verteilung als en-eicht voraussetzen könnte, in welchem Falle man, da ein unendliches m nicht zu haben ist, doch von einer symmetrischen Wahrscheinlichkeit der Abweichungen spi-echen kann.
§ 5. Aber nw^h aus einem anderen als dem vorigen Gesichts- punkte kann man eine ideale Verteilungstafel von einer empirischen und davon ahhäugige ideale und empirische Resultate unterscheiden. Bei den Messungen der Exemplare kann man nicht Über gewisse Grenzen der Genauigkeit liinausgehen, wie sie die Einteilung des Maßstabes und die ächiitzung dazwischen hergiebt. Man kann z. B. noch AEIIimeter, noch Zehnte hnillimeter, noch Hnndei-telmillimeter aber nicht darüber hinaus unterscheiden. Für den, der nur Milli- meter unterscheidet, fließen alle Einzelmaße, die sich in den Gi-enzen eines Millimeters halten, ununterscheidbar zusammen, und so bezieht er die ganzen x Exemplai-e. die eigentlich auf ein ganzes Inten-all von I mm verteilt sind, auf einen einzigen Wert a, welcher die Mitte dieses Intenalls bildet. Sei allgemein i der noch erkennbare Uutr'r- schied der Maße, so gehört das z jedes a der empirischen Tafel eigentlich dem ganzen Intervall von der Größe * zwischen a ~ {f und a + ^i an, wogegen es sich nach der empirischen Tafel so aus- ninmit und bei Vei-wertung derselben zumeist so gefaßt wird, als wenn das darein fallende MaB a selbst x. mal vorkäme. Bei idealer.
Vorläufige Cberatoht der wcBcntlicIiBlcn Funkte; Bciciohnimgen.
d. h, bis zur Orenze der Geiiauigkfit gehender Messung und Schätzung aber würde t auf einen unendlich kleinen Wert herabkommen'), die onterschiedenen a der Tafel sich hiermit vermehren, ihre ~ aber sich ent^rechend verkleinern; hiermit die ideale Tafel von der empirischen abweichen.
Wo nun das empirische i sehr klein ist, unterscheiden sich die Resultate der empirischen Tafel, soweit sie (he Größe und Verhält^ niase der daraus ableitbaren Hauptwerte und Hauptabweiclmngs- wei-te betreffen, nicht erheblich von denen der idealen; doi:h bleibt der Unterschied allgemein gesprochen zu berücksichtigen und wird später diese Berücksichtigung da linden, wo er in erheblichen Be- tracht kommt. Empirische Bestimmungen und Verhältnisse, in denen er nicht erforderlich berücksichtigt ist, sondern es so angesehen vrinl, üls wenn wirklich das x jedes n diesem a ganz zukäme, nenne ich rohe, solche, wo er thunlichst berücksichtigt ist, scharfe.
§ 6. In jedem Falle nun muss man von den Resultaten der empirischen Tafel üu den idealen der idealen Tafel, lüermit von un- wesentlichen 7.Ü wesentlichen, von rohen zu scharfen aufzusteigen suchen, wozu eine demgemäße Bearbeitung der Verteilungstafeln gehört.
In dieser Hinsicht ist ein Unterschied zwischen piimären und
redozierten Tafeln zu machen. Unter primären Tafehi vei-stehe ich
solche, wie sie unmittelbar durch Ordnung der Maße aus der Urliste
erhalten werden und hiermit dieselben Erfabrungsdata wie diese,
nur eben geordnet, darbieten. Reduzierte Tafeln heiße ich stdche,
I in denen die x für giößere MaBintervalle, als in den primären Tafeln
I unterschieden sind, und zwar für gleich große durch die ganze Tafel
' zusammengefasst werden, die « dieser größeren Intervalle aber den
Mitten derselben, als reduzierten a, beigescbrieben werden, mit dem
Vorteile, dadurch einen rogelmäßigeren Gang der x in der Tafel und
tj Em UDcndlJch kleiner Wert, hier im Sinne der liitinitcsimBlrcchDiitift ver- «laadeii, iit doch nicht mit Null xu vcrwechiicia, BUiideru, obnohl unter jede utfQhrbare Größe herabgehend uud Heiner abaoluten Größe nauli unbcBtiminbiir. docli rcchuunf[B weise noch nach seinen Verhältnissen i\t undcrcn mieudlich klciiicii Werten bctitimmbar.
12 Vorläufige übersioht der TresentUehslen Punkte; Bexetehnungen.
eine geeignetere Unterlage für Rechnungen zu erhalten, wenn HchnT nicht ohne Konflikt mit einem Nachteile wegen Vergrößening des i, worauf später zumckzukommen. Eingehender ist überhaupt von der Auf stellungs weise und den Verbültnissen der primären und reduzierten Tafeln in den Kapiteln Vü und VTTT gehandelt, wobei die Mög- lichkeit verschiedener Reduktionsstuten und Reduktionslagen nur Sprache kommt.
§ 7. In jeder nicht nu unregelmäßigen priniüren oder durch Reduktion regelmäßig gemachten Tafel flndet man Folgendes.
Die kleinsten x finden sieh nacli den beiden Grenzen der Tafel zu, wonach, wie schon früher berührt, die kleinsten und größten o am seltensten vorkommen, die größten x aber im allgemeinen in einem mittleren Teile der Tafel. Das MaximaW fällt auf ein ge- wisses a in diesem mittleren Teile, von wo nach beiden Seiten die z nach den Extremen hin kontinuierlich, wenn auch bei ungenügender Reduktion hier und da nocJi durch Unregelmäßigkeiten unterbrochen, abnehmen. Den Wert a einer nicht zu umegelmäßigen primären oder reduzierten Verteil ungstafel, auf den das Maximal-j fällt, nenne ich den dichtesten Wert der Tafel oder auch empirisch dichtesten Wert des Gegenstandes, welcher sich freilich nur als Ännähening an den ideal dichtesten Wert betrachten läsat, den man bei unend- lich großem m und unendlich kleinem / erhalten würdi nicht minder vom A der Tafel gilt, doch schon als solche Anna rung besondere Beachtung verdient und die Unterlage zu einer ge- naueren Annäherung durch Rechnung in später zu betrachtender Weise bietet. Sei er empirisch oder ideal, in dieser oder jener An- näherung gefasst, bezeichne ich ilm allgemein mit D.
Man könnt* glauben, dass der dichteste Wert wesentlich, aus sehr großem, streng genommen unendlichem m und bei sehr kleinem, streng genommen unendlich kleinem i, bestimmt, mit dem arithmetischen Mittel zusammenfallen würde, und in der That weichen bei der Mehrzalil der K.-G. beide nacli Bestimmung aus großem m und kleinem i wenig genug von einander ab, dass man geneigt sem kann und bisher in der That ilafür gehalten hat, dass die noch ilhrig^ Abweichung bloß eine Sache unausgeghchener Zufälligkeit sei.
end- ^^^ ttder
1
TorlAufige OlierMcht der wescntlichBteii Punkte; Beieirhnungeu. 13
I wird aber eins der wiclitigsten Resultate der fulgenden Untersuchung I sein, dass eint- wesentliche ÄLweiclmng zwischen arithmetischem Mittel I -und dicktastem Werte vielmehr der allgemeine Fall ist, der Art, ilass I UrÖBe und Richtung dieser Abweichung selbst charakteristisch für I verschiedene K.-G. sind. Insofern nuu auch die Abweichungen be- lüglicb beider Werte verschieJone Verhältnisse einhalten, ist der t empirisch dichteste Werth D als ein vom arithmetischen Mittel Ä derselben Tafel zu unterscheidender, wichtiger Hauptwert d. i. Aus- I gangswert von Kollektivabweichungen anzuerkennen.
Zu beiden vorigen Hauptwerten Ä, D aber tritt noch ein von beiden vorigen zu unterscheidender, dritter, den ich als Zentral- wert oder "Wertraitte mit C bezeichnen werde, d. i. der Wert von , der eben so viele größere a über sich als kleinere unter sich hat nnd in dieser Hinsicht die Reihe der a mitten durchteilt. Auf das- I selbe kommt es heraus, wenn man sagt, es sei der Wert, hczüglicli I dessen die Zahl der positiven Abweichungen gleich der Zahl der [■ negativen ist. Vom aritlmietiaclien Mittel unteit^cheidet er sich durch l-die beiden Bestimmungen, dass, während bezüglich A die Summe I der beiderseitigen Abweichungen gleich ist, hingegen bezüglich C die |. Ztthl der beiderseitigen Abweichungen gleich ist, und dass, wälirend \ bez. A die Summe der Quadrate der Abweichungen ein Minimum, d. i. kleiner als bez. irgend eines anderen Ausgangswertes ist, hier- gegen bez. C (he Summe der einfachen Abweichungen (die negativen dabei nach absolutem Werte gerechnet) in demselben Sinne ein Mi- inm ist'). Mit dem Zutritte dieses tlritten Hauptwertes zu den beiden vorigen eröffnen sich nun abei-mals neue charakteristische Be- ziehungen für die K.-Gr., von welchen zu sprechen sein wird.
Außer den genannten drei Hauptwerten köimen noch andere, : der Verteilungstafel mathematisch ableitbare als Ausgongswerte I von Abweichungen und hiermit als Hauptwerte dienen und teils |r unabhängig von den vorigen betrachtet, teils mit denselben in
1) Diese, frflher nicht bemerkte, Eigcnscbaft dea ZentralwerteB lialic ich in einer besonderen Ahhondlung über denselben nachgewiesen [Über den Ausgangs- wert der kleinsten Abweifhiiugasuinme ; Abhaudl. der math.-phys. Kbiaae der Köuigl. Sachs. Oesellschaft der Wisscuachafteu; ii. Band, 1878J.
14 Vorlluflge Öbergicht fler weseDÜiclieten Punkte; Beteichnungen. ^M
Beziehung gesetzt wwden; (loch sind jedenfalls dip vorigen die wiijhüg^ aten, und ich bleibe zunächst dabei stehen. In einem späteren Ka^ pitel [Kap. X) jedoch werde ich nebensächlich noch drei andere Haaptwerte als Scheidewert R, schwersten Wert T und Ab- weichungsBchwerwert F berücksichtigen, welche jedenfalls ein mathematisches Interesse darbieten.
§ 8. Ein Tier ist seinem inneren Baue nach charakterisiert durch (Jehirn, Herz, Magen, Leber u. s. w., die Größe und La^ dieser Organe gegen einander, die zuführenden und abführenden Wege dazu. So ist ein K.-G-. seiner inneren quantitativen Bestimmtheit nach charakterisiert durch arithmetisches Mittel, Zentralwert, dich- testen Wert und sonst etwa zuzuziehende Haiiptwerte, die Größe und Lage dieser Hauptwerte gegen einander und die Abweichungen da- von; und diese Werte stehen niebt minder in mathematischem als jene Organe in oi'ganiscbeni Zusammenhange. Ein K.-G. bildet so zu sagen einen matliematischen Organismus, welcher einer Zergliede- rung fähig ist, auf die im Folgenden einzugehen sein wird. Und wenn damit nicht gesagt ist, dass jeder Gegenstand auf die Durch- fUlirung einer solchen Zergliederung Anspruch zu machen hat, so hat sicli jedenfalls eine allgemeine Kollektionsmaßlehre mit den all- gemeinen Gesichtspunkten derselben zu beschäftigen.
Zum Voraus läsat sich dabei bemerken, dass allerdings unter einer gewissen VoraussetKung die beiden Hauptwerte D und C mit A und mithin alle di-ei unter einander zusammenfallen würden, unter der Voraussetzung nänihch, dass die beiderseitigen Abweichun- gen bez. A eine symmetrische Wahrscheinlichkeit besäßen, also mit wachsendem /« sich in der Art einer symmetrischen Ver- teilung (in obigem Sinne) näherten, dass man bei unendlichem »* eine solche als en-eicht ansehen könnte. Aber es wird sich zeigen, dass man für K.-G. vielmehr eine asymmetrische Wahrscheinlich- keit der Abweichungen bez. A vorauszusetzen hat, welcher gemäß man bei wachsendem m sich nicht einer synnnetrischen Verteilung, sondern einer auf ein gewisses Gesetz zu bringenden, wesenthch L asjnnmetrischen Verteilung nähert, Ja es läsat sich abgesehen von täem nur als Ätui iden wesentlichen Zusammenfallen
VorUuGgc ÜberaioTit der weaenttichsten PunVte; Beieictimmgen. |S
D und C mit A überhaupt kein Wert füi' K.-G. finden, bez. 5sen eine sjnmietrische Wahrscbeinliobkeit der Abweichungen nach eiden Seiten statt fände.
Wenn man nun bisher bei Behandlung der K,-G. bloß auf Ä,
B Abweichungen davon und etw,a die Extreme Rücksicht genommen,
sieht man nicht nur schon aus Vorigem, dass ganz wichtige
teristische Verhältnisse und Unterschiede der Gegenstände da-
i auBei' Acht fallen , sondern es wird sich anch zeigen, dass ein
^meines Verteilungsgesetz der Exemplare von K,-G. gar nicht
1 diese beschränkte Behandlungsweise zu gewinnen ist,
Sie hat aber unstreitig darin ihren Grund, dass man die leiten-
i Gesichtspunkte der physikalischen und astronomischen Maßlehre
die KoUektivmaBlehre übertragen hat, ohne zwei wesentliche
bterschiede, die zwischen beiden bestehen, zu berücksichtigen, wo-
I jene beschränkte BehantUungs weise für erstere Lehre eben so
tiviert, als für letztere verwehrt ist. Pllr erstere hat der arith-
letiache Mittelwert Ä der Beobachtungswerte des seinem Maße nach
[ bestimmenden einzelnen Gegenstandes mit den Abweichungen von
, d- i. Beobachtungsfeblem, cbe dominierende, ja im Grunde allein
blende, Bedeutung, da man nach Gründen, die den Fach-Mathe-
isatikem und Physikern bekannt sind, in dem Werte, bonüglich dossen
die Summe der Quadrate der Abweichungen, d. i. Fehler, die kleinste
möghche ist, dem aritlimetischen Mittel, zugleich den Wert sieht,
(nicber dem wahren Weiie, um dessen Bestimmung es zu thun ist, ist überwiegender Wahrscheinlicldteit am nächsten kommt, in den Abweichungen davon aber ein Mittel findet, die Grüße zu bestimmen, imi welche der wahre Wert doch noch mit gegebener Wahrschein- lichkeit nach einer oder der anderen Seite verfehlt wird. Warum i also in dieser Lehre noch um andere Hauptwerte kümmern, die l deren Abweichungen zur Erfüllung der Aufgabe dieser Lehre Ichts helfen! Also ist auch weder von einem dichtesten Werte, noch mtralwerte in der astronomischen und physikalischen MaQlebre die _ ungeachtet die verschiedenen Beohachtungs werte eines und
wssalben Gegenstandes in ilir, als r gefasst, an sicli ebenso gut zur Älikitimg eines D und C Anlass geben könnten, als die verseltiedenen
16 Vorl&ufi^ Über lieht der vescntliohiten Punkte; Bezeichnungen.
Exomplarü eines K.-Gr. Aber es wäre müßig, eine Sonderbetraclitung derselben zuzuzieben, und gt'scbieht jedenfalls nicbt.
Für die KoUektiiTnaBlelire aber liiit der Gesicbtspunkt, welcher in der physikalischen und astronomischen Maßleljre den arithmetischen Mittelwert mit den Almeichungen davon prinzipiell bevorzugen lässt, gaj' keine Bedeutung. Alle Exemplare eines K,-G., mögen sie noch 80 weit vom aritlimetischen Mittelwerte oder irgend einem anderen Hauptwerte abweichen, sind gleich wirklicli und walir, und eine vor- zugsweise Berücksichtigung des einen vor dem anderen aus einem für alle gleich nichtigen Gesichtspunkte hat natürhch keinen Sinn. Hiergegen hat jeder andere Hauptwert nach anderer Beziehung seine charakteristische und zum Teil selbst praktische Bedeutung für einen K.-G., wodurch er zur Unterscheidung desselben von anderen Gregeu- ständen beiträgt.
Zweitens aber unterscheiden sich nach der in der physikalischen und astrononiisclien MaBlehre freilich vielmehr postulierten oder vor- ausgesetzten als zweifelsfrei erwiesenen, syninietrisclien Walirscbein- lichkeit der Beobachtungsfehler bez. des arithmetisclien Beobaclitungs- mittels bei guter Beobachtung die drei Hauptwerte nicht wesentlich, sondern nur durch unau-sgegliehene Zufälhgkeiten von einander, so dass man in dem wegen des angegebenen Uuistandes vorzuziehenden arithmetischen Mittel der Beobachtungswerte zugleich die wahrschein- lichsten Werte der anderen Hauptwerte mittrifft, wogegen für die K.-G, bemerktermaBen eine asymmetrische Wahrscheinlichkeit der Ab- weichungen bez. des arithmetischen Mittels als der allgemeine Fall anzusehen ist, wonach auch die verschiedenen Hauptwerte wesentlich auseinanderfaUen.
übrigens kann es sogar noch traglich erscheinen, ob man mit jenem Postulat bei den Beobachtungsfehlem wirklich ganz im Rechte ist, eine Frage, die uns zwar hier nicht wesentlich angeht, doch später in einem besonderen Kapitel') berücksichtigt werden wird. Kehren wir aber jetzt zu den für die KoUektirmaßlehre wesentlichen Verhält^ Bissen zurück.
zweiten Teile. Kap. XXVIII, die
tj [Mit Rücksicht auf diese Fra^e wird ii Atymmetrie von Fehlerreihen untersucht.]
Voriiufige OberArht Her wesentKehBten Piinlite; B«eieImiii>j;eB. 17
§ g. Unter Elementen oiU-r Bestiuimungsstücken eines , K.-G. werde ich bei der Änalyae eines solchen überhaupt fitigenile Werte unter folgenden, zum Teil schon früher gebrauchten, Bczeich- nuiigen verstehen.
I) Die allgemein mit w hezeicluiete Ciesamtzahl der Exem- plare « einer in Betraciit gezogenen Verteilungstafel.
21 Die allgemein mit ff bezeichneten Hauptwerte oder Aus- gangswerte von Abweichungen, wovon benierktermaßen der nritli- metische Mittelwert A, der Zentralwert C und dichteste Wert D die wichtigsten sind. Da der Zentralwert allgemein üwischen A und D zn suchen ist, wie später zu zeigen, so werden die vorigen drei Hauptwerte künftig allgemein in der Ordnung A, C, D von mir aufgeführt werden. Hiei-zu noch einige, nebensJüMcb zu berück- sichtigende Hauptwerte, welche im X. Kapitel besprochen werden.
Der arithmetische Mittelwert wird, aus den a einer priiuäi'en Tafel bestimmt, mit A,, aus denen einer reduzierten bestiiuint, mit A, hejieichnet werden; entsprechend mit C. Bei D ist kein solcher Unterscliied gemacht, weil er wegen der Unregelmäßigkeiten der zu Gebote stehenden primären Tafeln überall bloß aus re<Uizierten Tafeln hat abgeleitet werden können, hiennit überall mit D, zu bezeichnen wäre. Hiergegen ist nach der Herleitungsweise ein Unterschied da- , Kwisciien zu machen. Nach dem von mir so genannten Proportions- Terfahren, welchem ich das meiste Zutrauen schenke, abgeleitet, Jiezeidine ich ihn mit D^, nach dem weniger sicheren Interpolations- TerfaJiren abgeleitet, mit D(. Von dem Unteracliiede beider Ver- falirungsweLsen wird weiterhin die Bede sein.
Alle Werte, welche auf die positive Seite des Hauptwertes, zu dem sie in Beziehung stehen, fallen, bezeichne ich mit einem Striehel- clien oben, alle, welche auf die negative Seite fallen, mit einem Strichelchen unten, indes ich bei solchen, welche sich unterschiedslos auf beide Seiten beziehen, die Stiicbelchen ganz weglasse, wonach a' en Wert o bezeichnet, welcher // übersteigt, a, einen solchen, [ velcher von H überstiegen wird.
Unter 0 verstehe ich allgemein Abweichungen von irgend einem Hauptwerte H; unter &' ^ «' — // also eine positive, unt<'r 0, ^ o, — H
4
f8
VoilSufige Übersicht der weientlichBten Funkte; Bezeichnungen.
eine iiogativp, wenn der negative Oiarjikter von 0, heihehalteii soll; da aber allgemein die negativen Abvreichungen nach ihrem ahHoluten Worte, wie poaitire, zu verrechnen sein werden, ist riel- mehr zu setzen Q, = H — a,. Hiemach ist mit 2& ^ 2(a — H) die Summe der positiven Abweichungen, mit ^0, ^ 2{H — a,] die der negativen Abweichungen nach absolutem Werte, mit ^& ^= — Q' ~{- ^&, die Qflsamtsumme der Abweichungen bcK. E bezeichnet.
3) Die Hauptabweichungszahlen d.i. die Zahl der Ab- weidmugen 0 von gegebenen Hauptwerten H, welche natürlich mit der Zahl der abweichenden Weile a zusammen fiilit, also der Ge- samtzahl nach unahliängig von der Natur der Hiiuptwerte gleich in ist, wogegen die Zahl der positiven und negativen 0 insbesondere sich mit der Natur der Hauptwerto ändert und als positive allgemein mit in', als negative mit w«, bezeichnet werden. Von »«' und m, sind dann die Unteraehiede ± («*' — m,) und die Verhältnisse m' : m, und VI, : m' abhängig, welche statt /"' und m, angeführt werden können, sofern aus ihnen unter Zuziehung von m die ^Verte von nt' und in, folgen [a. unten).
4] Die Hauptabweichungsfiumnien und daraus folgenden mittleren Abweichungen, d. i. Summen der Abweichungen, dividiert durch die Zahl derselben. Die Totalsimime der Abweichun- gen nach beiden Seiten zusammen, nach absolutem Werte, wie wir sie immer fassen, drückt sich durch IQ aus, nach beiden Seiten eiozehi, insbesondere durch .^^©'und JS0,, so dass ^©^=.20'-}-^©,. Davon abhängig sind dann die einfachen mittleren Abweichungen oder mittleren Abweichungen schlechthin'):
~ 2Q ,_:s& _ -0.
Die Totalsummen der Abwoirhnngen J?0 bleiben sich nicht wie die
I) lu der phygikali sehen \ind astroiiomiBchou Fehlcrrechiuiun pflegt Tielmehr bIs mittlere Abweichung schlechthin die Wunel uus dem mittIcrcD Fehlcrquadr&te ^ yi'ff:m, bei. A lu gelten, welche ich, wo etwa darauf Ueriig lu nelunen, imoh der Angabe imtcr folgender Ntimmer S' "'s quadrutische mittlere Ab- weichung \oii der wie oben beKtimmtcii eiirfachcii iiutcrscheidcu und mit q he- zeiehucn werde.
^
Vorl&ufige Übersicht der weflentlichsten Punkte; Bezeidmungen. 19
Totalzahlen m je nach den Hauptwerten gleich, sondern ändern sich nicht minder als die einseitigen Summen je nach dem Hauptwerte. Bezüglich des arithmetischen Mittels A insbesondere sind die l)eiderseitigen Abweichungssuuimen 30' und ^Q, notwendig gleich, weil dies im Begriffe dieses Mittels selbst liegt, indes die beiderseitigen Al)weichungszahlen m\ m, bez. dieses Mittels im allgemeinen ungleich sind, was mitführt, dass auch die eins(»itigen mittleren Abweichungen e' = ^&:m\ €, = 2&,:m, bez. A im allgemeinen ungleich sind. Das für beide Seiten gemeinsam geltende £ = 30:w ist aber nicht als einfaches Mittel zwischen t' und e, = l(e' -\- e,) zu finden oder zu bestimmen, wie ich fälschlich in einer amerikanischen Abhandlung über RekrutenmaBe (von Elliott ^)) angegeben finde, da man dadurch nicht auf
m IN
zurückkommt; sondern dies ist nur der Fall, wenn man bei der Mittelziehung aus t' und e, die Gewichte berücksichtigt, welche ihnen vermöge des /;/' und ;w,, woraus sie erhalten sind, zukommen, hier- nach setzt:
j ^f
me + w,e,
m + m,
was nach folgender einfachen Betrachtung auf e = 2G:m zurück- führt. Da das Produkt eines Mittels aus Abweichung(?n in die Zahl derselben gleich der Summe der Abweichung ist, so ist nie' = 3 0' und m,e, = I(fj,, also m'fc'H- /w,«, = J0'-|-2f0, = ^0, anderer- seits ///-f- /;/, = /;/.
Je größer die mittlere Abweichung t bezüglich eines Hauptwortes ist, in desto weiteren Grenzen weichen durchschnittlich die ein- zelnen AVerte a von demselben ab, oder desto stärktT schwanken sie durchschnittlich um denselben. Außer der absoluten Größe von fc kommt aber auch sein Verhältnis zu dem H, worauf sich e bezieht, also b:H in Betracht, was ich die verhältnismäßige
li [E. B. Elliott, On the military statistics of the United States of America; Berlin 1863. International Statistical congress at Berlin.]
2*
20 VorUuSg« Cberriüht der wesei^eliRt«« Punkte; BnrioTiiniiigeD.
Stiliwaiikung nonnc. Die (liirclisclmittliclie wie verliältniBmäBige mittlere Schwankung bei gegebenem m gehen sich zwar nicht pro- portional für die voracliiedenen Hauptwerte; tlocli nelimen sie, allge- mein gesprochen, in so weit mit einander zu und ab, dass ein bezüglich eines gewissen Hauptwertes stark oder schwach schwankender Gegen- stand auch beziighch der anderen Hauptwei-te als stark oder schwacli schwankend angenommen werden kann, und man also ohne Rücksicht auf Beizieliung eines bestimmten Hauptwertes von stark und schwach im Mittel oder verhältnismäßig schwankenden Gegenständen sprechen kann.
Hiemach noch folgende Bemerkung. Die Größe der einfachen Summe —0 und des einfachen Mittelfehlers e ^ 2Q :m beziighch des arithmetischen Mittels Ä ist nicht ganz unabhängig von der Zahl m der Werte a, aus denen das betreffende A abgeleitet ist, sondern nimmt durchschnittlich mit wachsendem m etwas zu; man kann aber die bei irgend einem endlichen m «■haltenen Werte —0 und e bez. A durch Multiplikation mit Vm:{m — i) auf den Nomialfall zurticlc- (ülu-en, dass sie bez. eines A aus einer unendlichen Zahl von a er- halten worden, was ich die Korrektion wegen des endlichen m nenne '). Während nun .20 und e ^ ^0 : «i die unkorrigiei-ten Werte sind, 90 bezeichne ich mit ^&c und Cj die korrigierten Werte:
^v^.
und
•y„=
Niir bei sehr kleinem ;n unterscheiden sich jedoch die korrigiei1«n Werte erhebhch von den unkorri gierten, und da wir im allgemeinen mit großem m, wogegen i merklich verschwindet, zu thun haben,
i) Bckauutlich hat OAL'sa vorl&ngst ichon f3.r die Suuunc der Fehlerquadrate £&» bei. A und den daraus abiiileiteudcK, von mir sog. quadratiseheti Mittelfuhlcr ^=yi'&':in die Korrektion wegen de» endlichen m bestimmt; wonach die erstcre durch Multiplikation mit m:{m — i,, die letr.tiTC flberein stimmend mit unserer Korrektion des einfachen Mi tlelf eh Icrs diirch Vm:i;iN^i; geschieht. Die Ihcorctisehe Ableitung und empirische Bewahrung unserer Korrektion von £H und c aber ist von mir in den Berichten der Kgl. Sächsischen Geaellachaft, Math.- Phys. Klasse, Bd. XIII, i86i, S. S7f- geschehen, und da die Bcinlhruug mit ent- lehiedeiicm Erfolge an KoUektiviib weich nnßen gelahrt i«t, kann sie als zweifelsfrei für solche gelten.
Vorlfiufifte Dberrieht der wcucntlidiitea Pinikte; Becciehiinn^en. Ü
iH-i^iüge ich niicb in Auffühi'un^ der Elenientti allgeiiieiii mit Aug-abc (liT getneioen, d. i. imkomgierten Werte ^©, e, woraus sich uiit Zuzieliuiig des stets bekanuteii m die kuirigierti'H AVerte leicht finden lassen, wenn es darum zu tliun ist. Eine entsprechende Bemerkung wird unstreitig für die Abweichungssuinmen und mittleren Abwei- chungen bez, anderer Haujitwerte als A gelten, wenn schon die direkte Untersuchung in dieser Hinsicht sich bisher bloß nuf die Abweiebungen von Ä erstreckt bat. Es ist aher um so weniger An- biHS bei Aufiihrung und Verwertung der bei einem gegebenen cnd- licben m erhaltenen Elemente die komgierten Werte zu bevorzugen. als nicht nur die Abweichungssuimnen und mittleren Abweichungen bez. der verschiedenen Hauptwerte, sondern auch die Al>wei<'hungeu der Haujitwerte selbst von einander unter dem Einflüsse dessellwu endlichen in stehen, die Verliiiltnisae derselben sich also lu'cht dturb die gemeinsame KoiTektion ändern würden. Bei Unteraucliung d«r V erteil ungsgeaetze aber Iiat es uns vielmehr auf diese Verbäll- oiiuH.' als auf absolute Werte anzukommen. Wo man aber doch auf ■olche gehen will, liut beziiglich Korrektion der einseitigen Werte 1&', ^&, und *', (, die Anmerkung statt zu finden, dass sie nicht i-espektive duixh itii'ilrn' — i) »ind \m,:liH, — i), sondern wie ihe von .26 und s durch Kw':('» — i) zu geschehen hat, weil man sonst durch Addition der korrigierten Werte 26', —&, die korrigierte Summe i"Ö niclit wiederfinden würde. Auch liegt dabei der nitionelle tiesicbtspunkt unter, dass die Abweichungssummen jeder Seite als Glieder der totalen Abwciclmngasumme von der Größe ihres m ge- lueiusam intluiert werden müssen.
5) Die wahrscheinliche Abweichung H' und quadratische mittlere Abweichung q. Unter wahrscheinlicher Abweichung w b«s. eines Hauptwertes ist diejenige Abweichung zu vei-stehen, welche eben so viel gritßei-e .Abweichungen nach absolutem Werte über sich, ata kleinere unter sich hat, also bez. der Abweicliungen 0 dieselbe
I Bedeutung hat, als der Zentralwert C hez. der o. Unter quadratischem Mittelfehler q verstehe ich kurz die Wurzel aus dem mittleren Ah- weichungsquadiftte , d. i. den Wert, den man erhält, nenn man die geaamten Abweichungen von einem Hauptwerte H besondeis aum
Voiljhifige Überüeht der vesentliohiteii Punkte; Betdahimngen.
Quadrate erhebt, die SuuiDie dieiäer Quadrate, d, i. — &' (wohl zu untcr- sciieiden von dem Quadrate der Summe, d. i. von {i'©)'), mit der CJesajutaalil m dividiert und aus dem Quotient die Wurzel zieht, kui-z q = V^Ö' ; m. Statt für beide Seiten gemeinsdiaftÜch, künuL-ii diese Werte eben so wie die einfache mittlere Abweichung e für beide Seiten besonders bestimmt und wegen des endlichen m korrigiert werden, worauf icli hier nicht eingehe, indem ich das, was darüber zu sagen, noch auf das Nachti-agakapitel über das GrAuss'sche Gesetz (EJip. XVII) vei-spai-e, nach welchem diese Werte bostinimte Bu- ziebungeti unter einander haben, welche eine Ableitung dei-aelben aus einander gestatten, was ersparen wird, sie nach Aufführung von « unter den Elementen noch besondei's aufzuführen,
6) Die extremen Werte a der Tafel, d. i. das kleinste und größte a der Tafel, ei-steres als E', letzteres als E, zu bezeichnen. Nach der liergebrachten Kinrichtung der Tafel aber steht das dem Werte nach höhere Extrem zu unterst, das niederere ku oberst.
§ 10, Wenn zwei Werte et, ff in folgender Weise durch iiinde Klanmiem verbunden sind, wie a{^), so ist dieser Ausdruck gleich- geltend mit aji, d. i. Produkt von n und fi, wenn sie aber durch eckige Klammem in folgendei' Weise verbunden sind: ii[ß], so be- deutet dies nicht, dass a mit /< multipliziert werden soll, sondern das« a Funktion von li ist; also z. B. Q[A] bezeichnet eine Abweichung von A, &[C] eine solche von C u. s, w., m[A] die Gesamtzahl der Abweichungen bez. A; m[C] die damit gleiche bez. C u. s. f.
Da aber bei dem vorzugsweise häufigen Gebrauche der Haupt- werte A und D die darauf bezüglichen Ausdi-ückc und Formeln durch solche Zufügung unbequem und unbebilflich werden würden, ziehe ich es im allgemeinen vor, für Ö, m, e je nach ilirer Ab- hängigkeit von A oder D gleich verschiedene einfache Bezeichnungen zu setzen, und zwar wird dies durch folgende, unter den betreffenden Hauptwerten stehende Bezeichnungen geschehen, welche ohne Strichel- chen sich unterschiedslos auf die beiderseitigen Abweichungen be- ziehen, je nachdem sie aber der positiven oder negativen Seite be- sonders angehören, noch mit einem Strichelcben oben oder unten au veiuehen sind:
Vorlftufige Übersicht der vcscutlichstcu Punkte; Bczcichniiugcii. 23
A D
|
e |
J |
d |
|
m |
/* |
^fP |
|
£ |
1 |
C |
Also bedeutet z. B. J eine Abweichung von J, d eine solche von D. Da die Gesamtzahl der Abweiclmngen unalihängig von der AVahl des Hauptwertes ist, so ist allgemein m = fi =f/^, wogegen ^jJ nicht gleicli ^d, und ry nicht gleich c ist.
Der Untei-schied /i' — /i, (bez. A giltig) wird kui'z mit u, der Üntei*schied tn' — tn, (bez. D] mit u bezeichnet. Aus ?/ folgt n' und 1/,, aus «# folgt ffp' und ^i, nach folgenden Gleichungen:
2
U = , li,
|
." — |
u |
|
2 |
> |
|
fn- m |
-«# |
2 ;:
Für die mehrfach in Betracht zu ziehenden Abweichungen des oberen und unteren Extremes vom arithmetischen Mittel nach abso- lut^jm AVerte dienen die Bezeichnungen:
?7' = 7?' - A und U, = A - E,.
Anstatt die Gesamtzahl der Abweichungen, sei es nach beiden Seiten oder nach jeder Seite insbesondere, in Betracht zu ziehen, werden wir aucliAnlass finden, sie vom Hauptwerte aus nur l)is zu gewissen Grenzen oder zwischen gegebenen Grenzen, sei es ihrem absolut(»n AV^'rti^ oder ihrem Verhältnisse zu m , /// oder ///, nach, in Betracht zu ziehen, was unter Gebrauch der Zeichen (/> und ff später (im V. Kap.) besonders besprochen wird.
In gewohnter Weise ist in den Tafeln von den kleinen Maßen a nach den größeren, also nach der natürlichen Tjage des Blattes vor den Augen von dem oberen nach dem unteren Teile der Tafel fortgeschritten, was freilich in Konflikt damit kommt, dass nuin kleinere Werte als niedere, untere; größere als höluu'e, obere Werte fasst Man muss also nach dem Zusammenhange oder ausdrücklicher
24
VorUußge Ubendeht der wnentUdutan Fiiakts; Beienho
Angabe imtsclieiden, ob die Äusdiücke >böbfi'e», »nifdrigem«, •obui »untere Wert*?' aui die Lage der Tafel oder das GrößenverhältniB der Werte bezogen sind. Zar Vermeidung dieses etwas lästigen fonnellen Konfliktes wüi-de es künftig besser sein, die Veileilungs- tafeln niit dem größten Werte o anfangen zu lassen; aber nachdem i ich durch den früheren größeren Teil meiner Untei-suchiingen der I üblichen AiifstellungsweLse gefolgt war, konnte icli es nicht melir \ ändeiTi, ohne meine Tafeln umzubauen und Gefalir zu laufen, mich selbst zu vemirren. Die Strichelchen oben und unten an den Werten beziehen aicli jedenfalls auf das GröBenverhältnis der Werte, nicht ihr Lagenverhältnis in der Tafel.
Hiernach ist nocli die Bedetitung und Bezeichnungsweise folgen der AusdiTicke zu besprechen, welche in unseren Untersuchungen -i eine wesentliche Rolle spielen.
Unter Vorzahl, Vorsumme verstehe ich respektive die Zahl ' Sz und Summe Zo der a, welche einem gegebenen Werte a der | Tafel in Größe vorangehen, unter Nachzahl, Nachaumme ilie, , welche einem gegebenen Werte a der Tafel in Größe folgen. Na^ ] türlich ändern sich diese Zalilen und Summen mit den Werten aj der Tafel, denen sie vorangehen und folgen, und zur Verhütung voi Weitläufigkeiten fühi-e ich auch liier für die Fälle, welche es in denJ Anwendungen vorzugsweise zu berücksichtigen gilt, besondere B&-J Zeichnungen ein. Allgemein mögen mit r, V, n, N die Voi-zidü,,] Voi-sumrac, Kaclizahl, Nachsumme bezügUch irgend eines in Betracht I kommenden Anfangs-o und Schluss-a einer gegebenen Tafel Verteilung j bezeiclmet werden, unter v, 3?, «, §Z die betreffenden Wei-te bezüg»j; lieh des a, dem dos größte x zukommt, d. i. des empirisch dicht»-.'! sten Wertes D, unter vi, ^;, »(, SC, bezüglich eines a, dessen Cio?-] kreisintervall zui- scharfen Bestimmung der Elemente in später aar ■] zugebender Weise zu intetpolieren ist, der übrigens in den meisten J Fällen mit dem vorigen, dem dichtesten Werte zusaumienfäUt, dann auch die Bezeicbnimg durch den Index wegfallen kann.
§11. Endlich noch folgende Bemerkung. Es wii-d Anlass sein, I eine arithmetische und eine logarithmische Behandlung derj K.-G- zu untei'scheiden, von welchen cnstcrc für solche Gegenstände |
^^^V VorRnS;^ Obereicbt der weBmIlieliflten Fitnkte; BezriehtiunReii. ^5
^^^PBi Anwendung koniuit, dtren mittlere Abweichungen bezUglicIi ilii-er ^V Hauptwerte nur klein sind, die andei-e für solche, wo sie verliältnis- ^M mäßig dazu groß sind. Ersteres ist nicht nm- der! bei weitem hüutigere ^K'Ond daher in größerer Atisdelmung ttls der zwi'ite zu bcriicki^iclitigeude, ^^■sondent auch einfacher zu behandelnde Fall, und ülle Bestimmungen ^^V und Bezeichnungen dieses Kapitels sind zunächst >iuf diesen Fall zu ^^F b^ziehüD; doch wtii'de ohne Mitbcriicksichtiguiif; des zweiten Falles Hb der ganzen Untersuchung die erforderliche Allgemeinheit febleii.
Dei- wesentiicbe Unterscliied beider Bebandlungsweisen ist dieser: Bei der arithuietischen Behandlung werden die Abweichungen der einzelnen a von ihren Hauptwerten im gewühnlichen Sinne als arithmetische, d. i. als positive und negative Unterschiede von ihren Hauptwerten gefasst, und die Hauptwerte selbst direkt nach angegebenen Regeln aus den a der Verteilungstafel hestimiiit. Bei der logaritbmischen Behandlung werden die Abweichungen, mit denen man operiert, als logarithmische gefusst, d. b. als Unter- schiecle der Logaritlimen der o von sog. logaritlimischen Haupt- wei-t«n, d. i. Hauptwerten, die nach ganz denselben Hegeln aus den log a, als die arithmetischen Hauptwerte aus den einfachen a ab- geleitet wenlen. Der Uebergang von der aritlimetischen zur logarith- mischen Behandlung bringt manche, neuen Gesichtspunkte, Bestimniun- gen und Bezeichnungen mit, auf die jedoch erst spUttT einzugehen, nachdem sich Atdass dargeboten haben wird, darauf Bezug zu nehmen (s. insbesondere Kap. V (§ 36) und XXI].
Unter Tt viiifl in gewohnter Weise die LüDOLF'sche Kahl ^ 3,1415987, unter e die Grundzald der natürlichen Logaritlimen = 2,7182818, unter Mod. = log. comm. e der sog. Modulus des ge- meinen logaritlimischen Systemes = 0,4342945 verstanden; wovon es, wegen des liäuög davon zu machenden Gebrauches, nützlich sein kann, die gemeinen Logarithmen anzuführen. Man hat: log 71 = 0,497 1499; log ß = 0-434 294 5; log Mod. =0,6377843 — i. Unter l, t', t, reaiwkÜv werden respektiv die Werte: ^H e & _&,_
^■^ eyle' eVTt'
35 ' Vorlfinfige Obeniebt der wneutUobBten PunkU; BeiäabnuDgeii,
Tcrstanilen. Unter /-Tabelle eine ini Anhang, § 183, folgendfl^ Tabelle, welche die zu ( in Bezug stehenden, im V. Kapitel zu be- sprechenden Werte ffl im Sinne des GrAuss'Bchen Geaetzes zufälliger Abweichungen angiebt. Da der Wert exp[ — /"]i) von häufiger An- wenilung und etwas komplizierter Bereclmiing ist, so mag hier die Berechnung seines Logarithmus angegeben werden, woraus er seU)st unmittelbar ableitbar ist.
Um log exp[ — f] =^ log i : exp[f] zu finden, addiere 2 log / zu 0,63778 — 1 [d, i. zu log Mod.), suche dazu in den Logarithmen- tafeln die Zalil und nimm sie negativ, so hast du darin den ver- langten Logarithmus*), aber in einer von der gehräuchlidien ab- weichenden und für die Anwendung der TiOgarithmentaieln zui- Ableitung von exp [— (') selbst daraus ungeeigneten Fonii. Um ihn in der dazu brauchbaren Form zu erhalten, ziehe seinen absoluten Wert von der um i höhei-en ganzen Zahl ab und füge diese der Differenz hinten mit demZeichen — zu. So, wenn log exp [ — ''] = —0,25 oder — 1,25 oder — 2,25 gefunden wäi-e, würde man dafür zu setzen haben resp. 0,75 — 1; oder 0,75 — 2 oder 0,75 ~ 3 u. s. f.
Unter S wird die Maßeinheit verstanden, in welcher die Exent- plargrößen a, die Hauptwei-te H und AbweicImngsgrÖBen davon ai gedrückt sind.
Statt Wahrscheinlichkeit wird meist W.; statt Kollck- tivgegenstand, wie schon bemerkt, K.-(J- und statt G-iuss'sches Gesetz nach künftiger Bemerkung G. G. gesetzt.
ij [Der £iiifBcliheit wegen wird hier und im Folgenden die Kx]ioneutial- fiinktiüD e^ durch exp [x] bezeichnet, wonach obcu exp [— {■'] statt e -'' gCBetzt ist.'
2] lii der That, der LogarithmuB von exp jC] ist i;1cich t' log «, mithin dci Log. von I : exp \l'] gleich dem negativ genommenen LogHiithmus von exp [t'j.
III. Vorläufige Übersicht des TJntersuchungsmateriales und allgemeinere Bemerkungen dazu.
§ 12. Eine wichtige Schwierigkeit für eine Untersucliung wie die vorliegende liegt in der Beschaffung des dazu nötigen Materiales. Ein solches kann nämlich nur in einer Mehrzahl von K.-G. aus verschiedenen Gebieten gesucht werden, deren jeder in einer so großen Zahl von Exemplaren vorliegt, dass Zufälligkeiten der Verteilung nacli Maß und Zahl nahehin — denn absolut ist es nicht möglich — nach dem Gesetze großer Zahlen als ausgeglichen gelten können, und bei deren jedem die im folgenden Kapitel geltend zu machenden, anderweiten Requisiten nicht minder als nahehin erfüllt angesehen werden können. Endlich müssen die Angaben darüber alle zur Bearbeitung nötigen Daüi enthalten.
Aber über manche Ai'ten von K.-G. , die nicht übergangen werden durften, um der Untersuchung die erforderliche Allgemein- heit zu geben, lag überhaupt bisher nichts vor, und w^enn es für andere nicht an Angaben mangelt, ja für manche, wie die Rekruten maße, ein euibarras de richesse voriiegt, ist doch mit denselben in ihrer bisherigen Fassung nicht allen für die Zwecke der Untersuchung an sie zu stellenden Forderungen genügt. Zu eigenen Messungen aber stehen nur wenige Gegenstände zu Gebote, und da es bei jedem sehr viele Exemplai-e zu messen und in Verteilungstafeln zu bringen gilt, finden Zeit und Geduld bei diesem, gleich langmüliigen und langwierigen, Geschäfte leicht ilue Grenze.
Indes ii^t es mir doch gelungen, auf zum Teil mühsamem und umständlichem Wege das folgends verzeichnete Material für unsere Untersuchung zusammen zu bringen, wovon freilich manches den
S8 Übersicht de« UntenuchnngnnaleriBlcE.
geltend zu milchenden Requisiten nui' unvollständig entspricht, djin aber mich Gelegenheit giebt, den Erfolg ihivon erkennen zu lu^sen.
I. Anthropologisches.
A. ßekruteniniiBe schlechthin, d. s. Lüngeumuße gleich- iilterigtT Rekntten von bestimmter Herkunft, haniitsächlich säclisificher, J von denen ich mir Abschrift«n der Urlisten zu vei-Hchaffen wusHteyl um VerteilungHtafeln in einer zur Tlntti-suehnng geeigneten Form] daraus zu gewinnen. Am wiclitigst«n für unsere allgemeine üntep- j sucliung im ei-sten Teile sind 20 Jalu'gänge Leipziger Studenten- I i-ekrutenniaße mit einem Gesanit-w* ^ 2047; demnächst 17 Jahi-gänge sog. Leipziger Stadtmaße, d. i. bezüglich Et'kruten der übiigcn Leipziger Bevölkorung , mit einem Gesamt-/« = 8402; außerdem Rt'kiutenmaBe von 3 Jahrgängen, resp. der Boiiia'schen und Anntf | boj-ger Auitshauptmannsebaft mit ni = 2642 und 3067. Dazu werden'" im zweiten Teile Rekmtenmaßtafeln bez. anderer Länder, sofern solche vorlagen und schon friShei- von Qubtblet behandelt sind, als namentlich belgische, französische, italienische und amenkanische, eine teihi ki-itiscbe Besprechung, teils von der QüETBLKi-'schen abweichende Behandlung erfahren, und Maße von Köqiergewicht uud Brustumfang der BekiTiteu mit berlicksiclitigt werden.
B. Schädelmaße, die mir von Prof. Wblckbh in Halle zui.9 Bisposition gestellt sind, a) des Vertikalumfanges, b) des Horizontal- umfanges von je 450 em-opäischen Männerschädeln.
0. Gewicht der inneren Organe des menschlichen Körpers, nach Bovn's Angaben').
II. Bütauisches.
Von mir selbst gemessene Roggenähren (Seeale cei-eale] voi demselben Standorte und Jahrgange, 2 1 7 aechsgliedrige (abgesehen vtnC'l der Fruchtähre) und 138 fünfgliedi-ige ; jedes der ülit^er besonders 1
1) [Dr. BOYD'g TablcB of thc wcighta of tbe human bodv atid internal o yhiloaophioid TrtuitaDtioDa of thc Royal Society of Loudon; iS6i,j
Öbenricht Ace ÜntersuchungBraateriateg. 29
f gemessen und teils als besonderer K.-G. behandelt, teils nncli Meinet- Beziehung äh don übrigen Glit'deni in Betracht genommon.
III. MeteorologiBches.
a] Tbermiscliü und barometrische Tages- und Monats- fwei'te oder Abweithungen in dem miter § ig und 20 näher xn [ Iwsprechenden Sinne. Damnter gehöi-en die von Qubtblbt in seine» I lAittres sur la prob, verzeichneten, folgends unter § 21 zu besprechen- I den, lojährigen sog. ivariations diumes* mit einem m von 282 bis
o; hierzu eigene Zusammenstellungen thermischer und barometrischer I Tageswerte gach Beobachtungen auf dem Peissenberge durch eine I längere Reihe von Jahren, und von thermischen Monatsabweichungen j nach DovK'schen Abhandlungen.
b) Tägliche Höhen gefallenen Wassers für Genf durch viele I Jahre, aus der Bihhotlieque universelle de G«n&ve (Arcbives des [ Bciences pliysifpiea et naturelles] von uiii- zusanmiengestellt.
IV. Artistisches.
a) Visitenkarten und Adresskarten von Kaufleuten und Fabrikan- I ten, von mir selbst nach Länge und Breite besonders gemessen.
h} Dimensionen, Höhe h und Breite b, von Galleriegemälden I (im Lichten des Rahmens} aus den Katalogen der Sammlungen unter I Beduktion auf dieselbe Maßeinheit für Genrebilder, Landschaften, f Stillleben von mir besonders bestimmt; dabei der Fall unterschieden, i > A und wo h > b.
Dies nur zur voiläufigen Übersicht; spezieller wird auf vor- Isbehendes IVEaterial unter besonderen Kapiteln des zweiten Teiles Einzugehen, wo die hier noch zu vermissenden näheren Angaben I darüber zu finden, sowie darauf zu verweisen, sein, wenn schon im I Yorliegenden ersten Teile auf dies Material Bezug zu nehmen ist.
Man kann l)emerken, dasa unter vorigen Gegenständen solche t vorkommen, mit denen sich zu bescliäftigen kein oder nur ein ge- I ringes sachliches Interesse vorhanden ist. Aber der Gesichtspunkt I eines sachlielicn Interesses daran ist überhaupt hier nicht maßgebend
30 Übersieht den rrntenraBBiingsmateriales.
für iiire Wahl und Beliandlimg gei^*esen; sondern pben nur ihi-e Be-^ nutzbarkeit als Unterlage füi* unsere Untersuchung, in welcher Hin- sicht manche unbedeutend scheinende Gegenstände, als wie die Dimen- sionen der Galleriegemälde und die täglichen Eegenhöhen wichtig geworden sind.
Insoweit aber ein saclüiches Interesse an den Gegenständen vorlag, darf man aus demselben Grunde nicht erwarten, die Behand- lung derselben in diesem Interesse hier erachöpft zu finden, wenn Bclion so manche Resultate, die in dasselbe hineinti-eten , von selbst als Nebenprodukte der Behandlung abfallen werden. Jeder der ge- nannten Gegenstände könnte zu einer monographischen Behandlung Änlass geben; aber ein wie großes Werk würden nur che Rekruten- maße erfordern, sollte eine verglei eilende Darstellung und Diskussion derselben für die verachiedeuen Länder und in denselben Landern für die verschiedenen Jahrgänge oder eine solche für die ydiädel- diniensionen der verschiedenen Rassen oder für die Gliedenuigs- verhältnisse der verschiedenen Gramineen durchgeführt werden! An Durchführungen dieser Art ist hier nicht zu denken. Dagegen macht daSj was hier an Beispielen aus verschiedenen Gebieten erläutert und bewiesen wii-d, allerdings Anspruch, bei jeder ausgedelmteren Behandlung derselben Gebiete Anwendung und Berückaiclitigung zu finden. ■] ■
t) [Aimicrliuiig: Den Aiigabeti dieses Kapitels ist hiuznzTifOgcii , dass eine teUwcige Ncubesciiaffutig des L'ntcrauchungsmateriulcs uötig war, du außer Bruch- teilen der R<?kniteamal3c iiiid der MaCc der Ilog^eiihalme ron keüiem der be- leiehnetcu K.-O. Urügteti oder primäre Verteil iiiigBtafclii sich vorfandeit. Z^rai wurde, soncit es thiinlich war, diM Uutersuchuuggm&tcrial aus den angegebeacD QucUeD ergöQ^tt; insbesondere unirdco Maße fQr Oallcricgpinälde deu Katalogen der atteu Pinnkothek xu München imd der Gemälde gallcrie m Oarmstadt, für die tfiglichen Regenhöhen von Genf den Archires des sciences physiqnes et naturelles der Bihliotheque iiniverBelle entuommen ,«. Kap, XXI, BOivie XXVI und XXVH'. Aber an Stelle der Beobachtungen thermischer und barometrischer Tageawcite auf dem Feissenbei^ dienten cntspreoheude Werte, die für Utrecht im Niederliudi- schen Jahrbuche für Meteorologie piibliiiert sind (a. Kap. XXIII und XXVlIl Deu Kruatz für ^e Sehüdehnaße schließlich is. Kap. Sil und XXII; verdanke ich Herrn Prof. Welcker, der die Güte hatte, mir die Maße vou rund 500 enro- pfiiHcheii Miiuicrschädeln zu übermittcl».]
A
IV. Requisiten; Abnonnitäten.
§ 13. Soll ein K.-G. eine erfolgreiche Untersuchung zulassen, so muss er gewisse Bedingungen ei-füUen, die zum Teil in seinem Begriffe liegen, zum Teil sich allgemeineren Gesichtspunkten unter- ordnen.
Nach der einleitend vorausgescliickten Erklärung soll ein K.-G. ein unter einen bestimmten Begriff fassbarer, in seinen quantitativen Bestimmungen nach Zufall schwankender Gegenstand aus unbestimmt vielen Exemplaren sein. Nun lassen sich unendlich viele Exemplare von ihm nicht haben, doch muss man besprochenennaßen mciglichst viele von ihm zu erhalten suchen, so viele, dass die strenggenommenen nur für eine unendliche Zahl in Anspruch zu nehmenden, idealen Gesetze des Zufalls noch mit einer für den angestrebten Grad der Genauigkeit hinreichenden Annäherung bestätigt werden können. Aber sei diese Bedingung hinreichend erfüllt, so muss ein K.-G. noch aus anderen Gesichtspunkten normal oder fehlerlos sein, wie wir uns kurz ausdrücken mögen, um sich den gesetzlichen Bestimmiuigen zu fügen, die sich als die allgemeinsten für K.-G. aufstellen lassen, welche diesen Fehlem nicht unterliegen.
Hierzu gehört vor allem, dass die Exemplare aus keinem an- deren Gesichtspunkte zu einem K.-G. zusammengenommen, noch solche davon ausgeschlossen werden, als im Begriffe des Gegenstandes begründet liegt, dass also der Gegenstand nicht nur aus vorigem Gesichtspunkte vielzahlig, sondern auch insofern vollzählig sei, als alle von ihm in den Grenzen seines Begi'iffs sich darbietenden Exemplare auch wirklich mit gezählt werden, nicht etwa aus dieser oder jener Neben rücksicht der eine oder andere Teil der Maßskala in Wegfall komme, hiennit der Gegenstand so zu sagen
32 nequimten; AbnonDitUeti.
Terstiimmelt werde, wie es z. B. der Fall sein würde, wenn in Rekrutenniaßtafeln die sog. tintermäßigen ausgeschlosaen werden soll- ton, indes gegenseits der Gegenstand auch möglichst rein und un- gemischt erhalten werden mnss, d, h. Exemplare, (he nach irgend einer Seite aus seinem Begriffe heiaustreten, von ihm ausgeschlossen werden müssen, also z. B. , wo der Kollektiv begriff auf gesunde Individuen geht, Exemplare mit krankhaft veränderten Dimensionen in Wegfall kommen müssen; daher in die von mii' zu behandelnden WKLCKKE'schen Schädelmaße weder f^sförmig aufgetriebene Hydrtv- ce|»hale noch entadiieden raikrocepliale iScliädel mit eingelien. Daran aber knü)>fen sich Bemerkungen von allgemeiner Tragweite.
§ 14. Gewiss ist, dttss die Grenze zwischen gesunden und krank- haft veränderten Schädeln nicht sicher zu l)68timmen ist, und eine entsprechende Unsicherheit über (be Abgi-enzung des Gegenstandes Jcehii in sehr vielen anderen Fällen wieder; wenn aber nur die IJn- siciierheit sich in so engen Zahlengrenzen hält, dass die Git'nzen der Unsicherheit, die man sich wegen unausgeglichener Zufalhgkeiten ge- fallen lassen nmss, dadurch nicht überschritten werden, kann kein erheblicher Nachteil im ganzen daraus erwachsen, und wird man sich durch den Erfolg seihst befriedigt finden können, wenn der, nach bestem Ermessen abgegrenzt« Gegenstand sieh den nornmlen Verteilungsgesetzen fügt, oder winl man sti viele Exemplare abschneiden können, dass es der Fall ist.
Jedoch erhebt sich hierbei folgende sehr wichtige Frage: Es ist freihcli logisch selbstverBtändhch, dass, wenn gesunde Individuen oder Teile von solchen, wie Schädel, hinsiclitlich der Verteil ungs Verhält- nisse ihrer Exemplare untei-sucht werden sollen, nicht solche, welche als krank erkannt oder dafür angenommen sind, mit eingemischt wenlen dürfen, und nicht minder selbstvcrständhch , dass die Fest- stellung der Verhältnisse für gesunde Exemplare ein größeres Inter- esse hat, als für eine Mischung von gesunden und kranken; nur scheint es wider die Allgemeinheit der Aufgabe der Kollektivmafllehie zu laufen, zur Feststellung der allgemeinsten Verteilungsgesetze den K.-G. aus bloß gesunden Exemplai-en dem Gegenstände aus einer Mischung von gesunden mit kranken vorzuziehen.
Reqninten; Abnoroifttten.
33
In der That, wenn die kiMnkhaft veränderten Scliüdal aus dem I Begriffe der gesunden herausti-eten, so fallen sie doch noch unter t den Begriff der Scliäilel überliaupt, und was bei-echtigt uns, bei Auf- I suchung der allgemeiasteu Gewetze für K.-G. die kranken Schädel [auszuscheiden, da wir vielmehr hierzu nur den weiteren Begriff, der I Rlle Schädel einschließt, statt des engeren der gesunden anzuwenden I hätten; und es giebt unzählige andere Fälle, wo eine gleiche Mög- I lichkeit der engeren und weitei-en Fassung besteht; ja streng ge- [ nonunen besteht eine solche überall, da zuletzt alle K.-G. sich unter I dem Begriffe eines existierenden Wesens vereinigen lassen, der nur ' nach verschiedensten Richtungen verengert werden kann. Doch würden mit dem Versuche, unsere für allgemein ausgegebenen Gesetze an sehr weiten Fassungen der K,-G. zu bewähren, schlecht fahren, indem sie sich nicht oder nur unvoUkoniniL-n daran bewähren würden, I indes sie doch bei hinreichend engen Fassungen für die allervcr- t scfaiedenaten K.-G. dieselben bleiben und insofern ihre Allgcniein- I glÜtigkeit bewähren. Nun fragt sich, welcher Gesichtspunkt niaß- I gebend für die einzuhaltende Beschränkung der Weite ist.
Diese scheinbar schwierige Frage ist nüt Rücksicht auf folgende I thatsächlichen Verhältnisse zu beantworten.
Wenn wir Gegenstände, die hei hinreichend enger Fassung für I sich den für die verschiedensten Gegenstände gemeinsamen Verteilungs- l gesetzen entsprechen, vennischen, so muss folgende Bedingung er- füllt sein, wenn auch die Mischung denselben Gesetzen noch ent- sprecheji soll: Die Konstanten oder wesentlichen Elemente, diircli welche die Verteilungs Verhältnisse bestimmt werden, also mindestens arithmetischer Mittelwert und mittlere Abweichung davon, womit die anderen Elemente mehr oder weniger zusammenhängen, dürfen für die komponierenden Gegenstände niclit weiter von einander abweichen, als durch unausgeglichene Zuß.lligkeiten erklärhch ist, wonach wir einstimmige und disparate Gegenstände als solche unterscheiden können, welche diese Bedingung erfüllen, und welche sie nicht er- fttllen, andererseits einheitliche und zwiespältige als solche, weiche aas einstimmigen , und welche aus disparaten Gegen- ständen zusammengesetd; sind. Jede Erweiterung d&s Begriffs
84
Itet]m(!teB; Almonnitilteii.
no Znsnmmonsotziing do^solben mit oinei mögücherweise diNparaten Gegen stündei
eines K.-G. aber führt e oder mehi-eren aiiflereii, mit sicL.
Aus diesem Gesichtspunkte nun ist hei fielen Gegenständen 1 mittelbar einleuchtend, dass sie nicht vermischt werden düi-fen. der That wird es niemand einfallen, Männer und Frauen oder Kindat und Erwachsene in denselben K.-G. zu vereinigen, wenn die Vei teilung ihrer Exemplai-e hinsichthch der Körperlänge in Betracld gezogen werden soll, ungeachtet sie gemeinsam unter den weitere^ I Begriff menschlicher Wesen fallen; aber man weiß vorweg, daw'J •wesentlich verschiedene Mittelwerte daftlr bestehen , wodurch sie im J disparaten Gegenständen werden. Und so muss auch eine Zusam mensetzung gesunder Schädel mit krankhaft veränderten Schädebd zu einem K,-G. unstatthaft gefunden werden, insofern beide dis])arat gegen einander verhalten.
§ 15. Alls diesem Gesichtspunkte scheinen mir aehr instruktiw die Ergebnisse aus Untei-suchungen über die Rekrutenmafle , die,)! nach<leni ihi-er oben [Kap. TII unter lA) flüchtig ei-wähnt ist, zweiten Teile dieses Werkes (Kap. XXTV] eingehender injtgeteilt 1 werden sollen.
Eekrutenmaße können überhaupt für die verschiedensten Länder, | Zeiten, Altersstufen unter dem weitesten Begriffe solcher Maße zu-4 sammengefasst, aber auch sehr spezialisiert werden; und von 1 herein wird man z. B. 18 jährige Rekruten eines Landes nicht nufil 20 jährigen eines anderen Landes gemischt behandeln wollen, da beidsll sich durch verschiedene Mittelmaße unterscheiden; aber auch gleic alterige Rekruten desselben Landes lassen Spezialisierungen in ver*^ schiedenem Sinne zu. So habe ich die Rekrutenmaße von (sojährigen)"" Leipziger Studenten einerseits und die der übrigen Leipziger Bevölke- rung, sog, Leipziger StadtmaBe, andererseits besonders behandelt. Pur die ersten hat sich eine sehr befriedigende, für die anderen eine nach gewisser Beziehung unvollkommene Bestätigung der aufzustel-^ lenden allgemeinen Verteilungsgesetze, welche ich fundamentall nenne, ergeben; indem sich hei Vergleich zwischen Rechnung und;! Beobachtung gezeigt hat, dass hei letzteren die kleinen Maße j
Requisiten; A^oninUlten.
35
l
vetliältnisinäBig häiißger vorkümmen , als es naeli Berecliiiung auf Gnmi] der fundamentalei) Gesetze der Fall sein sollte, ohne dass unausgeglichene Zufälligkeiten hinreichten, es zu erklären. Dasselbe ei^b sich für dii' Rekniteninaße der gemischten Bevölkerung ver- schiedener größerer Distrikte Sachsens. Was ist der Unterschied de« ersten von den anderen Füllen? Die Rekrutenniaße der Studenten beziehen sich auf den beschränkten Umfang aus verhältnismäßig wohlhabenden, einem normalen Wachstume der Individuen die Mittel nicht versagenden Ständen; die an<leren auf Individuen aus einer Miscbung solcher Stände mit Ständen, in welchen es von der Zeugung and Geburt an mehi' oder weniger an »eichen Mitteln mangelt, und abnorm verhüttete Individuen nicht selten vorkommen, deren Maße in die Rekrutenmaßhste mit aufgenommen sind, wenn schon die Individuen selbst in den Dienst nicht mit eingestellt werden. In dieser Hinsicht dürften folgende Data interessieren.
In den mir zu Gebote stehenden 20 Jahrgängen von Leipziger StudentenrekrutenmaBen mit einem Gesamt-n« = 2047 fällt nur ein einziges Individuum (mit 60 Zoll) unter das Maß 64 Zoll'); in 1 7 Jahrgängen von Maßen der -übrigen Leipinger Bevölkerung (kurz Leiiwiger Stadtmaße; mit einem Gcsamt-m = 8402 fallen 197 In- dividuen unter L4 Zoll (das kleinste mit 48 Zottj; und reduzieren wir IQ7 nach Verhältnis des Gesamt-/», so fallen gegen i Indi- viduum der Leipziger StudentenmaBe noch 48 der Leipziger Stadt- maße unter 64 Zoll. Die Leipziger gemischte Bevölkerung enthalt aber, wie die jeder großen Stadt, einen großen Prozentsatz elendes Proletariat. Doch weiter: 3 Jaltrgänge Reki-utenumße der Boma- schen Amtshauptmannschaft außer Leipzig (vorzugsweise kleine Städte und ackerbauende Dörfer einschließend) mit m =^ 2642 gaben absolut 50 oder, wie vorhin reduziert, 39 Maße unter 64 Zoll [mit dem Mini- malmaße 5 1 Zoll), und 3 Jahrgänge Ilekrutcn der Annahorger Aiuts- hauptmannschaft (viel Gebirgs- und arme Fabrikhevölkening ein- schHeßend) mit m = 30Ö7 absolut 62, reduziert 41 Maße unter 64 Zoll (mit dem Minimalmaße 49 Zoll). Also nach Proportion
j [t Bächaiaeher Zoll =^ zj,6 mm.]
36 Reqnititen; AbnonäitBten.
des w; haben wir überhaupt beziehentlich für die teilungeD :
I 48 39 4
Maße unter 64 '}, und gehen wir zu den arithmetischen Mitteln (nach 1 den primären Tafehij über, so finden sich folgende Werte in sächsi- schen Zollen:
Stud, Lpzg. St. M. Borna Annjiberg
71,76 6g,6i 69i34 69,00.
Also ist das arithmetische Mittel der Leipziger Studenten um mehr ] als 2 Zoll größer als das der gemischten sächsischen Bevölkerung, und dasselbe gilt ftir Zentralwert und dichtesten Wert. Ajidererseit» J ist die mittlere Abweichung bezüghch des arithmetischen Mittels nach 1 einer für alle Abteilungen gleichföniiigen Bestiinmungaweise in säch- sischen Zollen für:
Stud. Lpzg. St. M. Borna Ännaberg
2, Ol a,26 J,I4 2i33-
Und natürlich würde der Unterschied nach beiden Beziehungen noch mehi' betragen, wenn die gemischte Bevölkerung der drei letzten Ab* teilungen in solche mit normalem und solche mit abnormem Wachs- tiune zerlegt und beide einander gegenüber gestellt werden könnteiL Dabei ist nicht zu behaupten, dass, wenn wir die Rekniten des Proletariats wirkhch ebenso für sich vor uns hätten als die der wohlhabenden Klassen in den Studenten, sich unsere fundamentalen Verteilungsgesetze ebenso gut bei jenen als bei diesen bestätigen würden, weil das Proletariat selbst noch ein weiter Begriff ist, welcher der Spezialisierung nach verschiedenen Riehtungen fähig ist, und nicht a priori zu versichern ist, dass seine Speziahtäten im obigea
I) Weniger aufffillig als beiüglich der kleinsten Maße ist der Unterschied
iwischeti den Studeutcumaßeu tiud Maßen der anderen drei Abteilungen beiüglicb der ^oGteui und Btinunt auch die Vcrtcitungsrechuuug bei IctüCercn mich oben besser als nach unten; docb fcblt ein Untcrecbied be^ügücb der )^oßten Maße nicht gani. Die Btudeuteumaße scbloaseD nach oben mit den drei Maßen 80.75; Si.s; die Leipiiger Stjidtniiißc mit 79,5 ^nml und 79,75; die Borua'schen mit 77,15; 77,75; 78,15; die Aunabcrg'Bcbeu mit 76,75; 77,25; 78,5,
I 1
BeipiiiiteB; AbmniüUteii.
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KSinut' einstimmig sind. Ja von vomlieifin wüidf ihisselhe etn-iisu I Trenig von den durch die Studenten vertretenen wohlliabenden Kliussi-n behaupten sein; aber da die Erfahrunft selbst lehrt, dass die
■ Spezialitiiening in den HtudenteniimBen weit genug getrieben ist, um I Eine Bestätifjung der bt'tn?f!enden Gesetze zu gestatten , so weit es r Bberhanpt wcjTtTi unausgeglichener Zufälligkeiten müglich ist, so dürfen
■wir ans auch Jabei beruhigen, wogegen wir hier wie dcirt die Speziu- lisiening noch weiter zu treiben hätten, wenn sie nicht genügte.
Auch kann recht wohl zugestanden werden, dass, wenn wir nur Idas m der Studentenrekrut^ninaße recht vergrößerten und dann nach I Terscliiedenen Gesichtsiiunkten, z. B. je nach der Herkunft aus Dörfern I oder Städten oder aus verschiedenen Jahrgängen oder verschiedenen I Ständen in Abteilungen sonderten, die nocli ein him-eichendes n/
■ hätten, um feine Unterschiede der wesenthc.hen Elemente mit Siel ler- I heit entdecken zu können, ea au solchen nicht fehlen würde, welche I einer voUkonimenen Einstimmigkeit zuwiderlaufen ; und es hindert I nichts, eine Aufgabe der Untersuchung daraus zu machen.
Aber wenn diese Unterschiede nur klein sind, und die mancherlei I Abteilungen, die man nach den verschiedensten Gesichtspunkten Imachen kann, hiermit die Unterschiede zwischen den Elementen 'selbst, mit dem Charakter der Zufälligkeit variieren, so lässt sich nicht nur vernünftigerweise voraussetzen, sonilem lehrt die That^ache seihst, dass die betreffenden Unterschiede der Elemente in den un- vermeidlichen unau.'^gegli ebenen Zufalhgkeiten uuunterscheidbar mit aufgehen und der Bewähmng der fundamentalen Gesetze kein wesent- liches Hindernis entgegensetzen.
§ i6. Um so weniger aber darf man in den Abweichungen, welche die Vert^ilungsverhUltnisse zu weit gefasstor und dadurch zwie- spältiger K,-G. von den fundamentalen Gesetzen zeigenj einen Wider- spruch gegen diese Gesetze sehen, als es prinzipiell hinreicht, die Mischungsverhältnisse und wesentlichen Elemente der komponierenden Gegenstande eines zwiespältigen Gegenstandes zu kennen , um nach den fundamentalen Gesetzen selbst die VerteÜungsverhältuisse des zusammengesetzten Gegenstandes zu berechnen, so dass sie also auch in dieser Hinsiclit Uiro allgemeine Gültigkeit behaupten.
Reqwiten; AboonniUlten.
Ailgi'iiit'iii fulgt aus Voi'stciiemli'm, diiss wir uns hui Ffststeliung' und Prüfung der fundamentalsten Verteilungsgesetze nicht nui' hiit«n müssen, die nach verscliiedensten Riclitungen auseinander weichendeii V erteil ungsresul täte zu weit gefEisster, untriftig gemischter Gegen- stände gegen die Allgemeingültigkeit der für liinreiLliend eng gefaaste, einhdtUclie Gegenstände in Ansprach genommenen Gesetze geltend zu machen, sondern auch hei der Wahl zwischen den Resultaten einer weiteren und engeren Fassung, unter sonst gleichen Umständen, die der engeren für die Konstatierung der fundajiientalen Gesetze vorzuziehen haben. Den vorigen Betrachtungen ordnen sich wesent- lich die folgenden unter.
Die Herkunft der Exemjilai-e eines K.-G. aus verschiedenen Räumen oder Zeiten oder beiden zugteicli fuhrt leicht nicht nur qualitiiUve, sondern auch quantitative Verschiedenheiten derselben mit eich, was eine besondere Beachtung insofern verdient, als man, um ein hinreicliend großes m für eine erfolgreiche Untersuchung zu er- langen, sich meist veranlasst oder genötigt findet, den K.-G. aus Exemplaren zusammenzusetzen , welche verschiedenen Räumen oder Zeiten angehören , ja ganz demselben Räume und derselben Zeit können sie überhaupt nicht angehören. In dieser Beziehung findet nun ein Konflikt statt. Die Exemplare aus sehr von einander ent- legenen oder sehi' weiten Räumen und Zeiten zusammenzunelmieo^, setzt in (üefahr, disparate Gegenstände zu vereinigen und hieimit fundamentalen Verteilungsverhältnisse zu verfehlen; die Exempli aus zu engen Raum- und Zeitgrenzen zusammenzunehmen, giebt dsKJ unausgeglichenen Zufälligkeiten zu gi'oßen Spielraum, um wesentliche' Bestimmungen überhaupt mit irgend welcher Sicherheit abzuleiten. Die einzuhaltenden Grenzen in dieser Hinsieht aber lassen sich nicht a priori ziehen, und schheBlich rauss der Erfolg selbst entscheiden, ob man mit der angenommenen zeitheben oder räumlichen Weite des Gegenstandes zu einer befiiedigenden Erfüllung der fundamen- talen Verteilimgsgesetze gelangt; wo nicht, die Verengerung weiter treiben, und wenn man damit in zu kleine Werte von m hinein kommt, um Resultate von genügender Sicherheit zu erlangen, die Untersuchung bis zur Erlangung einer größeren Anzalil von
;nt-
ReqnintcB; AbnonntUten.
EsL-iuptart-ii imfgL'bLii. Im tUlgcmt'iiK'U dm-fti' diva judi-iifiilln duh PraktiacliHte sein.
§ 17. Eine besondere Aufmerksamkeit verdienen bei der Frage,
oll eiD (Gegenstand aus disparat^n Komponenten zusammengesetzt ist,
folgende zimi Teil üchon beiülirtt' Verhältnisse der Verteilungstufelii.
In imseii^n Fundamentalgcsetzen liegt begründet, dass die i kon-
tinuierlifli mit den « bis zu eintir gewissen Größe des a aufsteigen,
bei weiter waclisendem a aber ebenso kontinuierlich absteigen, so
diiss es ein Maximum der z in einem mittleren Teile der Verteilungs-
tsifel (beim sog. dichtesten Werte) und zwei Minima respektive beim
Anfange und Ende der Tafel (bei den exti-emen a) gieht. Wenn
man die a eis Abscissen, diu i als die Ordinalen nimmt, kann man
dadurch in bekannter Weise die gcsetuHchc! Verteilung graphisch
darstellen und erhült damit eine Kuive, welche bei klein genommenen
' glatt bis zu einem Gipfel ansteigt und von da wieder absteigt.
Aber bei den von mir sogenannten primären, d. h. unmittelbar aus
den Urlisten der Maße abgeleiteten Tafeln wird man insgemein vom
Anfange herein durch die ganze Tafel ein unregelmäßiges Auf- und
I Absteigen der x bei kontinuierlichem Wachsen der «, hienuit eine
L höckerige Beschaffenheit der Verteilungskui-ve finden; wozu die pri-
I mären Verteilungstafeln des VTI. Kapitels hinreichende Beispiele
I gewähren. Die allgemeinste, ja nie fehlende Ursache solcher Un-
I regehuüßigkeiten nun liegt jedenfaUs in unausgeglichenen Zufiillig-
I keiten, und die liiervon abliiingigcn Höcker der Kurve schwinden
f durch eine hinreichend weit getriebene Reduktion der Tafel, d. h.
k nach frliher [% 6j angegebener Erklärung, JCusanunennahme der 1
I für gleich gehaltene Inten*alle der o durch die ganze Tafel wie in
I Kapitel \TI1 auszuführen und dui-ch Beispiele reduzierter Tafeln xn
belegen. Aber zum Teil kann die UrRachc auch darin liegen, dass.
K.-G. von dispar'ater Beschaffenheit ihrer Hauptwertc sicli gemiscbt
I haben.
In der Tlrnt liisst sich schon aus allgemeinem Gesichtspunkte lifibersehon, das», wenn wii- z. B. die Maße von gleich viel Männern uUld Frauen, die im arithmetischen Mittelwert wie dichtesten Wert ftaebr vou einander abweichen, veraiischen wollten, diidurcb weseutlich.
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<1. i. ahgoselien vou unausgpgliclitnen Zufälligkeiten , Entstehung zweier Maximal-;; mitbin zweier dicliteaten Weiie ent- stehen würde, ja es könnten durch Vemiischung von noeh mehr dis- paraten Gegenständen Verteilungstafeln mit wesentlich noch mehr Maximal-.-, entstehen. Jedenfalls nun eignen sich zur Prüfung der Fundamentalgesetze der Verti'ilung nur Vertcilungstafeb mit einem Maximal-i im Haupthestande der Tafel, wogegen kleine Unregel- mäßigkeiten nach den Enden der Tafel zu ohne erhebhche Stöiimg sind. Jjiegen dsüier Verteilungstafeln vor, welche dieser Bedingung nicht entsprechen, so sind sie zur Prüfung der Gesetze nur nach solcher Keduktion brauchbar, dass sie durch hinreichende Ausgleichung der Zufälhgkeiten dersell>en entsprechen, wonach sich che betreffenden Gesetze an der reduzierten Tafel noch sehr wohl bestätigen küuni wenn die Melirlieit der Maximal-.?: im Haupthestande der Tafel i lieh nur von unausgeglichenen Zufälhgkeiten ahhing.
Jedoch ist nicht auHer Acht zu lassen, dass, da durch die duktion einer Verteilungstafel deren Intenalle vergrößert werden, mit den unausgegb dienen Zufälligkeiten zugleich die, von disparater Beschaffenheit der Komponenten der Tafel abhängige, Mehrheit der Masimal-£ schwinden kann, wenn diese nämltch auf einander nahe a fallen, welche gemeinsam in das durch die Beduktion vergrößerte Intei-vall treten, hiermit ununterscheidbar werden, ja man braucht nur mit der Reduktion und hiermit Vergrößerung der Intervalle be- liebig weit zu gehen, um dies sicher zn erreichen. Also wird zwar die Kegel, die hinsichtlicli der Verteilung zu prüfende Tafel durch Beduktion auf bloß ein Ma.\inml-A und einen von da nach beiden Seiten absteigenden Gang der x zu reduzieren, beizubehalten sein, doch eine etwaige Abweicliimg von den Fundaraentalgesetzen dann immer noch möghcherweise von einer disjiaraten BeschaSenheit der Komponenten der Tafel, die sich durch die Reduktion verwischt hat, abhängen können; niitliin auch in dieser Beziehung nur die Unter- suchung der Verteilung selbst entscheidend sein können.
§ i8. Jedoch wir sind mit unseren Requisiten noch nicht zu Ende, Gegenstande, welche von Menschen n Zwecke oder Ideen gestaltet sind, kiu'z nennen
ung ideo^^H
: auf gewisse — y
Reqnintm; AbnontdUUra.
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'■niiUTlii-i^i-n Irutz der Absicht, die Iji'i üirer Eutstfliung obgewaltet .bat, doch hinsichtlich der Größenbestimuiungen , welche dem Zufall Doch freien Kaum lassen, den KoUektivinaBgesetzen; wenn aber Nelien- , rückachtcn oder Nebenzwecke tlie Freilieit des Zufalls durcli Be- LTorztigiing oder AuHHchlieBung einzelner Dimensionen wesentlich be- f cchränken, so kann den Gesetzen auch wesenthch Abbruch geschehen, f was sich durch folgende Beispiele erläuti'rt.
Visitenkai-ten , sowie die sog. Adresskarten von Kaufleuten und
I Fabrikanten sieht man auf das Mannigfaltigste nach Längp wie Breite
! ■ rarüert, und ich glaubte anfangs, ein voraügliches Objekt zur Prüfung
[flUiserer Gesetze darin zu haben, du sie sich in großer Anzahl, sei
I aus dem täglichen Verkehr, sei es aiis den Musterblicheni ihrer
''erfertiger, worin sich Probeexemplare eingeklebt finden (deren ich
riele Ton verschiedenen Verfertigera zu Messungen benutat habe), er-
[ lialtea lassen und dabei den Vorteil gewähren, dass man die Ge-
L'Hanigkeit der Messung und Schätzung mehr als bei vielen anderen
I.Gegenständen in der Hand hat. Alier obwohl sie sich, sei es nach
sei es nach Breite geraessen, unseren Gesetzen keineswegs
|,'!gaiiz entziehen, bieten sie doch nur eine sehr unvollkommene Be-
[ vähning derselben dar. wovon mnn den Grunil in folgenden Um-
[g »fänden suchen kann.
Bei aller Variation Ütrvr Dimensionen wird dodi die Fi'eilieit des Zufalls dadurch eingescliränkt , dass die Verfertiger insgemein solche Dimensiooeu vorziehen, welche gestatten, die Kartonhogen, aus denen bflie Karten geschnitten werden, möglichst auszunutzen, d. h. so voll- indig als möglich zu verbrauchen, dabei auch wohl gewisse, be- rsonders beliebte Verhältnisse zwischen Breite und Länge, insbesondere : 3 oder 3 : 5 (Annähenmgen an den gohlenen Schnitt) einzuhalten; Lmid in der That habt' ich mich bei den Messungen solcher Karten, l^e ich in din Miisteihlichem einer Mehrheit von Fabrikanten vor- kommen, überzeugt, dass bei jedem derselben gewisse Dimensionen Infter vorkommen, als dass man es als zufällig ansehen könnte. Die |. Dimensionen der Galleriegenmlde im Lichten des Bahmens aber laterliegen nicht demselben Nachteil und werden, nachdem ich eine große Menge MixQv dei-selhen aus den Katalogen der verschiedensten
4S
Aequiüten; Abnonnitlteo.
tJ;UliTii.'ii KU hiuiiiiu'iiKi'liraclit (viTgl. Kap. XXVI), du vor/ügliclios Miib'j'i)il Kur Bcniiliruiig Aer lugaiitlunischen MaQgesetze liefern.
ifi 19. }tfi ili-n Naturgegenatünden anderorseits gehciil zu den iliircli den Begriff seiltat bedingten Eequisiten, daas die Exemplare nicht in einer naturgeaetzlichen AhliUngigkeit voii einander stellen, welche au» den Zufallsgesetzen lierimstritt, Dieaer Puntt kommt tianK'iidieli bei meteorolügisclit'n K.-G. in Rücksicht. Thermonieter- und BarouiüterNtündo, sowie andere meteorologische Wci-te zeigen au jedem ürte ein awai- Im einzelnen duich Zufälligkeiten gestörtes, aber in Mittelwerten sieh entschieden herausstellendes, gesetzliches Auf- und A bsteigen schon beim Verfolge duix'b die Stunden eines Ta^eH, nicht niinder duirh die Tage oder Monate eines Jahres. Diese sog. periodischi-n meteorologischen Werte fallen nicht unter den Begiiff eines K,-0., sondern nur die nicht periodischen, insofern sie als zufilUig wechselnd angesehen wenlen können. In dieser Be- ziehung können wir in KUrze nieteorologisehe Tageswerte, Monats- werte und -lahreswerte, insofern sie Yon ihren neljährigen Mitteln hhweiolien. und diese Abweichungen selbst als Tagesabweichun- gc», Monatsabweichuugen tuid Jahresabweichungen unter- Bclieiden, worauf hier etwas liestimmter einzugehen sein wird, da vielfach Anlass sein wird, auf solche zurückzukommen. Knüpfen wir die KrUtuti-ruiig an die tJienuischen Werte und Abweichungen, wovon sich die l. hertrugung auf andere Arten meteorologischer Werte und Aliweichungen von sellist ei^eht.
Thermische Tageswerte kann jeder nach seinem Jahresdatum IwMtimmte Tag iusltesondere gelten, sagen «ir z. B. der 1. Januar. NehuaeQ wir als Teui{>oratur dieses Tages aii eioem gegebenen Orte ia vinern gegehemii Jahn?, kur« als ihermischen Tageswert des I. Januar sei es di-» «us sein«« 24 ätund«n bestimmten Mitt^wert oder ^ Teiu)MTatur eiuer, dam konseqaeat beizubt-lutlteodvn . U^ alimmkm Tag««stui»le oder «idi «Us SGttrI aus der Maximal- and MiniwatlwHw.'rUur dvs Tagrs. Dieser Tageswcrt des 1. Jaawu- sei danA «■■« Rctbe ruo .rahren hinter «oancler beolMditet. Die laA d«u Jithnn niBiUig wedeelndni T^igcswerte rvp^bentictea fie ITii« fiare m omb Kttlkhem K.-G. Man tiehe dvus ikn iillfciniliiliiH
Reqiüüteti; Abnonnititm.
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r Millflwei'l, iiidfui niiin die äutiiiiie der TageswertL- mit der ZiiliI dci- I selben dividiert, welche mit der Zahl der Jalu*. duich welche maii I beobachtet hat, zusauuiienfallt. Diesen Mittel liuiße das allgemeine I thermische Tagesiuittel des i. .lanuar, luid die Äbweicliungen \ der in deD verschiedenen Jahren erhaltenen Tageswerte (t vim flem [gemeinen Tagesniittel Ä bilden dann die einzelnen Tagesabweiehun- '.gen, wclclie nadi der angegelienen Bezeielmungsweise mit J xa bi-- l zeichnen Bind. Entsprechende Bestimmungen künneu für den 2. Ja- I niiar und jeden an<lei'en Jahiestag an jedem Beobafhtungwortc ins- besondere erhalten wertkn.
Arnttatt für jeden Tag des Jahres aller kiiimen solcJie Bestim- 'laungen auch für jede bestimmte Woche des Jahres, fiii' jeden Munal ' dea Jalires und für das ganze Jahr selbst aus mehrjähiigen Be- obachtungen erhalten werden, die dann als Wochenwerte, Wocheii- I Abweichungen, Monatswerte, Monataabweichungen, Jalireswertp, Jalu-ßs- [ ahweichungen ku bezeiciinen sind. Hiervon verdienen die theniiisi;lien LMonat«verte und Monatsabweichungen besondere Beachtung , weil besonders zaiilreiche Bestimmungen an vielen Orten dafUi- vorhegen. I Die themiischen Monatswerte als a erhält man also z. B. flii' den r JuQuar (und entsprechend filr jeden anderen Monati in den durch ' eine Reihe von Jahren besdnmiten Mitteltemperaturen des Januar, f welche aus den 31 Tagen desselben zu. gewinnen sind, die thennischen I Monatsahweichungen des Januar als J in den Abweichungen dieser I a von dem allgemeinen Mittel der a. Anstatt arithmetischer Mittel und Abweichungen davon, lassen sich aber auch andere Hauptwerte und Abweichungen davon aus solchen Werten ableiten,
Mete oi-o logische K.-G. dieser Art sind für die Untersucliung ihrer allgemeinen Gesetze überhaupt aus mehreren Gesichtspunkten 1 gcbÄtzbar; eimoal wegen des reichlichen Materiales, was dafür in den l Quellen der Meteorologie vorliegt oder daraus zusammengestellt wer- l den kann, zweitens wegen der Genauigkeit der Bestimmungen, die \ mit den meteoi'ologisehen Beohachtuugsmitteln und Methoden er- reichbar ist. drittens weil diese Gegenstände bisher das einzige Material L liefern, wonach zu beitrteilen, ob zeitbche K.-G, denselben Gesetzen I unterliegen als räumliche. Nur leiden sie au dem seiu' wichtigen
«
Bequidten; Abnonmtiten.
Niiclitfil, il«ss, da iliis vi derselben mit der Zahl der Jalire, durch ivelebe die Beoliachtungeii reichen, zusammenfallt, nicht leicht ein großes m dei-sellieu, ja nirgends bisher ein solches vorhegt, wie es für die Sicherheit der daraus zu ziehenden Resultate erwünscht wäre.')
§ so. Nun kann man allerdings ein viel größeres m aus einer gegebeneu Anzahl von Jahren, als die Zahl der Jahre betriigt, auf folgendem We^o erhalten, der bei wichtigen Bedenklichkeiten doch nicht schlechtbin zu verwerfen ist.
Um von den bestimmten Vorstellungen eines QuETBLET'schen Beispiels (s. Quetelkt's Lettres, letzte Vertikalspalt-e der Tabelle p. 78) auszugehen, nehmeu wir an, die Temperatur aller Januartage als Mittel zwischen Minimum- und Masimura-Temperatur jedes Tages an einem bestimmten Orte [Brüssel) sei durch 10 Jahre beobachtet worden, so werden »ir nach angegebener Bestimmungsweise, welche als korrekt anzusehen ist, für jeden der 31 Januartage als K.-G., den ersten, zweiten, ib-itten u. s. w. ein )h = 10 erhalten, was «el zu wenig ist, um die Verteilungsgesetze daran zu studiei-en; hiergegen werden wir ein »' = 310 für den ganzen Januarmonat als K.-G. erhalten, wenn wir nach Quittblbt's Vorgange bei dem betreffenden Beispiele so verfahren, dass wir die 3 1 Tagestemperaturen des Januar als Exemplare der Januar-Tagestemperatur für die 10 Jahre zusam- mennehmen, giebt 310 Exemplare, hieraus das arithmetische Mittel durch DiWsion mit 310 ziehen, liienon die 310 Abweichungen /J nehmen und, weim wir wollen, auch die anderen Hauptwerte mit den Abweichungen davon daraus liestimmen.
Nun leuejjtet freilich von vornherein ein, dass, da abgesehen von den zufalligen Änderungen die Temperatur des Januar vom i. bis Tum 31. Tage gesetzlich wächst, wir hiermit eine Komplikation des zufälligen Ganges mit einem naturgesetzlichen Gange der Tageswerte erhalten, indes streng genommen der natui-gesetzbche Gang bei Untersuchung der wcsenthchen Verteilungsgesetze ausgeschlossen sein
11 Unter den 70 OrWn, fUr nelehe Dove in einer seiner Abhandlungen die thenniiehen MomiUnbn-cic)iiiii(cen vcneiehiiet. iat ca bloQ Berlin, tro loo all »1 ObersrhriUeii wird, indem der Verfolg dirrch 13S Jahre geschehen ist, nud bloß Prag und London teigen ein m Ober 90, respektive 94 und 91.
G
1
r Ttequuiten; AbnormlUten. 45
[ Bgll. Indes lässt sich woLI zugeben, (iasw die Änderungen der I Tagestemjieratur, welche durch den gesetzlichen Fortschritt derselben 1 während eines Kfonates bedingt sind, gegenüber der durchschnittlichen GtöBc der zufälligen Änderungen der einzelnen Tagestemperaturen ZTi wenig in Betracht kommen, um die Zufallsgesetze erheblich zu stören; jedenfalls dieselben nicht aufbeben, sondern eben nur stören I können. Aber ein wichtigeres Bedenken erhebt sich daraus, dass I ganz abgesehen von dem gesetzUchen Fortschritte durch einen Monat die meteorologischen Zustände der unmittelbar auf einander folgenden Tage überall eine gewisse Abhängigkeit von einander verraten, welclie in den Gesetzen des Zufalls nicht vorgesehen ist. Im allgemeinen folgen sich mehrere warme, d. i. über der Wertniitte der Temperatur des Januar stehende, und mehrere kalte, d. i. unter dieselbe fallende Tage hinter einander, und vollzieht sich der Übergang von den einen zu den anderen nicht sprungweise, sondern durch successives Auf- steigen bis zu einer gewissen Höhe über die Wertmitte und, da das Steigen doch nicht ins Unbestimmte gehen kann, Wiedersinken bis zu einer geringeren Höhe oder bis unter die Wertmitte, nur dass keine regelmäßige Periodizität in diesem Wechsel zwischen Auf- steigen und Absteigen sichtbar ist. Ahnlich mit allen sog. unregel- mäßigen periodischen Veränderungen,
Hierzu scheint mir nützlich, die Bemerkung zu machen, dass es ein sehr einfaches Mittel giebt, sich eben so von den Poi-derungen
»des reinen Zufalls füi- derlei Fälle als der Nichtbefriedigung durch diese Fälle zu überzeugen. Ich habe mir aus einer Reihe von Jahren die Ziehungslisten sächsischer Lotterien verschafft, in welchen die Gewinnnummem nach der Reihenfolge, wie sie herausgekommen, ver- , zeichnet sind. Wenn ii-gendwo, spielt hier der Zufall seine reine
I Rolle. Bezeichnen wir nun die geradzahligen Nummern mit einem +, die ungeradzahligen mit einem — -, und verfolgen die Reihe der Zeichen durch eine große Anzahl von nacheinander folgenden Ge- winnuummem, so finden wir, abgesehen von einem kleinen Unter- schiede wegen unausgegücliener Zufälligkeiten, eben so viel Folgen gleicher Zeichen als Wechsel der ungleichen. Thun wir aber ebenso mit den + Fällen über und — Fällen unter der aus der Gesamt-
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Hequiiitcn; A^nonrnUteä.
lidt der Fülle bestiiumten Wertmitt-P hei inel tabellen, so übei-wiegt entschieden die ÄjizaJJ der Polgen Über die der Wechsel, Beweis einer aus den Zufailsgpsetxen heraustretenden Äbliängigkeit der aufeinnnder folgenden raetetirnlotj^isülien TaResw^erte. Weiter aliur, wenn wii- statt voriger Bezeichnung der aufeinander folgenden Lotterienununern jedes Übei-steigen einer Nummer durch die folgende mit +, jedes Herabsinken der folgenden unter die vorige mit — bezeielinen , so finden wir beim Verfolg durch eine große Zahl Nummern (abgesehen von unausgeglichenen Zufälligkeiten) die Zahl dt>r Wechsel doppelt so groß als die der Folgen; thun wir aber eben so mit einer entsprechenden Bezeichnung der auf- einander folgenden meteonilogischen Tageswei'te, so bleibt die Zahl der Wechsel weit hinter der doppelten Zahl der Folgen zurück, zweiter Beweis, daas das Steigen und Fallen der meteorologischen Werte von Tag zu Tag nicht den reinen Zufallsgesetzen gehorcht. Man vervollständigt und verachäi'ft diese Untersuchung, die ich für jetzt Dui' andeute, um in einem späteren Kapitel darauf zurückzu- kommen, dadurch, dass man, um auch die Abweichungen von jenen Gesetzen des reinen Zufalls, welche streng nur für unendliches m gelten, durch unausgeglichene Zufälligkeiten zu berücksichtigen, auch die von der Endlichkeit des m abhängigen wahrscheinlichen und mittleren Abweichungen von der Aussage der Glesetze bestimmt, wo- für sich in der That Formeln aufstellen lassen.
Aus einer eingehenden Untei-suchung hat sich mir nun eigebim '), dass, wähnend die meteorologischen Werte aufeinander folgender Tage desselben Monates die angegebenen Merkmale der Abhängigkeit in eminentem Grade zeigen, selbst die Monatsabweichungen aufeinander . folgender Jahre dei-selben nicht ganz entzogen sind , wenn schon sie 80 schwach und wenig entscliieden zeigen , um bei Benutzung dor- selhen keine erhebhche Störung der Zufallsgesetze besolden zu dürfen; und es verdient aber dieser GegenaUmd unstreitig eine noch ein- gehendere und ausgedehntere Untersuchung seitens Fachmeteorologen mit Hilfe jener Kriterien im Interesse der Meteorologie selbst, als ich
1 [Hier
1 XXni. Knp. Belege gegeben
^
REqniaiten; AbnonmUten.
' ihm hier liahe zu Teil werden lassen, wo es nur in dem Intort-sse geschah, zu erniittpln, welcherlei K.-G. sich Überhaupt nur Prüfung und Anwendung der reinen Zufallsgesetze eignen.
Inzwischen ist wichtig zu bemerken, dass die nach Vorigem aus- geschlossen scheinende Möglichkeit, (Üe ZufallBgesetne auf meteoro- logische Werte, welche eine Äbhüngigkeit der genannten Art von einander zeigen, anzuwenden, sich für den Fall wieder herstellen könnte, dass bei sehr großem m die Ahhängigkeiteveihältnisse selbst zufällig wechseln.
Steilen wir uns zur Erläuterung hiervon eine Urne mit unend- lich viel weißen und schwarzen Kugeln vor, welche mit Nummern bezeichnet sind, die den Abweichungsgrößen von einem gegebenen Hauptwerto entsprechen, und zwar so, dass die Zahl des Vorkommens von jeder dieser Art Kugeln der Zalil des Vorkommens der ent- sprechenden Abweichungswerte, wie sie für reine Zufallsgesetze be- stehen, entspricht. Also im Falle symmetrischer Wahrscheinlichkeit sei das GAuss'sche Gesetz bezüghch Abweichungen vom arithmetischen Mittel, im Falle asymmetrischer Wahrscheinhchkeit unser später zu besprechendes allgemeineres Gesetz auf diese Weise repräsentiert; wo- bei durch weiße Kugeln positive, durch schwarze Kugeln negative Abweichungen vorgestellt werden. Geschehen nun recht viele Züge nach Zufall aus dieser Urne, so werden die gezogenen Kugeln in ihren Verhältnissen das betreffende Gesetz, abgesehen von den, wegen der immer nur endlichen Zahl der Ztlge noch übrig bleibenden , un- ausgeghchenen Zufälligkeiten, richtig repräsentieren. Aber dasselbe wird auch noch der Fall sein, wenn zwei, drei oder mehr Kugeln, welche einander in ihren Werten nahestehen, sei es nach einer he- ' stimmten Regel oder ohne solche, zusammengeklebt sind, so dato man sie nur zusammen herausziehen kann; niu' wird eine größere Zahl der Züge , ein größeres m , <lazu gehören , um eine gleich gute Befriedigung der betreffenden (iesetze zu erlangen , als es bei losen Kugeln der Fall ist.
kNatiirhch kann die Frjige, ob es sich mit den meteorologischen Tageswerten nach Analogie hiervon verhält, nicht nach dieser Ana^ logie als abgemacht angesehen werden, welche bloß zeigt, ilass es
I
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Reqäfsiten ; 'AbnoninlSteo.
sich inüglicIieiTi'eise so vorlüiUen könnti'. Doch fügt sicli nicht nur das QoBTBLBT'sche Beispiel (Lettres p. 78) mit in = 310 (in Wirk- lichkeit vielmehr wegen Fehlfiis eines Beobachtungstagea 309) bei näherer Untersuchung durch die Vurteilungsweise seiner x ganz gut einer solchen Voraussetzung, sondem auch thermische und baro- metrische Beispiele mit weit gröBensm m, die ich selbst in Unter- suchung gezogen (vergl. Kap. XXVII), sprechen fiu- dieselbe, so dass sie mindestens mit größter Walu'seheinlichkeit als gültig angesehen werden kann, was nicht mir für unsere Lehre, sondern auch für die Meteorologie von Interesse sein dürfte, Qoetblbt selbst ist auf die Frage nicht eingegangen.
8 21. Übrigens ist sehr erwUnscht, dass doch ein meteorologisches Beispiel zu Gebote stehe, in welchem sich das Vorkommen zahlreicher Einzelfalle mit fehlender Abliängigkeit der successiven Fälle von einander verbindet. In der BibliothSque universelle de Genfeve (Archives des sciences physiques et naturelles) findet sich in jedem Monatshefte eine meteorologische Tabelle für Genf), worin unter anderen Kolumnen, welche für Thei-mometer, Barometer u. a. w. gelten, auch eine Kolunuie mit der ifberschrift: -Eau tomb^e dans les 24 heures< gegeben ist, welche für jeden stattgehabten Regentag des betreffenden Monates im betreffenden Jahre die Höhe des ge- fallenen Wassers in Milhmetem angiebt. Nun folgen allerdings ge- meinhin mehrere na.sse wie trockene Tage hinter einander, aber — r und das ist es, worauf es uns ankommt, und wovon das Analoge nicht bei den aufeinander folgenden thermischen oder barometrischen Tageswerten der Fall ist, — die üu Regenmesser aufgefangenen Regenhöhen auf einander folgender Tage veiraten keine Größen- abhüngigkeit von einander. In der Tbat sieht man schon beim ober- flächUchsten- Blick die 'Regenhöhen der betreffenden Kolumne auf das Um-egelmäßigste weclisein und nicht seU4?n auf die gewaltige Regen- höhe eines Tages eine ganz niedrige des nächsten Tages oder um- gekehrt folgen, Entscheidend aber in betreffender Hinsicht sind unsere obigen zwei Kriterien; und es ist bemerkenswert, welch andere
ij Eine andere, gaux entsprechend tüigerichtete Tnliellc l'Qr die meteorolo- gische Station BuF dem St, Beruhard.
Reqniäten; Abnomhlten.
49
»
BeHuitate sie in Bezug auf die in vorigtini Sinne verstandenen täg- ichen Bfgenliohen als auf die tbennisclien und barometrisclien Tages- l-wertt" geben, wozu man sjüitet- (Kap. XX!!!; Belege finden wird.
Ich habe midi demgemüB die Mühe nicht vei-drießen lassen, die der Genfer Zeitschrift enthaltenen Data für die Genfer Regen- ihen aus sämtlichen Jahi-gängen , durch welche sie reichen, aua- iiziehen, und habe nach den 12 Monaten 12 Abteilungen daraus ibildet, deren jede einen besondere zu behandelnden K.-ö. darstellt. Darin sind z. B. als Exemplare a des Januar nicht nur alle ßegen- höhen (unstj-eitig meist aus geschmolzenem Schnee), welche in einem Januarmonat vorgekommen sind, sondern welche in den Jamiai-- monaten aller Jahre, durch welche <lie Regenböhen verfolgt sind, stattgefunden haben, zusammengenommen, und hierdurch wird für jeden Monat ein sehr betiüchtlicbes r« erlialten. Nun ließ sieb freibch besorgen, dass diese Mühe für unseren Zweck vergeblich wai, weil sicli ja gar nicht a priori beliaupten ließ, dass die H^genliöben über- haupt sich denselben Verteilmigsgesetzen fügen wie Reknttenmaße, SchÜdclmaße u. dgl. ; aber ün Gegenteil bat sie sich datlurcb gelohnt, daß die Regenböhen mit den Dimensionen der Gallcriegemälde bisher das einzige Material liefern, woran sich unser logarithmisches Ver- teilungsgesetz dui'chscb tagend bewähren ließ, indem sie mit einer ungeheueren Asymmetrie, welche die Hauptwerte weit auseinander fallen macht, zugleich im Verbältuisse zu deu Hauptwerten sehr staike mittlere Abweichungen bieten, wodurch sie sich der Anwendbarkeit der arithmetischen Behandlungsweise entziehen (s. Kap. XXI, sowie XXVI und XXVII). Und unstreitig hat es sein besonderes Inter- esse, diisa so versohiedene Dinge wie Gemäldedimensionen und Regen- höhen sich so bestimmten und eigentümlichen Verteilungsgesetzen, als wir aufzusteUen haben werden, gemeinsam unterordnen.
Sehr möglich übrigens giebt es noch einen anderen Fall meteoro- logischer Tages wei-te von entsprechender Successionsunabhängigkeit, am diesen kurzen Ausdruck zu gebrauchen, als die täglichen Regen- hohen zeigen, auf den um so mehr nötig ist, etwas näher einzugehen, ah er unt«r die empirischen Unterlageu unserer Untersuchung mit- fällt und von Quktelbt selbst zu den seinigen in einer meines
50
R«<|iilMten; A^nonniUten.
Erjiclitens freilich niclit triftigen Weise augozogen ist, in welcher Beziehung mehrfach von mir darauf zurückzukommen sein wird. Das sind die sog. Variation^ diumes von Quetelkt, wovon Qübtklbt in seinen Letti-es p. 174 fg., mit Tabellen p. 408 bis 411 handelt, indes ich seihst in dem Kap. XX VH näher darauf zu sprechen komme; hier aber bloß die Natur dei-selben vorläufig feststelle und mit Bezug auf die fraghche Unabhängigkeit ins Auge fasse.
Es ist oben gesagt worden, daas Qdbtblet die Temperatur Tage jedes Monates als Mittel zwisclien ^Maximum- und Minimum- temperatur jedes Tages (für Brüssel) festgestellt und dies durch 10 Jfilire fortgeführt hat. Die Abweichung zwischen beiden Tem- peraturen, als deren Mittel die Tagestemperatur gilt, ist nun, das, was QcETBLBT >variation diume« (tägliche Variation) nennt Dabei muss man sich wohl vergegenwärtigen, dass diese Abweichung der beiden Tagesextreme von einander gi-oB oder klein bei derselben Mitteltemperatur dazwischen, also derselben Tagestemperatur, sein kann, dass mithin die Successionsabhängigkeit, welche die Tage^tempe- raturen zeigen, sich gar nicht notwendig auf die Variations diumes zu erstrecken braucht. In der Tliat kann dieselbe Tagestemperatur, z. B. von 10°, als Mittel aus 15,5° und 10,5°, aus 8° und 12°, aus 5° und 15° hervorgehen, was Vaiiationen resp. von 1°, 4", 10° giebt; ja, wenn an einem Tage die Temperatur ganz konstant bliehe, so könnte sie noch so hoch oder niedrig sein, und die Variation würde doch null sein. Wie nun Qüktelet die Temperatur der Tage jedes Monates durch 10 .Tnlu^ verfolgt hat, die man als Exuniplai-e eines K.-O. behajideln kann, so die zugehörigen Variations diiirnes, worin man Exemplai-e eines anderen K.-G. sehen kann. Zwar hat Qoeteltct die Variations diumes nicht für alle Ta^e jedes Monates spezialisiert, was Tabellen von gewaltiger Ausdelmung erfordert haben würde, ohne die Möglichkeit der Übersichtlichen Zusanuueofassung zu ge- währen, aber er hat p. 410, 41 1 Tabellen gegeben, worin für jeden Monat angegeben ist, wie oft wahrend 10 Jahren die Variation diume zwischen 0° und 1°, zwischen i" und 2", zwischen 2" und 3° u- s. w. betragen bat, kui-z reduzierte Inte nall tu fein im Sinne unseres späteren
I.) Kapitels.
allol^^
J
Bei]iiüdteii: AbnonüUUn-
51
Wenn nun, wie oben bemerkt, die Variations diumos ilii-er Grüße
lach wesentlicli imabliängig TOn der Große der zwischen ihnen lie-
Vgenden Tages tenipe rat uren erscheinen, mithin die SuccessionaabhUngig-
eit derselben niclit notwendig zu teilen brauchen, so scheint auch
B^ner solchen Abhängigkeit zu mdersprechen, dass die Tabellen der
Bonatlichen Yariations diumes bei einem m, was für die einzelnen
kfonate zwischen 282 [Februai'] und 50g bis 310 (Januar und August)
ibwsnkt, einen so i-egelraäßigen Gang und eine so gute Üherein-
K Stimmung mit den sonst gültigen Gesetzen asymmetrischer Verteilung 2bigeu, als man bei vorhandener Successionsabhängigkeit kaum er- warten möchte; indessen zeigt die von Qubtklet p. 78 gegebene
L Tabelle der Tagestemperaturen des Juli, verghcben mit der zuge- börigen Tabelle der Variations diurnes p. 411, dass der Gang der x
■jn beiden Tabellen ähnlich und gleich regelmäßig ist, so dass man auch ohne Annahme der betreffenden Unabhängigkeit schon nach dem erst besprochenen Prinzip diese Tabelle würde als brauclibar in
I dem Sinne ansehen können, wie es von uns geschehen wii-d. § 22. Hiemach noch folgende allgemeine Bemerkungen: Im allgemeinen werde ich Punkte, wodurch sieh K.-G., selbst
' bei hinreichend großem m, also abgesehen von unausgeghchenen Zu- Siligkeiten, der Bewährung unserer Gesetze entziehen können, als ITngehörigkeiten oder Abnormitäten, Gegenstände aber, welche davon frei sind, als einwurfsfreie bezeichnen. Die Abnormitäten »nd, wie man sieht, verscliiedener Art und können die Gültigkeit der
I Gesetze in sehr verschiedener Hinsicht und sehr verschiedenem Grade
' beeinträchtigen, Es kann zu den allgemeinen Aufgaben der KoUektiv- maßlefare gerechnet wi-nlen, den Einfluss dieser Abnormitäten test- sustellen, was teils theoretisch mit Rücksicht auf die an den fehler- freien Gegenständen erkannten Verteilungsgesetze, teils empirisch geschehen kann, und zwar letzteres auf einem doppelten Wege. Einmal kann man den Erfolg der Abnormitäten an den abnormen Beispielen. selbst, welche die Wirklichkeit bietet, verfolgen; zweitens, und dies scheint mir der zugleich fruchtbarere und zur Kontrolle des ersten Weges selbst mit zuzuziehende Weg, man kann künstlich Ver- tfiltuigstafdo mit gegebenen Elementen konstmieren , welche den
52
Reqüiriten;' AbnwnnUtei).
^m Vau
fehlerlosen VeiteihinRÄgeactuüti genau fiitspi-echen, dann rliese oder jene Abnormität daran anbringen und den Erfolg auf die Werte der Elemente und deren Verhältnisse darsius entnehmen.
Hier liegt nodi ein Feld der Unteraucbung für andere vor, da ich da»Relbe über der schon so weitschichtigen Aufgabe, die Vei-hält- nisse der K.-G. unter der Voraussetzung der Fehlerlosigkeit fest- zustellen, keineswegs hinreichend erledigt habe.
In jeder Hinsicht vollkommen fehlerfreie Gegenstände mit großem m sind bei der Mannigfaltigkeit niöghcher Fehler wohl kaum ku beschaffen, und es sind dalier bei den Gegenständen, welche empi- riHcherseits zur Feststellung oder Bewälirung der fiindamentjilen Ge- setze der K.-G. dienen sollen, außer den Abweichungen von den idealen gesetzliehen Verteilungsverhältnissen wegen Endlichkeit des m und Größe des i noch Abweichungen wegen mangelnder Erfülhmg der Requisiten oder kurz wegen Fehlerhaftigkeit insoweit zuzulassen, als sie sich in Iiinreichcnd engen Grenzen halten, um nicht gegen die Gültigkeit der aufgestellten Fundamentalgesetze selbst Bedenken zu erwecken, worüber freilich dem subjektiven Ermessen immer ein gewisser Spielraum bleibt. Bestimmungen und Verhältnisse, die so- wohl den Abweichungen wegen der Endlicldceit des m, als wegen Größe des /, als wegen mangelnder Erfüllung der Requisiten ent- zogen sind, nenne ich hiemach, außer dem schon gebrauchten Aus- drucke fundamentale, auch normale o3er ideale, sofern sie in der Wirklichkeit nur in Annäherungen vorkommen.
Übrigens ersieht man aus Vorigem, worin für die KollektivmaB- lehre, trotzdem dass sie sich aus den im Vorworte angegebenen Ge- sichtspunkten zu den exakten Lebren recluien kann, die Schwierig- keit liegt, es in ihren Anwendungen zu ganz sichei-eu Resultaten zu bringen. Es sind andere Punkte, als für die Physiologie und Psy- chopbysik in dieser Hinsicht bestehen; aber sie haben einen ähnlichen Erfolg. Immerhin bleibt es ein Vorzug aller dieser Lehren als exakter, einmal die Sicherheit im einzelnen docli so weit als möghch zweitens zu allgemeinen Gesetzhcbkeiten zu führen. 23, Die bisherigen Bemerkungen betrafen Requisiten, welche Untersuchung zu nehmenden K.-G. selbst zu erfüllen haben;
^
Requisiten; Abuormitaten. 53
aber es giebt auch Kequisiten, welche die Untersuchung zu erfüllen hat. Die Verteilungstafeln können in mehr oder weniger zweckmäßiger oder brauchbarer Form aufgestellt werden, worüber in Kap. VII und Vlil Näheres gesagt ist. Die unausbleibUchen Fehler, welche bei Messung der Exemplare begangen werden, müssen unerheblich genug sein, um nicht störend in die Bewährung der Gesetze einzugreifen, und die Messungsgenauigkeit wird daher im allgemeinen so weit zu treiben sein, dass die Messungsfehler gegen die Kollektivabwei- chungen vernachlässigt werden können. Bei den Messungen pflegen die auf dem Maßstabe angegebenen Abteilungen noch durch Schätzung untergeteilt zu werden; und hierbei ist sehr gewöhnhch, dass die ganzen und halben Abteilungen bevorzugt werden, was ich den Fehler der ungleichförmigen Schätzung nenne, und wovon ich Bei- spiele bez. der Bekrütenmaße und Schädelmaße in Kap. VII anführe. Solche Fehler können für die genaue Bestimmung der Elemente nachteihg sein, und es gilt daher dagegen auf der Hut zu sein und, wo solche vorliegen, sie durch eine angemessene Reduktion möglichst unschädlich zu machen, worüber künftig das Nähere. Bei der Menge der zu nehmenden Maße sind Versehen in der Maßnahme selbst oder deren Aufzeichnung nur zu leicht möglich, und es giebt vielleicht kein anderes Mittel, sie sicher zu vermeiden, als die Messungen zweimal imabhängig von einander vor^nehmen und dadurch zu kontrollieren, wie von mir bei Messung der Roggenähren geschehen; da aber die mühselige Arbeit dadurch verdoppelt wird, wird man sich schwerlich überall dazu verstehen. Noch schwerer ist es, Rechenversehen bei Verwertung einer großen Menge von Maßen für Bestimmung der Elemente und Bewähnmg der Gesetze zu vermeiden ; und mindestens bezüglich jedes auffälUgen oder wichtigen Resultates ist eine Kontrolle durch Wiederholung der Rechnung nicht zu ersi)aren.
Im allgemeinen giebt es zur Bestiimnung der Elemente sichere und unsichere Wege, und natürlich sind die ersten an sich vorzu- ziehen; da aber überhaupt nur Approximationen an die idealen Werte der Elemente erreichbar sind, so kann es sein, dass ein kleiner Vorteil in dieser Hinsicht nicht gegen die Erleichterung in Betracht kommt, welche ein etwas minder sicherer Weg gewährt,
54 Requisiten; Abnonnitäten.
und 80 kann aus praktischem Gesichtspunkte ein solcher doch vor- zuziehen sein, wenn er genügt, ein Resultat, was man im Auge hat, noch mit zufriedenstellender Sicherheit zu konstatieren. Astrono- mische Genauigkeit und Sicherheit lässt sich nun einmal in diesem Falle nicht erzielen, und es kann sein, dass durch den vergebhchen Anspruch, eine solche doch erzielen zu wollen, eine Untersuchung überhaupt undurchführbar wird.
T. Gauss'sches Gesetz der zufälligen Abweichungen (Beobachtungsfehler) und dessen Verallgemeinerungen.
§ 24, Nachdem Gauss') das Giimdgesetz der sog. Beobachtungs- tehler, d. i. der zufälligen Abweichungen von Beobachtungsmitteln, nicht nur theoretisch aufgestellt hat, sondern auch dasselbe von Bbssbl^] an astronomischen Datt'n empirisch bewährt worden ist, litss sich vermuten, dass es bloß gelte, .dies Gesetz auf die zufälligen Ab- weichungen der Exemplare a eines K.-G. von ihrem arithmetischen Mittel A, also auf die 0 bezüghch dazu, zu übertragen, um dafür das Entsprechende wie für die Beobachtungsfehler zu haben, d. h. damit ein Gesetz zu haben, welches gestattet, nach empirischer Fest- stellung des arithmetischen Mittels und eines Hauptabweichungs- wertes bezliglich dazu, als wie der mittleren Abweichung 1 = SQ: m, die ganze Verteilung eines K.-G. nach Maß und Zahl zu bestimmen, d. i. zu bestimmen, in welchem Verhältnisse zur Gesamtzahl m (vor- ausgesetzt, dass diese nicht zu klein ist] Exemplare in irgend welchen GröBengrenzen der Abweichung vom Mittel vorkommen.
Da wir nun hei der Aufgabe, ein allgemeines Verteilungsgesetz für K.-G. zu finden, jedenfalls von dem GAcss'schen Gesetze (kui-z G. G.) werden auszugehen, wiederholt darauf zurück zu kommen haben, und es in der That in gevrisser Beschränkung für K.-G. an- nähernd zulänglich finden, nur schließlich einem allgemeineren Ge- setze sich unterordnen werden sehen, so wird hier Einiges Über dies
^^B reg. Seil
L
[Theorin raotus corponim coelestium, 1809. Lib. II, Sect in. — Theoiia cambinationiB obBerTntioiiuiii crroribiiB minimi« obnoxiae; Commentatioiies BocieL reg. Soient Getting. rcc. Vol. V. 1823.)
Il [Fundaineut« aBtronomiae, 1818; Seol. 11. J
üesetz vorauszuschicken sein. Fach-Astronomen und Phjsiktrn ist es itwar längst bekannt und geläufig, indem sie auf Grund desselben den bei Bestinmiung eines Beobaclitimgsmittels gemachten waluw scheinhchen Felder berechnen; aber ich habe hier auch andere Kreise der Leser und andere Verwendungsweisen des Gesetzes vorauüza- setzen und gehe deshalb zunächst, anstatt von dem unpopulären Int»- graläusdrucke des Gesetzes, von dem leicht verständheben tabellari*^ sehen Ausdrucke aus, in den sich dasselbe übersetzen lässt und füi- die ' praktische Verwertung ohnehin überall übersetzt werden muss. Später iKap. XVH) wird auf dasselbe im Ausgange von seinem Integralau»- drucke zurückgekommen werden ; für jetzt wird das Folgende genügen.
Was darin vom Gesetze ausgesagt wird, sind nur wesentüehe Bestimmungen desselben in dem, § 4, besprochenen Sinne; denen man aber, insoweit überhaupt das Gesetz besteht, um so nälier zu kommen erwarten darf, je mehr sich die Zahl der Werte und mithin Ab--: weicbnngen, worauf es bezogen wird, vervielfältigt. Besprechen wir^ nun dasselbe gleich in seiner Anwendung auf Kollektivabweichungen. Nach der Konvention, § 10, käun der allgemeine Ausdruck ö Bezug auf Ä mit ^, und e mit 1; vertauscht werden; doch bleiben wir hier bei den allgemeinen Ausdrucken stehen.
§ 25. Der allgemeine Sinn des Giüss'schen Gesetzes ist nack^ schon oben gemachter Andeutung der, unter Voraussetzimg eint sjTnmetrischen Wahrscheinlichkeit der Abweichungen bez. des arith^] metisehen Mittels A und eines großen, streng genommen unendlich« m, was der Ableitung des A zu Grunde liegt, die relative oder ab;, solute Zahl der Abweichungen Q und hiermit abweichenden a bestimmen, welche zwischen gegelwnen Ab«-eichungsgrenzen entkilten ist, mit Rücksicht, dass diese Bestimmung empu-isch durch unaus- geghchene Zufälh'gkeiten um so mehr alteriert werden kann, je kleiner das der Ableitung des A zu Grunde liegende m und hiermit das dieser Abweichungen selbst ist. ') Kurz das G. G. ist ein VerteÜun|
1^ Er kann Kueb der Fall vorkommen, dass du A aus etncni geleitet ist, aber die Verteilunggrerhaltnisae nur für eine kleine Zahl drangen untermicht werden, doch ahitrahiere ich hier von diesem interessierenden, luBammengeseuteu Fall.
in •en ^^^
.eöH
OAUSS^Bches Gesetz und dessen Verallgemeinerungen. 57
gesetz der Abweichungen und hiennit abweichenden a unter obigen Voraussetzungen.
Man habe also einen vielzajiligen K.-G. vor sich, welcher den im vorigen Kapitel angegebenen Requisiten genügt, habe aus den, bemerktermaBen mit a zu bezeichnenden, Exemplaren das arithmetische Mittel Ä = 2a:m gezogen, habe die positiven und negativen Ab- weichungen dz 0 aller einzelnen a von A genommen und aus der Gesamtheit der 0 ohne Rücksicht auf ihr Vorzeichen, d. i. aus ilu^en absoluten Werten, das Mittel € = 2" 0 ; ?w gezogen, so hat man darin nach schon früher gegebenen Erklärungen die sog. einfache mittlere Abweichung bez. -4, die hier als mittlere Abweichung schlecht- hin gilt
§ 26. Um nun die Anwendung des Gesetzes zuerst an seiner Aussage für einen bestimmten Fall zu erläutern, so soll die Zahl der Abweichungen gefunden werden, welche von -4 an, d. i. von 0 = o bis zu einer Abweichungsgrenze 0 = 0,25 e reicht, oder, was sachlich dasselbe ist, welche von 0 : e = o bis 0 : « = 0,25 reicht, so findet sich diese Zahl nach einer Tabelle, in welche sich das G. G. übersetzen lässt, gleich 15,81 p. C. der Gesamtzahl m oder = 0,158 iw, wobei vorausgesetzt ist, dass die Zahl nach beiden Seiten von Ä bis zur selben Grenze verfolgt und für beide Seiten zusammengezählt wird. Für jede andere Abweichungsgrenze als &: € = 0,25 giebt dieselbe Tabelle eine andere relative Abweichungs- zahl; aber erläutern vdr zunächst die vorige Bestimmung an einem konkreten Beispiel.
Nehmen wir an, wir hätten 10000 Rekruten, hätten deren A und e bestimmt, ersteres = 71,7 Zoll, letzteres = 2,0 Zoll gefunden (wie es nahehin für die Leipziger Studentenrekrutenmaße gilt), so würden unter Voraussetzung, dass das G. G. dafür gelte, 1581 Re- kruten zwischen ^1 + 0,25 e einerseits und A — 0,25 e andererseits, d. i. zwischen 71,2 und 72,2 Zoll fallen. Sei in demselben Sinne die Grenzabweichung 0, bis zu der man von 0 = o an zählt, gleich 0,56 genommen, mithin 0:£ = o,5, so wird nach der Tabelle des Gesetzes die Zahl der von 0 = o bis dahin nach beiden Seiten zu- gleich reichenden Abweichungen und mithin abweichenden Weiie a,
58
GAUSB'aeheB Gesetz und desacn Verallgeiiiemerungeii.
d. i. die ZaW zwischen 70,7 und 72,7 Zoll, 31,01 p. C. der Gesamt- 1 zalil öder 0,3101 m betragen. Und so wird es nach dem Gtesetze eine entsprechende BeBtimmung für. jeden beliebigen Wert 0:e als Grenzwert, bis zu dem man von 0 : e =^ o an zählt, geben. In- sofern sich aber doch nicht alle möglichen Werte 0 : e mit den zu- gehörigen Prozent- oder Verhältniazahlen in die Tabelle des Gesetzes eintragen lassen, Ündet man in einer hinreichend ausgefilhrtan Tabelle jene äquidtstant und einander so nalie genommen, dass sich da- zwischen interpolieren lässt. Die folgende Tabelle nun giebt sie freiheb nicht in einer zur genauen Interpolation hinreichenden Nähe, wozu man sicli an eine vollständigere Tabelle halten muss, aber doch für das Vei-ständnis und die hier anzuknüpfenden Erörterungen ge- nügend. Dabei bemerke ich, dass ich die Zahlen wie 0,1581 und 0,3101 kurz Verhältniszahlen nennen und mit ffl bezeichnen werdp, und zwar mit ©[0:*], wenn sie, wie in folgender Tabelle, als Funktionen von 0 : t ausgedrückt sind. Durch Multiplikation der Verbältniszahl C mit der Totalzahl m, kurz durch mO, erhält man die absolute Zahl von 0 : e ^ o bis zu gegebener Grenze 0 : f. Umgekehrt erhält man, wenn die absolute Zahl zwischen diesen Grenzen bekannt ist, die Verbältniszahl ffl durch Di\i8ion der ab- soluten mit in.
§ 27. © [0 : 6]-Tabelle oder kurz e -Tabelle des Gadss- schen Gesetzes.
|
eiE |
»[«,.] |
|
0,00 |
0.0000 |
|
0,25 |
1581 |
|
o,SO |
3101 |
|
0.75 |
4504 |
|
1,00 |
5751 |
|
1.25 |
6814 |
|
',50 |
7686 |
|
",75 |
8374 |
|
s,oo |
8895 |
|
't'i |
9274 |
|
2.5« |
9539 |
|
©:£ |
»1«:.] |
|
Z.7S |
0,9718 |
|
3,00 |
9S33 |
|
3,25 |
9905 |
|
3.5° |
9948 |
|
3,75 |
9972 |
|
4,00 |
9986 |
|
4,25 |
9993 |
|
4,50 |
9997 |
|
4.75 |
9998 |
|
5,00 |
9999 |
|
5.25 |
1,0000 |
A
OACss'gchea Gesetz iiud desHen Verollgeinciceningeti.
59
In dieser Tabelle sind angegebeiiermaßeu die Verhältniszahleii <D stets für den Ausgang von 0 : f := o bis zu einem gegebenen Grenzwerte 0 : e beBtimmt. Um aber VerliältniBzablcn für Intei-valle zwischen zwei verschiedenen 0 : £ im Laufe der Abweicbungpn von A zu erhalte«, sagen wir zwischen 0 : * = « und &'. e = [t, braucht man bloß die Differenz der dazugehörigen (P-Werte, also <P[/i] — ®[f] zu nehmen, welche allgemein ip heißen möge, wonach z.B. laut voriger Tabelle zum Intervall zwischen &: e = 0,25 und 0 : f = i,co die mit <p[j,oo — 0,25] zu bezeichnende Verbältniszahl 0,5751 — 0,1581 =10,4170 gehört. Folgende Tabelle enthält die r/j -Werte für gleich große, sich unmittelbar aneinander anscldießende Intervalle zwischen den aufeinanderfolgenden 6:£ der vorigen e-Tabelle vom Anfange herein.
y-Tabelle des GAuas'schen Gesetzes.
|
S««eMm gleiche |
|
|
»:« |
|
|
0,00-0,25 |
0,1581 |
|
0,25-0,50 |
1520 |
|
0,50-0,75 |
1403 |
|
0,75-1,00 |
1247 |
|
1,00-1,25 |
1063 |
|
1,25-1,50 |
0872 |
|
">5o-i,75 |
0686 |
|
I,75-ä,oo |
0521 |
|
2,00-2,25 |
0375 |
|
2,25-2,50 |
0265 |
|
3,50-2,75 |
0179 |
|
Succesnive gleiche Interr&lle twischcn 9:t |
9 |
|
a.7 5—3.00 |
0,0115 |
|
3,00-3,25 |
ooya |
|
3,25—3,50 3,50-3,75 3,75-4,00 |
0043 0024 0014 |
|
4,00-4,25 |
0007 |
|
4.25—4,50 |
0004 |
|
4.50—4,75 4,75-5,00 |
0001 0001 |
|
5.00-5,25 |
0001 |
Auch diese Zahlen tp sind mit der Gesamtzahl in zu multiph- zieren, um die absoluten Zahlen für die betrefEenden Intervalle zu erbalten.
Bezeichnet man die 0:e der (P-Tabclle, welche immer von ©:fs=o als erster Grenze ausgehen, kurz als lim., so sieht man, dafis innerhalb kleiner Werte von lim. die verhältnismäStgen Zahlen <C den liiu. fast propoiüonal gehen; ja geht man nach einer voll-
00
GArss'gcheR Gesetz iiiiä dcMcii VerallgemciiieniDgcn.
stUmligL-ren ©-Tabelle, als hier mitgeteilt ist, mit den lim. bis imter 0,25 herab, so findet eine noch gröBeio Annülicmng an die Propoi^ ; tionalität statt, die innerhalb unencUicIi kleiner Werte von lim. als ' genau angesehen werden kann; wogegen bei Aufsteigen zu großen Werten Uni. die betreffende Proportionahtät gänzhch fehl schlägt; und eine Folge davon ist, dass in der (/-Tabelle die Verhältnis- iuililtii if, welche den ersten der aufeinander folgenden gleichen Inter- 1 valle zwischen den lim. zugehören, fast gleich sind; hiergegen in uia \ so atäi"kerem Verhältnisse, kurz um ao rascher abnehmen, je weiter 1 man vorgebt; wie denn fili- die gleich gTOflen Intervalle der &:e ' von o bis 0,25; 0,75 bis 1,0; 3,0 bis 3,25 u. s. w. die Werte ip resp. 0,1581; 0,1247; 0,0072 u. 8. w. betragen.
§ 28, Zur Beurteilung der Gültigkeit und Anwi-ndburkeit dea G. G. auf die Empirie ist darauf zurück zu kommen, duss demselben die Voraussetzung einer symmetiischen W. der beiderseitigen Al>- weichungen 0 bez. Ä zu Grunde liegt, der Art, dass unter Voraus- ( Setzung' eines großen , streng genommen unendlichen m für jedes 9 \ auf positiver Seite ein gleich großes 0 auf negativer Seite zu wai-ten ist; und die Verhältniszahlen Ö> und 71 sind »Is Ausdruck \ fitr (he W. des Vorkommens der Exemplare bis zu gegebenen Grenzen ihrer Abweichung von A oder in gegebenen Intervallen dieser Ab- weichung anzusehen.
Dies scbliesst nun schon bemerktermaßen nicht aus, dass ti-otz der prinzipiellen Gültigkeit des Gesetzes unter den von ihT«i voraus- gesetzten Bedingungen mehr oder weniger große empirische Ab- weichungen von seinen Forderungen vorkommen, weil die Bedingung eines unendlichen in empirisch nicht zu erfüllen ist; und es können , also Abweichungen von seinen Forderungen nui- insofern gegen das- selbe geltend gemacht werden, als die Vergi'ößerung des m nichts hilft, diese Abweichungen dem Verschwinden näher zu bringen, kura nur insofern, üIm sie nicht auf unausgeglichene ZufäUigkeiten wegen Endlichkeit des im geschoben werden können, woiüber es nicht an An- \ halts}mnkten fehlt, die an ilirem Orte zu besprechen sind. Aber geben ' wir ;!unächBt den Folgeningen des Gesetzes unter Voraussetzung seiner prinzipiellen Gültigkeit mich.
GAom'wAie* Oeieti »nd dMien VerBllgeroeinenin^ea.
61
Im Vorigen ist angegebfii, wie die VerliältnisKalil * und absoluti' Zahl m Q> für beide Seiten zu^anunen von dem Werte ± Q:e ab- liängt, biw zu dem man sie nach beiden Seiten verfolgt. Gescliieht dies bloß nach einer Seito, so wird nach der vorausgesetzten sym- metrischen W. die absolute J5ahl bis zu ge,gebenen tirenzen jederseits halb so groll anzunehmen sein , als wenn sie für beide Seiten bis zu derselben Abweichungsgrenze verfolgt wäre. Indem aber aucli die Totaktalil beider Seiten zusammen bei großem, streng genommen un- endlichem m sich nach derselben sjTnmetrischen W. auf j m reduziert, bleiben die, nach dem G. G. zu berechnenden, Verhültniszahlen jeder Seite, resp. 0' und 0,, gleich mit der totalen Verhältniazahl 0, wo- gegen die einseitigen absoluten Zahlen lm0' und ^m0, nach dem G. G. für halb so groß anzunelmien sind als die beidei-seitige Zahl ni 0 bis zur selben Grenze ± 0.
Empirisch freihch trifft die Gleichheit der beiderseitigen absoluten Zahlen bis zur selben Grenze wegen unausgeghchener Zufälligkeiten nicht zu; aber das G. G. abstrahiert eben von diesen Zufälligkeiten und setzt den Fall voraus, dass der Unterschied m' — m,=^ii gegen m verschwindet. Es würde also auch uni-echt sein, wenn man e für die Berechnung von 0' gleich ^ (•)' : ni' und fUr (he von Q», gleich — &,:m, nähme, sondern tüi" ff'' und 0, mu-ss ebenso als für Ö» der aus der Totalität zu berechnende Wert t = 2Q:m dienen, da man sonst der Voraussetzung symmetrischer W., welche dem G. G. zn Grunde liegt, widersprechend auf beiden Seiten bis zu denselben Ab- weichnngsgrenzen verschiedene Äbweichungszahlen erhalten würde. Auch hat QuBTELBT bei seinen Vergleichstabellen zwichen Rechnung nach dein G. G, und Beobachtung dies nicht anders gefasst. Andei-s freilieb, wo euie asymmetrische W. der Abweichungen bez. A be- steht, wie es thatsiiohlich bei Kollektivabweichungen der Fall ist, wo das G, G. überhaupt nur mit einer weiterhin zu besprechenden Mo- difikation anwendbar ist; aber vor allem gilt es doch, vom i-ein ge- gefassten G. G. selbst auszugeben, und so verfolgen wir dessen Kon- sequenzen noch weiter.
Aus der voraussetzlichen symmetrischen W. der Ö bez. Ä folgt nun weiter unmittelbar, dass der Zentralwert C, bez. dessen die
4
62
QAraB'tefaH Oeieta und i
1 VerallKemdnemogen.
Zahl iler bei dei-seitigen AI j weich ungon gleich ist, wesentlich mit dem I arithmetischen Mittel A, bez. dessen die Summe der beiderseitigen I Abweichungen gleich ist, zusammenfallt, d. h. däa& beide nur dui'ch ( unuusgeghcbene Zufälligkeiten von einander abweichen können. Denn ! wenn nach symmetrischer W. für jedes positive 0 einerseits ein ■ I gleich großes 9 andererseits zu erwarten ist, so rauss mit gleicher J Smnme auch gleiche Zald der Abweichungen nach beiden Seiten za j ei-warten sein. Es ist aber die Forderung, dass vennöge symmetrischer , W. der Unterschied « = ± [ni — m,] zwischen der Zahl der pi tiven und negativen Abweichungen mit wachsendem m mehr und mehr verschwinde, nicht auf die absolute Größe von u, sondern sein Verhältnis zur Totalzahl m, d, i. u:m zu beziehen, weil u selbst nach bekannten Gesetzen des Zufalles bei vergrößertem m im Ver- j hältnisse von 1 m wächst, dieser Wert aber gegen m um so mein- ver- I schwindet, je größer m ist, und bei unendlichem m ganz verschwindet. I Auch bleibt bei dem absoluten Wachstimie von u im Verhältnisse von | Vm die Kichtung des Untersciuedes an sich unbestimmt.
Dass unter Voraussetzung der Gültigkeit des G. G, auch der dichteste Wert D wesentlich mit Ä zusammenfällt, folgt nach dem | Anblicke der </>-Tabelle daraus, dass die Zahl der Abweichungen und j mitliin abweichenden Werte a nach beiden Seiten füi- gleiche Inter- valle um so größer ist, je naher die Intervalle dem A kommen, am größten also in den an A selbst grenzenden und dasselbe zwischen j sich fassenden Intenallen, wie klein man diese auch nelime.
§ zg. Hiemach noch die Bemerkung, dass die Tabelle des G. G. nicht daran gebunden ist, die Grenzen, zwischen denen cf) zu be- stimmen, als Funktionen des einfachen Mittelfehlers auszudrücken. In den gebräucldiclien Tabellen ist aus formellen Giiinden statt 0:e vielmelir 0 : t V;r oder 0:«;') gewählt, was andere Tabellen giebt als die obige, von mir kurz als t -Tabelle bezeichnete, und auch wii- wertlen uns aus gleich anzugebenden Gründen in den künftig zu machenden Anwendungen vielmehr an eine Tabelle mit Bezug auf I
i) [Eine Eolohc, ntif den wahrBchciiiUchcn Fehler w betogcnc Tabelle findet, , täeh am SehluHSC des Berliucr ABtninoni, Jahrbuches für 1834 .hcraiisge^. 1 Ekckb) als Tafel II; auazugsweise wird ue in g laS mitgeteilt]
Oicas'Mbe* flneti und deuen VenllgendnenisKen.
63
Ö:eV/r als die obige bez. &:e balten; und da man Q'-eVtc ge- wöhnlich mit ( bezeichnet, so werde ich eine solche, auf t bezogene Tabelle kurz die /-Tabelle nennen und eine ausgefühi-te f-Tabeile im Anhang § 183 mitteilen. Vom Anfange herein gestaltet sie sich für einen Auszug daraus so:
|
( |
f[l] |
|
0,00 |
0,0000 |
|
0.25 |
0,2763 |
|
0,50 |
0,5205 |
|
0,75 |
0,7112 |
TJbrigens ist eine solche Tabelle ganz entsprechend als die t- Tabelle zu benutzefi , wie am obigen Beispiel zu erläutern , wo , ^^71,7, f = 2,o Zoll angenommen ist. Vor allem hat msin i mit Vit, d. i. 1,77245 zu multiplizieren, giebt 3,5449 und wird nun nach der /-Tabelle z.B. die Zahl der ö und mitbin a, (he zwischen I A-\-o,2^ ■ 3,5449 und A — 0,25 ■ 3,5449, d. i. zwischen 71,7 -f- 0,25 ■ 3,5449 und 71,7 — 0,25 -3,5449, kurz z^vischen 72,5862 und 70,8138 I enthalten ist, ^ 0,2763 m finden.
Der Grund, uns künftig nicht an die *- Tabelle zu halten, was [ doch am einfachsten sclüene, ist der, dass eine «-Tabelle in ent- I sprechender Ausführung als die (-Tabelle bisher noch gar nicht voi-- I liegt, und daher nur einfachster Erläuterang halber von der e-Tabelle I der Ausgang genommen wurde, welche übrigens, wenn sie ausgeführt läge, nur den Vorteil böte, die Multiphkation von f mit Vrt über- [ all zu ersparen.
Eine ausgefUlirte /-Tabelle aber findet sich an vei-schiedenen [ Orten, z. B. am Schlüsse des Berliner Astronom. Jahrbuches für 1834 und in Quetblet'b Lettre.^ sui- la tht'orie des probab. p. 389 flg., beidesfalls bloß bis / = 2,00 ausgeführt Eine, mir zu Gebote stehende, lithographierte Tabelle, die aber nicht mehr im Buclihandel ist, giebt die Ausfühining bis t^ 3,00 mit 7 Dezimalen für Ö"). Die obige
1) [Eine euUpreohcude Tabelle Ton gleicher Auadehuuiig findet sich bei I A. Meyek, VorleBiiugcü über WahrecheiiilicIikelUrechuimg .deiitsDli bearbeitet vou
64
OÄVm'aebtm OeHrIx und denen TnsQfcaneiBainigen.
e-Tabelle aber ist von mir durcli Inter[Milatioii mit zweiten Diffen aus der ^-Tabelle, so ^veit diese reicbt, erhalten und für noch höhl Werte dii-ekt berechnet worden.
§ 30. Uiemach komme. ich zu den Gründen, welche Änlass bei KoUektivab weich ungen über das einfaclie Gr. G-, wie es bisl erläutert worden ist, liimiuszugehen.
Von Gauss selbst ist das Gesetz nicht für KoUektivabweiclmngen, als Abweichungen der einzelnen Exeniplargrößen a von ihrem arith- metischen Mittel, sondern bemerkter- und bekanntennaßen für Be- obuchtungsfehler, als Abweichungen der einzelnen Beobachtungs werte eines Gegenstandes von ihrem aritlimetischen Mittel aufgestellt; und an sich ist nichts weniger als selbstverständlich, dass eine Ubertrag- barkeit des Gesetzes von letzteren aaf erstere stattfinde. In der That ist es doch von vornherein etwas sehr Anderes, Abweichungen vor sich zu haben, die wegen mangelnder Schärfe der Messinstnimente oder Sinne und zufälliger äußeren Stönmgen bei wiederholter Messung eines einzelnen Gegenstandes vom arithmetischen Mittel der Maße erbalten werden, und Abweichungen, welche die vielen Exemplare eines K.-G. von Uirem arithmetischen Mittel aus Gninden darbieten, welche in der Natur der Gegenstände selbst und der sie beeinflussen- den äußeren Umstände gelegen sind. Es ließ sich also autli durch- aus nicht a priori voraussagen, dass die Natur in diesen Abweichungen vom Mittel das Gesetz der Beobachtungs fehler befolgt, sondern galt erst, eine direkte Prüfung desselben an K.-G. selbst vorzunehmen.
Inzwischen, da man von vornherein leicht wahrnahm
-m
Cziueb;, Lcipiig 1879, S. 545— S49, wo l durch y ersetit ist. Auf Grund der- ■elbeu fast Kämpfe die im Anhanf; t; 183 mitgeteilte, in den P!iilo«ophiRchcD Studien [herausgeg. von Wv-niiT', Band IX, S. 147—150, tuetat publiijerto Tabelle berechnet, in weli^her die FuiikliotiB werte 0 auf 4 Deiimalcu abgekürzt, die Ar- gumente t resp. ;■ jedoch /.wiechcn den Greaicn o und i,si auf 3 Deiimalstellen erweitert sind. Kine Tabelle vou entsprechender AusdehuuDg mit füafdtelligeu Funktioosnerteu findet mau gleichfalls im Auhaug. — Die erste Tabelle dieser Art. auf welche ffohl die geuaunteii Tabellen als Quelle «urflckiuführen sind, hat Kbamp berechnet, der die Integrale über eip'— f dt von endlichen Werten t bis ( ^ OD uud die I.ogarithmeu dieser Integrale giebt. Siehe: »Analyse des rifrac- tioni astrononiiques et lerreatrcsi; par le ciMVcn Kbamp, Strasbourg, l'an VH, p. 195 — 206.]
O&rss'iohes Oeiets und desten VernUgemeineningeii.
65
großem m ebenso bei Kollektivabweichungen bez. A als Beobach- tan^fehleni die Zahl der Abweiclnmgen x. für einen Wert in einem mittluren Teile der Verteilungstafel ein Maximum ist, von da an aber DAüh den Extremen zu mu so regelmäßiger abnimmt, je grfißer rn ist, außerdem kein anderes CresetÄ als das GAuss'sche vorlag, :in das man bei Aufsucbung eines Verteilungsgesetzes fUr K.-G. denken iktnnte, war es natürlich, dass man vor allem dieses der Prüfung jinterzog. Und zwar sind Rekrutenmaße der erst« Gegenstand ge- wesen und (mit Einschluss von Brustumfang und IjungenkapazitUt der B^kiTiten, bisher seitens anderer der einzige geblieben, an denen das Gesetz versucht worden ist.
Diese mehrseitig (von Quetelbt, Bodio, Gould, Elliott und vielleicht noch anderen)') vorgenommene Prüfung an Rekrutenmaßen Terschiedener Länder schien nun zunächst überall eine Bestätigung des Gesetzes zu ergeben, indem die Abweichungen von den Forde- rungen des Gesetzes klein genug erschienen, um nur als unwesentlich im angegebenen Sinne zu gelten; und eine angenäherte Gültigkeit besitzt das G. G. jedenfalls für Rekrutenmaße , nm- keine so weitgehende, als man l>isber geglaubt hat, annehmen zu können, wie ich mich teils durch kritische Rerison der bisher darüber geführten Untersuchungen, teils durch eigene Untersuchung selbstbeschaffter vielzahliger Rekruten- ntaBtafeln übei'zeugt habe, wogegen es andere K.-G. giebt, bei denen das einfache G. G. gänzlich feldschlägt, indes sie doch einer Verall- gemeinerung dieses Gesetzes geniigen.
In der That aber lassen sich nach meinen erweiterten Erfah- rungen folgeufle zwei Gesichtspunkte angeben, welche es überhaupt v<Hi vornherein unmöghuh erscheinen lassen, dem einfachen Gr. G. eine Allgemeine Gültigkeit für K.-G. zuzugestehen. Der erste ist dieser-j: §31. Sollte das G. G. auf Kollektivabweichungen allgemein Utwendhar sein, so müssten sich die Folgerungen, die aus der bei
i, Bouui, La laute dea recrues en Ilaüe; .\uu. de dimographie mtera. Paris 1878. Goui.i), iDveBtigations nn tbe military aud antliropolagical statiaticB of Amerioan soldiers; Uniltd State« Sanituir Comiaaiou memnira. New-York 1869. Eluott, On the lailitarj' atatistioa of ihe fiiited States iif America. Berlin 1863.)
1. [Deu »weiten a. S 34 und 35,]
Fwiuu, KoUelitiTiuBlgbr«. 5
Mm
Jemst'lbpn vorausgesetzten sj-nimetrisciien W. der Abweifliungen lioz. A hervorgehen, iiUgeinein bestätigen, was nicht der Fall ist, und wenn bei Rekrntenmftßen und niclit wenigen anderen Gegenständen man bei oberflächliclier Untersuchung unsicher bleiben könnte, ob niclit unausgeglichene Zufälligkeiten oder mangelnde Erfüllung der Requi- siten Schuld daran sei, entziehen sich doeli andere Gegenstände dieser Vermutung zu entschieden, als dass man wesentliche Symmetrie der Abweichungen bezüglich A als allgemeinen Charakter der K.-G. anseilen könnte. In der That hat schon Qifbtblbt in seinen »Lettres sur la th^rie des prohabilit^s« p. 166 bemerkt, dass bei manchen K.-G. der Unterschied der extremen Abweichungen f"', U, beider Seiten bez. A konstanter und gesetzlicher positiv, bei anderen negativ ist, als mit s^Tnmetinscher Wahrscheinlichkeit vertriiglich ist; und ich selbst habe noch vor Kenntnis seiner llntei-suchungen hierüber in betreff einer anderen Fordei-ung der sjTnmetrischen W. konstatiert, dass bei manchen K.-G. die Abweichungszahlen bez. .4, d. i. m' und m,, nicht nur konstanter und gesetzlicher, sondern auch weiter, als durch un- ausgeglichene Zufälligkeiten erklärlich ist, von einander abweichen. Dabei hat sich sowohl nach Qubtelbt's als meiner Erfahrung gezeigt, dass je nach Art der K.-G, die Abweichung zwischen U' und P, oder die Abweichung zwischen in' und m, diese oder Jene Richtung einhält; ako während sie der Größe nach den Wert übersteigt, der wegen unausgeglichener Zufälligkeiten erwartet werden könnte, zu- gleich der Richtung nach charakteristisch für die eine oder andere Art von K.-G. ist,
Nun bezeichne ich es als Asymmetrie überhaupt, wenn eine Ab- weichung zwischen V und U, oder m' und m, besteht; aber da eine solche wegen unausgeghchener Zufälligkeiten nicht leicht felden wird, so ist wesentliche Asymmetrie als solche, welche nicht von unaus- geglichenen Zufälligkeiten abhängig gemacht werden kann, von unwesentlicher oder zufälliger Aayimuetrie als solcher, welche davon abhängig gemacht werden kann, zu unterscheiden.
Empirisch mischt sich die wesentliche Asymmetrie, auch wo solche
besteht, immer mit zufälliger, weil man doch immer mit endlichem
< Bolche abilängt, zu thun hat, aber da der, von wesentlicher
GAüBS^gehes Gesetz und dessen Verallgemdnenmgen. 67
Asymmetrie abhängige Unterschied im Verhältnisse von w, der von zufalliger abhängige bloß im Verhältnisse von Vm wächst, so ver- schwindet letzterer Wert gegen ersteren um so mehr, je mehr m wächst, und treten die von wesentlicher Asymmetrie abhängigen Be- stimmungen um so reiner hervor, je größer m ist, und kann es selbst als Merkmal wesentlicher Asymmetrie angesehen werden, wenn der bei großem m gefundene Unterschied zwischen V und V, oder m und m, bei weiterer Vergrößerung dieselbe Richtung behält. Auf andere Merkmale aber werden wir später^) kommen, welche es un- zweifelhaft erscheinen lassen, dass man im Gebiete der K.-G. nicht überall mit der Annahme bloß zufälliger Asymmetrie auskommt.
§ 32. Nun tritt zunächst folgende Alternative auf.
i) Es ließe sich denken, dass in der Asymmetrie, auch wo sie als wesentlich anzuerkennen, nur eine Störung des G. G. je nach der Art der K.-G. im einen oder anderen Sinne zu sehen sei, die sich selbst keinem bestimmten, mathematisch formulierbaren Gesetze füge.
2) Es ließe sich denken, dass die wesentliche Gültigkeit des G. G. für Kollektivabweichungen vom arithmetischen Mittel doch die Regel bleibe, die Fälle aber, wo es nicht anwendbar sei, als Ausnahmen anzusehen, welche entweder unter den Fall 1 ) treten oder einem zwar angebbaren, aber nur ausnahmsweise gültigen, anderen Gesetze als dem GAüss'schen unterliegen.
3) Da die Abweichung zwischen V und J7,, sowie zwischen rn und m, bei gegebenem m, insoweit sie von wesentlicher Asymmetrie abhängt, je nach Art der K.-G. vei-schiedene Größe und hieiinit die wesentliche Asymmetrie verschiedene Grade annehmen kann, so lässt sich die wesentliche Symmetrie, wo eine solche vorkommt, als der besondere Fall des alle möglichen Grade umfassenden allgemeinen Falles der Asymmetrie ansehen, wo der Grad derselben auf Null herabkommt, und ließe sich denken, dass im Gebiete der K.-G. die wesentliche Asymmetrie den allgemeinen Fall in seinen verschiedenen Graden vorstelle, die wesentliche Symmetrie aber eben nur einen besonderen Fall, der, wenn er überhaupt in aller Strenge vorkommt,
i) [Verg^ insbesondere Kap. Xu »Gründe fOr wesentliche Asymmetriec.]
5*
«8
jBÄOw'Mitrai Geieti und deuen VeraUgeni«neningen,
nur als Ananalimefall zu ItetracIiteD ist, sofern unter den unemHitti verseil iedenen möglichen Graden der Asymmetrie das völlige Ver- schwinden eine unendhch gelinge W. hat, was nicht ausschließt, dass die schwächeren Grade der Asymmetrie, welche enipii-isch leicht mit einer nur durch unausgeglichene Zufälligkeiten gestörten, wesentlichen Symmetrie verwechselt werden können, häufiger sind aia die stärkeren, welche sich der Möglichkeit einer solchen Verwechslung ent/ielien. In Beziehung zu dieser Auffassung aber ließe sich denken, dass es auch ein für den allgemeinen Fall gültiges allgemeines Gesetz gehe^ welches dun Ö. G. nur als den besonderen Fall unter sich fasst, < die asymmetrisclie W. in symmetrische Übergeht.
Welche von diesen drei Möglichkeit*^n, und nanientlicli ob eine von den beiden ereten, die nur Modifikationen von einander sind, oder die dritte die richtigere sei, ließ sich nun nicht ohne weiteres entscheiden, sondern es gehörte dazu einmal die Entscheidung der Frage, oh eine Verallgemeinerung des G. G. für den Fall wesent- licher Asymmetrie nach denselben Prinziiiien, nach denen es für den besonderen Fall der wesentlichen S)inmetrie abgeleitet ist, wirklicli möglich sei, zweitens ob die zur empirischen Prüfung geeigneten K.-6., wofür die Requisiten im vorhergehenden Kapital besonder» angegeben sind, sich dem so ableitbaren Gesetze wirklich fügend Ich bähe die Untersudiung nach beiden Seit«n angestellt, und beide Fragen lial)en sich in guter Zusammenstinunung zu Gunsten des dritten Falles der Alternative hejalien lassen. Aber dazu gehört fi-eilich eine Ausführung theon^tischer und empirischer Untersuchungen, die sich nicht auf einmal und in kurzem geben lässt, sondern fol- genden Kapiteln vorbehalten hieibt, und nur vorgreif lieh bemerke ich, dass das Fundamentalste der theoretischen Untei'suchungen im XIX. Kapitel, die dui'ch die Empii-ie gebotenen Gründe, dass das Vorhandensei» wesenthcher Asymmetrie wirklich als der allgemeine Fall im Gebiete der K.-6. anzusehen sei, im XU. Kapital enthalten sind. Zunächst »her dürft« es ein Interesse haben, wenn ich die wesentlichsten Bestümuungen der Verallgemeinerung des G. G. von symmetrischer auf asj-mmetrische W. , hiermit von sj-m nie tri scher auf asjTuuietrische Verteilung bei großem m , zu welchen mich die
OAUss'sches Gesetz und dessen Verallgemeinerungen. Q\\
Verbindung von Theorie und Empirie geführt hat, hier vorläufig bc- weislos zusammenstelle, und zwar führe ich diese Bestimmungen wegen mehrfach darauf zu nehmenden Rückbezuges als Spezialgesetze der asymmetrischen W. oder Verteilung unter besonderen Bezeich- nungen, wie folgt, auf, Gesetze, bei denen man sich begnügen kann, solange nicht eine beträchtliche verhältnismäßige Schwankung der K.-G. in dem (§ 9 S. 19) besprochenen Sinne Anlass giebt, eine weitere Verallgemeinerimg in Rücksicht zu ziehen, von welcher nachher die Rede sein wird, die aber nicht zu einer Verwerfung, sondern nur Verschärfung der folgenden Gesetze führt.
§ 33- Von diesen Spezialgesetzen sind die wichtigsten die ersten drei, welche zwar hier besonders aufgestellt werden, aber aus den mathematischen Grundvoraussetzungen der kollektiven Asymmetrie in solidarischem Zusammenhange folgen, wie im XIX. Kapitel zu zeigen. Die übrigen sind teils unmittelbar einleuchtende Korollare derselben, teils mathematisch aus denselben zu folgern, wie ebenfalls später darzuthun.
Spezialgesetze wesentlich asymmetrischer Verteilung für K.-G. bei nicht zu starker verhältnismäßiger
Schwankung derselben.
i) Ausgangsgesetz. Die Abweichungen sind statt vom arith- metischen Mittel A von dem im Falle wesentUcher Asymmetrie auch wesentlich von A abweichenden dichtesten Werte D zu rechnen, um überhaupt zu einer unter eine einfache Regel fassbaren und der Er- fahrung entsprechenden Verteilung zu gelangen, eine Regel, die für den Fall, dass die wesentliche Asynmietrie verschwindet, wo D wesent- Uch mit A zusammenfällt, auf die Regel des G. G. zurückführt.
2) Zweispaltiges GAuss^sches Gesetz. Die Verteilung der Abweichungen bez. D befolgt, kui*z gesagt, nach jeder beider Seiten insbesondere dieselbe Regel, als bei svTiimetrischer W. bez. A für beide Seiten gemeinschaftlich befolgt wird. Es tritt nur dabei an die Stelle von m, 0, e = 2&:m bez. A positiverseits m', 0', €, = 2 0':7/i', negativerseits m,, 0„ 6, = J0, :w, bez. I)\ mit dieser
70 OAim'ichei GcRett und deueo VcrallgemciDcningeu,
HUckMiuht Hill«! noch (licsclbcn TaU^llen, die e-Tabelk und (-Tuhdl^J
für die Verteil ungsreclinung nach jeder Seite insbesondere brauchbar,
alH für Berechnung nuch dem G. G. bei sj-mmetrischer W. bez. A
gemeinsam für beide Seiten anzuwenden wären. Ersetzen wir nun
im Sinne der § lo getroffenen Konvention die allgemeinen Bezeifli-
nungen m', m,, —0', — ©,, e, t,, die bez. beliebiger Hauptwerte
gelten, durch w', «»,, S5\ ^^,, •*'[ t^u soEem es sich um Beziehung
zu D liandclt, so gehen damit auch die positiven und negativen ver-
liilltuiitriiiiQigen Abweieliiiugi^zählen (P' und O,, sowie absoluten Zahlen
0'm' und CP,m,, desgleichen <p' und i/>,, ip'm' und if,m, jederseits
in Funktionen diusor Bezeichnungen über.
3) Proportioniägesetz. Uie beiderseitigen Abweichungszalden
«r, «(, hez, des dichtesten Wertes verlialten sieh wie die einfachen
mittleren Abweiclmngen c', c,, d.i. wie 23': m' und ld,:in, hez, 1
D, mithin
m : nt,^ t: : c, = —-, : , «( «(,
wovon folgendes Kondlare sind.
a] Die Quadrate der beiderseitigen Abweichungszalden, d. : *#f,' verhalten wirb wie die beiderseitigen Abweiehungssummen 29. S$,, (dso:
m"':fH,'=Zc'':S3,.
b) Der dichteste Wert 7) kann aelKst als der Wert bestim werden, <leitsi>n beiderseitigen Abweichungszahlen und mittleren Ab- weichungen dem Pruportionsgesetxe genügen. Ja ich halte die«, all- gemein gesjjrochen, für seine zwar nicht bequemste, aber genaueste Bestimmungsweise und gebe spät^T (Kapit^d XI) an, wie sie auszii- fühix'n i»t. Küi-ze halber msig sie die proportionale heissen und tks 80 bestimmte T), wenn es gilt, auf diese Bestimmungsweise aus- drücklich hinxHweisen, mit />, iM-zeichnet wenlen. Dies D^ kann man dann mit dem empii'isch direkt bestimmten /*, d. i. dem Werte, auf den das Maximum der Zahl x in einer Verteüungstafel fällt, ver- gleichen, und daraus, dass es doch nur in deji Grenzen der zuzu- gestehenden Unsicliei'heit davon abweicht, einen der Beweise fttr i Triftigkeit unsei-er nsynunelrisclien Gesetzlichkeit finden.
GAUSs'sches Gesetz und dessen Verallgemeinerungen. 71
4) Die Abstandsgesetze. Die Abstände zwischen den drei Hauptwerten bestimmen sich so. Sei W die Gesamtzahl, ^ff' die Gresamtsnmme, c" = 23^' : W das Mittel der mit C oder A (je nach- dem man den Abstand des C oder -4 von D sucht) gleichseitigen Abweichungen bez. D, d. h. welche nach derselben Seite von D ab- gehen, nach welcher C oder A davon abUegt, mag dies die positive oder negative Seite sein, indes der Index von zwei Strichelchen unten die entsprechende Bedeutung für die ungleichseitigen Werte haben mag, so findet sich nach §131:
C — 2) = re"V^, worin f den Wert von t bedeutet, der in der Tabelle der t zu
2W" '
kurz zu <Z>" gehört. Femer:
A^D = — ^^
m
ein Wert, der nach dem Proportionalgesetze mit 2 (D"e" überein- kommt, wie in § 131 zu zeigen, wonach man auch setzen kann:
Hiemach ist A — C als Differenz der beiden vorigen Abstände:
^- (7=(4 — D)-(C-D)= [2(tf' — fVn)c\
worin Qf' und f in angegebener Weise bestimmt sind.
5) Die /r-Gesetze. Für den in der Regel stattfindenden Fall, dass der Abstand des C von D ein kleines (streng genommen un- endlich kleines) Verhältnis zur mittleren Abweichung c' oder c, der Seite, nach welcher C von T) abliegt, kurz zu e" hat, hat man merklich:
-^ZTD' kurz P = ^ = o»785 40 (log = 0,895 09 — 0 2^^ = ^-7^ = 0,21460 (log = 0,33163—1)
;;j^-^ = 73-;^ = 3,65979 (log = 0,563 46 )
UArsB'iohM UeieU u
Olgem
Aljgesclii'ii von »HiiusgegUrlioiieii Zufälligkeiten und A hmjjTiii tüten J dcivii in Kftp. rV gedaclit ist, wodurch diese Vt^rliUltnisse, wie all« hier aufgestellton Gesetze altJ-'riert wenlen können, würden diese V» hältnisse streng gelten, wenn {C — Dyiiire"' gegen i völlig ^ nachlässigt wei-den könnte, überhaupt also C — D klein gegen e" Insofern aber dies Verschwinden doch nie vollständig stattfindet, a den obigen ;f-Funktionen von D, C, A rcsp, eigentlich zu s stituioren :
worin ^ ein positiver Wert ist, welcher i in kleinem VerliUltni übersteigt.
Die theoretisch ableitbare Bedingung, dass unter Voraussetzui Terhältnismäßiger Kleinheit von C — D gegen c" der Wert C-D
approximativ = ^n: 5=0,78540 sein muss, gehört bei der Allgemein- heit, in der er sicli empirisch wiederfindet, zu den scldagendsten Be- wahrungen unserer asyninietrisclien Verteilungsgesetze, und der Wert p wild daher künftig in den Tafeln der Elemente der von mir be- handelten Gegenstände besonders angegeben werden, um sich von der Approximation desselben an J.t zu überzeugen. Eine genaue Übereinstinunung damit ist prinzipiell nicht zu fordern, der Theorie nach sollt*' er, wie oben Iwmerkt, um eine Kleinigkeit größer als jrr ans den Versuchen hen'orgehen, aber dies kleine theoretisclie Ülwi-gewicht kann leicht durch unausgeghchene Zufälligkeiten über- boten werden, und so hat er sich (nach möghchst genauer propor- tionaler Bestiuimung von D als Df] in den aus den verschiedensten Geliieten entnonmienen K.-G., die sieh in Bezug auf die Gültigkeit vorstehender Gesetze untersuchen ließen (Schadelmaßen, Rekruten- maßen, botam'schen, meteor<dogisehen Maßenj. bei den vei-schiedensten Reduktionsstufen und Reduktionslagen der Verteilungstafeln zwisclu 0,6 und 0,9 gefundeu.
Statt sich an ^ zu halten, könnte man sich auch an die beidi anderen .'(-Funktionen halten, nur dass wegen des kleineren Verhält^
GAUSs^sches Gesetz und dessen Verallgemeinerungen. 73
nisses , was 4 — C gegen C — D und vollends gegen Ä — D hat, diese anderen Funktionen in stärkerem Verhältnisse von unaus- geglichenen ZufäUigkeiten affiziert werden können.
Aus der dritten tt- Gleichung, wonach
lässt sich ein sehr einfacher Weg ableiten, D approximativ noch auf einem anderen Wege als direkt empirisch oder proportional zu be- stimmen, welcher darin besteht, dass, nachdem man A und C be- stimmt hat, man den Abstand des gesuchten D von C 3,66 mal so groß nimmt, als der Abstand des A von C gefunden ist. In Kürze mögen wir den so bestimmten 2) -Wert als D,^ bezeichnen. — In- zwischen ist diese Bestimmung zu unsicher, um ihr überhaupt Wert beizulegen; zumal außer der mühsamen Bestimmung des D als D^, noch ein anderer verhältnismäßig einfacher Weg sehr approximativer Bestinunung als sog. Di zu Gebote steht, wovon in Kap. XI. die Rede sein wird.
Um statt bloß approximativer, genaue Bestimmungen der drei Abstandsverhältnisse zu erhalten, hat man auf die genauen Werte der drei Abstände selbst zurückzugehen, welche unter den Abstands- gesetzen angeführt sind, wonach:
|
C-D iH."t" Vn t" V7C HM II — • |
|
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A D tn" m„ 2 0' ' |
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C D t" Vit |
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A-C 20" t" Vn ' |
|
|
A C 20" rViT AD 2 0" ' |
t" Vjc 2 0" |
Diese Verhältnisse haben zwei Grenzwei*te, zwischen welchen sie sich halten, wovon der erste dem Falle m" = in„, d. i. dem Falle ver- schwindender Asymmetrie, wo ^ = i , entspricht ; der zweite dem Falle, wo fft,f gegen ttt" verschwindend klein, mithin = o gesetzt werden kann. Dies giebt für
OACU'ioliei OoKts und deMen Verallgeineiiieningeii.
. tireiize:
0,78540
. GrenK«; 0,84535
0,15465
3>65979 5.46609-
C — D A—i) A—C A~D C — D A — C
Der Wert p kann also normiilor Wdst' ülieräiaupt iiiclit untepj 0,78540 (allen imtl nicht über 0,84535 steigen.
6) Lagengesetz. Der Zentralwert C und das aritlunetisol: Mittel A liegen nach derselben Seite vom dichtesten Wert« D ab^^ und zwar so, dass C z\*ischen A und D fällt (s. § :34).
7) ümkehrgesetz. Die Asj-nuHetrie der Abweichungen bez. D hat das entgegengesetzte Vorzeichen als die der Abweichungen bez. A, iL i., wenn m' — m, bez. A (d. i. /i' — fi,] positiv ist, so ist wt' — m, bez. D {d. i, m' — tn,) negativ, und umgekelirt (s. § 134). Femer liat der Unterschied zwischen den exb'emen Abweichungi bez. A, d. i. ü' — I',, das entgegengesetzte Vorzeiclien als der Unte schied zwischen den Abweichungszahlen, d, i. u^ft' — /i, [s. § t4^)\
ß) Die Extremgesetze. [Ist die Anzahl der oberhalb i unterhalb D hegenden Abweichungen gleich m' resp. die Wahi-sclieinlichkeit :
dafür, dass:
den extremen Wert der oberen Abweichungen dartselie. Entspi'echenC ist die W. dafür, dass:
das Extrem der iiuteren Abweichungen sei, gleich:
0[/,]"
' exp[~t,']dt,.
Hiemach ist der walu'scheinUche Wert dei' oberen resp. unl* tremen Abweichung gleich:
GAi'ss'achcB Gesetz und dcaacn Veralli^emeiiierungeii.
6" == W \7i resp. ü. = t,c,y7c, wenn /' imd /, mittelst der (-TabeDc aus:
*[C] =yr resp. a)[f,] = V'i" Iicstniirut werden. iVergl. Kap. XX.)]'}
Abgesehen von den a^-Gesetzen 6) und Extreingesetzen 8}, welcl ich erst der Theorie venlanke, nacldior aber auph empirisch hewälul; fand, sind die vorigen Gesetze von mir zuerst rein empirisch gefunden worden, wonach diese Gesetze auch eine empirische GUltiglceit Hick- sichtfllos auf alle Theorie in Anspnicii nelimen können und gegenseits für eine damit zusammentreffende Theorie Zutrauen erwecken können. Vergeblich freiHch Äiirde mau durch rohe Bestiramong aus primären, mit großen Unregehnäßigkeiten dui'chaetzten Tafeln eine genaue Be- stiioniung des D und der damit in Beziehung stellenden Werte zu erlangen tind hiermit eine Kontrolle der vorigen Gesetze zu gewinnen suchen; es wird also noch zu besprechen sein, wie man durch ange- messene Reduktion und Interpolation der Verteilungstafeln zum Zwecke kommt.
§ 34. Ausdriicklich ist erwähnt worden, dass die vorigen Gesetze für den Fall nicht zu starker verhältnismäßiger Schwankung der K.-G. (im Sinne von § 9 8. 19) als genügend angesehen werden können, bei starker verhältnismäßiger Schwankung aber eine weitere Verall- gemeinerung des G. G. fordern. Nun ist noch anzugeben, was fiierzu 3 geben kann, und wie diese Vei'allgemeinerung zu fassen.
Da.s G. G. kann seiner Natur nach selbst bei unendlichem wi nur ein Ännäheningsgeaetz sein und ist von Gauss selbst nur dafür erklärt worden'); denn es setzt der Größe der Abweichungen von A nach beiden Seiten keine Grenze, sondern lässt nur die W. der Ab- weichungen mit wiicbsender Größe derselben immer mehi" ahnelunen.
t; [Durcli die eckigen Klamtncm werden, wie in deii >VorbemerkuiigeD< bereit« erwKhut wurde, die Er^'iuziiQgen und Zugätze dei Herausgebers keuiiüich gemRcht.j
3) Theoria motiiB corporum coelcBtiHin; Lib. II. Sect. III. arüc. 17S. Theori« eomlüiuitioiiiB observ, error, minim. obnoxiae: Pars prior, art. 17; Commcnt. iociet. GöMing. rec. Vol. V,
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OACRs'ichcB Geiptx und dcBien Vemllgcmeineningcn,
Eb k'uchtot abei' eiu, dasa, wenn die Abweichungen von Ä ins Ni gative größer als A selbst werden sollten, die abweichenden Werte kleiner als Null werden, was unmöglich ist. Also kann das G. Ghi von vomhei-ein keine unbeschiunkte Gültigkeit in Anspruch nelmien, wenn schon mit gi-oßtcr Approximation für Falle gültig bleiben, wo die Abweichungen vom aritlunetischen Mittel, mindestens die an Zahl weit übei-wiegenden , in dessen Nähe und durehschnitthcli sehr kli bleiben. Dasselbe aber, was in dieser Hinsiclit betreffs der negativi Abweichungen von A nach dem reinen G. G. gilt, gilt niclit minder von den negativen Abweichungen bez. D und der vorigen Verall- gemeinerung und liierniit Modifikation des G. G., und es giebt K.-G., bei denen die verhältnismäßige Schwankung um D so groß ist, dass man mit dem vorigen Prinzip der Verallgemeinenmg nicht mehr ausmcht
Hiernach ist eine Verallgemeinerung des G. G. zur Änwendbi keit auf K.-G. nach zwei Richtungen oder in doppeltem Sinne unteraclieiden : i) sofeni Kollektivabweichungen nicht die den obachtnngsfehlem zugeschriebene symmetrische W, bezüglich arithmetischen Mittels zeigen, der Fall der Asymmetrie aber als der allgenieincri' angesehen werden kann, welcher den der Symmetrie nur als besonderen Fall unter sich begreift; 2] sofern Kollektivabweichun- gen, wenn auch bei der Mehrzahl der K.-G., doch nicht bei alli die den Bcohacbtuugs fehl ein zukommende geringe verhältnismäBi Schwankung um die Hauptwerte zeigen.
Da nun die K,-G., bei welchen man mit einer Verallgemeinerung des Gr. G. in erster Richtung auskommt, nicht nur bei weitem zahl- reicher, sondern auch viel einfacher zu beliandeln sind als die, bei welchen es nötig ist, die noch weitere Verallgemeinerung in zweiter Richtung PlatK greifen zu lassen, und da durch Vorwegnahme der Verallgemeinerung in erster Hinsicht sich die Darstellung des Prin- zips der Verallgemeinerung in zweiter Hinsicht erleichtert, so ist diese Torwegnahme hier geschehen, nun aber doch, um unserer Un1 suchung überhaupt die erforderhche AUgemeinlieit zu geben, auf VerallgemeineiTing in zweiter Hinsicht einzugehen, und zwar begegnen sich von vornherein zwei Gesichtspunkte, dem Gedanken
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Oaübs'mIim Oc«|i nnd deuen VenUgemÜBenrngen'.
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L Richtung zu gel)eii, wie diese Verallgemeiuemug zu fassen sein I möchte.
§ 35. Bisher luihcn wir immer bloß arithmetische Ahwei- l'Changeii bezüglich iigeml welcher Hauptwerte iiu Auge geliiiht, il, Ii., i welche als [Kisitive und negative llnterechiede dayon gefasst werden LJiönnen, und gewöhnlich werden solche, wie auch hier femer ge- I Belieben wird, unter Ahweiohungen schlechthin verstanden. Ich be- I zeichne sie angegehenermaßen allgemein mit Ö. Aber mim kann I auch von Verliältnisabweichu ngen bezüglich gegebener Haupt- I werte sprechen, d. h. Verhältnissen, in welchen ein gegebener Hauptr I wert H überstiegen oder unterstiegen wird, die wii- allgemein mit ip I bezeichnen wollen. Wenn also (•) ^= a — H eine arithmetiache Ab- weichung ist, ist tp = a: H eine VerhÜltnisabweichung, und wählend wir ö' und ft, als positive und negative arithmetische Abwei- chungen unters cl leiden, je naclidem a^ H oder < H, unterscheiden aus demselben Gesichtspunkte ip' und if; als obere und untere Verhältnisabweichungen.
Während nun starke arithmetische Abweichungen vüii_ einem I Hauptwerte ins Negative bis unter die Grüße des Hauptwertes hin!il>- t fiihrvn nnd hiermit unmöglicli werden, gilt dies nicht von starken t unteren Verhältniaahweichungen, die vielmehr, so weit sie nach unten k gehen mögen, nur bis zu immer kleineren Bruchwerteu des Haupt- wertes fiihi-en, welche aber eben ao positiv als der Hauptwert selbst 1 bleiben, auf den sie sich beziehen; denn negative VerhUltnisabwei- I chungen giebt es überhaupt nicht, sondern nur positive, welche 1 1 übersteigen, und solche, welche [als echte Bi-üche^ 1 nicht erreichen. I Wonadi sich dai'an denken lieas, dass das Verteilungsgesetz, um auf I verbältnimnäBig atai-k sdiwankende K.-G. nach unten noch eben so I anwendhai- zu bleiben als auf schwach schwankende , prinzipiell I überhaupt stjitt auf ariÜmietische Abweichungen auf Verhältnisab- I veichungen beziehbar sein möcht«.
Mit diesem mathematischen Gesichtspunkte aber trifft folgender j- empirischer in derselben Richtung zusammen.
Beobachtungs fehler sind, allgemein gesiirocheii, wenigstens bezüg- I jich der Messung von Raumlängen, wesentlich unabhängig von di-r
78
OAtm^ttM 0«MtR und änKD Temllgenidnenni^.
sendpii GcgPtiHtandpf
nicht mit des
UriiBc diu MiiQinittel Hi(^li Ünderii, sicli /.uRammensetzen, komplizieren ; denn froüidi din BcobftflitwngHMdpr bei Messung einer Meile werden KrOBer nein nh bei Me«mnig t-iner Fußlängp, abtr nur, weil mehr nnd zUHftnnneiiyeHetüti^'i'e (Jiiorfttiunen zur Messung der ersteren ge- hfln'li; indcK die HeobiU'btungHfi'lder bei Messung eines hoben Tlieniio- m«ter- niler Biironit'terstJindi's Allgemein gesjiroelien nicht größer sind als* hei MewMung vinoa niedrigen.
Hiergegen vainieren K.-Q. im allgemeinen in wesentlicbei' Ab- hUngigkeit von ihrer Orilße, wenn dies im Sinne folgender Beispiele vcrsttinden wird. Ein Floh ist durchMchnittlich ein kleines Wesen, und HO sind iiuch die Abweichungen der einzelnen Flohexemplare vom mittleren Floh dui-chscbnittlich nur klein, nur Bruchteile von dessen mittlerer Griiße, nnd der ganze t'iitt'rscliied zwisehen dem grüDten um! kleinsten Floh bleibt nur klein. I5ie Alans i.st durch- »cbnittlich viel gnlBer «Is der Floh, diis Pferd wieder viel größer als die Mium, ein Btuim viel griiBer als ein Kraut iL s, w,, nnd überall kehrt rine entJiprechende Bemerkung wieder. Die Abweichungen der einzelnen Münseexeinplare von der mittleren Ataus sind durcbschnitt- lieh grüBer als die der einzelnen Flohexemplare vom mittleren Floh u. s. f. Auch lässt sich diese Abhängigkeit der durclischnittlicben Größe der Varintioiien von der durrhschnittlieheii Größe des Gegenstandes daraus verstt'hen, das.* die inneren und ituBeren ändernden Ursachen nuf gmSe tiegeiistünde mehr AngriRspunkte tiuden als auf kleine. KwHr niicli die Qualität der Gi^genstütide hat dureb die größere oder l^'riitgi-ru Leichtigkeit, mit der sie den ändernden Einäfissen nach- J[iebl, Rinflu)»; femer k«un die Zugüuglichkeit für äußere Uudemde EiiiHllsse niieh rmstündeu »Tersclue<len sein, AJso ist eine getmue Pmpt^rttttiMlitiit der mittleren Größe der Abweichungen mit der mitt- leren Größe der Geg»'nstänile von vornherein nicht zu erwarten. Aber )e<)enfalls bleibt die GröBe dn- Gegen>itSnde ein Haaptfaktor för die GröBe ihrer Änderungen, uud weuii schon deren durcbschnittUcbe Gr<>6e bei verschiedenen K.-0. nicbl dtT MittelgröSe der Gegen- «t&ade rein pn^piirtKnial ist, UeArt dodi s«hr d««Ui«r. dus f 5r jeden iusbeoundere bei der fOr ?ha ygebeiw Lrichtigfceit, dm ändAnden
OArss'getieB Oeietz und deaaen VerallgenieineningeQ. 79
Einflüssen zu folgen, und Zugängliclikeit zu densellien das einfachst mögliche Verteilungsgesetz der Abweichungen sich vielmehr auf Vfi"- hHltnisabweicliungen als arithmetische Abweichungen hezielie.
§ 36. Zunächst freilich tritt diesem Gedanken die sclieinbare Schwierigkeit entgegen, dass das G. G. seiner Natui- nach nnr auf Abweiclumgen beziehbar ist, welche als positive und negative Unter- schiede von ihrem Ausgangswerte fassbar sind, liiemach nicht als besonderer Fall unter ein Gesetz treten kann, welches sich auf Ver- liältnisabweichungen bezieht, und doch suchen vnr ein Gesetz, welches fUr den Fall verschwindender Asymmetrie und schwacher verhältnis- nmßiger Schwankung in das G. (4. übergeht oder dessen Verteilungs- weise wiedergieht. Aber übersetzen wir die Verhältnisabweichungen 1/» = fl : /? in ihre Logarithmen, log »/> =^ log n — log H, die wir kurz als logarithmiache Abweichungen mit l bezeichnen mögen, und be- merken dazu:
i) dass die logarithinischen Abweichungen Ä = log « — log //
den Cliarakter der aritliraetiachen ft teilen, sich als positive und
negative Unterschiede von einem gegebenen Ausgangswerte fassen zu
■ lassen, nur dass dieser seihst ein logaritlmiischer, nicht melir H,
sondern log H ist;
2] dass, solange die aritlimetischen Abweichungen verhültnis- milBig klein gegen ihren Hauptwert sind, also eine verhältnismüQig geringe Schwankung um denselben stattfindet, wie es beim G. G. vorausgesetzt ist, die Verhältnisse der ai'itimietischen Abweichungen mit denen der zugehörigen logaritlimi sehen merklich übereinstimmen, was nicht nur mathematisch beweisbar, sundern auch empirisch an den Logarithmentafeln nachweisbar ist, indem mau die Differem^en der Logarithmen mit denen der zugehörigen Zahlen vergleicht.
Also würden wir auch bei verhältnismäßig scbwaclier Schwankung von dem logarithniischen Prinzip, als dem allgemeinst zulänglichen, mit Vorteil Gehrauch machen können, nui- dass dieser Vorteil bei Terhältnismiißig schwacher Schwankung zu gering ist, um die ver- mehrte Mühe zu lohnen, welche die logarithmische Behandlung mit- I bringt, indes er bei verhültnismäßig starker Schwankung entschieden I hervortritt, wozu die empii-ischen Belege folgen werden ; denn freilich
m
OArm'ielics Gnetc imd d«B«ti Verellgemriilefutigeti.
ohne empirische Belege könnte die vorige Auffassung überhaupt nur als eine in die Luft geliaut« Hyiwthese erscheinen. Die Anwendung der logarithmiachen Belumdlung auf die Empirie alier ist diese.
Man reduziere die gegebenen EinzelmaBe a des K.-G. auf ilu-e Logarithmen a =^ ioga, suche in derselben Weise, als es bei Auf- suchung des dichtesten Wortes D aus den a geschieht, worauf später bestimmter einzugehen, den dichtesten Wert dieser a, welcher S* heiße, und der, wie später bestimmter zu erläutern, nicht mit log D zu verwechseln ist, nehme von diesem Werte 3) die logarithmischen Abweichungen i. = a — 3> ;= log a *— S' , welche teils positiv, teils negativ sein werden, suche von den / nach jeder Seite insbesondere, d. i. Ä' und i.,, die einfachen ai'ithnietischen Mittel oder sog. mittleren logaritlmiischen Abweichungen c', c, respektive:
wobei m' und tn, die Zahl der positiven und negativen Abweichungen, nicht wie früher der u von D, sondern der a von ö> bedeuten, und best! im» e dann die Verteilung der logarithmischen Abweichungen /', /, auf jeder Seite insbesondere ebenso in Bezug auf <i', e,, «*', «», nach zwiespältigem G. G., wie es oben (§ 33) unter j) angegeben ist, nur dass c\ c,, m', -m. hier in angegebener Weise logarithmisch, stjvtt wie friiher arithmetisch beatinunt sind.
Aus diesen für die lugarithmi sehen Abweichungen geltenden Bestimmungen folgen dann durch Übersetzung derselben in die nach den Tjogarithmentafeln zugeliörenden Zahlen Bestimmungen für die Verhältnisabweichungen imd deren Hauptwerte, worauf aliei- für jetzt nicht einzugehen, indem die erforderlichen Ausführungen darüber einem späteren Kapitel vorbehalten bleiben, welches überhaupt auf die logarithmische Behandlung der K.-G. näher eingeht (Kap. XXL-
Außer dem logarithmisch dichtesten Werte 3> kann man dann auch das higaritbuiische Millrl y' :iK i\i : m, d. h. als arithmetisches Mittel der Logarithmen \on ", uml ddi logiuitlunischen Zentral wert (?, als den Wert va" -^-dc a Ubi-'r sich und unter si<
i;.t, Itestiu'™
sic^i^H
i'Bche« GeieU und deisen VerallgemeiiieniDgen.
81
Von den lofrarithniischen Werten kann man femer zu (!en Zali)-
f werten, die ihnen nach den Logarithmentafeln zugehören, übergehen,
I und besondere Bezeichnungen dafür festsetzen, was nicht müßig
liist, da diese Werte ihre beachtenswerte Bedeutung haben. So ^sat
l'sich der zu 3> gehörige Zahlwert mit i^ als dichtester Verhältniswert
I bezeichnen, indem er die Bedeutung bat, dass in gleichem Verhäitais-
I abstände von ihm nach jeder Seite mehr Werte a und mitliin et vereinigt
I sind als in demselben Verhältnisabstande von irgend einem anderen a.
Der zu dem logarithmischen Zentralwerte (3 gehörige Zahlwert
I stimmt mit dem arithmetisch bestimmten C überein; denn wenn ein
Wert von n, d. i. C, gleichviel a über sich und unter sich hat, so
hat auch der Logarithmus von C, d. i. (?, gleichviel Logarithmen der
n, d. i. gleichviel a, über sieb und unter sich.
Der mit G zu bezeichnende, welcher als Zahlwert zu S gehört, [ stellt das geometrische Mittel der n dar.
§ 37. Wir haben also folgende drei allgemeine Gesetze oder Prinzipe zu unterscheiden, von denen jedes folgende als eine Ver- allgemeinerung und zugleich Verschärfung des vorhergehenden be- ' trachtet werden kann, und deren wesentliche Unterschiede hierbei l-knrz resümiert werden sollen.
ij Das reine, einfache, ursprüngliche ÖAüss'sche Ge- setz oder Prinzip, fUr die Voraussetzung symmeti'ischer Wahi^ Fwheinlichkeit der beiderseitigen arithmetischen Abweichungen Ö', ^, I Tom arithmetischen Mittel. Hierbei wird der Ausgang vom aritli- [■ metischen Mittel A genommen, die beiderseitigen Abweichungen davon [ als arithmetische bestimmt, die mittlere Abweichung e ^ 2(^ .tu für f beide Seiten gemeinsam als Quotient der Summe der beiderseitigen ■■Abweichungen nach absolutem Worte durch die Gesamtzahl derselben I- direkt (oder nach einer bekannten Formel aus der Summe der Ali- l »eichmigsiiuadrate als e ^ qV2 : ;t] berechnet und nach der ^Tabelle ^äe Verteilung bestimmt. Zur ausdriicklicbon Unterscheidung der iziehung der Abweichungen auf Ä ersetze ich die allgemeinen Be- eJohmmgen tri, &, £ durch /i, J, ij.
) Die arithmetische Verallgemeinerung des G. G., für ä Voraussetzung asjTnmetrischer W. der Abweichungen ©', 0, vom
81
Oxoss'aehes Oeseti und dcRien Veral^^emeinenrngen.
arithmetischen Mittel, allgemeiD gültig fib- die verschiedensten Grada^ der Afijinnietrie, doch nur zureichend für verlmltnisiiiäBig schwache Schwankung um die Hauptwerte, wie sie den meisten K.-Gr. zukoimot. Hier wird der Ausgang von dem arithmetisch dichtesten Werte I) genommen, der aus den MaBwerten a in später zu betrachtender Weise') erhalten wird, ohne sie vorlier in Logarithmen übersetzt zu hahen. Die beiderseitigen Abweicliungen &', 0, werden als arith- metiscbo nach beiden Seiten von D besonders genominen, ilire mittleren Werte e' = iö' : m' und i, = ^0, : m, bestimmt, und nun fik jede Seite insbesondere die Verteilung nach dem zweispaltigen G. G. (§ 33) unter Setzung von t'= 0':e'K;r füi- positive Seite und von t,^ Q,:t,V7r für negative Seite naeh der t-Tahelle bestimmt. Zur ausdrücklichen Unterscheidung der Beziehung der Abweichungen auf D ersetze ich die allgemeinen Bezeichnungen m, 0, c durch «1, 5, c.
3) Die logarithmische Verallgemeinerung des vorigen Gesetzes oder Prinzips, gültig für beliebig große Asymmetrie und behebig große verhältnismiiBige Schwankung. Hiemach sind von allen einzelnen MaBwerten n die Logarithmen a = log a zu nehmen, hieraus der dichteste Wert 3> zu bestimmen, die logarith- mischen Abweichungen X, X, nach beiden Seiten zu nehmen, hieraus die Mittel derselben e', c, zu nehmen und auf a, 3>, X', ).,, c\ e, ganz entsprechende Bestimmungen anzuwenden als nach der vorigen, der arithmetischen Verallgemeinerung auf n, D, $', S,, a\ c,. Von den logarithmisclien Werten lässt sich dann auf die Verhältniswerte als nach den Logarithmentafeln zugehörige Zahlen kommen.
Als prinzipiell streng sehe ich nun eigentlich hloB die logarith- mische Vei'allgemeinerung des G. G,, d, i. 3) an; aber sie ist in ihrer Anwendung sehr umstjindhch, und bei verhältnismäBig schwacher Schwankung kann man sehr wohl nach der arithmetischen Verallge- meinerung 2) verfahren, wie sich erfahrungsraäßig beweisen wird. Am wenigsten genügt überall das einfache G, G, 1), indes es am einfachsten anwendbar ist, weil der arithmetische Mittelwert A als AusgangHwert der Abweichungen leichter als die dichtesten Werte
QAUSS^sches Gesetz und dessen Verallgemeinerungen. 83
D und d> mit verhältnismäßiger Genauigkeit zu bestimmen ist; bei schwacher Asymmetrie aber weichen die Resultate von i), 2) und 3) wenig von einander ab.
Je nachdem ich nun folgends die Behandlung eines Gegenstandes unter Voraussetzung symmetrischer W. der Abweichungen bez. -4, also nach erstem Prinzip, oder unter Voraussetzung asymmetrischer W. bez. A^ also nach zweitem oder drittem Prinzip im Auge habe, werde ich kurz von Behandlung nach symmetrischem oder asym- metrischem Prinzip sprechen; und je nachdem ich die Behand- lung mit Anwendung arithmetischer Abweichungen, also nach erstem oder zweitem Prinzip, oder mit Anwendung logarithmischer Abwei- chungen, also nach drittem Prinzip, im Auge habe, werde ich von arithmetischer oder logarithmischer Behandlung sprechen.
Im allgemeinen findet man für das Folgende die Behandlung der Gregenstände und Aufstellung der Sätze nach arithmetischem Prinzip geführt; der Übergang zum logarithmischen Prinzip und' die Behandlung der eine solche wesentlich fordernden Gegenstände wird aber dem £[apitel XXI besonders vorbehalten.
6*
VI, Charakteristik der KoUektivgegenstände durch ihre BestimmuDgsstücke oder sog. Elemente.
§ 38. Gehen wir auf tlie schon früher {Kap. II) bezüglich der Charakteristik der K.-G. gemachten aUgetneinen Bemerkungen jetrt.1 etwas bestimmter ein.
Sollte ein K.-Cir. vollständig nacli Maß und Zahl bestimmt sein; so würde es überhaupt gelten, nicht nur alle gegenwärtigen, sondeni auch gewesenen und künftigen Exemplare desselben zu zählen und von jedem das Maß nach den Hinsicliten zu nehmen, die einer quan- tit-ativen Bestimmung Ramu geben, nls wie Größe nach den drei Hauptdimensionen, Gewicht, Dichtigkeit, Dauer, Dies ist im all- gemeinen unmöglich. Die Menge der Exemplare eines gegebenen Gegenstandes ist überhaupt meist unbestimmbar groß, und von dieser unbestimmbar großen Menge steht meist nur eine sehr besciminkte Anzahl für Maßnahmen daran zu Gebote. Dazu erhellt, dass, wenn z, B. das Gellimgewicht des Europäer und Negers verghchen werden soll, dies nicht dadurch geschehen kann, dass man die Gewichte von tausend europäischen Gehirnen den Gewichten von tausend Neger- gehimen gegenüberstellt. Es gilt ein einheitliches Resultat. Also wii'd es zwar nach schon hüher gemachten Bemerkungen gelten, so viele Exemjilare der zu untei-suchenden und zu vergleichenden Gegen- stände als möghch ohne willkürlichen Ausschluss gewisser Größen zu messen, worin man nicht zu viel thun kann, um unausgeglichenen ZufälligkeJt-en nicht zu \ic\ Kaum zu geben, die erhaltenen Maße in angegebener Weise nach Zahl und Große in Verteilungstafeln zu
len, und, da dies aber doch ei-st dazu fühlt, den Gang der
I
Charakteristik der K.-O. durch ihre Elemente.
85
Wtrte im allgemeinen übei-sehen zu lassen, aus diesen Vprteüungs- tafeüi gewisse Werte, die sog, BeBtimmungsstiicke oder Elemente des K,-Gr. abzuleiten, welche eine Charakteiistik des Gegenstandes und Möglichkeit seines Vergleiches mit anderen Gegenständen nach quantitativer Beziehung gewäliren. In der That hat man hierin die Frucht der vielen einzelnen MaQbestimmungen zu sehen ujid zu bieten.
Begnügt man sich nun, wie es häufig der Fall ist, mit der An- gabe des arithmetischen Mittels eiuea K.-G., so liat man darin aller- dings einen wichtigen und in keinem Falle zu veraachlässigenden Bestimmungswert und Vergleichs wert mit anderen Gegenständen; aber es können zwei K.-G. ganz oder nahe darin übereinstimmen und doch nach anderen Beziehungen sehr auseinander weichen. Nun konnte es früher genug erscheinen, auch die mittlere Schwankungs- gröBe und ganze Schwankungsweite eines K.-G. durch Angabe der mittleren Abweichung vom arithmetischen Mittel und der Extreme 2U berücksichtigen, um die wesentliche Charakteristik damit erschöjift zu haben, und in der That ist dies mitunter geschehen. Aber mit der Erkenntnis der den K.-G. in so großer Allgemeinheit und in si> verschiedenem Grade nach einer oder der anderen Richtung zu- kommenden Eigenschaft der Asymmetrie ist das bisher nicht ge- fühlte Bedürfnis eingetreten, die K.-G. , die man überhaupt einer eingehenden Untersuchung und Vergleichung wert hält, auch nach dieser Richtung zu charakterisieren, d. i. die verschiedenen Haupt- werte, deri'n Unterscheidbarkeit durch die Asymmetrie bedingt ist, und die Abweichungswerte bezüghch derselben ins Auge zu fassen, womit nicht gesagt ist, dass jeder Gregenstand an sich Interesse genug hat, um sich auf eine solche Erweiterung seiner Charakteristik ein- zulassen, indes jedenfalls in einer allgemeinen KoUektivmaB lehre darauf eingegangen werden muss.
§ 39- Wenn nun schon die allgemeine Kollekti\'maBlehi'e nicht bei der frülier gewohnten, beschränkten Berücksichtigung von A und der dazu in Beziehung stehenden Abweichungen stehen bleiben kann, und doch, wie schon oben zugegeben, nicht jeder K.-G. auf eine Berücksichtigung aller möglichen Bestiminungastücke, die im H. Ka- pitel angegeben sind, Anspruch machen kann, so wird überhaupt
S6 Charakteristik der £.-G. durch ihre Elemente.
nicht leicht Anlass sein, auf eine allseitige Berücksichtigung derselben einzugehen, es sei denn bei einem K.-G., dem man eine ganz be- sondere Wichtigkeit beilegt, und der als Beispiel für die Durchführ- barkeit der allseitigen Berücksichtigung selbst dienen soll. Also kann man leitende Gresichtspunkte für eine zu treffende Auswahl wünschen.
Alles zusammengenommen nun glaube ich, dass, wo man mit Bestimmungen sparen will, und es eine Konvention gilt, an welchen Hauptwert man sich vorzugsweise zur charakteristischen Unterscheidung gegebener K.-G. halten soll, dem arithmetischen Mittel mit seinen Abweichungen immer der ihm bisher gewahrte Vorzug bleiben wird, nur dass man mit Übergebung der übrigen Bestimmungsstücke zu- gleich an Einsicht in die quantitative Konstitution der K.-G. verliert und Charaktere derselben außer Acht lässt, die an sich nicht minder bedeutsam sind, als die sich an das arithmetische Mittel knüpfen, und auf die Aufstellung eines allgemeinen Verteilungsgesetzes empor- heben. Zur Klarstellung hiervon wird auf die schon oben (Kap. ü) angegebenen Eigenschaften der verschiedenen Hauptwerte mit er- weiternder und erläuternder Betrachtung zurückzukommen sein.
[Dies wird ausführUch im X. Kap. geschehen. Während aber dort die Eigenschaften jedes einzelnen Hauptwertes für sich vorge- führt werden, handelt es sich hier um eine vergleichende Beurteilung der Hauptwerte selbst rücksichtlich ihrer Leistungen zur Charakteristik der K.-G. Aus diesem Grunde kommen bloß der arithmetische Mittelwert A, der Zentralwert C und der dichteste Wert D in Be- tracht; denn der Scheidewert i2, sowie der schwerste Wert T xxnd der Abweichungsschwerwert F sind von vornherein wegen ihrer geringeren Bedeutung bei einer zu treffenden Auswahl bei Seite zu lassen. Da- bei ist jedoch ein Unterschied dazwischen zu machen, ob jene drei Hauptwerte mit Rücksicht auf ein als gültig vorausgesetztes Ver- teilungsgesetz oder ohne Rücksicht auf ein solches betrachtet werden sollen, da je nachdem eine ganz verschiedene Wertschätzung der- selben Platz greift.]
§ 40. [Lässt man nämhch die Voraussetzung fallen, dass ein Verteilungsgesetz den Gang der ;t -Werte einer Verteilungstafel regelt, so ist die letztere prinzipiell nur als eine regellose Ansammlung von
Charakteristik der £.-G. durch ihre Elemente. 87
Werten aufzufassen, und es kann darum den Hauptwerten nur die Bedeutung zukommen, als Mittelwerte jenen regellosen Komplex in mehr oder minder zutreffender Weise zusammenzufassen und zu ver- treten. Dann ist aber keinem Zweifel unterworfen, dass die Be- stimmung des A wertvoller ist als diejenige des C oder des D, Denn A stellt als arithmetisches Mittel den Durchschnittswert dar, der thatsächlich an Stelle jedes einzelnen Wertes gesetzt werden kann, wenn dieselben zu einer Summe zusammengefasst werden sollen. C dagegen giebt bloß die Wertmitte an, die eben so oft überschritten als unterschritten wird, und repräsentiert somit die Tafelwerte mit geringerer Zuverlässigkeit, weil es nicht wie A von der Siunme, son- dern nur von der Anzahl der beiderseitigen Abweichungen abhängt. D schließlich kann gar nicht als stellvertretender Mittelwert zuge- ktssen werden, da es nur den empirisch dichtesten Wert in seiner durch kein Gesetz geregelten Zufälligkeit bezeichnet und seiner Lage nach nicht rechnerisch bestimmt, sondern bloß durch den Anblick der Tafel gefunden werden kann. Überhaupt ist sein thatsächliches Vorhandensein in einer regellos verlaufenden Tafel nur als ein glück- licher Zufall anzusehen, dem keine Wichtigkeit beizumessen ist.]
[Anders ist es, wenn das Bestehen eines Verteilungsgesetzes an- genommen wird. Dann behält zwar A die Bedeutung als Durch- schnittswert, die es auch in der regellosen Tafel hat, ohne direkt etwas zu gewinnen. Die Bedeutung von C dagegen wird größer, da es, mit Rücksicht auf die nunmehr in Ki'aft tretenden Wahrschein- lichkeitsbegrifiFe , als Wertmitte den wahi-scheinlichen Wert darstellt. In den Mittelpunkt des Interesses rückt aber D, da es als empirisch dichtester Wert, wenigstens angenäheii;, d. h. von den unausgegliclienen Zufälligkeiten abgesehen, denjenigen Wert bezeichnet, dem die größte W. zukommt. D steht somit in solidarischem Zusammenhange mit dem Verteilungsgesetze, dessen Maximalwert prinzipiell init ihm zu- sanunenfallen muss. Auch erhellt unmittelbar, dass nach Aufstellung eines zutreffenden Verteilungsgesetzes ein doppelter Weg zur Be- stimmung von D offen steht: der eine auf Grund des Gesetzes, dessen Maximalwert theoretisch den wahrscheinlichsten Wert be- zeichnet; der andere auf Grund der Tafel, deren dichtester Wert
88 Charakteristik der £.-Q. durch ihre Elemente.
empirisch den wahrscheinlichsten Wert angiebt. Dabei ist es gleich- gültig, ob der Gang der x in der Tafel den dichtesten Wert direkt oder nur die Tendenz zur Erzeugung eines solchen erkennen lässt. Denn infolge des in Kraft getretenen Gesetzes stehen die a und die ;^ in funktionalem Zusammenhange, so dass nach bekannten Regeln das dichteste x durch Interpolation ^us den gegebenen Tafel- werten berechnet werden kann, wenn seine rohe Bestimmung aus dem unmittelbaren AnbUck der Tafel versagt oder ungenau erscheint. Insofern nun aber diese empirische Bestimmung des wahrscheinlichsten Wertes mit jener theoretischen übereinstimmen soll, müssen dem D alle die Eigenschaften beigelegt werden , die den Maximalwert des Verteilungsgesetzes auszeichnen, so dass einesteils die Berechnung des D durch Interpolation ein Mittel bietet, die Triftigkeit eines aufgestellten Verteilungsgesetzes zu erhärten, anderenteils, vor Kennt- nis des aufzustellenden Gesetzes, die Erkenntnis der Eigenschaften des empirisch konstatierten D der Tafeln Fingerzeige zur Auffindung eines Verteilungsgesetzes geben kann.]
§41. [Dieser solidarische Zusammenhang zwischen den Eigen- schaften des dichtesten Wertes D und dem Verteilungsgesetze, der dem D den unbedingten Vorrang vor jedem anderen Hauptwerte sichert, tritt auch in der physikaUschen und astronomischen Fehler- theorie zu Tage. Dieselbe betrachtet bekanntUch als den wahren Beobachtungswert das arithmetische Mittel der beobachteten Werte, deren Abweichungen von jenem die Beobachtungsfehler sind. Der wahre Wert ist aber nichts anderes als der wahrscheinlichste Wert, der in einer Fehlerreihe, die hinreichend groß ist, um einen gesetzmäßigen Gang erkennen zu lassen, als empirisch dichtester Wert sich zu er- kennen giebt. Es wird also durch Aufstellen des Prinzips, dass der wahi-e oder wahrscheinUchste Wert das arithmetische Mittel A sei, dem A die Bedeutung zugelegt, zugleich der dichteste Wert D zu sein. Diese Forderung des prinzipiellen Zusammenfallens von A und D führt nun zum GAuss'schen Fehlergesetz, wie das z. B. aus Encke^s *) Darstellung der Methode der kleinsten Quadrate zu ersehen
I) [Berliner astronomisches Jahrbuch für 1834, S. 264 fg.]
■MWeriabk der K.-O. durch ihre Elemente. g9
»ullii'n fiilgt tliinn weiterhin aach die prinzipielle > Zeiitrsilwirtps C mit A und mit D, deren ver- li Gmifi diT Tafel Symmetrie bez. A bedingt, ■.;.;:iiiili nveiclu'n Asymmetrie zur Folge hat]
I -^ natürlich durch die Erfahrung Bestätigung
r'loch nicht verlangt, dasB für Fehlerreihen,
■ I iliii Stand setzt, einen dichtesten Wert durch
\iilili(?k der Reihe oder durch Interpol ationsmaßige
l"ii, ilet-selbf genau mit .d zusammenfalle; denn
ii iin:msgegliciiene Zufälhgkeiten Rücksicht zu
In rill tmpirisdiGs Auseinanderweichen der Haupte
■ n kennen, ulino zugleich die Gültigkeit des aufge-
fri Frage zu sti^llon. Überdies wird man eine Be-
t Pril«a(ts vielmelir in der Übereinstimmung des in der
Ichlich vorliegenden G-anges der Werte mit dem
1 geforderten Gange, als in dem empirischen Zu-
I Ä und D suchen und finden; wie denn auch z. B.
»Fundamenta astronomiae« durch Gegenüberstellen
f Fehler nacli der Theorie und nach der Erfahrung
I G. G. gegt'l)c'n liat. Es werden nämhch die
t Zufälligkeiten, insbesondere hei hinreichender Re-
Pehlertabelle , den Gang der Tafelwerte im ganzen
usen, während zu ei-warten ist, dass sie die Lage ein-
!■ mitunter erhebli<;h stfiren und leicht ein verhältuismäBig
Trfitliciics Auseinand erweichen der Hauptwerte, deren Zusammen-
tT Theorie verlangt wird, verursachen können.]
1 aber ein solches Aiiseinanderweichen stattfindet, behält
rithmetische Mittel den Voi-zug, sei es, dass man nach Gaüss-
rinzipien als den wahrscheinliclisten Wert denjenigen ansieht,
i dessen die Simime der AbweichungS(iuadrate die kleinst-
\ ist, oder bezüglich dessen die Summe der Abweichungen
iden Seiten gleich ist; beide Werte aber fallen im arithmeti-
I zusammen, mag Symmetrie oder Aa)Tnmetrie bezüghcli
dlben stattfinden. Also bleibt der Vorzug für das arithmetische
tel auch da, wo es nicht mit den anderen Hauptwerten zusammen-
fällt, in iler jiltysikalisL'hen und iistrunomischen MaiJlelire nach den 1 Zwecken derselben jedenfalls entschieden.
[Dies gilt Jedoch nur unter der Voraussetzung, dass prinzipieU-J das arithmetische Mittel als der wahrscheinlichste Wert zu beb'achtan I sei. Verliert dieses Prinzip seine Geltung, so verliert auch A seine J bevorzugte Stellung; denn es behält zwar seine ui-sprilngliche Be- 1 deutung als Durchschnittswert, aber mit Rücksicht auf das Veiv 1 teilungsgesetz tiitt jetzt derjenige Wert an seine Stelle, der dem I nunmehr autzustellenden Prinzipe gemäß die Bolle des wahracliein- I liebsten Wertes übeminunt und prinzipiell mit dem dichtesten Werte j zusammenfällt. Wird beispielsweise der Zentralwert C oder ein ] anderer >Potenzniitt€lweii<, bezüglich deren Aufstellung undErörl«-! rung auf die Abhandlung'): »Über den Ausgangswert der kleinsten] Ähweichungssumme< zu verweisen ist, als der Wert angesehen, dem i die gröBte W. zukommeo soll, so tritt im Zusammenhange damit I jedesmal ein anderes Verteilungsgesetz in Ki-aft, dui'ch dessen stehen der zu Grunde gelegte wahrscheinlichste Wert ganz ebenso die Vorherrschaft erhält wie hei Geltung des G. G. das arithmetische Mittel.]
§ 42. [Für die KoUektivniaBlehre ist nun in gleicher Weise der dichteste Wert von fundamentalem Interesse, sobald das die VerwJ teilung der Exemplare eines K.-G. beherrschende Wahrscheinlich- ^ keitsgesetz in Fi-age kommt. Betreffs der Feststellung der Eigen- schaften des dichtesten Wertes und der auf dieselben zu gi'ündenden Ableitung jenes Gesetzes kann aber liier nicht das Prinzip des arith- , metischen Mittels oder ii'gend ein anderes Prinzip a priori aufgestellt I werden. Denn die K.-G. sind nur durch die Erfahrung gegeben, ' und es besteht von vornherein uiclit einmal Sicherheit darüber, dass für dieselben insgesamt ein bestiiiunter Wert als walu^cheinlichster Wert zu finden ist, oder dass — mit anderen Worten — der empirisch dichteste Wert bei den verscliiedenen K.-G. durch die niindichen J
i.i Abhandlungen der math.-phj'E. Kksse der K5nigl. SSchs, Gesellsch. der Wisseusch. Band XI, 1878. ilusbeiondcre AhBchuili VI: >Beinerkun(;i3u tur Galtigkeitafragc des Priudps dea nrithmcdscheu Mittels< iiud Abschnitt VII: ■WahrBcheinlichkcitBgeactic der Ahwcicbiiugcn be». der verscliiedenen Poten»oultd unter Vornuagctzung der Gültigkeit ihres Priniipa.)
I
I Chsnüttemtik der K.-G. dtuefa ihre Elemente- 91
Eigenschaften clianikterisiert wenlen kann. Es ist darum als ein grundlegendes Resultat der Erfalining anzusehen, dass die verschie- densten K.-G., die in Untersuchung genommen wurden, in der Tliat die Bestimmung eines wahrscheinlichsten Wertes gestatten, und dass der letztere nahe genug mit demjenigen Werte zusammentrifft, für den das Verhältnis <ler beidei-seitigen mittleren Ahweichungen (c':ö,) gleich ist dem Verhältnisse der heiderseitigen Abweichungszuhlen (»•':#«,). Der dichteste Wert ist somit in der KollektiiTnaBlehre von dem arithmetischen Mittel prinzipiell vei'schieden und steht rielraehi' in prinzipiell geforderter Übereinstimmung mit dem durch die Pro- portion e' .e, = *»' : m, definierten Werte. Der letztere [welcher nach der in Kap. H getroffenen Festsetzung mit D^ zu bezeichnen ist, während D, den interi}olationsmäBig berechneten, empiriscli dichtesten Tafelwert benennt) beansprudit mithin hier die nämliche Beachtung wie der arithmetische Mittelwert in der Fehlerthoorie, Auch hat er die ganz entsprechende Bedeutung; denn auf Grund des [Prinzips,
Idass der wahrscheinlichste Wert eines K.-G. die Proportion i':c, = tn'-.f». erfüllen, oder dass Dp = Dt sein soll, findet mau als Verteilungsgesetz das im vorigen Kapitel bereits rorgreiflich aufge- stellte erweiterte G. G. in ähnhcher Weise, wie auf Gmnd des Prinzips, dass der wahrscheinlichste Wert das aritlmietische Mittel, oder dass A ^ Dt sein soll , das einfache G- G. als Fehlergesetz sich ergiebt.] iNur insofern kann J auch hier die Vorhenschaft behaupten, als es bei den mit schwacher Asymmetrie begabten K.-G. ao nahe mit Df zusammenfallt, dass es genügt, approximativ das einfache G. G. an Stelle des zweispaltigen in Anwendung zu bringen.] § 43, Niclit unberücksichtigt darf hei der Wahl zwischen den verschiedenen Hauptwerten der Grad der Leichtigkeit und Bestimmt- heit bleiben, mit dem sie zu gewinnen sind. Kommt es auf bloß rohe Bestimmung an, so ist die des dichtesten Wertes entschieden die einfachste »md leichteste, da man ja in einer Vei-teilungstafel bloß nach dem a zu sehen braucht, welchem das größte x zugehört; demnächst folgt in dieser Hinsicht die Bestimmung des Zentralwertes, wozu es nur einer Abzahlung der n i)iler Ö von beiden Seiten nach
92
Charakteristik der K.-O, durch ihre Elemente.
der Mitte bis zur erlangten Gleiclilieit von in' und »i, bedarf; umständlichsten die des A, da die Addition aller einzelnen a einer vielzahligen Verteilungstafel oder, was auf dasselbe herauskommt, die Bildung und Addition der Produkte xa zur Erlangung der Summe ^a, welche mit tn zu dividieren ist, eine bei großem ni lang- wierige und mühsame Operation ist.
Aber anders, ja gerade umgekehrt, stellt sich das Verhältnis, wenn man zu scharfen, den idealen sich möglichst nähernden Be- stimmungen übergehen will. Von der rohen Bestimmung des dichte- sten Wertes nach dem auf ihn fallenden Maximal-i ist überhaupt nur eine sehr unsichere Approximation an den Idealwert zu erwarten; die achärfstmöghche aber, auf das Verhältnis tn' : nt, = ä' : e, zu grün- dende, ist zwar auf eine bestimmte und nicht schwierig zu führende Bechnung zu bringen, aber wirtl in der Ausführung unstreng, fordert Reduction und Interpolation, die zuletzt noch einen kleinen Spiel- raum für das zu rechnende Resultat lassen. Auch die schai-fe Be- stimmung des C, obwohl ^Hel eintaclier als die des D, kann ohne solche Hilfsmittel nicht auskommen, wogegen die Bestimmung des A solcher nicht bedarf. Die Umständhchkeit der Bildung der Pro- dukte ifl kann durch ein später (Kap. IX) anzugebendes Verfaliren vermieden werden.
§ 44. Nach voriger Besprechung der Eigenschaften und Lei- stungen der verschiedenen Hauptwerte wird noch etwas von den Gesichtspunkten zu sagen sein, aus denen die Extreme und Abwei- chnngsfunkttonen in Rücksicht kommen.
Es können zwei K.-G. ganz oder nahe in ihien Hauptwerten übereinstimmen und doch noch ihe Schwankung» weite und der mittlere Schwankungswert der Exemplare um ihi* Hauptwerte sehr verschieden sein, worin keineswegs gleichgültige Unterscheidungs- merkmale hegen. So kann die Mitteltemperatiu- einer Insel mitten im Oceane nnd einer Ortlichkeit mitten in einem Kontinente dieselbe sein; aber die Abweichungen der einzelnen Temperaturen von der Mitteltemperatur halten sich bei der ersten in engeren Grenzen und sind im Durchschnitte kleiner als bei der zweiten, wonach wir Seekhma und Kontinentalklima unterscheiden.
I
Charakteristik der K.-G. durch ihre Elemente.
[Man wird nuD geneigt sein, derartige Untersuhiede dm-ch Angabe des groBt«n und des kleinst«!! Wertes, d. i. des E' und des E,, die I in einer Reihe von Exemplaren eines K.-Gr. vorkommen, in einfaclister ) Weise zu charakterisieren.]
So empfehlenswert aber die Angabe der extremen Werte E' und
[ £", ist, um erkennen zu lassen, in welchen Grenzen die Größe der
' Exemplare geschwankt hat, so ist doch der Nutzen davon aus mehr
I als einer Beziehung prekär und beschränkt. Einmal unterliegen diese
Werte großen Zufälb'gkeiten, so dass man nicht darauf rechnen kann,
wenn man die Extreme und extreme Schwankung aus einer neuen
Serie Ton Exemplaren mit demselben m bestimmt, dieselben Werte
, wieder zu finden; zweitens hat die Angabe dei-selben überhaupt nur
[ für die Anzald der Exemplare, das m, woraus dieselben abgeleitet
I sind, einen Wert, indem bei größerem m der Spielraum der Ver-
' änderungen größer wird, so dass man bei größerem m im allge-
I meinen weiter ausein anderliegende Extreme, ein kleineres E,, ein
\ größeres E' und mithin eine größere extreme Schwankung E' — E,
[ erhält als bei kleinerem m. Gesetzt nun z, B. man will einen Maß-
I Stab für die absolute und relative Veränderlichkeit eines K.-G, in
I dem Werte E' — E, oder iE' — Ei): A suchen, wie es wohl geschieht,
I and danach vei-schiedene K.-G. vergleichen, so wird man die größten
I Irrtömer begehen, wenn die Gegenstände ein vei-schiedenes iii, haben,
und ich bin Irrtümern dieser Art, die auch zu irrigen Folgerungen
I führten, wirklich anderwärts begegnet.']
Besser als die Schwankungsweite E' — E, eignet sich dalier die mittlere Schwankung, identisch mit mittlerer Abweichung, zum M^e der Veränderlichkeit eines Gegenstandes, da sie ziemlich un- abhängig von m ist und diu-ch eine geeignete KoiTektion vollends unabhängig davon gemacht werden kann. Allerdings ändert sicli dies Maß nach dem Hauptwfrte, von dem man die Abweichungen I rechnen will, und ist, allgemein gesprochen, für positive uml negative Seite verschieden. Der Berücksichtigung letzterer Verschiedenheit aber
I) [Dieser AbsHti ist einem Eipos^ Fechner'h über mittlere Abweichungen I und Exb^me entnummen, das im Jahre 1868 Herrn Prof. Welcher mitgeteilt I and ron diesem mir zur Verfügung gCBtelit wurde.]
04 Charakteristik der K.-O. dnreh ihre Klemmte.
entgeht miin, wenn rann überall die Totalsumme der Abweichungen nach beiden Seiten, di\idiert mit der Totalzahl der Abweichungen nach beiden Seiten, da^u verwendet, also nach unserer allgemeinen Bezeichnung als mittlere Schwankung oder mittlere Abweictmng schlechthin bezüglich eines gegebenen Hauptwertes setiit:
m' 4- m, )H
Ob man dazu die Abweichungen des einen oder anderen Hauptwertes verwenden will, konmit darauf an, auf welchen man sich überhaupt beziehen will, und eins schließt das andere nicht aus. Wie man sieht, ändert sich das Maß bei gegebenem nt nach dei' Totalsumme der beiderseitigen Abweichungen bezüglich der verschiedenen Haupt- werte; bis jetzt hat man bloß von den Abweichungen des aritluneti- schen Mittels Gebraucli gemacht, und bleiben wir zunächst dabei stehen, so erhalten wir als mittleren Scliwankungswert im Sinne obiger Bezeichnung:
_ ^J' + :-j, __ ^
Nun ist allerdings ij nicht ganz unabhängig von der Große des m, sondern es verhält sich so: Der Wert .4, von dem die Abwei- chungen genommen werden, ändert sich etwas je nach der Zahl der a, mithin des m derselben, woraus er das Mittel bildet; und das genauest mögliche A könnte nur aus einem unendlichen ni erhalten werden. Mit der Größe des endlichen iii, also jedenfalls ungenauen A aber ändert sich auch die Größe der Abweichungen und mithin die Summe deraelben, dm-ch deren Division mit m der Wert i; ge- wonnen wird, und zwar lelu-t Theorie und Erfalirung '), dass i"J und mithin r/ = ^J : m bei wachsendem m dm'chschmttlich im Ver- hältnisse Vm\[m — i) wächst, wonach man SJ, sowie i; auf den Normalfall, dass die Bestimmung des A mit seinen Abweichungen
ij 1d beider Üinaicht vergl, meme Abhandlung in den Berichten der Königl. Sächsischen Geaellschaft der Wissenschaften, Band XlII, iS6i (.über die Korrek- tionen bezüglich der GenaiiigkeitabeBtimmung der Beubachtuugcu, der Bestiromuug der Schwankuiig tneteorologiscber Eicielwerte um ihren Mittelirert und der pwychophysigcheii Maßbestimmuugen nach der Methode der mittleren Fehler«].
ChKTakteriBtik der K.-O. durch ihre Elemente.
95
aus einem unendlichen m geschehen wäre, zm-ückführen kann. in<leni man ^^ resp, ij mit Vm:{m — i), merklich = 2»«:|2»i— i), mul- tipliziert, was man die Korrektion wegen des endlichen w nennt. Das so korrigierte t] heiße r,e, und ßndet sich also:
Diese Korrektion trifft zwar nicht in jedem einzelnen Falle, aber im Durchschnitte der Falle zu, und da man kein Mittel bat, sie für jeden einzelnen Fall zutreffend genau zu bestimmen, muss man sich an den Wert halten, der doch im Durchschnitte der Fälle zutrifft, und kann sich also, wenn man die kleine Mühe der Korrektion nicht scheut, auch in der Kollekti^■maßIeh^e lieber an tjc als an ij halten.
Soll die mittlere Schwankung bezüglich C oder D bestimmt werden, so hat man ohne Korrektion eratenfalls e ^ 2&:m, zweiten- falls •! ^ S9:ni, die Konfektion aber würde, so viel ich Übersehe, dieselbe bleiben. Die mittlere Schwankung bezüglich C hat das In- teresse, dass sie kleiner als bezüglich A und D, überhaupt die kletnst- mögliche ist, weil nach schon früher gemachter Angabe die Smnme der Abweichungen bezüglit:h C überhaupt die kleinstmögltche iyt, und dies sich auf iliren Quotienten dwcli m überträgt.
Allgemein gesprochen, obwohl dies Ausnahmen erleiden kann. und eine genaue Proportionalität nicht statt findet, wächst die mitt- lere Schwankung mit der Größe der Gegenstände, und so kann es von Interesse sein, diesen Einfluss so weit als möglich dadurch zu eliminieren, dass man die mittlere Schwankung duich die Größe des
IBch wanken den Gegenstandes dividiert, hiermit das relative außer dem absoluten Schwankungsmittel in Betracht zieht. § 45. Eine withtigei-e Bedeutung als zum Maße der Schwankung eines Gegenstandes um seine Hauptwerte gewinnt die mittlere Ab- weichung als Mittelglied für Bestimmung der Verteilung des Gegen- standes. Die physikalische und astronomische Maßlehre macht zu diesem Zwecke von der mittleren Abweichung e bezüglich A oder dem zu e in Beziehung stehenden Werte q = tV-n Gebrauch, was aber nui- für die in dieser Lehre vorausgesetzte symmetrische W. der
96 Charakterirtik der K.-G. durch ihre Elemente.
Beobaclitungsfehler zulässig ist, wogegen die KoUektivmaÜlelire nat^ ' der für sie thatsächlteli bestehenden allgemeineren Voraussetzung der ] Asymmetrie nur von der mittleren Abweichung bezüglich D, und zwar 1 nicht gemeinschaftlich fm- beide Seiten, sondern jede Seite insbeson- dere Gehrauch machen kann (vergl. § 33), also von:
23-
und ü, = -
Auch hierbei ist streng genommen eine KoiTektion wegen des 1 endhchen 7» anzubringen; aber die korrigierten Werte sind nicht, wie ' man meinen könnte, zu setzen:
in ' m
. -Ä
, ' m — I
In der That würde sonst die auf die Abweichungssununen be-^ züghche Korrektion der beiden Seiten nicht mit der gemeinsames j Korrektion der Totalsumme derselben stimmen.
Für die Totalsumme hat man nämÜch:
' ' in
Wollte man nun für die beiderseitigen Äbwcichungssummeu beson- ders setzen:
so würde man durch Summiemng dieser Werte erhalten:
' f» — I ' frt-, — I
was mit obigem Werte für SSc nicht stimmt.
§46. Endlich ist noch einiger Werte zu gedenken, welche zu den schon wiederholt berührten, doch erst später eingehend zu be- sprechenden, sehr wichtigen Asymmetrieregeln in Beziehung stehen. Vorläufig nur folgendes über diese Werte.
M
W ChmnktenMik der K.-O. durch ihie Elemeote. 97
Es ist zunächst der Unterschied fi' — ^, = y/ zwisclieu dt-r Zalil I der positiven und negativen Abweichungen von A und der Unter- \ schied U'—U, = {E' — A] — (A — E.j = E' + E, — 2 A zwischen I der Größe der positiven und negativen cxtreuien Abweichung von A, welche in dieser Hinsicht in Beti-acht kumnien. Noch wich- [ tiger aber als diese absoluten Unterschiede sind die relativen:
I fi' — f,, . ü" — U,
I n !i_ und ,—— ■
Hier nur vorläufig in Rücksicht luif den später davon zu machenden
Gebrauch folgendes darüber. ' Von einem Unterschied zwischen der Summe der positiven und
I negativen Abweichungen von A, d. i. —J' und —-:/,, kann natürlich ' nicht die Kede sein, du ja A ausdrücklich so bestimmt wird, dass
beide Summen gleich werden; aber das führt noch nicht mit, dass
üugleich beide Äbweichungszahlen ;«', ^, einander gleich werden,
und höchstens zuiälhg wird man es einmal finden. Was man aber [ allgemein oder nur mit zufäUiger Ausnahme, jedenfalls im Durch- t schnitt bei den Kollektivabweichungen bezüglich .-1 findet, ist, dass
ft' — /(, mit der Größe von ot wächst, I Unter Voraussetzung gleicher W, positiver und negativer Ab-
\ weichungen lehrt nämlich die "Wahrscheinlichkeitsreclinung nach Zu- , rückführung des Falles auf die UiTie mit der gleichen Zahl schwarzer I und weißer Kugeln, dass /t' — ;(, seinem absoluten Werte nach durch- [ Bchnittbch im Verhältnisse von I m steigt. Je mehr aber m steigt,
desto kleiner wird das Verhältnis von Vm;m, so dass, bei unend-
' lichem in. '■ ' ^ — Null und — Eins wird.
I m m fi,
Ein Folge daraus ist, dass man bei der später folgenden Unter- suchung, ob die jiositiven und negativen Abweichungen bez. A wii'k- Ilich eine gleiche W. haben, sich nicht einfach an den absoluten Unterschied u halten darf, der im allgemeinen auch bei gleidier W. sieht fehlt, sondern an sein Verhältnis zu ;n, das eine gewisse Größe nicht übersteigen dai-f, soll die gleiche W. nicht sehr unwuhrschein- Ücli werden, woiüber später mehr za sagen sein wird.
«B
OfauKkteristik der K.-0. durah ihre Slemeate.
Bislier haben wir die Ungleichheit tler beiderseitigen Zah Abweichungen bcx. A t\. i. n', fi, als Merkmal und in gewisser I sieht als Maßstab der AetjTnmetrie .lugeuoinmen. Natürlich könnte von einer Asjmmetrie wegen Ungleicldieit der Abweigniigssumme S^\ 2J, bez. A nicht die Rede nein, weil es iin Begri0e von A liegt, <Iaa8 ^^ = ^^,, also A so bestimmt werden muss, (biss diesig Gleichheit eintiitt ; andererseits könnte auch ein Merkmal oder MaU- 8tab der Asymmetrie nicht auf eine Ungleichheit dei' Zahl der Ab- weichungen bez. C gegründet werden, weil es im Begriffe von C liegt, dftBs die beiderseitige Zahl der Abweichungen in Beziehung dazu gleich ist; hiergegen würde an sich nichts bindern, die Asymmetrie statt in Bezug anf den arithmetischen Mittelwert A auf den dichtesten Wert D nach der Ungleichheit der Abweichungszahlcn m, tn, zu be- Btinunen. im Falle beide Hauptwerte genügend aus einander weichen; mit dem Vorteil, in Bezug auf D ein in den Gesetzen der Asymmetrie begründetes stärkeres Äuseinanderweichen der Abweichungen «»', m, TOn einander, als der Abweichungen /*', u, bez. A von einander zu erhalten; und die »»', ttt, mit dem zweiseitigen G. G. in Beziehung setzen zu können, während bei stattfindender Asymmetrie gegen A weder das einfache, noch ziseiseitige G. G. bezüglich der Abweichungs- zahl von J mehr gültig ist. Wobei zu beachten, dass, wenn bez. A fi' über fi, übergreift, umgekehit «i, über tn' übergreift. Da aber A und hiernach /(', ;i, riel leichter zu bestimmen sind als D und hiomath m', m,, und von einer größeren oder geringeren Asymmetrie bez. A immer auf eine gi-öBere oder geringere, nur in jedem Fallfil die Asymmetrie bez. A übersteigende Ungleichlieit bez. D von ent- gegengeaetzter Richtung geschlossen werden kann, so erscheint es im allgemeinen praktischer, sich zunächst an die Ergebnisse der Be- stimmung der As}'mmetrie durch u' — u, bez. A zu halten, insofern daraus schon auf die Ungleichheit von m' und tn, bez. D geschlossen werden kann; sofern es aber um genaue Bestimmung zu thun, ist diese noch besonders nach Theorie und Empirie ku untersuchen.
VII. Primäre Verteilungstafeln.
§ 47. [In den vorhergehenden Kapiteln wurden die Hauptpunkte der Untersuchung vorgreiflich dargelegt. Jetzt gilt es, die Unter- suchung thatsächlich zu führen. Da dieselbe nicht auf hypothetischen Annahmen fuBt, sondern völlig auf die Erfahrung sich gründet, so kann sie nur von den empirisch gegebenen K.-Gr. selbst ausgehen. Die letzteren sind aber in ihrer ursprünglichen Form weder zur Ab- leitung, noch zur Bewährung der theoretisch gültigen Gesetze geeignet. Es muss daher vor allem ihre rechnerische Behandlung gelehrt werden. Dieselbe befasst sich einesteils mit der Herstellung einer zur Untersuchung tauglichen Darstellungsform durch Aufstellung primärer und reduzierter Verteilungstafeln (Kap. Vil und Viilj: anderenteils giebt sie Regeln zur Berechnung der Hauptwerte un<l Abweichungsfunktionen, in welchen die charakteristischen Merkmale und Eigenschaften der K.- Gr. sich darbieten (Kap. IX — XI). Hierbei wird einfachheitshalber bloß von der arithmetischen Behandlung der K.-G. die Rede sein; denn die logarithmische Behandlung, mit wel- cher erst die volle Allgemeinheit der Untersuchungsmethode erreicht wird, stimmt mit der arithmetischen der Hauptsache nach überein, indem nur die Logarithmen der Maße an Stelle der Maße selbst treten.]
[Ist nun hiermit eine geeignete Unterlage für die theoretische Untersuchung gewonnen, so bietet sich zunächst die Aufgabe dar, die Asymmetrie der K.-G. zu erörtern und Kriterien zur Unter- scheidung wesentlicher und unwesentlicher Asymmetiie aufzustellen (Kap. Xn — XVI). Dann aber sind die bei wesentlicher Sjmmetrie und wesentlicher Asymmetrie gültigen Verteilungsgesetze zu
7*
107095
100
FäuOn laMn.
entwickeln (Kap. XVII— XX). Dabei wird der in der Ei'gel stat lindende Fall geringer verhältnismäBiger Schwankung der EinzelwerteJ um die Hauptwerte vorausgesetzt.]
[Diesem Hauptteile der Untersuchung schließt sich die Bespre- chung der Modifikationen an, die durch den Übergang zum logarith- iniBcben Verteilungsgesetz bedingt werden. Eine logariUumsche Behandlung erfordern in erster Linie die K.-Gr. mit starker verhält- nisinäUiger Schwankung, aber auch die Verhältnisse zwischen den verscliiedenen Dimensionen der K,-G- bedürfen einer solciien (Kap, XXI und XXII). Anhangsweise werden schheßUch die Abhänj keits Verhältnisse <Ier K.-G. erörtert (Kap. XXTTTj]
§ 48. [Will man einen K.-G. in üntei-suchung nehmen, so sind zunäclist die einzelnen Exemplare desselben in der zufäUigen, räumr- liehen oder zeithchen Ordnung, in der sie sich darbieten, zu messeA, und die mit a zu bezeichnenden Maße in einer Urliste zu verzeichnen. Hierbei ist dai-auf zu achten, dass die in Kap. IV angegebenen Be-- quisiten erfüllt werden, also insbesondere eine genügende Anzahl von Maßen unt«r Ausschluss von Abnormitäten zusammengebracht wird.
[Eine solche Urliste ist, wie bereits (§ 3) bemerkt wurde, zu rechnerischen Behandlung noch nicht geeignet, Sie ist jedoch anderer Hinsicht wertvoll, da sie die Feststellung ermögUcht, oh Exemplare der K,-G, unabhängig von einander variieren oder einem Abhängigkeitsverhältnisse stehen. Diesbezüglich wui-den § 20 Regeln angegeben, die in Kap. XXTTT eine weitere Ausfühi erhalten werden. Im Interesse der recbnoriscben Behandlung ahi muss man die Maße ihrer Größe nach oMnen und liiermit aus d( Urliste eine Verteilungstafel herstellen, Sie wird zur Unterscheidung, von der reduzierten Tafel, deren Herstellung und Behandlung im^ nächsten Kapitel gelehi-t wird, primäre Verteiluugstafel genannt In derselben bilden die Maße n eine von den kleineren zu den größeren Werten fortschreitende Kolumne, die jedes a nur einmal enthält, während eine beigegebene Kolumne die zugehörigen Anzahlen X aufführt, die angeben, wie oft jedes einzelne a vorkommt.]
[Diese primäre Tafel bildet nun den Ausgangspunkt der ganzen Untersuchung. Sie ist jedoch meist noch mit starken Unregelmäßig-
A
Pr!mare Tafeln.
101
I keiten behaftet und besitzt gewöhnlich eine solche Ausdehnung, dass I ihre Mitteilung einen zu großen Kaum beanspruchen wurde. Man [ wird dämm beiden Nachteilen durch Vornahme von Reduktionen zu [ Iwgegnen suchen und dann im allgemeinen auf die Vorführung der I Tafel in ilirer reduzierten Form sich beschränken. Hier handelt es ßich aber darum, die Beschaffenlieit der primären Tafeln kennen zu lernen und einen Einblick in die möglicherweise auftretenden Be- sonderheiten zu gewinnen; es sollen deshalb von ^ler, als Beispiele dienenden K.-G. die primären Tafeln vorgefülirt werden.]
§ 49. [Die beiden ersten Tafeln I und II geben die Maße für den Vertikal- und Horizontalumfang von 450 europäischen Mänuer- scliädeln. Dabei ist zu bemerken, dass die liier und im folgenden durchweg festgehaltene Bezeichung »Vertikalumfang* genauer durch «Länge des Scheitelbogens« zu ersetzen wäre, indem nicht der totale Umfang, sondern nur der über Stirn, Scheitel und Hinterliaupt bis zum VordeiTande des Markloclies aicli erstreckende Bogen, mithin I der um die Schädelbasis verminderte Vertikalumfang in der Tabelle angegeben wird. Wie bereits im HI. Kapitel bemerkt, wurden die Maße von Prof. Welcjker zm- Verfügung gestellt, der ein reiciihaltiges, gleichmäßig behandeltes Material unter Festhalten eines und desselben I Messungaverfahrens gesammelt hat. 'j Die Maßeinheit ist das Millimeter. Zur Messung diente ein Bandmaß. Die Maße seihst beziehen sich nach Wklckkr's Angabe auf »normale« männliche Schädel. Schädel mit Kahtabnormi täten, selbst Sthnnalitschädel wurden ausgeschlossen.]
[Tafel m enthält die Rekrutenmaße von 2047 zwanzigjälirigen Leipziger Studenten aus den ao Jalu-gängen 1843 — 1863. Von der Urliste dieser Maße ist zu bemerken , daas sie durch eine in ihrer j Herstellungsweise beim Aushebungsgeschäfte begründete, reine Zu- fiilligkeit in der Folge der Maßgrößen ausgezeichnet ist, weshalb die- selbe in Kap. XX zur Bewährung der Extremgesetze vei-wendet wird. Die Maßeinheit ist der sächsische Zoll = 23,6 mm; es wurden jedoch I nicht nur die ganzen, sondern auch halbe und viei-tel Zoll gemessen.]
i) [Vergt. H. Wewkeb, Wachslum und Bau des mengchHchen Schadeis, Leipiig 1862; femer; Die Kapazität und die drot Hauptdurchmeaier der Schade I- k&[»el b« den verichie denen Nationen; Archiv für Anthropologie, Bd. Wl .
102
PiimAre Tafeln.
[In Tafel IV sind die Maße für das oberste Glied (Intemodium) von 217 sechsgliedrigen Boggenhalmen verzeichnet. Grenauere An- gaben über die Grewinnung dieses Materiales finden sich im zii^-eiten Teile, Kap. XXV. Mit dem eben dort beschriebenen Messungsver- fahren hängt es zusammen, dass als Maßeinheit das halbe Zenti- meter auftritt]
§ 50. [Die vier Tafeln lauten der Reihe nach:^)]
Tafel I.
450 europ. Männerschädel; Vertikalumfang. = I mm; m =1 ^x. = 450; ^4, = 408,5.
|
a |
' z' |
|
368 |
I |
|
371 |
2 |
|
376 |
I |
|
378 |
I |
|
379 |
I |
|
380 |
2 |
|
381 |
I |
|
382 |
2 |
|
383 |
3 |
|
384 |
3 |
|
385 |
8 |
|
386 |
2 |
|
387 |
6 |
|
388 |
4 |
|
389 |
5 |
|
390 |
7 |
|
391 |
7 |
|
392 |
7 |
|
393 |
2 |
|
394 |
8 |
|
395 |
12 |
|
396 |
4 |
|
397 |
7 |
|
398 |
14 |
|
399 |
3 |
|
a |
- |
|
400 |
13 |
|
401 |
12 |
|
402 |
13 |
|
403 |
6 |
|
404 |
IG |
|
405 |
18 |
|
406 |
8 |
|
407 |
8 |
|
408 |
16 |
|
409 |
13 |
|
410 |
20 |
|
411 |
9 |
|
412 |
15 |
|
413 |
8 |
|
414 |
12 |
|
415 |
21 |
|
416 |
6 |
|
417 |
5 |
|
418 |
16 |
|
419 |
9 |
|
420 |
15 |
|
421 |
8 |
|
422 |
7 |
|
423 |
5 |
|
424 |
12 |
|
425 |
8 |
|
426 |
7 |
|
427 |
3 |
|
428 |
4 |
|
430 |
3 |
|
431 |
3 |
|
432 |
2 |
|
433 |
5 |
|
434 |
5 |
|
435 |
4 |
|
438 |
I |
|
440 |
3 |
|
442 |
I |
|
443 |
I |
|
447 |
I |
|
448 |
I |
r [Da weder die Urlisten, noch die primfiren Tafeln der hier behandelten K.-G. sich vorfanden (vergl. Anmerkung zu Kap. III, so museten die obigen
Prim&re Tafeln.
103
Tafel n. 450 europ. Männerschädel; Horizontalumfang.
ß = I mm; m = ^x = 450; A^ = 522,2.
481
484
485 486
488
489
I 2
2 I I 2
|
490 |
2 |
|
491 |
I |
|
492 |
I |
|
493 |
2 |
|
494 |
4 |
|
495 |
5 |
|
496 |
I |
|
497 |
4 |
|
498 |
I |
|
499 |
2 |
|
500 |
8 |
|
501 |
4 |
|
502 |
3 |
|
503 |
6 |
|
504 |
9 |
|
505 |
8 |
|
506 |
4 |
|
507 |
3 |
|
508 |
6 |
|
509 |
7 |
|
« |
z |
|
510 |
13 |
|
5" |
12 |
|
512 |
14 |
|
513 |
7 |
|
5M |
6 |
|
515 |
13 |
|
516 |
II |
|
517 |
7 |
|
518 |
9 |
|
519 |
10 |
|
520 |
15 |
|
521 |
6 |
|
522 |
8 |
|
523 |
14 |
|
524 |
17 |
|
525 |
21 |
|
526 |
9 |
|
527 |
8 |
|
528 |
7 |
|
529 |
8 |
|
530 |
13 |
|
531 |
5 |
|
532 |
6 |
|
533 |
7 |
|
534 |
8 |
|
a |
S |
|
535 536 |
10 II |
|
537 538 |
5 8 |
|
539 |
9 |
|
540 541 |
14 6 |
|
542 |
3 |
|
543 |
4 |
|
544 545 546 ' |
3 4 3 |
|
547 548 |
2 2 |
|
549 |
3 |
|
SSO |
6 |
|
552 |
I |
|
553 |
I |
|
S54 |
4 |
|
1 Cn cn ^ Cn cn i 00 cn |
2 I |
567 576
Tafeln rekonstruiert werden. Tafel I und III konnten aus den fünf resp. vier Reduktionslagen, die im folgenden Kapitel (§ 64 und 65) verzeichnet sind, wieder hergestellt werden. Für Tafel II und IV lagen die entsprechenden Bearbeitungen nicht in hinreichender Vollständigkeit vor. Indessen fanden sich für Tafel IV die Logarithmen der a- Werte. Die Werte der Tafel II dagegen wurden aus den von Prof. Welcker mir übermittelten Maßen yon 500 europäischen Mänuerschädeln gewonnen. Dabei mussten aber 63 Maße nach ihrer wahrscheinlichen Zugehörig- kcit zu den entsprechenden Vertikalmaßen ergänzt werden, da nur so eine Über- einstimmung mit der reduzierten Tafel des folgenden Kapitels (§ 58) erzielt werden konnte. Die hierdurch möglicherweise bedingten, geringfügigen Abweichungen beeinträchtigen jedoch das Bild der Tafel nicht, die überdies im folgenden nicht wesentlich in Betracht kommt.]
104
Primare Tafeln.
Tafel in. Studentonrekrutenmaße. S = I Zoll, ?// = ^x = 2047; Aj = 71,77.
|
a |
«* *> |
|
60,00 |
I |
|
64,00 |
2 |
|
64,75 |
4 |
|
65,00 |
6 |
|
65,25 |
3 |
|
65,50 |
5 |
|
^5275^ 66,00 |
5 8 |
|
66,25 |
6 |
|
66,50 |
9 |
|
66,75 |
19 |
|
67,00 |
7 |
|
67,25 |
II |
|
67,50 |
25 |
|
67,75 |
15 |
|
68fOO |
35 |
|
68,25 |
27 |
|
68,50 |
37 |
|
68,75 |
34 |
|
69,00 |
43 |
|
69,25 |
48 |
|
69,50 |
57 |
|
69-75 |
54 |
|
70,00 |
70 |
|
70,25 |
65 |
|
70,50 |
71 |
|
70,75 |
61 |
|
71,00 |
78 |
|
71,25 |
75 |
|
71,50 |
81 |
|
71,75 |
89 |
|
72,00 |
79 |
|
72,25 |
81 |
|
72,50 |
82 |
|
72,75 |
63 |
|
73,00 |
79 |
|
73*25 |
79 |
|
73-50 |
68 |
|
73,75 |
56 |
|
74.00 |
64 |
|
74.25 |
42 |
|
74.50 |
55 |
|
74.75 |
33 |
|
75.00 |
43 |
|
75-25 |
26 |
|
75.50 |
25 |
|
75-75 |
'7 |
|
a |
|
|
76,00 |
24 |
|
76,25 |
17 |
|
76,50 |
9 |
|
76,75 |
7 |
|
77,00 |
14 |
|
77,25 |
9 |
|
77,50 |
7 |
|
77,75 |
3 |
|
78,00 |
3 |
|
78,25 |
2 |
|
78,50 |
3 |
|
79,00 |
^ |
|
79*50 |
2 |
|
80,00 |
I |
|
80,75 |
i |
|
82,50 |
I |
Primäre Tafeln.
105
Tafel IV. Das oberste Glied von 217 sechsgliederigen
Roggenhalmen. = 0,5 cm; m ^= 2x = 217] ^x = 86,54.
|
a |
s a |
z |
a |
s |
a |
z a |
m |
|
42,9 |
I 75,6 |
I |
85,4 |
I |
91,7 |
I 99,0 |
2 |
|
49r7 |
I 75,8 |
2 |
8s.S |
I |
91,9 |
2 99,2 |
|
|
52,8 |
I 76,1 |
I |
8S,7 |
I |
92,0 |
2 99,3 |
|
|
55»6 |
I 76,2 |
2 |
8S,8 |
T |
92,3 |
I 99,4 |
|
|
57,6 |
I 76,4 |
2 |
»5,9 |
I |
92,8 |
I 99,5 |
|
|
58,9 |
I 76,7 |
I |
86,0 |
2 |
93,0 |
2 100,3 |
|
|
59,0 |
I 77,0 |
I |
86,2 |
I |
93,1 |
I 100,5 |
|
|
61,4 |
I 77,2 |
I |
86,3 |
I |
93,3 |
I 100,8 |
|
|
61,9 |
I 77,5 |
I |
86,8 |
2 |
93,4 |
I 100,9 |
|
|
62,2 |
I 7 7,6 |
I |
86,9 |
I |
93,5 |
2 101,0 |
|
|
62,3 |
I 77,7 |
I |
87,0 |
3 |
93,7 |
I 101,1 |
|
|
63,0 |
I 77,9 |
I |
87,1 |
2 |
94,4 |
I 101,3 |
|
|
64,1 |
I 78,0 |
1 |
87,4 |
2 |
94,6 |
2 101,5 |
|
|
64,3 |
I 78,1 |
2 |
87,S |
I |
94,7 |
I 101,9 |
|
|
65,5 |
I 78,4 |
I |
87,8 |
I |
95,7 |
I 102,2 |
|
|
67,4 |
I 78,8 |
I |
87,9 |
2 |
95,8 |
2 102,3 ^ |
|
|
67,7 |
I 79,0 |
I |
88,0 |
2 |
95,9 |
I 102,7 I |
|
|
67,8 |
I 79,4 |
I |
88,3 |
I |
96,0 |
I 102,8 1 I |
|
|
68,1 |
I 80,0 |
2 |
88,6 |
I |
96,1 |
I ^^hZ 1 I |
|
|
68,3 |
I 80,4 |
I |
88,8 |
I |
96,2 |
I 103,4 i I |
|
|
68,9 |
I 80,7 |
I |
88,9 |
2 |
96,3 |
I 104,0 , I |
|
|
69,6 |
I 80,9 |
2 |
89,2 |
2 |
96,5 |
I 104,2 , I |
|
|
69,9 |
I 81,3 |
I |
89,3 |
2 |
96,8 |
I 104,4 , I |
|
|
70,5 |
I 81,9 |
I |
89,4 |
I |
96,9 |
I ^05,3 1 I |
|
|
71,4 |
I 82,0 |
2 |
89,7 |
2 |
97,0 |
I 105,5 1 I |
|
|
72,0 |
2 82,1 |
2 |
89,9 |
2 |
97,1 |
|