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LEÇONS

SUR

L'VPPUOXIMATION DES FOiNCTIONS

D'UNE VARIABLE RÉELLK

A LA Ml' ME L uni A HUE

GOLLi:CTION nie MONOi.KVIMlIKS SUR LV TIIliOlUK DES FONCTIONS
l'nBi.iKK sous LA diukctiox Di: iM. Ivmii.i; BOIUÎL

Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d'une variable
complexe, |mi IImii i; ItoKii,: 11)17 7 fi'- >"

Leçons sur la théorie des fonctions ( K/enien/s el principes de la

thi'oric (li's c/i<('r>ih/rs], \y,\r F.Mii.i: I!iii!i;i.: r' édition. ii)i.'| 7 Ir. ■)'>

Leçons sur les fonctions entières, |>.ir Ivmili: Uoisul: ii)oo -i Ir. jo

Leçons sur les séries divergentes, jiar Emilk Hoiu;i.: i()oi \ fr. on

Leçons sur les séiies à termes positifs, |)iir Ivmii i: Moukl, rcdij;écs

[i.ir /.'. >/' A(//ici)iar: \<r>' 3 fr. 5o

Leçons sur les fonctions méromorphes, p;ir liMii.i: Iîoiikl, rédigées

par Liu/o\ic Zorvtti : njoi 3 ir. .>ip

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi-
tives, [liir IIknt.i Lkiîksgui: : 190 | 3 fr. .'>a

Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développe-
nients en séries de polynômes, p;ir i;. HonEi,, rédin-ées par M. Fré -
ikrt. ;i\ci'i|c> >.,!(•- de r. l'.\iM.i,\i: el de II. LiiBKSGui: ; 190J 4 ^^- ^"

Leçons sur les fonctions discontinues, par IIkni; IJairk, rédigées

par .1. Dcnjoy ; n(ii') 3 fr. 5ii

Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonc-
tions, par lùtNST LiNDKi.oi" : ii))5 3 fr. ôo

Leçons sur les séries trigonométriques. par H. Li;ri;sgui: ; 1906... 3 fr. 5o

Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles
du premier ordre, par I'ikiuu; I'.uUtholx, avec une N<>le de I'all
Paim.evi'; : n)>i8 () fr. 5<>

Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini,

par <Jtto I)I,umi:ntiiai. ; 1910 5 fr. fxi

Leçons sur la théorie de la croissance, par Ivmii.i. ISopel, rédigées

par A. Deiijow 1910 5 fr. 5n

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe,

|)ar I'aui. Montkl: ni 10 3 fr. .5o

Leçons sur le prolongement analytique, par L. Zouktti: 191).... 3 fr. 7.'i

Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-
différentielles, par \Ho Xoltkuua, rédigées jmr M. Toniasselli et
F. -S- Zdrhilli ; 191 ! .5 fr. .10

Leçons sur les singularités des fonctions analytiques, jiar

P. Dii.Nis; 11,1.1 5 fr. ôo

Leçons sur les fonctions de lignes et leurs applications, par Vito

\ oi.ïi:i;i!A. rédipees par ./. Pérès; 1911 7 fr. 5o

Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues,

par l"ni:i>i:i:ii: liiisz : 1910 6 fr. 5o

Leçons sur les méthodes de Sturm dans la théorie des équations
différentielles linéaires et leurs développements modernes,
par M vxiMi; liociiii;. it-digéc- pai- <,(isli>n Jiilia: 1917 5 fr.

Intégrales de Lebesgue : fonctions d'ensembles; classes de
Baire. par C. dk la X'ai.li.e l'or.ssiv. nnCi 7 fr.

Majoration provisoire : 50 "/o.

OLMiACES DE M. Emili: liOREL

IJ/lliAJHIF GAUTIIIER-VILLÂRS ET C" :
Introduction géométrique à quelques théories physiques S fr.

u/i/iAinn: uermaw et fils .•

Éléments de la théorie des probabilités, v édition : 1910 6 fr.

LlBRAUtlE FÉ/JA ALCA.X :
L'Aviation (en collaboration avec Pall I'ainlevé et (lu. iMaukain),

ti- édition revue 3 fr. 5o

Le Hasard. 3' édii ion 3 fr. 5o

T IhliA m lE VUIBElî T .

Introduction à la théorie des nombres et à l'Algèbre supé-
rieure [ en collaboration avec J lles Duacii ) 10 fr.

COLLKCTION \)i: .MON<)(il<AI'llli:S SI K I.A lllllolUi: DKS I ONCTION

l'I Itl.lKK SOI S I.A ItlItICCTION l»r. M. K.MII.E IIOKi;i.

LEÇONS

L APPROXIMATION DES FONCflONS

D'UNE VARIABLE RÉELLE

PROFESSEES A LA SOR BONNE

G. DE LA VALLEE POUSSIN

mOFESSKUR A L'UNIVKIiSlïl'; I)K I.OIVAIN
MEMBRK CORniCSPONDANT DK I.'lNSTITUT D K FIIANCE

PARIS
(i\niiii:i;-\ iLiAus et o. kditelus

I.II1HVIHI> l»l lit ItIVI IIK< I.nN(;iTIII)i;S, DK l/l-XOLK l'OLYTKClIMyiK
()ii,ii ili's ( •riiii<ls-.\iii;ustiiis, b')

1919

')f

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation
réservés pour tous paj's.

''^-

PRÉFACIi.

(^uancl on se propose d'exprimer une fonction d'une va-
riable réelle sous forme finie, on s'aperroit rapidement que
l'ordre de la meilleure approximation possible est lié à la
continuité et aux propriétés différentielles de la fonction, ou,
si la fonction est analytique, à la nature et à la situation des
points singuliers. C'est Tétudc de cette dépendance réci-
proque (pii fait Tobjet du présent Volume. J'ai largement
profité des recherches faites récemment sur cette question,
mais je ne les expose pas. Je traite le sujet en toute liberté
et sous la forme synthétique qui m'a paru la meilleure.

Sauf l'addition du Chapitre IX et quelques retouches de
détail par ailleurs, ce IJvre est la reproduction fidèle des
lerons que j'ai eu l'honneur de faire à la Sorbonne en mai et
juin 1918. Aussi ai-je contracté une dette de reconnaissance
envers MM. les professeurs de la Faculté des Sciences de
l*aris. Ils ont bien voulu m'accueillir et m'encourager aux
jours sombres. L'hospitalité qu'ils m'ont donnée est un
honneur dont je m'enorgueillis encore aux jours victorieux,
.le leur adresse ici tous mes remercîments. Puisse ce modeste
\ olunic, lait un peu sous leur inspiration, leur porter le
témoignage de ma gratitude.

Je remercie, en {)articulier, M. E. Borel. C'est la deuvième
fois (ju'il accepte une monographie signée de mon nom dans

l'Rlil'ACi:.

la CloUeclion remarquable qu'il dirig'c. Je ne pouvais pas
souhaiter de recommandation plus llatteuse.

Je remercie enfin bien sincèrement la maison (lauthier-
\ illars et C"\ qui, malgré les sérieuses difticullés de l'heure
présente, a entrepris la publication de cet Ouvrage et lui a
donné tous les soins.

C. DK i.v Vaij.ki. Poussin.

Loin niti, juillei m)I().

AI'riUIXIMATION IIKS FONCTIONS

lATMOIlICTION.

THKOKÈMK^ DK WEIKUSTIt \SS. (iKNKK M.ITKS.

I. Problème de 1 approximation. — La i]iieslit)n (jui va nous
occuper dans ces Leçons e>l la sni vaille : soil/i.^) une lonclion
conllniie d'une variable réelle./.- il s'agit de l'exprimer sons terme
linic avec une approximation |>liis ou moins i;iande. mais noire
étude ne |)orlera que sur deux modes de représenlalion ap|)roelié'e :
la représentation par polynômes, et alors la fouelion se lait dans
un intervalle (a, b)\ la représentation triaonométrique^ et alors
la fonction /'(.r) est supposée périodi(|ue de période >-- et la repi'é-
sentalion s'élend à loules les valenis réelles de x.

Cette représenlalion liii;onomélri<pie est donn<''e pai" une expres-
sion d'un certain oitire fini //, c'est-à-dire par unesomme limitét'
de la forme

a,)-!- «i cos.r -f- a-i cos2.<; -t- . . . -t- «„ cos/i '•
— Al sin./-i- bi sinvt .;■ -i- . . . -'- b^ sin /rr,

ou, ce (pii est la même chose, par un |)olvnomt"de dciiri'- // en sni./-
et cosx. On sait, en elTel, que les expressions

, siii( /, -•- 1 )./■

ros/i.'. :

«m./'

^(Mil. piiur /i riitier, des pol vuihimn de dcgrc- /. en eox./'. ()n ^ en
assure d ailleur> immi-diatcMunt en (((Usidi raiil lt'> (oiiniilfs de
récurrence

COs/t./' — COS( /. — '*■) = -ÎCOS( /. — I )./C()S./',

.«in ( /i -»- 1 )x — sin ( /. — i ).i; ,

: = ■>. C0«/. ./•.

sni./-
V. 1'. I

2 INTHOnUCTION.

En particulier, si rexpressioii Irigoiioniétriqiie d'ordre n est
paire, elle se réduil, les siniis dis[>araissanl. à un polviiome de
degré n en cosj:.

Soity(j:) une lonclion conlinue dans un inlerxalle ( «, ^). Nous
pouvons nous donner un polvnonie de degré //, l^„(./), el le
considérer comme une expression approchée de_/*(^^x) dans l'inter-
valle ( <7, b). Nous dirons alors que la différence, positive ou
négative,

esl lVc«/'^ du polvnome i'^au point .r et que le maximum dans («, />;
de la valeur absolue de cet écart est V approximation fournie
par P„. Le polvnome P„ esl donc daulant meilleui-, comme
polvnome approilu', qu il fournit une approximation plus |)etite.
Si nous considérions une fonction périodique /*(./ i et une repré-
sentation trigonométrique approchée de cette fonction, nous défi-
nirions l'approximation d'une manière analogue, sauf que nous
envisagerions toutes les valeurs réelles de x'^ mais il suffît pour
cela de faire varier x dans une période, c'est-à-dire dans un inter-
\ aile d'amplitude 2-.

Le problème de l' approximation consiste à former une expre>-
sion de l'un des deux Ivpes précédents telle que l'approximation
soit inférieure à un nombre positif donné d'avance, aussi petit qu(î
l'on veut. Ce problème est possible dans les deux cas. Il y a là
deux théorèmes dexistence, tous deux dus à Weierslrass (iSST) )
et qui ont été le point de départ de la théorie qui va nous occuper.
\ oici les énoncés de ces théorèmes :

2. Théorèmes de "Weierstrass H;- — 1. Toute Jonction con-
tinue f/ans un intcrcallc (ci, b) peut être développée en série
uniformément convergente de polynômes dans cet intervalle .

II. Toute fonction continue de période '.r. peut être déve-
loppée en série uniformément convergente d'expressions tri-
gonométrie/ues fi rues.

( ') Wkikhstiiass, Uebi'V die aiialylische DnrsLeltbai heit soi^ennanler willfiur-
ticlier Funclionen eiiier reelten Veranderliclieii ( Sitzun^-sberic/i/e dej- Ai;l. Ah.
dur Wias.. i885).

TiiKonKMics m-: \\ kikusthass. 3

l)ans cos (l(Mi\ ('•minces, il saisit de (lé\ <'l()|>|)ciin'iil en série et
iinn il ,i|)|)i'ii\inia lion son^ loiine lime, mais les dt-nx |ii'()l)lènies
sont les mêmes. ïin ellel, snpposoiis, ponr fixer les i«l»'-es, (ju'il
s'agisse d ap|)ro\iinati()ii par poh nomes. Si I on coiinait un dévc-
loj)|)emenl de / (^./' ) en situ- iinifoiim'-menl eoii veii;cn le de poly-
nômes, onendédiiil nn polvnome aussi appiocdn; (pi on voudra de
eclle lonclion, en sommanl nn iiomhre siiflisanl de leimes de celle
s(''rie. Réciprocjuemenl. si l'on a eonsiriiil une snile de |i<)lj-
iiomesP,. l'.j, ..., I'„, ... roiirniss;iiil une siiile d'ap|)roximalions
lendaul vers zéro, on olilicnt ICxpression *\f J't ' i <'n sc-ne iinilor-
inémenl converoenle :

» /i.r) = V, -^(|>.,_1',)-^(|'3 _!>,,-...

Les tliéorènies I el H se ramènent Wm à Tanlre, comme nous le
verrons. On en a donné aussi nn j^rand nombre de démonstrations
directes, dont nous ne ferons pas ici riiistoiupie. Mais nous allor)s
exposer mainlenani l,i démonstration la |)lns él<';menlaire (jue
l'on ait donnée luscpi'i pn'sent dn llié-orème I. J'^lle est due îi
M. Lebesgne ( ' ).

3. Démonstration de M. H. Lebesgue. — [..a démonstration
(pie M. II. L(d)esj;ue a dcjiince du lliéorème I présente un caract('re
dislinclil. l'allé ramène la démonsiral ion dn llK-on-me pour /"(jr)
(pielconque. à la déinoiisiial ion dw lln-orème poiii- la lonclioii par-
licnlière |jr|. \ oici comment se fail (die iM-dMclion :

.M. [jel)esjj;iie observe (pie Ion piiil approcher aniani ipi*^ l'on
\ent d une courbe coiilinne à I aide d une ligne pol\i;onale. I. ap-
proximation d une ioiiclion conlinnc s(; ramené donc à celle (le
l'ordonnt'c d'nne t(.'ll(; ligne. Il reste à ramener lapproximalion
d'une telle ordonnée à celle de |,/ |.

.SoienI (./•(, )', ). ( ./■_,. ) j )...., (.r„, ) „ ) les S(jnimels diine ligne
polvgonale dont il laiit repiéscnter appi'oximativemenl l'ordonnée
enire les abscisses ./■, el i „. ltemar(|nons (pie la (onction

ci/,( .r I = I x — .Cf!^\ -^ (.r — T/, )

(') Siii- / 'a/tpro. ri/Il 'if l'on i/ci fuirlioiii [fiiill. de la Sur. /iiiit/i.. .•■' sOric,
t. WII. novembre iXi)S).

» iNinoiti criox.

esl nulle pdiir .r "^ ./•/; et égale à :■>. (.r — .//, ) pour .r'~.Xk- Posons

H - I

F ( j- ) = «0 4- N a,, Qi, (x),

k = l

où «„. (/,, . ... </„ , sont // conslaules à cIcLcrminer. Celle roncllon
\arie linéairement entre deux abscisses consécutives .ry^, .r/(^^.
Donc, pour l'identifier à la ligne polygonale, il suffit d'amener la
coïncidence des n sommels. ou de |)oser les n conditions :

/ — 1
y,- = «0 -4- 2 V <■'/.■ (-ri — .ta)

(i= i,2,...,n).

Ceci conslilue un système rccuirent (|iii d(''termine de j)roclie en
proche «„' «i- • • -, (i,i^\ ■

Ainsi l'^(.A') est lOrdonnée de la ligne polygonale. Or l'approxi-
malion deF(./) dépend de celle de cp/; (r ). donc de celle de \.r — x/^].
donc finalement de celle de \.r\ dans un certain intervalle.

Il existe bien des méthodes d"aii|)roxini'.ition de |.r}. .Si Ton se
borne au seul th(''orème d'existence de Weierstrass, la plus simple
suffit et c'est encore celle de M. Lebes2ue.

Soit donc à représenter \.r\ en série uniformément convergente
de polynômes dans un inteivalle (a, b). Le problème ne se pose
<|ue si a et I) sont de signes contraires, cl il suffit évidemment de
considérer un intervalle symétrique, par exemple ( — h, -\- b). Si
l'on |)0se alors x = bl i b |)ositif), il suffit de re|)résenter | L \ dans
l'intervalle ( — i.-hi).

On a. par la formule du binôme,

-1-/1 — y. = \

et celte série conver-ge unifornic-menl entre — 1 et -h 1 . Reni-
plaçons a par i — /-: nous obtenons, dans l'intervalle ( — 1, -f-i),
le développement cherché

i ■-',1

Cette démonstration ne va pas au delà du théorème d'exislence.

Tiii:oni;.\ii:s m; wkikusihass. d

l'illf l'sl In's inlôressaiilc piu- s;i siiii|ili(il('-. nl;ll^ elle' iir Iniiinil
(jii une n|)|)i'()\iiiiali*)ii iiniliocie. \\\\c >»• |)rrlrr;iil mal à la recherclic
(l'approMinatinDs aussi coin criicnlcs que jinssiMe. re(liercli(; (iiii
lera roitjtl îles juiiuipaii \ ( Ji;i|iilres de ces Leçons.

i. Démonstration du théorème II. lu ^laiid noMibre de

ilémonstraliori^ du linon iiir II ^c linidcut mii' \v-^ luopriélés
des st■^ie'^ df jciurier. Nous i enciuii niiuis. ;iii (diapilre II,
celle de M. l*e|er. Il est rependanl ulile d élaMir le iIicoim' me
de Welerstrass indépeudaïunicnt df celle iIm'-oiic. et c'est ce
que M. Lehesiiue a fait ( ' ) en ranienanl le I lii'oicinc II au tliéo-
rèuie I.

\ itiei une déuiouslralmn [^'- ) (|ui > iii>|)ir(,' di s iiièiues idées
que celle de M. i.ebesj^ue, mais (|ui en diUV-re pai" les artifices
eniplojés.

Soit /(.r) la fonction eonliiiue île périotle >.~, dont il faut faire
rap|)n)xiniation trif;(»noinc'lri(pie. ("ionsidérons les deux fonctions

f{x) H-/(— .M, \J\r) —/{ — X)\ ■<\\\.r.

Ces fonctions, toutes deux paires de période ^t:, sont donc des
fonctions uniformes de cosj^=w et nous poiiNons les désigner
par 'i{lt) et '^jiu). Je dis que rappro\iiiiation Iri^onoiiK-lricpic
de /{.r) revient à celle par |)olvnoiiies île '-5U<). <le 'l { " ) et de
deux aulres fondions analogues.

Soient, en ellei. |'( t() et Q( «) deux polvnomes t(ds que lOn ail
appio\iiiiali\ eiueiil

o{u) = P(u), ■!>(,/) = Q(»);
on aura, avec la luèiiie a|)pi()\iiiiation,

[/(.r ) -(-/( — x) I sin^.r = F (cosa-) sin-.*-,
lyCr) — /■( — j- )] siii- J- = Q (cos3')?in.r ;

d'où, la lelalioii approidiée

( I ) ^/i r I siiiî.r — P ( cosarj sin^ j- -h Q ( c.o<iT) siii.r.

( ' ) Mémoire cité.

(-) Dk la Vallf.k Poussin, f.'approxiination des fondions d'une rariabfe n-e/le
{fJ' Enseignement matlieniatique. •<>' unn<'e, ii" 1, igi-S).

t> IMIlOni ( TIDN.

IWcomiiHMicoiis II' iiitMHf rai (Mil avec la romlioii /'( .r + 7 ) <ii' '•*'"
i\ej\.r). Les |)ol\ tiDiiu'S V { 1/) c\ (){i/) sdiil icinplaccs par deux
antres H ( ^/ ) cl S (^// ) ; d'où la rclalioii approclnM"

v. /'/ .r -i- - ) sin-.r = U ( cos.r ) >iir-./- •■ S ( cos.r) sin .r.

et, en clianireanl .r eu j:" — ->

(2) > /"i .r ) cos-.r = R( siii./jcos-a? — S (sin,/- icosa'.

Ajonidiis iiiainlenanl les relal ions appiocliées (i)et (2) inemljre
à nieinltre: nous obtenons l'expression lrii;ononiétn(pie appro-
elu-e de J[.r ).

'). Réduction de l'approximation par polynômes à une approxi-
mation trigonométrique. — - Nous venons de ramener, avec
M. Lebesij;iie, lapproxinialion Irigononu-trique à une approxi-
mation par polynômes. On jieuL aussi faire l'inverse et réduire
TapproMnialioii par poUnomcs à une approMnialmti Iri^ononit'-
IrKjue. (> est ce procédé inverse (pie nous aurons surtout à utiliser
dans ces Leçons. A cet effet, nous Idons j^rand usage d'un artifice
extrêmemcnl simj)le. dont M. S. Bernslein surtout a montré les
avantages ( ' ) et dont il importe de dire un mol des maintenant.

Soità représenter par polynômes une fonction continue /'(a;) dans

un intervalle donné. Tout inteivalle (a, h) se ramène à ( — 1 , H- i)

parla substitution linéaire

I — l , \ -^ I
X = f( h Ij •

x ■>.

Supposons qu'elle transforme f^x) en '-pi/): la représentation
de 'i(^) dans I intervalle ( — 1. -4- 1 ) se transforme dans celle
dey'(.r ) dans ( <7, b) par la substitution linéaire inverse. Ces subs-
titutions Iranslorment un polvnoine en un autre et n'en altèrenl pas
le degré. Il suffit donc bien de considérer la représentation d'une
f"oncliony'(x)dans rintcrvallel' — 1 , + i)- l^osons. avecM. Bernstein,

( ' ) Sur ta ineilleiire approxiinalion des fonctions continues (Mémoires /oublies
par La classe des Sciences de L'Académie myaLe de fieLi^i'jue. Collection in-'i •
:>.' série, l. IV, iijii ).

TIIKUHKMKS ItE WKIKHSIKASS. 7

celle siili^iiiiiiioii iiMiisItiriiie /"( X) en /"( c(»s-i ) (|iii est une fonction
paire «le |)ériotlc >.-. .le dis (|iie l' approAiinatinn de J ( ./• ) par des
polyrunnrs en .v el celle df /{ coso) pur dea expressions trigo-
iniiiiet rit/iiis en ■:, sont deti.r prohlè/nes e<ini/>lètenient ét/in-
\(tlents.

Supposons. enelVet, (jue nous avons, avec une certaine ap|)rO!ii-
uiation, la représentation lrip;ononi»''trique

y(ros'^ ) r= a„ -!- (l^ cos'i -+- a> co«7.ç - . . . — «„ cosnç,-

ne <-ontenant (jue des cosinus (puiscpie la fonction est paire), et
r-einar(juons (pie cos/ 'i est un poljnoine de depré /. en cosç;,

cos /. o = P/. (coso;;

ii()u> a\(tii>. avec hi uièiiie ap|)ro\iiualic)n, la représentation par
poKiiotne (pie nous cherchons

f(.r) = «„ ■— UiP li.r) -H ... -h 't,, l'«(-^). ,

Les |t()lvnt)nies l*,(,/). !*;,(./•),... sont ce (jue M. liernslein
appelle des ptdynonies trigonométriques. Ils ont été considérés
bien avant lui par le j^rand mathématicien russe Tchebychefl", qui
en a si<^'nalé des propriétés remarquables, et nous aurons l'occasion
d V re\enir dan> la suite.

Kécipr()(jueMi<;nl, une représentation de /(j?) par un polynôme
en X se tiansforme. en posant .A=coa'.p, dans une représenta-
tion trigonomélricjue de /'(cos'.s).

r». Module de continuité. — .Soit J\-x) une fonction continue
dans un inlervalle ( a, h). Considérons deux points x^^ x^i de cet

iiiler\alle et lormoiis la dillérence absolue

;/(^2)-/(-r,)l.

CiCtte diHV;rence admet un iiiaxinium |)our I ensemble des points
de linteivalle ( n, h i (pu salisliuit à la condition

I ^î -~ -^1 I < '■-'i

où 0 est lin iioiiibie positddonné. (le maximuin est iiiu' foiiclion
continue de o, (|ue nous di-si^nerons par <.)(o» el (pie nous appel-
lerons iiKiiliile de fniil iniiih- de f{.i i dans I intervalle (r/, />). (Jn

P INTBOniMTION.

pourrait préférer à celle dénominalion celle de module d'oscilUi-
tioii. plus nalurelle à cerlains égards i '): mais uous choisissous la
|)reruièrc. parce ipielle allire mieux rallentiou sur Tiisage que
uous auittns à faire de la notion (|u elle expiiine.

D'après sa délinilion, le module de continuité e>l donc une
fonction continue et non décroissante de o. (pii ten<l vers zéro
a\ec 0. C'est la rapidilt' |)lus ou iiuiins i;raiide de cett(; coiiver-
geiice quand S tend vers zt'-ro cpii nous intéresscta plus parliculiè-
remenl dans la suite.

(hiand ./ (.r) est périodique, le module de continuité se définit
<le la même façon, mais sans restriction d'intervalle. JJans ces con-
ditions, w(o) atteint évidemment son maximum pour une valeur
de 0 égale ou inférieure à lamplilude de la demi-période, de sorte
que ce maximum est wit:).

Le module de continuité possède ipielques jiropriétés cpii son!
presque imiiiédiales :

i" Quel que soit )v entier, on n

M (ÀO ) ~i Àw(0).

En effet, cette inégalité s'obtient en remplaçant chaque terme

par la borne supérieure de son module, sous la condilion | /> | < o,

dans l'égalité

/. — I

2" Quel que soit '/. positif (entier ou non), on a

ojfXo) < (À -4- I )m{ 0 ).

Soit ). -^ î l'entier supérieur à A (suj)posé non entier); on a

OJ ( ).0 ) ^ O) [ ( X -1- î ) 0 ] f ( /. -h £ ) OJ ( 0 ) < ( À -(- 1 j CO ( 0 ).

3" Si to(o) s annule pour une valeur non nulle o, de ^j,J{x)
se rrduit à une constante.

En effet, w( o) s'annule pouro^o,. auquel cas, f(x) est constant,
dans tout intervalle < o,, donc aussi dans tout intervalle.

(') Cette observation m'a été faite par M. Lalesc».

TIIKOHKMKS m; Wi;ii;ilM IIASS. y

7. Condition de Lipschitz. < >ii dil i{ii une fonclKiii est

h l>sc/ntzi('iini' ou vc'iilic iiiir l'iinli I imi ilr /.i/is</ii ( z-, ■'i I nu peiil
iissi^iui- une niiisliiiili' M lillf (|iif I «m ml. (|iirU (|iic xiiciil ./ ,
Cl ./..,

\J\jr ■•>—/< .r-,}\ .M \j-î- xi\.

Si la fonction /(./• ) est lipscliit/ienne. elle esl coiilinno cl son
moiliile <li' conl innili- s;iiis(";iii à |;i rondilion

coniplrlenicnl <'(|iii\al«'nte à la |)it''cé(lenle.

Cette conditM)!! e>t (('lie de Lipschitz |»ropreni( ni dite, l'ins
généralement, on dil (|n"iiin' fonction /Y.z) vérilie une condition
«le Lipx( lut/, (I oidrc y. on d (•xpo>anl y. (o<<;a.'' i ), si Ion a

io( 0);^ Mo*.

Ainsi la condilion de Lips( lut/, proprement dite esl celle
(l'oidre I .

Il ny a pas lien de considcier tle conduion de Li|)scliil/.
d'ordre a > i . L ne lonction (|ni la |)Osséderail se réduirait à une
conslanle. On aurait, en ellel, par la propriété i" dn nnim-ro pré-
cédent, ([iiel que sdil /. entier.

co(o, = .o(/.:^^-).co(.|)^XM0J';

«'l. eti faisant tendre /> vers I inlini,

u)(0):?lnn ; • =o.

' < a — I

Mo*

7j

CHAPITRE 1.

APPROXIMATION \\\\\ I-KS SKllIKS DE I-OURIER.

S. Séries et constantes de Fourier. Propriété de minimum qui
les définit. — Soit /(x) une fonction bornée et intégraMe de
|)» riode :>.-. Considérons la snite trigonomélriqne finie dordre //

S„ = ' «0-^ Xj ^^'^ cos/.-ar — 6/. sin /ra-).

(Icltc suite s";i|)|jelle la somme de Fourier d ordre n relative
Hf(x), si les coefficients Ok et h^ sont déterminés par la condition
di' niininier lintégrale

/ {/( T ) — 'Sa]- dx.

dette intégrale est une expression quadratique positive en a, b,
admettant nécessairement un minimum. Pour le réaliser, il faut
iinniiler les dérivées partielles en a et en h, c'est-à-dire poser

J' [/(j" I — S„J cosAx f/a:- = <), / f/*^) — S„] «iiiAa- «afr = ()

0 •• 0

(■/>- = o. I, 2, . . . , n ),

d Où. sans difficulté.

' a/ = — / fij-icQs/^xdx, fj/,= — I f{ X ) ^'wAx dx

l " • 0 "do

' (A=o,\,9.,..., n).

11 est important de remarquer (pie. par suite de la ])ériodicité,
l'intervalle d'intégration peut être remplacé par tout autre de
même amplitude 2—, sans changer la valeur de ces intégrales.

M'i'imxni AI i(i.\ l'vri i.i:s si;tui;s m-: loi iiir:it. ii

\a'^ (U)I)>I;iiiU'>> ff/. «'1 /y/, dclci m iru-cs |);ir les loniiiilcs (il sont \c->
<-<i//stff/i/f\ (le l'iiiniiT (le J\.r). I^a S(''ii«' illiiiiilic

1

(•(»iisi(l<i('r au |i()iiil (le \nv |)iii tiiiciil loiincl, (|u l'IU; suil conver-
-fiUc ))ii non. ol la s<ii)- ilc l-'oii lier de fi^x). La somme S„ esl
telle (les // 1 |iiciiii(is triiiio de (^eUe série.

l/expression «les constantes de l'\)urier, sous forme d'intë_nrales
(K'Iinies |)ar les foriniilcs (i), condnil iniinédialeinenl à (jiiehjnes
('ons(''([iien('es londaMiciitales :

i" Si le module de fiX) ne sui[H(sse jxis M, eehn des eoii-
stdiiles de l'Oinier iw si/i prisse pas :>. M.

•>," Les eonsidiiLes de .Foiniei de f-\-'^ sont les sommes des
eonslimtes de h'oinier du même ordre de f et de cp. La série de
Foiirier île f -f- C5 <'sl la somme terme à terme des séries de j et
de 'p.

11. Conséquences du théorème de "Weierstrass. — Le ihéorème 11
de \^'eie^st^ass fn" 2 i entraîne d'autres propriétés également fonda-
nienlales de-> e<»n>lanles el (le-> soniines de l"'ouiier. indi(pion>-Ies :

i" Si f(x} de période :>.- est eontiii iic on a

lim / !_/■( ./• ) S„ |- (Lr — o.

l'^ii eUel, d après \\ eierstrass, on j)eut <l('dinir une expression
lrioonom<'-lri(pie I „. d'ordre n el donnant une approximation c„
ipii tend \ers /«-ro avee i * // . I)()iie. puiscpie S„ inininie 1 inté-
grale, on a

f (/- S„ )■' du- , I (f- T„ .2 dx ? I '/],

dx.

\^e. dernier membre de ee>^ lnéi;alil('•>^ tend vers /('-ro avee i ; // .
doue a fortiori le premier.

,2TÎ

S?, d.r.

lî ciivi-nuK 1.

2" Si /' (x) est co/ifi/iiic, la sriic posiliic

0

est conKcrgente et a pour somme

I"^n ellel, faisons la décomposition

f ' " I / - S„ ]■- dx = f p d.r-1 Ç /S„ dx + ^

• Il 'Il i- (I «-0

Dn a. par les formules (i),

/ /S„ dx =J I /(«/. cos/ia: ^ b/,- sinAx) dx = -y («f-l- 6|)-
-' ^'^^ ^ "

D'autre part, on a. en dévelnppanl S„,

/ SJ5 c?a^ = N / (a/, cosbx -h b/,?:\n/xx)- dx — -^^ (aj-— b'j).

'- *' 0 ' " 0

Par conséquent

_ n

f"'(f-S„r-dx= f /■id.v-r.yial-^bl).

Quand /« tend vers l'infini, le premier meml)re tend vers zéro
(par i"j, donc le second membre aussi, ce qui prouve la propo-
sition.

On remarquera que Ion tire maintenant de la dernière équation

f (f~s„y- dx = -\{al^bl ).

'■'i" Si les constantes de Foiuier d'une fonction continue
sont toutes nulles^ la fonction est identiquement nulle.

\i'i>iio\iM VI ION l'Ail LIS si;i\ii;s Itl. riHUlKlI.
l'.n l'Ilcl. (III ;i. |>;ir hi |iii)|iii(''l('' :>,",

i3

/ /2 (l.r = u,

cf (|iii ii'ii Ikmi |>()ur /' ('(tntiniic (|ii(' si /* =: o.

(ietic |)r(i|)()silMiii l'iiti'iiiac iiiiiikmIimIcmiciiI la siii\aulr :

4" /fi'it.r fonctiniis cou linii''s <jin mit les //it'/iirs conshailcs de
Foui ter smit idciil it/ufs.

r>" Si ht si'iic lie l'dii lier il II iir J'onclioii roiitiniic / est iini-
foiincnii'ii t coiner^ciitr dans la période^ donc, en jiai li('uliei\
si les sérii's /xisilives -|''/a| <*' - K^a | eoineri^i'iit^ /a série de
Fonrii-r a pnur so/nnir J .

Va\ cIlVl. la soiniiicde la série esl une roiiclion continue et pério-
<li(|iie ■:>. Comme la se- rie esl inlf-grahle terme à tenue, les constantes
(]<; l'diiiit'i- (le 'i l'I"' '"^'^' <'i>l<^'"l''"l l'-"' If'^ fonnfiles ( i)] sont l<'s
in(Mnes(jiie celles de / : donc J -^^ -c, { par \" ) .

()' Si nue l'xpressiaii liii^onoiiK'Iriqiieïn d'oi-dre ii finiiiiil
une II i>pii>.ri iiKition o„, un a néeessaivcnienl

\ n-\-\

ee nui fournil une preiiiièii' borne iiifriii-iue de la nieilleure
iipproxiiiiiil inii piissihli' ( ' ).

I".n clK'l. |>iii>(nif S„ iiiiMiiiic I I iit(''i;rale, on a (2")

/ I / ~ T„ y dx - f if - S„ )î d.r - -V ( n'I -^ bl ) :
* " /i + 1

cl. pm-<(pic \ I, donne ra|)pro\imalioii o„,

/ </-■'■'/ '' 'I'- / ?ri 'If = ■>■ -'A-

( ' ) S. IJkhnstkin. Sur l'ordre de la nieilleure tipproxiinalion dis /onctions
continues ( n° 52) ( Mémoires puhlics par l'Académie royale de Delgiiiue ^ t. IV.
ii|i' I Nuii-» avoii'i ri'liilili If fiirlriir ' (|iii manque ici smis le r.idiral.

i4 ciivpiTui: I.

La comparaison des deux lionu's ainsi ol)leniie>^ jiislilie le llit'-o-

rcnic énonce.

1(1 Dérivation des séries de Fourier. Si f de péyiodc 2-

(uhiii'i uni' (l('ii\.rr dOidre 1 hoi iit'c cl m Ici^rahlc^ hi série de
Foin iei île f ' sOblicnl en dcrivnni r fois Icrtnc à Icinie celle

drf.

Il snl'lil «le fair«' la preuve pour le pieniiii' ordre, ditnc de véri-
lier (|ne la série dérivée

^ /. ( — a/, siii /«•./ - b/; cos/, .r)

i

esl la série de Fourier <le y', donc de \éri(ier (|ue ses coeflieienls
sont bien les constantes de Fourier A„. \/, ei Ha de/"'.

On a, en intégi^ant par parties, et à cause de la périodicité,

Ao-^zf /' d.r= ~[/c2-)—f(o}\ = i>,

A/.= — / /"' Cos/..r c^j7 = -^ / f<\\\/:.rd.r = A/)/,

li/. = — / j' siii Ux d.r = — -J- / y C'is/. ./■ dx = — /iV//..

La vérilication est donc faite.

11. Théorème. — Soit 'i(.r) ii/ic Jo//clio/t contiinir dans un
inleiKulle fini [a^ h); si J. Icnd vers l'infini d'une ninnii'ie
riuelconrjiie, on a

r' ^ ■ r''

lini / o(x) cosJ.x d.r ^= Uni / '^( x ) s\u'/.x d.f := <i.
il suUira de considérer la premieie iiitét;rale. l'osons

r''

1= / o(x } co^/.x dx.

Suhsliiuons dans cette intégrale ./• -t- ^ n oc et ajoulons l'intégrale

AI'l'ItOXIMA rioN l'\U I.K^ SKltlES l»i: lOtlUKU. I ">

IransloniK'e à la précétlriile : li vniil

I' - ~

Il

>.

= / .;(./■)- 'j (./• -r- !- j cns)> .r (/t

I zi(x)vo?,/.Xilx I 'i I j- — ^ j cos), T c/.r.

/' 5 *" « ^ ? '

(iliacune de ces trois intégrales tend \ers /éio (|iiaii(l /. Inid ver>
1 inliiii : hi |treinièie a\t'c la fonction à inl(''j;icf cl les deux dcr-
iiicres avec I amplihide de I inleiviille d int»''i;i;ilion.

Le tlit'-inèmc prt'ct'dcnt saOsistc si 9(x) admet un nombre
limité (le points de disco/itin/filé, /né fur sans supposer •z\.r\
bornée^ mais ntoycnnrint l'i'xistrnci' de V in té ^i raie

f I ?!'/-'•■

( )n |)eut adinellrc (|ne .i n Csl discontinue (|u aux liiiiites»^/ cl />.
car l'intégrale se décompose eu plusieurs autres vérifiant cette con-
dition. VIors. (juckpie petit que soit s positif donné, on peut se
donner un y, po>itil assez petit pour que les deux inléi;rales :

r'' r'""'

'il • .( t-r,

dillerenl au plus de i. iiinpid cas les deux suivantes :

I G cnsÀ ./• </.r, /

Ci cos)^.7• f/:r

dillerenl au plu^ de :, «piel (pic ^nii /.. Il >iitlil donc de d(''innntrci-
le I lii'Oi'ciiie j»()ur hi >cC(»iid(', ilaiis lii(|ucllr -^ <-sl continue, ce ijui
lanicnc au cas prccf'-dent i ' i.

12. Ordre de grandeur des constantes de Fourier. — i" S/ lu

i') M. I^i;l)i-s;;ue a «li-moiilro qui' If tliéoréini- siihsisle s()u> la seiiii- cmulilion
<jiic » soit somiiiabi''. { Lerons sur les séiics l/ii,'oiio/tte/ri//ues. p. Oi).

iG (Il AI'ITIIK I.

fonclinii t\x) de période :>.- est conlinne el admet le niodn/e
dt' cniifi/iiiiff' (<)(o), ses eonstd/ifcs de Foiiiier a„i el l>,„ tendent
vers zéro pour nt^^^zc [c/i rerlu du t/u'i>rènie précédent) et
l'un II

Il siiflii-.i (le faite la (léinonslr.ilioii pour rt,„.

Recuinmençuns le calcul de la tléinonslration précédenle. Nous
aurons, par le cliaiiûcnienL tic x en x ^ — — el sans loucher aux
limites (^à cause de la périodicité),

puis, eu (aisanl la deuii-souiine,

a„t=—^ l \f(x)—fix->r—\\co^nixclx.
]Jonc, |)ar le lli('or(l'mc de la inoACune,

I «/« Il — '^•M — ) / dx = M[ —

■a" Si f{x) de période 'i~ possède une dérivée dOidre r et (fue
celte-ci admette le module de continuité (o, ('oj, on a

— \ ' l>m" -^'hi ■— ) •

ni I m ' \ m /

Ku ellel, les constaiiles de Fourier de / ''^(x ) sont, à l'ordre elau
signe près (n" 10). m'' a „i el m'b„i- Or elles sonl de module
<;(Or( — )> en verlu de la pri)|)osiliou i ", d'où la proposilion

actuelle.

Voici déjà (pielqucs applications Irtîs siuij)les de ces principes.

Si la série posilive S(| a„i\ + | b,„ \) converge, la série de Fourier
converge uniformément vers f{x) (n"9) et ra|)pioximali()n fournie
par la somme de Fourier S„ est inférieure à

y^i:a,,.\-^\b,\).

Considérons quelques cas particuliers :

AI'l'lliiXIM \ riuN l'\ll I.KS SKItIKS lll. IctlIUKU. I7

Si fi.v) ;i(lim'l iiiif (It'iivéo /"'(^.r) Siiti^raisiuil ;i imc ( innlil mu il<'
Lipscliil/. (I onlrc y., un a i |>ai' ]")

^ ( I a,„ I -^ I /.„, I ,) - >y-,o {^) < M V — !
.a^ lll ^ m \in/ ^^/n*^^

OÙ -M esl iino constante conveiialjle. Celte série esl convergenU',
doiir la S('Ti(> (le Foiirii-r coiivorj^e vers f(x). (^e critérium rentre
dans d aiitics |)liis i;«''ii('Taii\ (|ii(* nous rcncuntierôns |iliis loin.

Si y(<i*) esl indrtiiiiiiienl déiivable, on a (par 'à"). (|Ufl (jut;
soit /• entier.

2;(i-/.Ki^/.i.<M,.>;^<^,

.T -(- I « -+- 1

OÙ M, esl une conslanic par rajiporl à n. Donc. (|uand // Leiid vers
l'inlini, raj)pioxiination fournie par la somme S„ de Fourier est
inlinimenl |»ctilc d ordre supérn'ur à lonic puissance de i I //.

\'.\. Sommation de la série de Fourier et de la série conjuguée
par des intégrales définies. — Soit f^x) une fonclion bornée et
intégrable île pc'-riodc '*.—. Vax uu-nic lcnip> (pie la série de Fourier

de/(j7),

X

- Oo-i- 2_i ^'^'' cos/>j--H />/. si 11 A'.').
I

il est utile de considérer celle (jui > en déduit par l:i perniutalioii
des coefficienls «, h et le cliangemenl de signe de x. Cette nou-
velle série, que l'on appelle la srrii' conjugurc de celle de Fourier,
est donc la suivante :

> I l'i, cf>s /. ./• — «/. «in kx).

Les sommes d'ordre // de <"es i.V'\\\ s»''ries sont iespecti\ emeiit :

n

S„ = — «0-+- ^ («A c<js/,\r -(- bi^ sin />./),

S,', = ^ ( b/, cos/i\r — ai, siii /. ./• i.

V. I'.

i8

<:iiAi'nnr. i.

l*;ii- lii siihstiliihoii (lr-« xalcius (^ i j îles consUmlos de Foiirier, ces
sommes se I liinsIcuMieiil diins les iiil<''i; iules

'-if

— y cos/i ( / • — .?• )

V sin /.

( / — .ri

/( t)dt,
J\t)dt.

( .li;iiii;eons l en / + .r, sans loiieliei- aii\ limiles (à cause de la
|)(''ii()di(ile i. d \ ieni

^'-U
^-=./'

■7 cos/, /
1

> sin /, /

f^t-^.r)dl.

fi ( — .r\ dt.

l/inlei'valle d'intégralion peiil être remplacé par lout autre de
même amplitude 2-, en particulier par ( — -, +-). Ceci fait, les
intégrales entre — 7: et zéro se ramènent à des intégrales entre zéro
ei -, |»ar le cliangemeni <le /en — /, et il \ ient ainsi

^^^ cos/ /
I

\fi:r^t)-fix-t)\dt.

Si Ton sépare le réel et I imaginaire dans la relation

n

i-2

-^ > e.l<ii :

f,[ii + \',li I I a - COS-?,/

>.i sin ' /

on oI)tienl

{■X)

i-2

co^/. t =

sin (« -h 4 ) /

\^ . , ros ' / — cos ( /' -i- ' ) /
^* sin/./ = . : 1^ :

■^^ y. sin r' /

M'I'UOMM A I ION l>.\U Li;s SKKIKS DK 1-OlHIKll. IQ

Il \iciil. |tiii' lii Milt^liliiliiiM «If tes valeiii>,

. - cos i / — (OS ( 'i -i ) t

'■ • 0 ■ :i

La coiiNerneiice d»' la s<*rie de l'oiirier el de sa conjuguée sonl
liées à la convergence des intégrales piv'-cédentes pour n = oo.
Nous renverrons an\ Ouvrages classiques pour l'élude des crile-
rinnis de ennvergenee les plus généraux. Nous n'indiquerons ici
ipie le pins iinpoilanl, qui est le suivant :

I i. Critérium de convergence des séries précédentes. — Soit
J\x ) une fonction conliiine dr pciiade kt.. L<t série de h'oiirier
de /'( x) et sa enn/ii^uée seront tontes les deux convergentes dii
jeiint ./•, .">/, : pnsil if t'-tiint donne, l' i n legrale

r

fix-^t)- f{x)

dt

a une idlciir finie. Ihins ce eus. la série de hninier a pour
soninie J (x) et sa conjuguée a pour somme 1' int('graie {exis-
tiinl par hypothèse)

(<i

En inlé-grant les deux membres de la formule (2) au uunn'ro
préeédenl, il vient

/ sin(«-r--|f

It = \ :
2 sini /

donc, en multipliant eelle relation pai-y'(j;'), puis en relranclianl
l'écpiation 1 1 1 du r<''sultat. il vient

t
^' di

CIIAI'ITUK I.

Pcnir ehiMii' la preiiiiric pai-Iic tlii lliroirnic, c'esl-à-diic ([iic la
série île l^'oiirier converge vers /{■r), il laul inonlier (jiie celle
intégrale lend vers zéro qnand n lend vers linfini. Mais c'esl la
conséquence du théorème général du n" 11, pour\u ({uc linlé-

grale

r

f( .r -(- D -4- ftT

■xf{x)

•> sin y t

,U

existe. Reste seulement à (h'muuLrer celte existence.
• A cet efiet, on observe que l'inlégrale

./■( .r -r- / ) -+- ./"( -î" — / ) — v.y'( ./■)

r

existe [)ar hypothèse. Or on n'altère pas celle conclusion en éten-
dant rintéi;ration de o à t: (puisque f esl conlinue), ni eu niulli-
pliant la fonction à intégrer par la fonction continue

On retrouve alois l'intégrale dont il faut prouver l'existence.
Passons à la seconde partie du théorème.

L'existence de l'intégrale (()) se justifie par un raisonnement
tout pareil à celui que nous venons de faire. En relranchanl alors
l'équation (5) de ((S), on trouve

/,{a:)-S',= -J^^ ■- —r^^ eos(// + -y/«r/.

Pour j)rouvei' que la série conjuguée converge vers J\(^x), il
faut prouver que celte intégrale lend vers zéro quand /i lend vers
l'infini. Majs c'est encore une fois la conséquence du théorème
du n" II, paice que l'inlégrale

/:

\f(.T -+- t ) —f(.r

dt

existe, par la condition supposée dans l't'noncé du ihéorème.

Il y a lieu d'observer (pie ladite condition a lieu en tout point
oh f[x) a une dérivée finie. Elle a lieu partout, si/(.r ) vérifie une
condition de Lipschilz d'un ordre a si j)etit qu'il soil.

M'I'UitMM VTION l'An M S SKUIKS HK KOIHIKR. 21

Nous |)(iii\(iii-^ iriiiinlenanl élahlir lo tliéorèincs conceinaiil
rii|)|)ro\iin<ilioii pai- les st'rics de Kmificr.

ir>. Théorème I. — On firitt (issign<'i- a priori «Ifiix nomhres
fixrx \ et I) jniiissant de Ut ^)inpriéb'' sidiantc : Si f [x i est une
Jdiirllnn pi-rii>ili<iur el intriiiable de inndiilr <; M, les deux
sniinnrs S., et S^, snnl lnules deux de module in friieni- à

M( A 1.)-// — B»,

tjuri ijiic snit n entier positif.

Il siitlll lie (Jémonli<'i- (|iie la eondilnui peut se réaliser pour
cliaiunt' «les deux soniines.

(^ouunemons par S,^. On a. |)ar ia liuiiude (\),

>,. I :' - / . ," dt C M / —

- ./ ii\u\t . / t

dt

in.^jr.

^' /

sin f

dt

< M Ç dt~ M ^

('^-\)r.

< M I — log in -H 7) - < M» I — log« -log2-\

Celle dernière parenllièse est de la forme V log/« — H.
Passons à S)^. On a. par la fornuilr ( 5 ),

'■ ' 0

- t — cos («-i ) t

2 sin ' t

n . /J -r- I

<m — / *in t

sin '/

di<^ :i

?/

■ m V

dt.

(li'lle inli'ui'.dt- «•>! la même ijue I autre. >antque n est remplae»'-
par - el (piil v a un faâleiir 2 en plus. Il suffira de doubler les
valeurs prée«''drnlf^ df \ t| de 1».

Il <,'sl faeile d'ahaisser les valeurs de A el de H fournies par les
<'ilruls tpii pr<''crr|cnt . mais rela n'a j)as aeliiellemenl dinlcrrt.

Ht. Théorème II. — Supposons t\x) pt''riodi(iue et intfuruhle

>> CHAPITUK I.

l't désignons jnti K„ la <li Jjercncr f{^x ) — S„. On petit assigner
a priori tirtix nombrrs fixes A et^ tris f/iir. si f[x) est df
nintliilr <^ M, un ait, (//tel que soit //,

|R„|<M(A logn--B;.
Ce théorème n'esl pas distinct du précédent. On a

|H„|5l/|-^|S„l:=M-|S„|.

Il suffit donc diijoiiter une unité à la valeur de B trouvée ci-
dessus.

M. Lebesg^ue f' ) a déduit du théorème précédent une consé-
quence de la plus haute importance. C est une seconde règle (-)
<pn donne une borne inférieure de la meilleure approximation
tl ordre /* quand on connaît le développement de Fcuirier de la
fonction à représenter. Voici cette règle :

17. Règle de M. Lebesgue. — Si l'approximation de f{x) par
une suite de Fonrier d ordre n est égale à '^(n ), la meilleure
approximation tri gononiéirique du même ordre est au moins
égale à

Alogn -+- B'

où A et B sont les deux nombres assignés dans Ir théorème
précédent.

Soient S„ la somme de Fourier donnant l'approximation 'J( /<)
etT„ une seconde expression d'ordre /? donnant l'approximation o„.
Considérons la décomposition

/=(/-T„)-T„.
Soit ï„ la somme de Fourier àe / — T„, nous en concluons

S — V _■ T

I/-S,. =|(/-T„)-v^|.

Gomme ï„ est la somme de Fourier de f — T„ qui est de

(') Sur lea intéf^ralef. sin-julièrex ( Ann. Fac. des Se. de 7'oulouse, ifiio).
(') Voir la première au n" !t (6").

\riii(i\ni \ I ION i'\u i.Ks si:iui:s m; i (»i itii:ii. 7.»

Minilulc z„, iioii^ avons, niir le llicopcinc itrcci-deiil .

|//-_T„I - V„|--„,,\|,,o„ _.. 15,;

il, coniriif daiili'i' |iail \f - S„ | allciiil la \alciii' 'Cif 11 \. iKiiis
<l<'\(nis «'Il coiicluic

9( n ) r^ p„{ \ lu- /* -t- |{ ).

Di- là l'fsiillr la l)()riir iiilciicnrc asMi;iv(''e à z„.

18. Théorème III. ( //i /x'i/f ti.ss/i://<'/.\ \n-Mu\ (h'ii.i iiniuhrcs
/l.it's A ''/ l> jouissant dr hi /noprii-lc sin\((ntf : Si /\ j ) c/r
/K'/iode :>.- (1(1 met une iI('ti\('c d'indir r i nie 1^1 nhlr cl dr
nindiilr ,^ M,, on (t

I H„ I =: |/,.r,-.s„|.;, AI..1;// ^ li)-^-

Sii|)[)0.sons (1 altoid /• pair el soit /• = 2//.

La stMK,' lie l-Omicr de f^'^x) s'oblicnl en <it''nvaMl /• = ^.r/ foi>
«•('lit' «II'/ t .1'), à savoir

f( .r) = ^A/,. ■^/. = ('/, ('os/,.r -i- />/. sin/.r,

II

la(|iit'||t' couverte par Ir <-iilt'iiiim du 11" H. La si'-nc il(''ii\ t'r (([iii
peut èlre converi^eiile on non i seia

'^^ 1!/.. 1*'/, =( !)'//.'• A/,.

l)onc. t'ii iciuplacaul \/, par sa \alriir liii'c de ct'llr dcinicii-
(oriimlf, ii()ii> ()l)l«^non>

i'.=2-^'-=^-'"2f

Soit Ta la somme d ordre /. de la si'iie de l'Oiirie'r <le / ' (./), de
sorte (pie

15*= ty/. — 7/.-I ;

il V leiit

v>.i ClIAl'ITRiî I.

Mais, en vcrlii du lliéorènie I, on a

|a/,l < M,.(Alog/ -f- B);

il vient (lone

I H„ I ^ Alogn-^B
M,. ^ (n-r-i)'"

A log/i -f- ■! B

B)

( « -t- I)'- j^ V/.-'- (/.• -HI)

aV J-_^-J_ loo/,

n+ 1

La dernière somme ( cnii est multipliée par A) peut se mettre
sous la forme

Iok(« -h I ) xr^ 1 , /, ^ I

'2d(k

(n-(-i)'- ^d(/c4-i)'- •"" k
rt + i

00

^ lo£Ç( /j — I ) -^ I \og( n -1- 0 . ' ^ '"^S" + 5

~" (/« -I- !)'■ ^ ( A- -t- 1 V (« -f- i)*- ' /■/*'• n'

fi + i

11 vient donc a fortiori

2 A lop:« -(-(aB -4- 1)

K« < >!/•■

C'est la relation à démontrer : 2 A et s>. B + i sont deux nombres
fixes que l'on peut désigner de nouveau par A et B.

Supposons, en second lien. /■ impair et de la forme iq -\- \ (où
q peut être nul ).

La série de Fourier de f''' Çx), qui s'obtient par Aq -+- i dériva-
lions, sera, dans ce cas-ci,

1
Donc la série conjuguée de la série de Fourier de /'''"• (x) sera

1

En remplaçant A^ par sa valeur tirée de celle dernière formule,
nous obtenons

B',

:B«='-.)"2;f^

AI'I'IIOXIM AIlnN lAll Ll S SKIUI S l)K I <)l «IHU. 1 i

I.a iK'iuonslralioii saclirvc cxiiclcmenl comme dans le cas préc»--
«.lenl. Eu ellet, soil 7, la somme d'ordre / de la séiie SB).; on a

el, en verlu du liit-orrine L la somme Ty,. salislail (comme 7/,) à la

condilioii

|a/, 1 -^ .M^(A l<)-/. + B).

II n"\ a donc ([iià a(;cenliiér t dans la démonstration précédente.

i^e ll»»'-oi'»''me (jue nous venons d ('lahlir rentre en jiartie dans un
lhé(jrème de M. Hcrnstein (') et celui de M. iîei-nstein est lui-
même un cas particulier du théorème V qui suit. La considération
de la série conjuguée, qui n'intervient pas dans l'analyse de
M. Bernstein, |)ermet de simplifier beaucoup les démonstrations.

Nous avons montré dans les deux théorèmes précédents comment
lapproximation par les sommes de Fourier est liée au module
niaxiniuni de la fonction ou de ses dérivés su|)posées existantes.
Nous allons maintenant montrer comment Tapproximalion est
liée au module de continuité des mêmes fonctions. Ce sera l'objet
des deux thè'orèmes suivants.

I!). Théorème IV. — On peut assis/ier a \)VïOv'i rie iix nombres
fixes A cl W jdiiissoni de Lt piopriélè suivante : Si f[x) de
pi''rii)de 2— admet h' nidduli- de runtinuilé (o(o), on a

I 1{„ I <( A log/i-r- B)co i- \

Nous allons rattacher ce théorème aux théorèmes II et III par un
procédé de raisonnement cpie M. Diinham Jackson a employé dans
un cas analogue (-).

Soil 0 une partie alirpmtc de la période 2t:. Marquons, sur la
courbe ^^ z-^J\x), les points d'ordonnée ÂO, où A parcourt la suite

(') Stir l'ordre de lu tiieillenre a/ij>roxiiiuilion des fuiictions nintiiiiies
(Méin. cité, n" 5'.)). La (Itiiinnslralion ilc M. IScrnstcin coiirerne la repu-scntalion
par polynômes irigonomi'lriques cl ne coniporic pas que A el 15 ««lienl des cons-
lanlcs al)soliies.

(') Dissertalion inaugurale. Gotlingcn, i;/ii. iJénionslralion du tliéoième V

(p. \u).

'(> ciiAPirnii I.

(les vulciiis onlirres do — x à -\- yz. Ci)usi(léroiis le polv^onc
insiril (|(ii a ces points pour sominels; l'ordonnée de ce polygone
est une fonction 'j (.v ) de période :>.-. Sur eliacpie coté du poly-
i;one, celle foncllon est linéaiie el son os(;illalion est "(.)(o).
(iOinnie sa dérivée 'V est conslaiitc sur chaque colé, on a, sur
cliacun d eux (Cl, par consé<|U(Mil, |)arloul),

iJ'aulre pari, sur le côté iiuiilé aux al)scisses ),o cl y.o 4- 0, la
difléreucey — 'l, au point .r, esl comprise entre

f{x}—f0.rj) el /(a:) — /(Xo -h-8);

on a donc aussi |>arloul

\/— <l I <0J(0).

Considérons mainlenanl la décomposilion

La série de Fourier de y" est la somme de celles de /* — •!/ et de •!/.
Soient li„, R^,, R), les écarts relatifs à ces trois séries, respective-
ment ; nous avons

Mais, comme \f — 'L | '<w(5), nous avons, par le théorème II,
I H'„ I <(A logrt -f- H) (0(5):

Il M OJ ( 0 ) 1 I ' < III

V I < — ^~' nous avons, par le tlieoreme 111,

r;;| -(Aiog/i-f-Bj^'.

D'ailleurs, on peut satisfaire aux théorèmes 11 el III avec les
mêmes valeurs de A et de B; nous avons donc

I l\„ I < (A lo-n -^ Hj ,+ -1^ ) oi(o;.
Prenons rj ^ - , ce qui est bien une partie de la période; nous

AI'l'ItoMM A I l(l\ l'AU l.KS SKIUKS DK ItlIUlKH.
ul)l('IIOM>^

( ! e-il If tlMMUt'iiiP à (léiiionlrrr : les valeurs A c[ \> tie I <''U()i)C(''
s'ohl jennenl en imilliplianl par ( '+ -) celles de la «lémnnslralion.

^0. Critérium de convergence de Dini-Lipschitz. — (]r eiil*'--
téi'itini est un corollaire du lliéorènie |)ré<édenl. Il est plii-^ |)n''cis
(jne celui du n" I i. l'.ii voici rt'iioncc :

■^/ le fiiD'/tt/i' lie iiinl i II idlc tic / ( ./■ i sfilisfuil n ht cninl il inn
tlih' ilr I h iii-Li i>scln I z.

In série ih- hOiirirr de f\ r i ri>ii\.-i'ii;i' nul foinirnioiil vctaf^ r).
\'A\ ellcl, CM laisaiil o = — . celle Cf)ndilion nous doiiiif

liiii i>j ( — 1 \i\''n = o.

Dans ce cas, on a uni forniénwiit , par le llicoiciuc l\ ,

lim R„ =; o.

!2 I . Théorème V. — ^hi /lei/l nssii^/ier n piioi-i (l<-iix noinbies
fi.rcs A ri I) jitiiissdnt de In pt opridr siUKanle : Si fix) de
jn-rinde ■>.— admet une dévi\re d'ordre r et (/m- relle-ei tidmrt tr
II' nindiile ilr iiin lin II ili- (■>, (o), on a

I K„| (A log/i - l',)——^.

{^•i dcmoii>l r.il loii csl ;ii)alot;nc à celle du I Iumuciiic I\ . Snil
0 une j)ailic idupiolr (\v ■>.—. Inscrivons un pol\i;on(' dans hi
courbe y :=z f '■'''> (x) en preuaiil pour s(»iunicls li"> |)oinls d al»s-
cisses Ao (). entier). Soil 'jix) I ordonnée de ce polvL:oiie: nous
avons, comme dans la dénnuistralion rapp<d(''e.

aS CIIAIMIUK I.

C.onsitlérons le (léveloppoiiiciit <le -l en série de F(uiricr con-
vergenle (n" I i)

•1/ = ao -I- ^ ( a/, cos A.r -4- [3/. si n A-r ) ;
1

mtiis avons. |)uis(|ne y''' "'^ est pi'iiodique,

xo = — r 'Idv^ — f ( '!/ - /('■' ) dx ;
d'où, par le lliéorènie de la nioveiine,

Dési<;nons niaintcnanl par F(.2') la somme de la série trigono-
mélrique obtenue en inlégranl ;• fois de suite la série

^ ( y./, cos A'x -+- P/. si n /..r ),
1

sans introduire de constantes, de sorte que F{x) est une fonction
périodifpie. dont les dérivées d'ordre /■ et d'ordre r -\- i satisfont
respect ivement aux conditions

doù, par les inégalités précédentes,

I (/- F)"'' I = I /'■'- -^ + ^0 1 = v.io,(o),

Faisons maintenant la décomposition f=(f — F) + F et
soient R„, R,',, RJ, les restes des séries de Fourier de/,/ — F et F
respectivement; nous avons

h„=r;,+ r;;.

Mais y — F admet une dérivée d'ordre r, de module ^ 2to(o);
donc, par le tliéorème IV,

D'autre part, F admet une dérivée d'ordre /" + i , de module

\PPU(>\IMATIi>\ l'Ail I.KS SKHIICS llK I «H UIKI». 2«(

^(i)(o') : 0 ; |>ar <()iiM(|iiriii .

.\()ii«. ou (•(incluons

|H„| (Aiogn-H)/?.- A)-^-:
' ° l HO/ n'

l'I. en laisiinl o ^-= — »
/t

.0,. f-)

I 1^" 1 ^ (2 ^ ^) • -^ '"S'' -:- lî ) ^^/ •

On ohlicnl iliiuc les MiU^urs du \ el «le 15 (|ui convieunenl à
l'énoncé, en imilliplianl |);u- ( 2 -+- _ ) celles utilisées dans la
démonslralion.

"2"!. Remarque. — Su|)posons que fijr) adnielle une dirivéc
conlinue d'ordre /• — 1 et f|ne celle-ci satisfasse aune condition de
Li|)>clii(/. d'ordre 1, à sav(.)ir

Ou |)eul dire encore que f{jc) a une dt-rivée d'ordre /' de
module ."5 M,, sans supposer, pour cela, l'existence et l'intégrabi-
lité de cette dérivée. On a, par le lliéoièine pr(''cédenl,

|R„| r,'Al..g/i^B)-^.

I.e lliéori-Mue III subsiste donc sans supposer la d('riv(''e d'ordre/'
exislanle el inté;u'i'al)le. La distinclion entr«; les deux cas dispa-
raîtrait d ailleurs si I on faisait usaiic de I intémale de Lel)esi;ue.

"l'o. Dérivabilité. — La déri\ée d une soinine S„ de luurier C'^l
la ^(iiiiiiie lie Idiirier de la dérivéey' (or ) supposée bornée el iuté-
grable. Donc les dérivées successives de la si'-rie de Fourier
dey'ij:) reprt'senlent les dérivées successives de /"(.r) aussi lonj;-
tein|)S que ces d(M*iv(''es sont ex|)riinal)les en série de Fourier.
donc iiidilininieni >i loiiles les deri\('es existenl. \iii^i A/ sénr ih'
J-'oniii'r tl' une Jnurtidu imlf/iniincnt déri^dhlc est unr n'pré-
sentdlioti iiuh'finiiiirnt ilrintiblr tir crlfi' fo/ir/inn. cl la meil-
leure (pie I (in ((Uinaisse dans ce cas.

CHAPITRE II.

APPROXIMATION VAW LES SOMMES DK FEJKU.

I 1. Sommes de Fejér. — Les tliéorèmes précédents el, en par-
liiLilier le théorème 111, ne donnent j)as la démonslrallon du
théorème de Weierstrass sur l'approximation trij;onomélrique des
fonctions continues. Aucune démonstration de ce théorème n'est
plus élégante que celle de M. Fejér. Nous donnerons ici, à cette
démonstration, la forme qui convient le mieux à notre objet.

La méthode de M. Fejér consiste à sommer la série de Fouricr
par le procédé de la moyenne arithmétitjue. Désignons par <t„ la
moyenne arithmétique des n premières sommes de Fourier, à
savoir

So-^S|-T-...-!-o„-i

7,j ~ •

/l

Cette moyenne est une expression trigonométrique d'ordre n — i
au plus. Nous dirons que «"est la somme de Fejér d'indice n.
l-^lle revient à une intégrale, analogue à celle de Dirichlel, que nous
appelleions intégrale de Fejér et (|ue nous allons former. Nous
a\ons

Cette sommation s'efTectue par la formule

n— 1

i"^2''"(^'"^^)'^2~

d'où Yintéfi'iate de Fejér

\\ x^ c<>«/i7 — cos(/ -t-i)/ I — cosn^

r«= 1^ f .f{x-^t) -

cosnf ,
dt.

t \-

(;-''";j

AI'PHdXIMAI ION |«\U I.|> S(»MMi:s DK IMMKIl. J 1

I w'in|)l;i(Miit 1 — rus/// |)ar > mu- — , |ims / |);ir </, clli' iiirtKl hi

1 r ' ^ /sin /// /- ,

.\|i|)li(]iinii>-liii un |)ro(('tlt'' (le I liiiisloriiial ion (|uc nous allions
encore I (ncasioii ci Utiliser plus lard. Suhslil nous sons le sij;ne
<rinlii;i'ation lo (l(''volo|>|)om('nl

V

/. .. - 00

iiiréf;r()ns lennc à terme et observons (|ue j\x -^ •>.t)i>'\\\'- ni
iuliuel la période -; il vient, en prenant / -f- /.- comme nou\ elle
\aiial»lc / dans clnnpie lenne,

• ■ w \ /

, /

et, en cliani;canl ( en - .
/(

(^e seiM 1 expression dclmilive de I inlé^rale (\k' h<'|cr.

Il V a lien d'ol)server ([ne, si / ■=^ i, les sommes S/, cl. p;ir smic.
T„ sont éi;ales à rnnilc: donc

1 r'^ /sin/\= ,
y>.) i^-j J — j dt.

!2o. Propriétés fondamentales des sommes de Fejér. — Suppo-
sons <pie le module ilc / ne snij)ass(î pas M et apidniuons à I in-
léj^rale de l'Cp'-r le lli(''oicine de la mojenne ; ceci est peiims, paice

(jiie le laiMeiir ( i est positif, ce (|iii n avait pas lien pour le

lacleiir aiialoi;ui' dans I i ntt''j;rale le Diiichlct. Il \ienl

• — QO ^ /

(I où tr I lii'-omiic *^iiiv;iiiL (|iii ol loinlaint'ii lai :

3) CIIMMTUK II.

Toute somme de Fejér a une valeur intermédiaire entre les
diverses valeurs de fix). En particulier y le module d'une
somme de Fejér quelconque ne surpasse pas le module maxi-
mum de cette Jonction.

Re\eiioiis niiiinteiiiiiit à rt'(|ii;ili()ii ( v, ) ; nuilllplious-la \)iivf(x)
el soustrayons-la tie l'éciiuilioii i ii. Il vhuiI

'--•^<-'=ir[/(-^)-/'-)i(^)'<"-

Par conséquenl, si/adinet le module de rontinuilé (-)( o ),

i / \ / %'int

(3)

\f{x)-^n\=l I

1

dl.

Pour former une majorante de celte intégrale, partageons l'inter-
valle d'iiilégralioii en trois parties (o, i), (i, N) et (N, oo). En
majorant dans chaque intervalle, nous obtenons comme borne de
rapproximation

et, en majorant davantage (n" (), 2"),

0> — + (Jj

7)1:'^'"-

m{~)

< -

(■>. -+- l<>g^')

(O ( T. )

r^renaiit enfin X = 1 :(.)(-], nous obtenons comme borne supé-

rieure de l'approximation

l/-.„|f^e.Q)

to ( - )

Si /est conlinne, celle expiession tend \eis zéro quand /i tend
vers liiifini. el nous avons obtenu la démonstralion annoncée du
théorème II de Weierstrass.

La borne de l'approximation qui précède présente peu d'intérêt.
L approximation est j)liis inlc'-ressante à considérei- dans le cas

AIM'HOMMM ION l'AR t.hS SOM.MKS OK ("KJKU. t'i

|>inii('iilit'r on / vrrili».' nue toiitlilion i\o IJpscIniz iroidr»' doniK' y.
(<.<a< i).

Il exisle, dans ce ras, une constante M (|ni iIi'|>('miI île /et salis-
fait à la condilion

La relation (3) nous donne, datis ce cas,

|/(a-)--,.|<^^( ''(— ) ''^-

Comme <elle intégrale existe et a une \aleiii- [turement numé-
rique, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui est dû à
M. Bernstein ( ' ) :

Si f satisfait à la condilion de Lipschilz d'ordre a .-

w(o)^Mox (o<a<i),
on a

, ^. , - AM

oii A est une constante numérique qui peut être assignée une
fois pour toutes quand a est donné.

2(). Expression d'une somme trigonométrique finie au moyen
de deux sommes de Fejér. — Soit ^ {JC ) une expression tri<;(ino-
mélri(|ue d'ordre n . Désignons ses sommes de Fourier par 5o,,V) , ...,

si^, ... et ses sommes de Fejér par T| , Tj, ...,t„ I^es sommes

de Fourier s/^ deviennent identiques à T dès que Tiiidice /• est ^ //.
L'identilt-

(n -ir p)-.n + p= (5o-+-*lH-- . .-l-i„-i) -H ( A-„ -+- . . . -|- 5„-h/»-1>

devient donc

et I expression I d'ordre // s'exprime jiar la formule suivante :
,j, _ (n-k- p)-.„, ,,— n-„ ^

(') Sur l'ordre de l'approximation des fonctions rontinms in .iti).
M. lîornslein considère la série de polynômes lri}^i»noinétrii|iie<.

V. f. 3

34 CHAPITRE II.

En particulier, si/) = /?,

Nous allons l'aire une apj3licalion de ces formules.

!27. Nouvelle borne inférieure de la meilleure approxima-
tion!';. — Considérons une fonction f{x) et une expression
trigonométrique approchée d'ordre /i, T(a;). Désignons, comme
précédemment, par S^ et o-^ les sommes de Fourier et de Fejér
relatives à J\ par Sk et ta les sommes analogues relatives à T,
par p l'approximation fournie par T, et proposons-nous de trouver
une borne inférieure de o.

Nous avons, par définition,

l/-T!i;p.

Observons que la somme de Fejér d'une dilTérence est la dilfé-
rence des sommes de Fejér, et appliquons la propriété fondamen-
tale des sommes de Fejér (n° !2o). Les sommes de Fejér de/" — T,
sont, avec y — T, de module ^p; par conséquent,

\ '^n ~« I < p) I '^n+p "^/i-hp I ~ ?•

Nous avons donc, sauf une erreur ^ p,

Substituons ces valeurs dans la relation du numéro précédent

P

= o;

l'erreur totale sera inférieure à

( /i -H /J ) p -f- n p II -^ p
— ' = 1 — 0

et, par conséquent, nous avons

( n ~ p }<i„+,, — ni„

f-

P

n -^ p
P

(') De la Vallée Poussin, Comptes rendus de V Académie des Sciences,
21 mai 1918.

AIM'aoMMATION l'AH LKS SOSIMliS DE KEJK».

Revenons aux sommes de Foiiiier; il vient enlin

/-

S„-^S„,,--.

•*/;■*/)-

Il -r- p ^

Nous |)t)ii\im> «itinc t'iioincr la rr<;l(; sui\aiite :

l^ti infillcui <' apinoi inifil nm z (11111)' IniicUon J pdi' iiin-
l'xpi'i'ssion in<:o/io/ni'lrt(/ui' d'indri' n n rsl pas i nfériciiri- an

quoliint par x — de V approximalioii ohb'nuf. (jiiand on

prend comme valeur (ipprocitée de J la moyenne (Uitlimélique
de p sommes de Fourier consécutives à partir de S„. E n par-
ticulier ( si /) = n), elle nest pas inférieure au quart de celle
qui est fournie par la moyenne de n sommes de Fourier consé-
cutives à partir de S„.

Celle règle peut se simplifier dans des cas parliciiliers.
Désignons pai- I^„ l'erreur /' — S„, et par

Aa = «/. cos/i J" H- bi, sin kx

le terme général de la série de Fourier de f. L'erreur relative à la
moyenne est l'erreur movennc, à savoir (si /-> = n)

H/j-i- R/i-i-l -T-. . .-T- W-în

n .\^_n

— R2/I)

et le maximum ahsolu de cette eireur est l'approximation fournie
par la movenne considérée.

Supposons, pour préciser, (pie /" s'exprime eu série de Fourier
convergente et (pic la \aleur de ./' (pu maxime Ko,, donne le iiH-me
signe (donc celui de il..,,) à tous les termes Va qui sont d'in-
dices > n. Alors le maximum de I erreur moyenne surpasse celui
de I R2//I 6^ nous avons la règle suivante :

Si f est développahte en série tie Fourier converL:ente , et que
la valeur de x (/ui maxime \\.,„ donne le même signe et tous les
termes de cette série rf indices >>/i, la meilleure approxi-
mation 0 de f(x) par une expression trigonomélrique d' ordre n
ne s<-ra />as in fi'iiiure au quart de ei'lle fournie par la somme
de Fourier d'ordre double . >n.

36 cnAi'ixnK II.

^S. Ordre de la meilleure approximation de |sin.r|. Théorème
de Bernstein. — (^fUe fonclion est paire et de période -, la série
de Fourior ne cdiitienl donc f|iit* des cosinus de imilliples pairs
de X. On a donc

j sin a- 1 = ^ «2/. '''O!^ ' />^r

I r'''^' . •>. r"^

«î/. = - 1 1 sinj' I cos>Â:Trf.r = — / sin.r cos?./. a; rf.?"
= - / [sin(i -i- 2A)a" + sin(i — •>./.) .r | </a:

= -:^r_^ L_l.

- L-2/v— I i/ -I J

Tous les termes sont maximes et négatifs (sauf Uq) pour la même
valeur x ::= o, et la dernière règle s'applique.

La meilleure approximation de |sinar| par une expression
d'ordre n est inférieure à

l — : (/i pair),

max H„ ^ _ > — — =

f - — ( n impair);

/.>-

niiiis elle est supérieure à
I

max R»,

4 -" ' -xTAin-i)

La meilleure approximation de |sinir| est donc de l'ordre de —
quand n tend vers l'infini.

La fonction | cosa: | se ramène à la précédente par le changement

de .r en x-1--; elle admet donc la même approximation.

L'approximation de | jt' | en série de polynômes dans l'intervalle
( — 1, + 1 ) revient à la précédente par la substitution x =^ cos'j.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, que M. Bernstein
a obtenu par des méthodes tout autres : La meilleure approxi-
mation de \x\ par un polynôme d'ordre n dans Vintenalh-

( — I, -h i) est de V ordre de - tjuand n tend vers V infini. Celte

question, que j'ai posée en 1908, a joué un rôle important dans le

M'I'KOMM \ I ION l'AH I.KS Si>.M.Mi;.S DK FKJKU. .17

(li''Vclo|)|)rmrnt de l;i I Ik-oiic. I ,;i soliilion muiNcllf <|iii' \v \ h-iin
il en (loiiiH'i c-l la |ilii> >ini|)lc.

.M. BcrusU'iii A (li'-iiioiilrt' l«' I lii'orciiic |>rt''cc(|fiil |piii- dnix iiic-
tliodes (lillV'rciitc^ (l;iii> >()ii Mcinoiic Si//- /'(i/u//r //<■ la met I h-iiii'
appni.iiinalKiit i/r.s fn/ic/in/is contiimcs (içjia) ('j. Il a beau-
i(iii[» prt'cist' les r(''siiUuls diins un aiiti c Mt'-iiioirr Sur la nn'ilh'urc
appriKiinialiiin di' \ x j par des poi'ynonirs i/r di-grés donnes
(i9i.i)(-). Dans lîliii-ci. il (léinoiiire (|ii<' la \ aleiir as\ iii|il(iti(|ii('

tif la nicilN'iire approxi iiialioii <'st la litriiH' — où A est iiiu' coiislanlr
' ' /(

»|iie I on sait cilc:!!^'!- an de^ré (rexaclitiidc (jne I on \fiil. ^«ons
renverron> pour cida an M(''inoir«^ de M. I>(iii->I(mii.

^U. Dérivées des sommes de Fejér. — (loninie la déri\ée (riinc
sinnnu- de |-'onriei" esl la somme de l"'oiirier de la dérivée, de
niènn.' la dérivée d nne somme le Fejér, i,,, i\Qf{X) esl la somnuî
de Fejér de f'(x) siipposé-e existante el bornée. Donr, en (ant
f/u'rx/>rrssio/i in fi ninn-nt itpprochéi' jxmr n m: ce, la soninn' d»'
Fejér est dérivabh' aussi Ion li temps <pie les dérivées successiies
de /(x) admettent ce mode de représentation, donc aussi
longtemps <jue ces dérivées sont continues.

L ('•Inde de la déiivahon des sommes de Fejér conduit à des
résultats iiiléiessanls. Nous allons d al)Oid exprimer 7^^ sons forme

d'intéi;fale déliiiie. Changeons t en t — dans I expression ili'li-

nilive de t„ par une intégrale donnée au ii" !2i: il \ienl

--^/Xv)

/ —

J

dt.

Or. si Ton dérnc iiiu; lonelu)ii de / , on a

i) Mémoires publies /mr tu classe des Sciences >/<' 1' A' 'i<lrrnic n>\\Tl'' il>-
Helgique. z' série, l. IV, ii(i '.

( ■' ) Acta Matlienintica, l. .'^7. i<|i3.

38 CHAPITHK II.

il vient donc. |)ar la règle de Leibniz,

. / n.r\

d/

el, en observant que la dérivée d'une fonclion paire est impaire,

Désignons par A = w('7r) l'oscillation de/'(.r); il vient, par le
théorème de la moyenne,

en désignant par / la constante numérique

(U.

Cette constante / est inférieure à -• En cdet,

4 ■ \ ^

décroît
quand / varie de o à tî et sa dérivée est négative; on a partout

sin t

\\\i

D

sin A2

siiv;»/ 2sin-<

i 1

par conséquent,

ce qui est < •• De là, le théorème suivant :

Si f(x) a pour oscillation A, la dérivée d' une somme de
h ej ér quelconque , 7„, de /(x) est de module -< l\n, oii lest une
constante numérique <Z -:•

Ceci conduit à un autre résultat intéressant. Soit T(.t) une
expression trigonomélrique d'ordre n. lleprenons son expression

AI'l'ROMMATKlN l'VH I.KS SOMMKS DK IKJKIl. Sg

;iii MKiven (\c deux domines de l'cjér -„ el Tj,, ( n** ""H'))

1 ' ' '• ~î/i — ~/( ,
d'où

1 '2 u.j „ T„ .

Supposons (|ue l soil de niodidc " L. donc d uscilhilion A , '. L
et appli(|uons le lliéorèine précédent. ÏNous voyons que t!,,, el t),
sont respecliveiiicnt de modules ^/\ln\^ el a/ziL. Donc: Si une
l'Xprcssion trii^^onométrif/uc cVovdvc n est de module <[ L, sa
di'mi'i' l'sl di' module <ihn\., où h est une constante numé-
rique.

Toutefois ce j)rocéd«'' de raisonnement conduit à une valeur de /<
trop élevée, f^c fadeur h |)eul, être abaissé à i. C'est là un théo-
rème très remarquable et 1res important, mais il se rattache à des
considéralions d'ordre algébrique. Nous allons le démontrer.

150. Théorème ('). — Soit T(:c) une expression triqono-
mélrique d ordre n. Si le module de T ne surpasse pas L, celui
de sa dérivée T' ne surpasse pas n L.

Nous allons établir trois propositions préliminaires :

i" Une expression trigononnélrique d^ ordre ^/i, T(x), ne
peut pas avoir plus de m racines non équivalentes., et s'il y a
des racines multiples., elles comptent pour autant de racines
simples qu^il y a d^ unités dans leur ordre.

Considérons la substitution

Elle fait correspondre à une même valeur de / une infinité de
valeurs de .r r[ui dillèrenl d'un multiple de la période r^T: et sont
dites équivalentes. Deux valeurs de x qui correspondent à
deux valeurs dillérentes de t ne satisfont pas à cette condition et
sont non équivalentes. Soit

T = ^ a/.rosA-.r -f- ^/.sin/» j:;

{') C DK i.A \ ALi.KE PoussiN, Com/ttes rendus de l'Aradêmie des Sciences,
i-j mai if)i8.

/|0 CIUWTRE II.

011 aurai par la siihstilulion précédente,

p^nin

/"

où l*2« PSl un polynôme de degré An. Or les racines de 1 (a;) sonl
données, avec leur oidre de iriulliplicilé, par celles du [)oly-
nonie Po„(/), ce qui justifie la proposition.

■2" Si la dérivée de T admet le même module maximum /jL
</ue la dérivée de la fonction

5 = L 's'ininx -I- C),

oii L est une constante donnée et C une constante arbitraire .^
(in peut choisi/- C de manière cjue la différence s' — T' des
dé/iiées ait une racine double.

Soit ^ un point où | T' | atteint son maximum /i L ; on a, en ce
point, qui est un extrême de T',

Ta)=±nL, T"(ï) = o.

Déterminons C par la condition que cos(/iç + C) =± i et ait
le signe de T'(S), nous aurons

Alors H est une racine double de s' — T', car on a

s'(l)-T(i) = o, 5"(0-T"(î) = o.

3" Si le module maximum IJ de T ne surpasse pas L,
s'- — T' admet au moins m racines distinctes et non équiva-
lentes.

Soit d'abord L'<L. Alors s donne son signe à la différence 5 — T
aux in points non équivalents où 5 = dzL. Soit

(l) Xi^ Xi, ..., XI,, X.2n, ^l-H'^--

l:i suite de 2 /t -i- I de ces points embrassant une période. J^a dilTé-
rence s — T est de signe allerné pour cette suite de points et admet
".n racines distinctes au moins, une dans chaque intervalle de
deux points consécutifs a:*, Xa^i . Mais, entre deux racines de s — T,

appuoximation iwit les sommes de kejkr. 4'

il V en ;i imo <iii moins de 5' — I ', ce i|iii linl > // racines dislineles fie
«'elle dérivée, i|iii, n <'rnl)i ;is-:ii)t p.is la [x'-iiodc rnln ro, soni non
éqnivalenles.

Si)il, en secoixl llni. L'=^ F^. Donnons-nous un inliiiinu ni pelil
positif £ et (•onsidt'ions la ilillcrcnce

5-(i-c)T.

C-omaie dans le cas pii-ci-denl, eelle fonction admet j.n racines
non ér[iii\alentes. qui s'inlercaleiil eiilre les lermes de la suite (i).
Ces racines fonnenl une noii\elle suite

Mais ces racines ç/;- dépendent maintenant de t et deux r^icines con-
sécutives peuvent être infiniment voisines. Si lintervalle (;a? Ça+i j
n'est pas infiniment petit, Zk et ^/t^, sont, à la limite ( pour £ = o),
deux racines distinctes de .v — T (indépendant de z) et, entre elles,
il V a une racine au moins r,^ de 5' — T' à distance finie de ç^
et \k+^- D'autre part, si l'intervalle ( ;a, \k+\) est infiniment petit
et se confond, par conséquent, avec le point Xk^\, la racine inter-
médiaire de.ç' — T'estT,;t=: Xa+(. Mais les deux intervalles (ça_i, H*)
el (;a+i , ^A+i" ji contigus au précédent, sont finis, car ils contiennent
respectivement jfA_) et ,rA^,, et y,a est isolé des deux racines voi-
sines r,A_i et T,/^, par la conclusion obtenue dans la piemière livpo-
ihèse. Donc, à chaque intervalle Hini ou non) de deux ;/; consé-
cutifs, correspond une racine distincte de s' — T et la conclusion
sur le nombre de ces racines subsiste.

Il est maintenant facile de démontrer le tbéorème suivant, tlont
celui <lu début est la conséquence immédiate :

l'nKouicMi:. — Soit 'V i x) une expression trii^onométrique
entière dont le module ne surpasse pas \j, si le module de sa
diTixée atleint n !.. 'V ( x) est de la forme

•V = L sin( nx -t- C )
ou bien d ordre >• n.

.Supposons d abord «pie |'I | dépasse // L. Déterminons la c«)ns-
lanle G comme dans la (b'-monslration de (■.'.") et choisissons une
constante ). -< i de manière que | aT'| ail pour maximum // L. Mors
I'a'J'I a son maximum •< l>. donc x' — ).T' a :>. n racines disiincles

42 CHAPITKi: II. — APPROXIMATION PAU LKS SOMMES DE FE3ÉR.

(3°) et une racine double ('>-"), donc 2//-|-i racines au moins.
Celle expression (et, par conséquent, T) est d'ordre > n (i").

Supposons (|ue |T'| ait pour maximum /?L. Dans ce cas, s' — ï'
a 2/i -h I racines (comme dans le cas précédent), mais peut être
identiquement nulle. Donc T est identique à .ç ou bien d'ordre >-n.

Reinttrquc. — Le théorème précédent a été démontré par
M. S. Bernstein, pour les fonctions T qui sont paires, par un
raisonnement d'ordre analytique ('). Le même auteur l'a énoncé
pour le cas général, sauf l'introduction sujierllue d'un facteur 2,
mais la démonstration qu'il en donne est sujette à critique.

Le théorème précédent s'applicpie, de proche en proche, à une
dérivée d'ordre quelconque. On obtient ainsi l'énoncé suivant :

Théorème. — Si le module d' une expression trigonométrique
d'' ordre n ne surpasse pas L, celui de sa dêriiée d ordre k ne
surpasse pas /i*L.

( ' ) Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues ( n" 2 ).
M. Bernstt-in éleml le lliéorèmf aux fonctions impaires par assimilation, fl'esl sur
cette assimilation que porte la critique que nous formulons ici.

CHAPITliE

MKTIIODK GKXKRAI.H FIIOPIIK A ABAISSER LA BORNE
PRECEDEMMENT ASSIGNEE A L'APPROXIMATION.

La borne assij,niée à rappioxiniation par les sommes de Fourier
comporle. dans le cas général, un f'acleur log/i, que l'on peut se pro-
poser de faire disparaître. Les sommes de Fejér ne le permettent
pas. Elles ne présentent d'ailleurs d'avantage sur celles de Fourier
que pour les (nncllons non (i('rivables. Nous sommes ainsi amenés
à intiodnire des inh'-grales analogues à celle de Fejér, mais plus
r.ipidement convergentes. Ce sont les fonctions Fri^, n), que
nons allons définir.

Toutefois, avant d'aller plus loin, il convient de rappeler que les
premiers résultats analognes à ceux que nous allons établir, ont été
obtenus par M. D. .lackson dans sa Tlièse inaugurale (' ). M. Jackson
traite pour commencer la représentation par polvnomes et en
déduit après couj) les llx-orèmes relatifs à la re[)résentation trigo-
nométrique. C'est la marcbe inverse que nous adoptons ici. Nous
préciserons nu [)eu les conclusions tout en conservant aux calculs
une a|)parence moins rébaibative.

;{1. Détinition de l'V(-^, n). — So'il /(jc) une fonction continue
de période y.-. Donnons-nous deux entiers positifs r et// et posons

1 ^<'>=.r("T''"-

(0

( ' ) Ueber die GenauigLeit der Aniuilierung stetif^er Funktiono.n durcli i;anze
rationalc Funl.lionfu. etc. I iiiv. Hiirli.lriK kprei, ('■■illingen, i()i r

44 CIIAl'ITRK III.

La fonclion F^Lr, /t ) peut èlre considérée comme une généralisa-
lion lie l'inlt''i;rale tie Kejér à laquelle elle se réduil si ;• = i .
Nous allons démontrer le tliéoièmc siiixant :

L'expression l"V(j:, ii) est une expression frigononiélrique
en X d' ordre <C f'n-

Changeons / en n t, F^ devient, à un farteui- constant près,

J /(r + 20(— ^j cit.

Comme /[x -\- 2t) s\n'-''nt admet la |)ériode tz, cette intégrale se
décompose dans la somme

/■ = 00

= ! / f(T-^-2f)sin^>ntYy^'-- -r^ —

Ci /• — 11!./ ^^ ' sm2/

dt.

Mais sin-''/2/ D-'"- sin~- ^ est une expression trigonométiique
entière; elle est d'ordre i^rn — i), car le premier facteur est
d'ordre irn et le second d'ordre — 2; de plus, elle est paire et de
période t:, donc elle ne contient que des cosinus de multiples
pairs de t. En définitive, F;- s'exprime linéairement au moyen
d'intégrales du type général

/*" 1 r -'''

I f(x -h 7.t) cosodct dt = - I Jiu')cosA{u — x)du,

où k^rti — I , et qui sont des exjjressions trigonomélriques en x
d'ordre << rn.

32. Emploi de la fonction particulière F^, (x, /i). — Le cas
où /• = 2 est le premier qui se présente après celui de l'intégrale
de Fejér (/• := i). Cette étude conduit à des résultats intéressants.

Calculons d'abord 7(2). On a, par le procédé de transformation
enqilové plus haut et par une intégration par parties portant sur la
dérivée.

dt:

.MKTIlOltl-; IMU)l'lli: A MI.VISSKll l,\ IIDHNK ASSKiNKK A I. API'HOMMATION |»

<lnnc -:(?.)= -rr'

'</•*-/ it\ /siiW\' ,

|.,(..,.) = _/y(x-^-j (—),//.

L ('\|»i'f-^sii)n l"\ (./•,//) est lrij;imuiiiéliH|iit' t-ii ./(l'ordre kii — i.
< )iiaiul // leiid vers i'iniini, elle lenci, coiiiiik' 1 intégrale F| de
Kejér, vers y (j;) supposée conliniie. Maison peut abaisser la Ijorne
assif^ruT à l'approximation. C'est lObjot fin tlif'oi'rnie siiivanl :

\\.\. Théorème I ( ' >. — Sif{.r i de période :>.- admet le module
de continuité (o(oi, V-^^-^^ ^ ' représente f( x) cnec une approxi-
mation

où A est une constante numérique << 3.
Nous avons, en ellet,

^'-f-i-riyi-"f)-^-]m"'-

et, en utilisant la propriété ?." du n" 6,

par conséquent,
en posant

Enfin, en utilisant toujours le même mode de transformation. n<Mis
avons

/ '/^ C / --\dt=~ / ^— — rf/rr:|,

(') C/. IHMIAM ,)\CK>oN. Disscruainn inaui^uralc, Sal/ VIII p. '(S).

-if)

CHAPITRE lU.

el, en (.Iclinitive,

A<i +

3i. Théorème II. — Si /(x) de période ir^admet une dérivée
continue el de module de continuité a),(ôj, ^2(^5 fi) repré-
sente f [x) mec une approximation

a)

? < A ,

' n

off A est une constante numérique << -•

L équation au début de la démonstration précédente peut
s'écrire

Mais on a

'X)

dt

i)

i/'-(^)'"

<-w, (-) / (:^t-\-\)di = i — \I!lL (^^p- -^ t)\
par conséquent, par le théorème de la moyenne,

p < — 2 — - I ( 2 /2 -+- n ( \ dt = k

OJi —

en posant

V ^ /■"/ .. /sinAi 3 /•" . , -, 3 r'sini/ ,
A=- / (2^2_/^/ ^i ^ _ sinUdt-h- / c^^

La dernière intégrale ayant été évaluée dans la démonstration
précédente, il vient

7: \ 2 / 2

Le procédé ne s'étend pas au cas où f(x) admet des dérivées
d'ordre plus élevé. L'emploi d'une seule intégrale F,, ne suffit plus,

MKTIIOOK l'UOI'RE A AHAISSKK I.A BORNK ASSl(;NÉl-: A 1.' AI'l'HnXIMMION. \-

inais il l'aiit en cniiihintr- pliiviciirs t-iilic elles. iJaiis celle c<jmlti-
naison, nous utiliserons un syslcine déqnulions linéaires (jne non-»
allons d'abord disciiler.

35. Sur un système linéaire. — Soient yv„, />,, .... pi des
nombres donnés tous dilVérenls, et «o, «i, •••. '^O. <l«'^ inconnues à
déterminer par le système de ). + i équations linéaires

i «0-+- ai-T-...-H ai=xi,

( f, P\ P\.

Ce système est bien déterminé, car son déterminant A a pour
valeur

où le produit II s'étend à toutes les dilî'érences dans lesquelles
on a i >> A"^o. La valeur de «o sera

OÙ An est le déterminant qui se déduit de A en y remplaçant — et
ses puissances par o, de sorte que

Ao= — '- — n (---

i ^ ■ A > 0

Il \ ienl ainsi

ao =

p\l>î ■ ■ -py. / '

\ Po/\ pj \ Po/

et les valeurs de r/,, rt.,, ... se déduisent de celle de r/„ par des
permutations d'indices.

Nous aurons à utiliser iv lenirne suivant :

6'//>o,/>i, •••, />'/. ■»"/'/ [il'iiis (lit oidrc arhili(iire) les puis-
sances I, />, y/-, ..., yo' d'iin ini'nie nombre entier Py4i '^*"
valeurs des inconnues (/„, (i\- ... aont toutes de module •< 2.

48 CHAPITUE III.

Il ^iil'lii (le prouver ct-ia pour <7o (la numérotation des indices

étant arbitraire). Dans l'expression finale de a,,, les quotients — .

Po

— , ••• sont des puissances de /) dont Texposaut est posilit ou

Po

néiialir. mais noo nul. Les facteurs du dénominateur soni donc

dilTérents de zéro, ceux où cet exposant est positif sontdes entiers,

les autres figurent dans le produit infini

'-7.){'-F'

:)■■■ =

I />2 —

On a, par conséquent.
Cet exposant est égal à

e/'-' i>~i

p-\

<

p — \

1

p-

• V p p'

(p — })-

et, par conséquent,

p 4

|ao| < e'P-^*' <C e''<,-2.

36. Théorème III. — Si f{x) de période 2- possède une
dérivée d'ordre r, iiitégrable et de module <C M^, on peut
définir une expression Irigonoméirique^ 'ïi^x^^ d' ordre

m < '/'(a -1- 2 )/i.

oit Lest le plus grand entier contenu dans —_ — > et qui repré-
sente f[x) avec une approximation

p < d/(rj — ,
II'

oit 'l(r) dépend de r seul et peut être assigné a j)riori.

Déterminons un système de ). + i constantes «„, «), . . ., a\ par
les équations (i) du numéro précédent où /?o, />i, ••• seront les
puissances successives de 4- Je dis que Ton peut définir T(,r) par

MKTIIOIH: l'HOPUK A MIMSSKH I, \ IIOHNK ASSK.NKK A I, A l'I'HoX 1 M VTIt»N". M<>

lii lonniile

T(.T ) = ^ a/, l'>, ».« ( .r, i'- n

l,"ni(1re ni de T esl celui dr 1' ),_,.._, (x, 2'n), <"'csl-;i-(liif

(/.-!- 2 ) 7."' /J — I ,

re (im t'st coiilonne ;t I <'n(>ii(c. Il reste à pioiixer <|u»- I (lniine
l'apinoxHiialioii z assi|;ii(''e. l'osons, en aljiéj;é,

<•)

•(/

k = o

les constantes ci/, ont été dc-terniiiiécs par Us condillons

(■i) 9(o)=/(\r). 9 -■"■'( o) = o, ('.v = i,2 À),

qui ie\iennenl respectivement aux a + i é(piali()ns linéaires (i)
du nunit'ro précédent, ^sous avons maintenant

Tr^-

/ \ /sin r 2> + '*

'■' = — ^ f ■'(-)('—)'

T I /, -1- 2 ) J_^- \/l / \ t /

et. comme iii o ) =y( a,),

<-l i-nlin

•^ -(A-r--2;,/, \nj\ t J

en posant, pour abréger.

Fit) = o(t) ■+- o(— t)— '.cpCo ).

Nous allons cvaiufr lr maximum '. <lc 1 — J\ j).ir le lliéor.-me
de la moyenne. Remarcjuons (pic 1" et l<ml«;s ses dérivées d'ordre </•
s'annulent pour / ^=. o, celles d ordre impair parce (pic V est paire,
et celles d'ordre pair par les équations (•/.). Il vient donc, par la
formule de Tavlor.

"■(f,)! -p.i7i) '■i'-""^i-

V. V

5o

CIIAPITHK III.

Or la formule précédente nioiilre que uiax.]F''^| ne surpasse pas
2max. l'j;''' |: dcnc, les |<7a| élanl -< 2«

H)

k = 0

^ 8M^ /■it_\'-

Substituons cette majorante dans la formule (.!); il vient
Cette formule prouve le théorème. On peut faire

0(/-)

Cette intégrale existe, car 2X4- 4 = /'H- 3 si /-est impair, et =r + 2
si /• est pair.

Observons encore que Ton a

>2 / (smty+^ dt = ■>.- { / (s\nt)'-dt;

i "{—) "'-i "l(— ) 1'"= îlj ""'■*■ "tt

n
<- I s'in' t d/ = I s'wi'fdt.

Nous en concluons, /■ pouvant être supposé ^2,

,.. ^ •->-'• . o--^ 4 j( /■-+-:; ._2!1

^^ ''"■^ /■! -^ (,- + 3j(r-+- i) "^ ' /•!*

Donc •]/(/■) décroît rapidement quand /• augmente.

Le théorème III peut être présenté sous une forme qui en fait
mieux saisir la portée. Ce sera l'objet du théorème suivant :

37. Théorème III bis. — Sifix) admet une dérivée d' ordre r

MKTHoni; PHUI'IU: a VBAISSEH I. V KOUNK ASSIGNKK a I.'aI'I'HOXIMATION. "il

intrarahlf rt ih' tnoditlr << M, . alors, (jin'l </iu' soif /n entier et
positif, f{jc) est susceptihie d' une représentation trigonomé-
trique d'ordre pm avec une approximation

ail •!;, est une fonction de r seul «pi' on peut assigner a priori.

Nous pouvons, en veiiu du ihéorème précédent, conslruire une
expression T troiulre <; ( A + 2) 2^// <jui tlonne rap|)roxinialion

p<<l(/-) -— ='h(r) — ) — -..

l^enons pour ni le |)lus <;ran(l entier (jui vérifie la condition

( K -+- ■>. ) i'- n < //« ;

nous aurons

m < ( À -H 2 ) -z"'- ( n -f- I ), tl'oii — C ( ^^ -+- 2 ) 'i^^-^S

M

p ' •l(r)( À -4- 9. y-j^ril+i' —L ,

ce qui prouve le théorème : on peut poser

'bl(r)= 'Jy(r)(X4-2)'-'Jt''>-^>'.

D'après l'approximation tic 'li obtenue à la fin du numéro précé-
dent, •!>,(/•) augmente très rapidement avec /•. Il serait utile de
savoir si celte croissance de 6, tient à la nature des choses ou si
elle est iniputable à l'imperfection du procédé d'approximation
emplové. ^^ais nous ne tiaiterons pas cette (piestion.

.'{S. Théorème IV. — Si f(^x) admet une dérivée d'ordre r
continue et de module de continuité 0)^(0), alors, quel que
soit m entier positif, fix) est susceptible d'une représentation
trigononiétrique d^ ordre ^ m avec une approximation

•W('-)

oii 'Vi est une fonction de r seul qui peut être iissignée a priori.
Ce théorème se diWliiil du pi-t-cédent, p;ir le raisonnement gêné-

5-2 ÇIIAPITKK 111. — MÉTHODIC r.KMÎUAl.E PUOPRE A AllAISSEK LA BORNE.

ralisé de D. Jackson qui permet de passer du tliéorème 111 au lliéo-
rème I\ dans la théorie des séries de Fourier. Soit o une partie
aiiqiiole de a-. Nous savons définir une fonclion F qui satisfait
aux conditions (n"i21)

|/>'-'-F"-'|-2co,(o), |Fu-+n|-i:4^\

0

Ainsi /est la somme de deux fonctions /' — F el F auxquelles
s'applique le théorème précédent, et qui sont susceptibles d'une
représentation d'ordre ^ m avec les approximations respectives :

Doncy admet l'approximation s= o, -j- Oo, qui est de la forme

proposée en faisant o = —• On a
' ' m

(l>2(r) = 2'J;i(/-) -1- - '^,(/--Hl).

Ce théorème donne, comme cas particulier, le siiivanl :

Théorème ( ' ). — Sif{x) admet une dérivée continue d ordre r

qui satisfait à une condition de Lipscliitz- d'ordre a, f{x) est

susceptible d'une représentation trigonométrique d'ordre^in,

avec une approximation

M

P<

oii M est une constante par rapport à m. ■
En effet, on a, dans ce cas (M, constant),

On obtient donc l'inégalité précédente en posant

(') Cf. D. Jackson, Dissertation inaugurale, Satz. VII (p. 46). L'auteur ne
considère toutefois que la condition de Lipschilz, d'ordre i.

CHAIMTHK IV.

TIIKOKK.MKS UflCIPIlOnUI-S. PltOPKlfcTÉS DIFIKUKNÏŒLLES
(^)L"K SIPPUSK LN OUDUK DONNf-: IJ'AI'I'KOXI.MATION.

Dans les Cliapittos précc'-diut-i. ikjiis nous sommes donné les
|jro|)ri«''lés dillérentielles dey(.r)et nous en avons déduil la pos-
sil)ilité d'un ceilain ordre d'ap|)r()\imalioii. Nous allons main-
Icnant trailer le proiilème inverse. Xous supposerons que la func -
lion /( j) de pi-iiode •.^T: est représenlahir avec une appioximalion
d un cerlain ordie et nous remonterons aux propiiétés dilléren-
lielles qui en résultent pour la fonction.

Voici le théorème fondamental :

3y. Théorème I. — Désignons par ^{x) une fonction de ./
non croissante, au moins à partir d\ine valeur suffisamment
grande dr .i\ et qui tend vers zéro pour j" = x. A/ors, si la
fonction f{ x ) de période :>.- peut être représentée, quel que
soit /j, par une expression trigonométrique d ordre ^n avec
une approximation

oii r est un entier nul ou j)ositif; et si r intégrale à limite
infin ie

dx

f

iii X)

X

existe, fi X ) possède unr dérivée continue d''ordre r et cette
déri\ée ail/net le mndulc de ro/itinuité

i-i) (o ( 0 I // I 0 ; il(.r)dx - I iii X \ ~ \ ,

l ■■ 1 ' J

ftii a et II sont des constantes C(in\ r/ial>lrs par rapport à ',.

54 CHAPITRE IV.

Dans le cas où r = o, m(o) désig/ie le module de continuité
de f{x) lui-mânie.

Sous les conditions du théorème, f{x) j)eut être exprimé par
une série d'expressions trigonométriques a„

f(x)= «1-1- «.,-t-. . .-r- M.„ -^. . .,

dont le terme ?/„ (qui peut être nul) est d'ordre iii, et dont le
reste

satisfait à la condition

Donnons-nous un entier rt >> i tel que Çl(x) soit non croissant
pour X > a. Il suffit de prouver que la dérivée d'ordre /•

existe et admet un module de continullé ('j(^) qui vérifie une
juéyalité de la forme (2). En efiét, il est clair que les dérivées
de f — Krt- (jui sont des expressions irigonométriques finies
admettent un module de continuité vérifiant cette condition,
pourvu que ^{^) ne soit pas identiquement nulle, ce qu'on sup-
pose évidemment. Faisons cette démonsti-ation.
Posons

nous aurons

Mais c2a est une expression trigonométrique d'ordre «''+' au plus,
dont le module ne surpasse pas les bornes assignées à R^* et R«*-*-'.
Par conséquent, ù étant non croissant,

o/, -2 — j-r-

Alors, d'après le théorème connu (n° 30) sur l'ordre de grandeur
des dérivées d'une expression trigonométrique d'ordre ^a'''^*.
on a

] (p^'-î| < 5. =1^' ( «/.-+!)'• = O. a'-Q(aA-).

THKORli.MKS KKCII'ROQt'KS. 55

Il ii'Milli' (If la preimnc de ces deux itu''j;iililé.s (jii«; l'on a

H^,' = 2?^'

(1 inii' cet If (li'i'ivée est continue, parcf rjuc la série dérivée ainsi
ohleniif e>l iinilorniémenl ronverj;enle. PsOus allons, en ellel,
rnonli'cr (|ue Ida peut en former une série majorante convcrj^ente.
( lonsidcroiis lo> tt-niies à |iaitir de /,• = u. -f- i : nous avons

V ntax. jç/.' I < ■>«'• V Û(rt/'-J

/, ^ a -(- 1 a H- 1

= 2a''+' V

i>( >//•) a'—U a — I

= > ~- { a'- — a''

'-;

a-(-i

t( — \ J .x X

hoiic la >ério majorante •.).«' N Si («'') écrite sur la [)remiri(' ligne

est convergente.

Calculons maintenant le module de continuité de cette dérivée.
Soient \x un aecrolsscmenl de x de module << o et AR,,^, l'ffi les
acerois>ements correspond. ints dos fonctions. ISous avons

[1 «

/. _ 2 /. -. [A -I- 1

\|)|)liquons le théorème des accroisseuienis (inis à la prennère
s(Mnmc. Nous avons

(o(

0 ) .. 0 ^ m .1 \ . I o/' ■^ " I -H 2 7 max . I o /'' | .

X 2

Nous a\ons déjà oljtenu pour la seconde somme une intégrale

56 CHAPITRE IV.

inajor.inlo. l'aison^ la iiiènie chose j)oiii- la première. Nous avons

< ill / o(x)dx.

a - I . /„

Substituons clans la borne de w(o) les deux intégrales majo-
rantes ; il \ ieni

a>(o)i; 0

a — I

Cboisissons l'entier u. qui vérKie les conditions

\ clx

< 2 ( .r ) — •
x

aV-^l\ <aV; doù a(^<-;
o 0

il vient

a)(o ^-

r^ , C' , clx

1 ii(x)(fx-^ I Q(x) —

ce qui est équivalent à la formule de Ténoncé.

40. Théorème II. — Si. en plus des conditions du ihéorènie
précédent., on peut assigner une constante a <; i , telle (jue la
fonction x^^ix) soif non décroissante à partir d'une valeur
déterminée a de x, alors f''' ( x) admet le module de continuité

dx

,. r dx

où II est une constante par )-apport à o.

Il laiit déniunlrer qu il suffit de conserver le second terme de la
formule (2) et, pour cela, que ce second terme n'est pas infini-
ment petit par rapport au premifr. Pour s'en assurer, il faut

1 IIKOIIKMKS UKCII'UOOI'K.S. \>~

viiiticr (lue le (luolinil tic ces dfiix Irriiu's

I ilix) — : - / iU.r )(Li

ne tend pas vers zéit» |»()iir.r:=oc.

( -Cst la (•uiisiHUicucc du lliéorèuie de la moveniic. On en con-
clut, .f'*ll(.r) étant non ({«'croissant.

f'^M.r)'^== f

.r»i)(.r)— — >

dx il{x \

... j ...

- il(x )dx = - x^ilix)

dx

t/txi^iïtnxt C^/.ri'-* tiiliii.ri
< < — —

Donc i>(.r) étant non croissant cl a >- i , le ([uotienlde (;es deux

I — a

termes est >

(ty.

Nous considérerons d'al)ord une application pari iculicre du
tliéorènie prccéilent. qui fait apparaître sous une ("orme siiimiliè-
leiiienl précise la dépendance réciprocpie qui existe entre I ap-
proximation et les |)ropriélés di<rérentiell<'s de la fonction.

il. Théorème III. — Si fix) admet une dérivi'e continue
d'ordre r qui satisfait à une condition de Lipschitz d'ordre a
(o<;a<<i. limites exclues), alors, quel que soit n, J ( .r ) est
Sf/sceptihlr d' une représentation trif^onomélrique d' ordre // ,
avec une (i/>i>r<ixini(il ion

?n<-^^f^ra: (Mconst.).

lîéci/iroquctueiit, si/ est possi/de de satisfaire à cette condi-
tion qiiid (jui' Soif n . /'( ./ ) admet une dérivée continue d ordre r
satisfaisant a iinr rondituai de Lipscliit z d'ordre a ( ').

( ') M. Iicrn>uiii il .scdleiiiciil prouvé que y viirilie une condition d'unlrc :; a.
Sur ta meilleure approximation des fonctions continues ( n° l'i). Nous avons
énoncé le llicorèmc sous sa forme précise dans une conférence faile à la séance
de la Société niallicniali<|Me suisse, tenue à Fribour;; le ■.>'| février vm'^. i [.'Ensei-
gni'inviU niathcnuiliiiiic. I. \\. i;)!*^. P- i-')-

58 CHAPITHE IV.

Nous connaissons déjà le llit-orènie direct (n" 38). Il suffit de
démontrer la réci|)ro(|ue. On a, pai- hypothèse, quel que soit /<,

de sorte que la fonction tî(j:) des théorèmes précédents est ici

«(,r)=^.

Les conditions des tht'orèmes I et 11 sont xérifiées :

iî{x) -^ existe et x'^ù(x) est égal à M, donc non

décroissant. Donc, en vertu du théorème précédent, /'( o^) a une
dérivée continue dordre J\ qui admet le module de continuité

oi o}-h I =: — oa

ce qui est une condition de Lipschitz d'ordre a.

Le théorème précédent suppose essentiellement a différent de
ses limites o et i . A ces limites^ la cori'espondance devient moins
précise. On s'en apercevra dans les théorèmes suivants :

i!2. Théorème IV. — S il est possible, quel que soit n. de repré-
senter J [x ) par une expression trigonométrique d'ordre ^n
fnec une approximation

AI

?«<

«'■( lognj'

oii M et a sont des constantes positives, f{x) possède une dérivée
(l ordre i\ laquelle admet le module de continuité

'^{^)<.- (/j coust.).

I \ *

C-J/

i^es conditions des théorèmes I et H sont encore satisfaites.
Donc, en vertu du théorème \\,f[x) admet une dérivée continue

Tlli:()UKMKS REril'HOQlKS.

(I Ordre /-, hi(|ii<'llr miIhh'I I<- iihxIiiIc de coiil iiniité

^9

^ _ ,, r" <l.r h' I

ce (jui prouve If llicttrrnic.

On s'assure (acilcinenl (|u à luiil ciiltiiuin <lf coiin cr^eiicc
absolue des intégrales à limites inlinics, on |»tiii laiic correspondre
un théorème analogue aux |>i'érédenls. On |)eul ainsi formuler un
tliéorème correspondant ;"i cliacun des er-ih'riums de convergence
deCaucliv, basés sur la consubMalmii de> Idiiclions successives :

.r'-*-» .r( l.igj- 1»^-=' .A- loi;.r(log logj-)'-'-'^

Les théorèmes III li l\ correspondent aux deux premieis
termes.

i3. Les cas d'exception au théorème I. — I^e lli('orème I suppose
la convergence de rinlégrale

f

iU.r)

dx

(Jette condition l'Sl essentielle j)oiii" (pie Ion |)uisse ;iiliiiner
revislen(;e et la ccmlinuité de la dérivée d'ordre /•. l/li\ pollièse
que i^{x) tende vers zéro pour x ^=^ x. ne suflil pas. Nous allons le
montrei" par un exemple très caractéristic|ue, dans le cas où /• = i .

Soil Q(x) une fonction continue de x qui tend en décroissant
vers /.( l'o (piaiid ,/• tend \eis rinlini. I)éliniss()nsy(.r) par la série
absidiinnul et iiiiiloiniéineul C(MI\ ertienle

J(.r)= SII1.7-H siii 2.

Kn)

IjC» n preini«M> leinies donnent une iv-pn-senlation d ordre /i
avec I appro\iiii;ili(iii

12 1 // I

C'j est la condilioii en\i>ag(''e d;ins le llieorèuie I pour /• = 1 .
Nous allons iiKinlrei «pie fa ciai I i n ni (('■ nu la mai con I i n ni te <lr

(h» CIIAl'ITUK IV.

la tli'iirref'ix) dépendc/it i-rcliisisement de l' existence ou. de
la non existence de 1 Q(j?) ^■

R<Mniir(|ii(>ns d abord ijne rcxislcncc ou la non exisleiice de celle
inléj;rale cDlraîncnl la convoryenoe ou la divergence de la série
positi\e

i> ( I I _^ 1> ( ■?. ) Q(n)

I 2 • • • ~^ ^^ . . . . ,

(•)

car, Çi(x) élanl di'croissanJ, celle série esl comjirise entre les deux
bornes

r* . ^fr f" , dx

jf L>(.r)— , <>(.)-f-^/ '-K^)—>

Donc, si l'intégrale existe, auquel cas la série con\erge,y(a?) admet
une dérivée conùniie f ( x), qui s'exprime par la série dérivée

(2)

j (3^)= cos.r-h cos2:r

parce que cette série est uniformément convergente.

Supposons mainlenant l'intégrale infinie et la série (i) diver-
gente.

La dérivéey'(^) existe, est continue et est donnée par la for-
mule (2), sauf pour les valeurs x^o (mod. 27r), car la série (2)
reste uniformément conveigente dans les intervalles ne contenant
pas ces valeurs. C'est la conséquence d'un leinme classique d'Abel.
Lés sommes partielles

cosAa: -1- cos(/. -^ i)x -r-. . .-h cos Ix
sont alors bornées, car elles sont de module moindre ([ue

(3;

fl.lX

^

■I

e'-' — 1

et cela entraîne la convergence uniforme de la série (2), parce que
les coefficients des cosinus vont en décroissant.

Mais si X tend vers zéro, fix) augmente indéfiniment et la
dérivée est discontinue. Nous allons, en effet, vérifier cpie la
série (2) augmente indéfiniment. A cet ellel, soit X le plus grand

Tiii:tiui:\ii:s iii:< ii'iutni i>

Tii

«'Il lier foiilt'iui tlii!»-< ^^ • I 'iniiti;f(tiis la m'tm- ( :> i en ilt-iix iiailir

, — : CosAJ'-I- >

Lit |)ieiinfrt' lend iiiimifcslcnK'Ml \cr> I iiilini (jii;iiiil ./' Itiid

\> 12 ( "/. I
, . 1 j «.. 1 v/, »,ci. i..,. . ,, . , , -,,,., I ,.,.., ... — t — - esl

inlli)ie. Mais je dis (iiir hi xm-oikIc |i;iiln' resto lime. \|)|)liqiions
de nouveau le leniiiii' d \licl. i-ii nous ser\aiil de la hnnie (^.i) que
nous vent)as trassii;nci ;iii\ sommes parlielles de cosinus. La
seconde partie est de inodnlc niMindre (|iie

i2(X--i)

Û —

(hiaud ./• tend \ers zéro, le dernier laeteiii- a juinr limite I unité el
rexjiression entière teml vers zéro a\ee le facteur 12 [ -^ j • l)onc

la somme des deux [larties de la série ( ■>.) tcMid vers rinlini.

Gel exemple simple prouve comhien esl stricte la condition
(l'existence de lintéf^rale à limite infinie formulée dans le tliéo-
fème 1.

Le même exemple piuiive aiiSM (pie I e\( Insion du e;is limite
a=i est essentielle dans 1 l'-nonee du lliemènie III. La eomlition

.M

M const.i

ir<'nlranie pas nécessairement 1 existence d'une condition de Lip-
s< liilz d'ordre i j)oui' la déri\ée d'ordre i\ ou pour la lonction
elle-iiK-me, si /• = o (comme dans rexeinj)le pr(''C(''dent). <^)n a,

clans cet excm|)le, p„ << - — » et cependant /{-c) n'est pas lipscliil

zieiine piii-><ni<' sa dérivée n est pas horiié»'. I oiitel<ti>, sou> la
condition c„ -< M : z/'"^' , la déri\ée d'ordre /■ est continue el le
tln-orènie sui\ant permet d'en évaluer le module de continuité.

ï i . Théorème V. — S' il est possible, ([iiel que soil\n . de repré-
senter /'i .r ) pur une r.ipressinn tri ^nnoniètriqiie d ordre ^II

<v>. CHAPITRE IV. — THÉORÈMES RÉCIPROQUES.

avec une appro.rimalioi}

P«< "Tn ^^^ const.),

alors f{Jo) possède une (/érn-ée continue d'ordre r, laquelle
admet le module de continuité

a)(o)^ A o| logo| (A const.).
En effet, le théorème I, où il faiil faire

\{x)= -,

X

assigne à w(o) la borne

II
p r'^ f/.r r "° flr

\j X ' J, X-

= h ô[|logo| -f-lj.

ce qui revient (sauf la valeur de h) à la forme proposée.

En particulier, si l'on a, comme dans l'exemple du numéro
précédent,

f{x) admet le module de continuité

c>j(o)= A 5 I log o| ,

mais on ne j^eut pas affirmer l'existence de la dérivée première.

CHAPITUE V.

APPROXIMATION l'Ail POLYNOMES ;
RÉDUCTION A UNE APPROXIMATION TRIGONOMÉTRIQUE.

io. Polynômes trigonométriques. Réduction des deux modes
d'approximation l'un à l'autre. — Comme nous le savons <lé|à
(n" 5), rapproximalion par |iolynomes revient à une approxima-
tion trigonomélrique. Tout intervalle («, h) se ramène à l'inter-
valle ( — I, + i) par une substitution linéaire, il suffit donc d'étu-
dier rnjîproxiniation j)ar polvnoines dans l'intervalle ( — i, +')•
C'est ce que nous allons faire.

Soit y*!. ri une fonction continue dans cet intervalle, l.a substi-
tution

X = cos t

transforme /(a:) en /(cos/j = cpU), qui est une fonction paire et
périodique de t. L'approximation tri<;onométiique de '^(t) et celle
de f{jc) par des polvnomes sont deux proMrmes complètement
équivalents. Celte équivalence est mise le plus simplement en
évidence par l'emploi des polynômes trij^onomélriques.

Le polynôme trigonométriqne de degré n est défini par la

formide

P,i[x) = cos/i arc rosx.

Cette formiilr dt'dinit cflectivement un polynôme en x de
degré n, car on a

<?""-+- e-'"' (cost -h I sin/)"-i- (co^t — tsinO"
cosn^ = = :

■J. 2

et. j)ar la substitution

cos/ = .r, d'où / = arcc<>sar,

64 ciiAi'iTiu: V.

Il vient

cos/J arc cos.r =

(domine les radicaux se cléliinsenL, celle expression csl bien un
polynôme en .r de degré n.

Il est immédiat que la substilulion ^ = cos< fail correspondre
à tout polynôme approché àe f[x) dans l'intervalle ( — -i, + i)
une expression irigouoinétrirpie approchée de f(cost). La réci-
proque est également vraie. Supposons (pie nous avons obtenu
pour /( cost) une expression Irigonométrique aj)prochée d'ordre /?,
ne contenant (pie des cosinus puisque y (cos/) est paire, c'est-
à-dire que nous ayons, avec une certaine approximation,'

f(cost) = ao-i- ai cos^ -j- Xz cos2t -h . . .-\- a„ cos nt;
nous aurons, avec la même approximation,

/(jn) = ao-H cc,Pi(x) -h a,r^2(^) + ...-+- x„P„(a;).

4G. Série de polynômes trigonométriques. — Nous appellerons
série de polynômes trigonométriques de f{x^) In série qui se
déduit de celle de Fourier dey"(cos^) parla méthode précédente.
Le développement de /[coat) = '^{t) en série de Fourier est de la
forme

- ao -f- «1 cos / + as cos 2 ^ -h . . . -j- «« cos nt -{-... ,
où 1 on a

2 r"^

a,,^ — I f( cost) cos ni dt.

^ «7(1

Le développement de f{-r) en série de polynômes trigonomé-
triques dans l'intervalle ( — i, 4- 1), sera

où rt„, exprimé en fonction de x, sera

9 / <tT

an=l 1 f(x)\>„(.r)

i7. Bornes inférieures assignables à la meilleure approximation
par polynômes. — Les deux règles, (pie nous avons déduites de la

M'I'ItllXIMVnoN l'Ail IMiI.^ NOMKS. 'V»

(•i)ii>ii|iT.il i()n (lf-> ■M'■|•U'■^ (le loiiiici'. »'l (Mil il -.si;;iiciil une Lorin-
mliTH'iiif' ;i hi iiifillfiii <■ a|»|ii()\ iiiKil mil I ii^diioukI injue, se tra-
duisait t'ii r»;i;les corres|)(»i)(laiile.s relatives à la nirillciiic approxi-
inntioii par polynômes dans riiilervalle ( — i, • n. \ oiei d'aljoid
renoncé «pu correspond à la prcnnrii' ( n" 1). <>") :

I. La DU'iUetir*' (tppiDxi nuuinn d une fonction continue
J{.r) jxir un pohnonic ilc dc^rc n dans li/ifc/iaNc ( — i. — i)
n'est pas I n I cm' lire à

l/

- (aî^.,-i-a?,+5

oii les (tii sont les constantes de Fouricf de /(co^i).

[/énoncé (jui correspond à la seconde règle, c'est-à-dire à celle
de Lehesgne (n" 17), sera le suivant :

II. Si la somme de degré n des termes du développement
de f{x) en série de polynômes tri gonomé-trit/iies donne une
approximation c„, la meilleure approximation de f{x) par un
polynôme de degré n dans l'intervalle ( — i, 4- i i n'est pas
inférieure à

oii V cl l> sont deux nombres assignés a priori.

iX. Approximation obtenue par transformation de l'intégrale de
Fejér généralisée F^(.y, n) (^n" lil ). — Sdit fix) une lonclion
continue dans l'intervalle ( — i , H- i ). Fornnins l'expression ¥'>{t, n)
relative à /(cos/i ( n" 312). (letic; expression est un poivnonie
en cos/ et elle reprt'-sente y ( c<is/ ) avec une approxiinalion qui (ait
rol)j«'t du tliéort'ine I du n" 3ÎÎ. Par la >iil)>lilulion cos/ = ./',
F..(/, n) se Iransfornif dans un pdUiionie en ./ fournissant,
pour /i.r). la niiMiie a|)pro\iinalion. Soil(o(o) \v. module de cnn-
tiiiuitt' de /'i ./' ), celui <\o f( co^t ) ne lui est pas sujtéiieur, car cos/
varie moins vile (pie /. Le lliéorcnie I du n" '.VA >r transforme
donc dans cri m -ci :

I iir.iuti.Mi: 1. Si f\ XI admet le module di' conti nui t<' toio )
dans l'intcrca/le ( — i, -f- i l. A' polynôme upproclié île
\. I'. .■'

66 CllAPlTUE V.

degré Ml — :>. transformé de F^ (/•, l) fournit une approxi-
mation

p<Aco(i),

oii A est lin nombre <! '5 (' )•

Supposons ensuite f|ii(' /"(.r ) ait une dérivée conlinue adniellanl
le module de eonlinuité (i),(o). Proposons-nous d'appliquer le
théorème II du n° .'}i. Il ("aiiL au préalable calculer le module de

continuité de

D/(cos/) = —f(cost) s\nt.

Si Ion donne à t un accroissement li de module << o, l'accroisse-
ment de celte dérivée est

— f'(cost ) A sin t — sin(/ -^ h) A/',

où A est la caractéristique de l'accroissement de la fonction.
Mais |Asin/| est -< o et [sinf/ -|- A)| est -< « ; donc l'expression
précédente et, par conséquent, le module de continuité de Dy"(cos/)

sont inférieurs à

0 max.jy [ -1- Wi(o).

Suj)posons qu'on ait/'(o)==o. On peut toujours réaliser cette
condition en retranchant au préalable de f{x) le |)olynome du
premier fle<;;^ré .r/'(o), ce qui ne change pas le module de conti-
nuité de la dérivée. Dans cette hypothèse, on a, entre — i et -(- i,

|/'(r)i<w,(i)
et le module de continuité de Df(cost) est inférieur à

OWi (i) -1- «0,(0).

Le théorème II du n" 3i conduit ainsi au suivant :

TuKOui:MK II. — Soit f(x) une fonction dont la dérii'ée
première admet le module de continuité (0,(8) dans Vinter-
valle i — T, -hi); on peut en définir un polynôme approché

Cj .M. Ij. Jackson a (Icfini le fjicruicr un polynôme donnant la même approxi-
mation (Dissertation inaugurale, Satz V, p. '(o)- <'Rst à l'occasion de ce tliéo-
rème qu'il introduit la fonction o)(o).

VI'l'UliXIMVTIDN l'AU l'OL^ NOMKS. 67

({ordrr •>.// — ■>.{ it ]> i^ (Innininf it/tc (Lj>i>rojiinul ion

011 \ t'ul un nombre <C J I '■•

l'uur aller |)ltis loin el Inrmiilei' des lliéorèmes concernant le
cas où la dérivée d'ordre /• quelconque existe, il convient fie
chercher d'abord une borne de |D'"y'(cosO|.

i9. Borne de | !)'/'( cos/)|. — Le calcul de proche en jiroche

met en é\idence que l'on a

/•

OÙ Pc est un polynnine de dej^ré s eu sin/ et cost. indépendant
de /'. Pour déterminer P^, il est donc permis de supposer y" déve-
lopp;il)le en série de Taylor. Posons

^ = cos/, J\x) = V{l}, k =z cos( t -i- /i) — cosf:
il vient, par la formule de Taylor,

0

Dérivons /■ fois par rapport à A. puis posons // ir= o. l^n observant
fjiie k s'annule avec //, il reste

/*

s= I

d'où, [)ai- comparaison avec la formule du d*'-I)ul,

P,= [D:.7.-1,,=o.

Cherchons maintenant une borne supé-rieure «le [Pc|- A cet efTet,
remar(pions qu'on a

/. = ci)s( / — Il ) — cob / r= cD^/ 1 CM- /( — I I — sin / si 11 A,
Il s'ensuit (pie Ir di-v rli)|»p»'iufnl de /. suivant les puissances de h

<Î8 CIIAPITRK V.

soblieiil eu iniilliplianl les termes du (lt''velo|)|)eincnt de e^' — i
respectivement pai- luii des (jualre facteurs riz cos/. zizsin^, de
modules ^ i , el qu'on a, par conséquent, même pour // complexe,

U|< t-l''l— I.

)
Faisons décrire à h une circonférence de rayon i autour de
I origine: nous aurons, pour h = o, j)ar la formule majorante
classique de Gaucliy, le maximum étant pris sur la circonférence,

[D';,k-^]h^o< ri max.\k-^\ = r\(e -^)s.

Substituons ces majorantes dans la formule de dérivation écrite
plus liant ; il vient

|D'-/(cosO|</-!2l/'-^'^^)l

Introduisons des hypothèses plus particulières sur la fonc-
tion /{^). Supposons que f-''^ (x) soit de module << M^- entre — i
et -r I et que les dérivées des ordres moindres s'annulent toutes
ainsi que f{x) pour ^r ^ o. ^sous avons, dans ce cas,

et, par conséquent, dans l'intervalle ( — i, + i),

|/'-(:r)|<M,, |/(-i)(:r)|<i^% ..., [/(.'(^r; |< ^-^ •
Substituant de nouxeau ces majorantes, il vient

|D'7(cos<)|<-M,-^^, /j_ , re-iy<M,[re-i) + ij' = :\i,e'-.
•.=1

Cette borne suppose que f{^') et ses /■ — i premières dérivées
s'annulent pour x = o, mais on peut toujours réaliser cette con-
dition en relraiiflianl de f(jc) un polvnome convenable de
degré /• — i, ce qui ne change pas la dérivée d'ordre /• ni, par
conséquent, la valeur de M^. iNous allons utiliser cette remarque
dans le numéro suivant.

5(). Approximation par les séries de polynômes trigonomé-

VI'l'IlnXIMATION l'Ait l'or-^ NOMKS. (i(J

triques i ' i. - Iji \t'itii iln l (n'orrnic III du (!li;i|iiln' Il i ii" jSi,
(•M pciil assijî^ncf d i>ri<in liciix constantes V <■! !>, Icllcs (|in'
M '^( /)(!(» période '.t: adiiiel une tjt'iivt'e d'ordre /■ df module c^ M,,
i'a|)|)i oxiinalioii foiiriiie par la somme de l*'oiirier d'ordre // ipiid-
eoiuiue de ':; e>l iiileiieure à

' II'

Si Ton Mi|)pose /^ '^ ( .c I de inodiilt; <; M^, il existe nu lln-orème
correspondant siii- la ie|iréscntalion de /"( .r) en série de polynômes
lrij;(inoin(''lriqnes. I)ans ce cas, ra|)pro\imation est la même que
celle de /'( eos/ ) = ,;(/) en série de F<V)urier: elle sera don<" donnée
|)ar la roniiiil<' pn'-cédente. où il tant seiilemeni rem|)la(er M, par
une borne su|)érieure de | IJ'"/"! cos^)|.

Cousid<''rons une somme d'ordre fiyr — i. Alors, pour calculer
cette horne, nous |)ou\ous admettre que f e\ ses dérivées jusqu'à
I ordre /• — i sanniilciit pour jr = o, au(|uel cas cette borne
est .M^r?'. Cela est permis, parce que, si cette condition n'avait pas
lieu, on la réaliserait en relranc liant de /" un polvnoinc conve-
nable I* de dei;ré /• — i . Or / — 1* a iiK-me di-rivée d ordre /• que /
et, d'autre part, le dévelo|)|jement en série de |)olvnoines triyo-
nométriques de /* s'obtient en ajoutant P à celui de /' — P. Donc,
pour un ordre /* >> /• — i, l'approximalion de _/ est la même que
celle de / — P. Xous obtenons ainsi le tliéorème suivant ;

! iir.oui \ii. III. — Sif(x) admet, da/is /'inte/-i'a/lr (^ — i, -+- i),
une drn\i'<' inir^rahle et de module << M,-, la somme de degré
n^r — 1 lie la série de polynômes trigonométrif/ues de f{x)
fournit, dans cet intervalle, une approximation inférieure à

A log/i-^ V,)\\rl-^

(}ii V et H sont les deii.r nirnn"i /inni/f/cs //i/r ilans le t/iéorème
rappelé (n" iS).

Ce tliéorème en fournit un second concernant le cas où la
dérivée d'ordre /• est continue. Voici ce tliéorème, que nous allons
démontrer :

(') (Toi M. tiei'nstriii (jiii a ciiidif le prcinirr iiHc (jucsiimi {Sui- la iiiril-
leure cipiiroxinialion des fondions conlinm's, (^li.ip. \l )

70 CHAPITRE V.

ïiiKORÈMK l\ . — Sif(jc') (idnicl. clans /' intenalle ( — i, -+- i),
une (/rrn'ée d'ordre r don/ le /nodule de continuité soit (0;.(ô),
la somme de degré n = /• de la série de polynômes Irigonomé-
triques de /(x) fournit, dans eet intervalle, une approxima-
tion inférieure à ( ' )

co,. I —

( A logn -H B)(e'--f- e'-+i)

oii A et B sont les mêmes nombres que ci-dessus.

Soil 0 une partie aliqiiote de l'unité; inscrivons un poly-
gone y = '!j{a:) dans la couibe y = /'('''(\r), en prenant pour
sommets tous les points d'abscisses ). o (À entier); nous avons,
comme dans la démonstration du théorème V du Chapitre IV
(11-21),

0

Soit F une fonction admettant 'l pour dérivée d'ordre ;■; nous
avons

\(f-py"\ = \f"'-^\-<^o,.(o), |F('-+i'i = ifi = '-:^^.

Faisons la décomposition /^ (f — F) + F et désignons par R„,
R^,, RJ, les restes des séries de J\ f — F et F respecti\enienl; nous
avons, pour n^r, en vertu du théorème précédent,

|R;,|f(Alog/i+B)('^)'o>,(ô),

|R;;il(Aiog,i + B)

'1

'•-*-i (0,.(0)

Mais R«= ^L + riJr Ajoutons donc les deux égalités précédentes

et faisons o = — ; nous trouvons la borne assiiinée à R«,
n "

ol. Polynômes conduisant, dans le cas général, à une meilleure
approximation. — Le théorème 111 bis du Chapitre III (n° 37) se
transforme aussi par la subslitution x^^cost; et, moyennant

(') M. Bernslein énonce un Lliéorènie qui rentre comme cas i)arliculier dans
celui-ci. Toutefois, il n'étudie pas la manière dont l'approximation dépend de r
[Sur la meilleure approximation des /onctions continues ( n" ô'J) |.

Al'l'K(t\lM\rii)N PAU l'dl.^NOMi;-. 7I

l'iiitrodiictioii d'iiu |)(»l\ iioinc aiixiliiiiie t\r degn'' -< /• (comme
diiiis le i;is |trf(é<leiil i, on csl t'(iii<liiit ;iii tlicoirmc suiviiiit ;

I III «iiii \ir, \ ( ' ). - ()/i prit/ (/é/i/ii/- il priori u/te Jonc-
tion M*, ( /• I ilr r sritl (jui jouit de la piopi'irtc suivante : quel
ijue Soit l'entier m ,r^ 'une fonetion f{x) dont la dérivée
(Tordre r est intéij^ralde et de module <; -M^ dans l'i/tter-
\a/le ( — 1,4- i), peut être représentée dans cet intervalle par
un polynôme de degré ^m, convenablement choisi, avec une
ajiproj i inadon

Celle t'onclion U", est ellectivemenl ('^ak- ;i e' •J^. oi'i -!/, est la foiic-
lioii dt-liiiit' dans le llit'-oicine ra|»|)C'lé ( ii" •M i.

l'-iilin nous pouvons énoncer un dernier lliéorrnie, qui se (Jédiiil
du prccédenl comme le lliéorème IV de III, au numéro précédent :

TiiÉoRJMK W. — Quel que soit l'etitier m s> f, une Jonc-
tion f{ x), dont la dérivée cF ordre r admet le module de con-
tinuité ui,(^j ), peut être représentée dans l' intervalle { — i, -i-i)
j)ar un polynôme convenahle de degré ~^ ni avec une approxi-
mation

'-■{-)

?<|'r,l;-)-Hi|-,(:r--i)| "' ■ ,

ni'

où M', est la Jnnction de r seul définie dans le théorème pré-
cédent.

En particulier, si f''{x) satisj'ait à une condition de
Lipschitz d ordre a. on peut assigner une constante M par
rapport à n. telle (fuc l on ail. quelque soit /i,

M

(') C'csl M. D. Jackson qui a construit le premier des polynooies donnant
une approximation Av l'onlre in(li(|ui'' ici. (^'est lui aussi le premier qui a montre
«jue les cocflicicnts analogues à M", ne dépendent que de /• (Dissertation inaugu-
rale, Salz 1\ a, p. '|<' )• Toutefois, il n'a pas étendu ce dernier résultai à la repré-
sentation lrigr)nométri(|ue. Les résultats de sa Tliése ont été précisés dans un
Mémoire plus récent : On a/iju-oxiniulion Ijy trigonométrie Sunis and potyno
niials {7'rans. 0/ f/ic Amer, nuitli. Sncirty, 1912).

72 CIIAI-nUK V.

Dans lo cas plus parliculier où a= i, ((; tlH-orriiic a ('-It' énoncé
par M. Diinham .lackson (').

o!2. Le problème inverse. — La fjiicslion de renionler de l'ordre
de ra|)pi'oxinialion par jiolynonies aux proprléh'-s dilï(-rcnlielles
(le la fond ion se ramène au même proldème concerna ni 1 appioxi-
inalion trliiononiélrirpie, donc aux lliéorènies énoncés dans le Glia-
pllrc précédent. Nous ne re|)rendr(tns pas celle question en détail
et nous nous bornerons à quel(|ues énoncés caractéristiques,
l/approxiinalion de /[.r) dans linlervalle ( — i, -I- i) |>a'' un
polvnonie de degré ^ /? est la même (pic celle de /(cos/) = cp(/)
par une expression irigonométrique d'ordre ^n. Or on a

d_ _ _ d
dx si II t clt

On en conclut, Qa désignant un polvnome en ûnt et cos/,

\insi l'existence et la coniinuité des dérivées de co dans I inter-
valle ( — 1 . -f- i) entraînent celles des dérivées de /"jusqu'au même
ordre, dans le même intervalle, sauf aux limites ± i . Si cp""^(^)
admet un module de continuité de l'une des formes (M constant),

taiù) < y\ 0=^. M(rj) < M o|logo|,

le Miodide de continuité de /''"^ (.r) véiiliera xine inégalité de même
forme dans tout intervalle intérieur (au sens étroit) à ( — i, + i ).
Seule la valeur de la constante M peut changer. Observons encoi'e
que tout intervalle fini (a, b) se transforme en ( — i, + i) par une
siibsliluliiin linéaire, qui n'altère pas les propriétés précédentes.
Il résulte de la que les théorèmes III (iV 41) et V (n° 14) du Cha-
pitre précédent entraînenl les théorèmes correspondants que voici :

Tiir.oiii;\iF, \ II. — Si, dans un i ntcrvalle (a, b)^ f{x) possède
une dérivée continue d^ ordre r fjni satisfait à une condition
de Lipscliitz d ordre a(o << a -< i ), a/ors, quel que soit //,
/(x) peut être (en vertu du théorème II) représenté //ur un

(') Dissertation inau sourate, Salz II, p. i'i.

AI'I'HOMMA I MiN l'A» Pol.VNOMKS.

polynotnc ih' (h'<^ir u <i\rr mir <i jiiiroxt iiialinii

M

Jii(il>i nqiiemcnl, si l'on /»i/f vcriji<'r rj-Ue coinlilioii , ijiiel
que soit n. ttlms fi x ) admet, dans Uml inlcivalh' inlénriir
à (a, ff), uni' dr/-ii'éi' conlinin- d'ordii- r ijiii sa/is/aïf a iinr
condilinn dr Lip^rhilz d'nidn' y- {* )■

\.e ciis <tù -y. := I esl exclu cl l'iiil exception. I.;i rcci|)r(>cilé n'est
plus ci»iii|>lclo. D.ins ce cas. on |)ciil cnniiccr le lli('(»n'me suivant :

Tni;oui;\(i; \ III. -- -S/, '/ui/ //i/r soit n. /{x} peiiL être repré-
senté dans rinterK'allc ta. h\ [xif un polytionie d'ordre "^ii
avec mil' apiiro.Li niation

M
?«< -r-T f'^' const.),

alors fix) possède, dans tout intervalle donné inléru'iir à (a, h),
une dérivée d'ordre r. qui admet le module de continuité

(u( 0 ) = // o| logo| (Aconsl.).

La seconde hutie <lii théorènne VII (partie réciproque) est
duc, eu grande partie, à M. Bernslein. Ce savant géomètre a,
v\\ ell'cl. dcnionlré. dans la nicuie livpotlicsc. Tcxislence de toute
inndilion de Lipscliil/. d'ordre <a ('-). Il a aussi signalé les
exceptions (pii se produisent dans le cas a := i (^). M. lîernslein
traite directement la représentation par polynômes, mais la repré-
sentation trigonométricpie donne lieu à des iliéorèmes plus simples
cl il est |)lus a\antageu\ de traiter- celle-ci pour comnieiitcr. C est
ce tpie noii^ avons lait.

(') M. P. Muntel vient d'établir (^Hull. Soc. maili. Fr., ujuj) un théorciiie
analogue. Il remplace seulenu-nt la propriété de vérifier une condition de Lipscliit/
il oriire a par celle dadineltre des dérivées généralisées de Liouville de tous les
ordres < a. On doit, par conscqiii-nl. en conclure qu'i/ne /o/ic//o« i/ui vérijie une
condition de Lipscliilz d'ordre % admet des dérivées de tout ordre <a. Ce Ihéo-
rcmi- a été énoncé récemment pur M. Ilermann Weyl (Vierteljalascltiift de
Zurich. i<('")- Je dois ce dernier rensrifjncmenl à une Communication ohlificanle
de M. Moiilcl.

(-) .S«r t'ordrr de la mcilli'itrr a/i/iro.rini(ition des fonctiinis cnutinuc^
(n"' 14 et lô).

( ') /l>id. (n- 19 ).

CHAIMTRK VI.

POLYNOME D'APPROXIMATION MINIMUM.

53. Polynôme de Lagrange. — On sait qu'un polynôme de
degré ^ // esl r()iii|)lètenienl (h'terminé par les valeurs, d'ailleurs
arbitraires, qu'il prend en // + i ])oints donnés .Tq, a"i, x.^^ ...^x„.
Nous supposerons généralement que ces valeurs sont celles prises
par une fonction donnée f{x). Alors le polynôme P(^) de
degré^/?, qui prend les mêmes valeurs que/(^) aux n -\~ i points
donnés, s'exprime pai- une formule classique connue sous le nom
de formule de La^raniie. Cette formule est la suivante :

Jmà X — Xi S (Xi)

OÙ S(:r) est le polynôme de degré n + i

S{x)=. {x — Xn)(x — Xi) . . . ( X X„).

L'exactitude de cette formule se vérifie immédiatement. On en
tire les conséquences suivantes, qui nous seront utiles :

1° Si un polynôme variable de degré ^« est borné en /i + i
points donnés (donc a fortiori s'il est borné dans un intervalle),
tous ses coefficients sont bornés.

9° Un polynôme variable de degré ^ii qui prend des valeurs
infiniment petites eu n -j- / |)()inls donnés, a tous ses coefficients
infiniment petits.

3" Deux polynômes variables de degré ^ /i qui prennent des
valeurs infiniment voisines en n -\- i points donnés, ont leurs
coefficients de même rang infiniment voisins et nous dirons que
ces polynômes sont infiniment voisins.

l'OUNdJIi; Il VI'l'HdXIMATlON .MI.M.MI'M. ~^

rji. Approximation minimum dans un intervalle. — ':^o\enV f[x)
une loiuiiOM ((iiiliMiir (l;m> un iril(i\;ille (rt, h) el

V{x) = ll^f -+-</, j- -t- «2^^ -+-. . . -r- rt„.r"

un [lolviiome (le ileiiii- " <i coofficiful rt'cis. (Considérons ce polv-
noine, supposé donné, comme inn- cxiiressutn appiocliée de /(x)
dans (</, />). J^a dillerence, positive ou néj;ative,

est W-cavl au point x. Le maximum de la valeui' aI>solue de l'écarl
dans l'intervalle (<^/, b) est Vappiaxiination fournie par P dans
cet intervalle.

Considérons maintenant l'ensemble de tous les polynômes de
degré ^/^. Chacun d'eux représente /"(x) dans rintervalle [a, b)
avec une approximation qui lui correspond, p'. La borne infé-
rieure de z' j)our cet enseud)l(' esl un uoinhic positif ou nul. Cette
borne est V appioximalion niiniiimni ou la inciUeurc (ipjnoxi-
nialion d'ordre n. Nous la désignerons |)ar c. Nous allons prouver
(pi'il PMstc un polynôme de degré ^ // et un seul <jui lournit celte
approximation o : c'est \k' polvnoinc d approxi ination mi niinuin
dans (a, b i poni- /'nrdrr n .

53. Existence du polynôme d'approximation minimum ('). —
// existe un polynôme Wx) de degré v n (jui i<'ulisi- l'approxi-
mation minimum z.

Par définition de 0, ou peut a>siL;uei' une suite de |)olvuouies I', ,
l'.j, ..., Pa, ... de degré >/?. tels (pie les approximations corres-

poiidautes z\, p'., p,. ... tondent vers p. Dans ce cas, la

suite P,, 1*2, ••• lend uniformément vers /Y. r") dans (a, b). Donc
ces polynômes sont bornés dans (a, b) (^(piel (pie soit leur indice)
et, par consérpicnt, tous leurs coefficients sont born(''s aussi et de
module inb'-rieur à un nombre fixe M (Slî). Donc de la suite
infinie 1',. I\. on peut extraire une suite 1*,, P^, •••. infinie

(') T(;nKnYi:HEKK. qui a inlioduil celle nolion, a a<tmis sans dénionslration
l'exislence du polynôme d'aiiproximaliuii nniniuuini. Celle-ci a été déinonliée
par M. K. [îorel [Leçons sur les fonctions <le vdiuihles réelles, uyy^. Voir aussi
kinsi;iiiiKHOF.n, Ueber Tchchychejf Annaherungsnietlwde {Inaugural-Disser-
Idlion, Gdllinyen, iijoa)].

7b CIIAIMTIIK VI.

aussi. Icllc (|ii(' le coef ticicnt tic./'" ;ilt mit' liinilo; de la suite l^'^,

I* 1)11 peut cxliiiHc une suilc i*|, \*}, .., lelie (|ue le coefli-

cieiit (le ./ " ' ait une limite, et ainsi de suite. Finalement, on
formera une suite de polvnonies avant une llmile P. Ce polv-
nonie P réalise I approxinial ion ininiinum z. Nous allons montrer,
dans le numéro suivant, que ce polvnoine est unique, el en faire
connaître les pro[)riétés les plus caractéristiques.

o(>. Propriétés du polynôme d'approximation minimum dans un
intervalle («, //). — i" .^'/ /e polyiioine V de degré ~n est
d' approximation niiiiiinuin dans l^ intervalle ( «, ^), on peut
assigner n -\- >. points de i' intervalle (a, b), où l'écart J — P
atteint ses valeurs extrêmes ±o [supposées ^ o), avec alter-
nance de signes d' un point au suivant (' ).

Considérons l'écart \arial)le

'o(x)—f{x)— P(>).

Comme il est fonction continue de x, on peut diviser 1 inter-
valle (a, b) en intervalles consécutifs assez petits pour qu'il ne
s'annule dans aucun des intervalles où il atteint l'une de ses
valeurs exlrcmes lîz c. Soil

la suite de ces intervalles où '^{x) atteint lune de ses valeurs
extrêmes, et soit

-1- =-îi ■ • • 1 -m

la suite des unités du signe de '^{x) dans chacun d'eux. Le lliéo-
rème énoncé revient à dire cpie cette dernière suite comporte au
moins n -\- i variations de signes. Je vais prouver que, s'il y en
avait moins. P ne serait pas d approximation minimum.

Si tous les termes de la suite étaient de méine signe, '^(a?) atlein-
diait sa Ijorne -+- o ou — c avec le même signe partout et il suffirait
d'ajouter à P une constante très jietile de ce même signe pour
améliorer l'approximation.

Supposons donc que la suite ^^. £o, ..., contienne k~' n groupes

('; K. BoiîEi.. Leçons sur /es /onctions de variables réelles.

l'Ol.KNOMi: I) AI'I'UKMMA I |l)\ \l I M M l \| . --

(le flt'ux l( riiic^ l•(Hl■^(■(•lll ils de Mi^iirs coiil liiirc^. Soil :,, ;,^, I un
t|iiel('()U(jiif (le ces i;ii>ii|»('S. Les deux mlcixiillrs lor rcspiiiidjinls ^,-
ô/_,.( ne sont pas conli^iis ( 'i in' s iiiiniil.iiil dans aiicuii des dnixj.
Nous pouvons donc assigner un point ç inlcrinédiaire cnlic o,
et 0,^,. Iiiiiilcs exclues. Soil

la siiile des points ç aln■^l choisis et coiies|toiidan I aux / ^roiij)os
con-ccii II ts. l'onnons !,■ |i(>l\nonie de (lej;i't'- // :

'l(T)= zit -il — cc){lî — .r )...{■/, — x),

on :, désigne, comme précédemmenl, I uni h- du si^ne de i dans ô, .
(le poljnome aura le signe de 'i dans cliacmi des inler\ ailes o,,
Oj. ... et ne s'v annniei'a pas. Ceci fait, >oil i nn nombre positif,
|e dis (pie le pol\ iioine de degré ^ n,

f(niiniia dans ( c/. //) une appioxiinal ion ■< p, pourvu (pie t soil
suffisamment petit.

En ellet, soil p'<< p la hcn-uc do |'i| dans les intervalles antres
que ô,, O2, . ., o,„. On obtiendra le résultat demandé, en pre-
nant t assez petit j)oni' (pie \fl\ soit << ^ — ■ q! dans (a, h). La
\alenr absolue de récarl dTi à I' f- vit, à savoir

!/-H-î'!'|-l'f-£'i'|,

sera ellectivemeut <^ p dans les intervalles 0,, Oo, ... où '.; et 'li
sont de mi'ine signe; elle le sera (encore dans les autres, car on
aura, dans ceux -ci,

I (9 — £']/ 1 = I (p I -i- I £'J/ I < p' -+- ( p — p'X p.

:>." Lr polynôme d n iijiro.ri mol khi nii iiiinuiii rs/ i//Uf///('.

hn ellet, ■^oieiil I' et (> deux pohnome^ de degrés."^//, fonrnis-
sanl I a|>proxinialioii nn m m iiiii p. I ,e pol \ nome, de degré ^ /i,

•2
b)urnit une approximation 0, car on a

78 CIIAIMTRK VI.

Donc 11 est mi nouveau polvnorue fra|)|)roxinialion uuuimuni
et \/ — K| atteint p en /> -\- -i points, en vertu de i". Mais ceci
n'est possible (jue si, en ces points, f — P et /" — Q atteignent
simultaurinent et avec le m«hne signe leurs valeurs extrêmes ± p.
Mois P v[ ()^ prenant la iiirine valeur en n -\- 2 points, sont
itlentiipies.

^" La proprié tr \° caractérise le polynôme P d'approxima-
tion mi/iiniuni . En effet, soit Q uji polynôme de degré^ n; si
Vécarl j — -Q atteint son nuiximinn absolu p' avec alternance
de signes en n -\- -i points consécutifs de ^intervalle («, h),
alors o' = 0 et, en vertu de :>", Q est identicjue à P.

Si g' était > 0, le polynôme de degré n

P-Q=</-Q)-(/-P)

aurait le signe de / — Q aux points où cet écart atteint =t p'- P
changerait donc n -\- i fois de signe et aurait n -\- \ racines au
moins, ce qui est impossible.

07. Borne inférieure de l'approximation minimum. — Soit Q
un polynôme de degré </'," si f — Q est de signes alternés
en n ~\- :>. points consécutifs de V intervalle (a, h) et prend en
chacun de ces points une râleur absolue ^ p', alors p' est^p.
En d'autres termes, o' est une borne i/iférieure de r approxi-
mation minimum (M.

r..a démonstration est identique à celle qu'on vient de faire pour
la proposition .)" qui précède.

Il V a lieu d'observer que si l'écart f — Q prend des signes
alternés en /i + 2 points consécutifs de l'intervalle («, 6), l'ap-
proximation minimum sera intermédiaire entre la plus petite
valeur absolue de l'écart sur cet enseml)le de points et l'approxi-
nialion fournie par Q dans (-a, b) tout entier.

08. Approximation minimum d'ordre n sur un ensemble de
n -^ -2. points (-). — 11 est nlile, pour préciser les propriétés du

( ' ) C. DE LA N'allke Poussin, Sur les polynômes d'approximalion et la
représentation approcliée d'un angle {Bull, de l'Ac. lioy. de Belgique, classe
des Sciences, n° VI, igio. Théorème n° 15).

( = ) C. DE LA Vallée f^oussiN, Mémoire cilé.

l'OI.V.MIMK d'aIM'HOMMATIO.N M 1 M M ( M 79

polNiioiitc (I ;i|)|)i'(>\iiii;ili()n d ()r<ln> // dans un iiilerv :ill*-. de dclinir'
cl dt'liidicr I)- |)(iUiHUii<- d a|)|>rn\ iin.ilKin (hiii^ un ciiseini^lc
(le II -h 2 |)oinl.s de ccl inicrvidif.

Considérons donc un cnsciuhic 1^ de // -— •. pmnls de 1 inlei-
vallc (^«, b)

et une fonclion f{x) (|ni prend des valeurs déterminées en
chacun de ces points. .le vais montrer que, parmi les polynômes
d'ordre <//. ■! fu est un (pu donne la mcMllcure a[)[)roxinuition
(\e/{x) pour 1 Cnsemhle des points de \i. Ce polvnome est, pour
l'ordre n, le polvnome d'approxinialion dey(.r ) sur lensemble E,
et je vais encore montrer que ce polynôme est unique.

Par définition, ce polynôme P(x) est celui cpii minime le plus
};rand des écarts absolus

Nous allons montrer ([uil se détermine par des calculs [)ure-
menl al^^ébriques.

Proposons-nous d abord de déterminer un jiolynome

de degré ^/l, et l'approximation correspondante o', par la condi-
tion (|ue les écarts aux points de V. soient entre eux dans un rap-
port assigné, à savoir celui des nombres

"O, —«I, -i- "2, •.., it //„ + !,

et soient, de plus, du mc'-me signe ({ue ces nombres.

Nous supposons r|ue m„, iiy, ..., sont des nombres positifs ou
négatils de module ^i, mais Tiin au moins de module i. Nous
avons placé des signes alleinés de\ant ces nombres pour la com-
modité des calculs ultérieurs. Si donc s' est l'approximation
obtenue avec Q sur E, les écarts aux points conséculifs <!<■ !•'. sont

»op', — "!/', -*- "2/', •.., ±:««+|i'.

Dans ce cas, z' et les n -f- i coeflicients a île ( ) sont déterminés

So

CIlAPITKi: Vl.

[)i\r le svslôme de n -\- 2 ('quai ions linéaires

yo=-i-«o?' -+- «0-1- '^i-^o -!-•■

««a^n

fn-^l = ± »„,-ip'-t- (iQ-h rtia-„ + i-t-,

avant pour détermiiianl

D =

«0 I -^'o -/ô

?/l 1 .7l X'^

lit I JTo ,rH

Désignons par A„, — A,, H-Ao, ..., les mineurs relatifs aux
l'iéjuents de la première colonne. Ce sont des déterminants de
\ andermonde tous positifs, car on a

Ao = (X/i^i — x„ ) (x„+i — ar„_i) . . . ( x-2 — •a^i),
A, = (x„^i — j;,)(Xn+i — ■Vri-i) . . .{Xi— Xo),

et toutes ces différences sont positives. H vient ainsi
D = î/o A 0 — K 1 A 1 -i- . . . -I- îf„_,. ] A„ 4-1 .
Résolvons maintenant le système par rapport à 0'; il vient

/"Ao— /lAi-l-.. .dr/„ + , A„_^_,

^>)

î' 0 A 0 ^ " 1 A 1

A„-

r^e système admet une solution bien déterminée, sauf le cas où
les II seraient choisis de manière à annuler D. Ceci n'aura certai-
nement pas lieu si les u sont de même signe.

Si le numérateur de Texpression de p' est nul, et si les u n'an-
nulent pas D (donc s'ils sont de même signe), on a

Le polynôme Q représente exactement f dans l'ensemble E,
l'approximation est nulle et Q se confond avec le polynôme d'ap-
proximation minimum. Un autre polynôme de degré 7 /i fournit
nt-cessairement sur E des écarts liés parla lelalion D = o.

Supposons maintenant que le numérateur ne s'annule pas.
L'expression (1^ de c' montre qu'on minime 0' en choisissant

l't)|.\.N(lM|-; I) VIM'UUMM \ I |(i\ MIMMIM. 'Si

loiis l«^s // (le iin'inc sij;ne((lon(; crliii du iiiiincialciir) cl cii leur
iloiiiKiiil la \alt>iii- ahxiliic ma \ iniiiiii i. Moue l'approxi niatioii
III III iiiiiiiii '^ll^ \'. i'''l iloiiniM- par la Inriiiiilc

I '^ O./il '^ 1./ 1 -+- • • • — '^ H-t- 1./ /( ni

Ao

A„.

Alors le |K)lvii()iin' dauproximalioii sur \\ est eiilièreineiil
déterminé, car ou ((tiiuaît ses valeurs aux in~\--A poinls de K.
D'apirs le calcul (|ui pn-ccdc, ce polvuuine esl entièrement carac-
térisé par la piopric-té de louruir des écarts éi^aiix et de signes
contiaires en deux points consécutifs de \'l.

Nous avons ainsi obtenu le lliéoième suivant :

// existe un polynôme P d'ordre ^ // et un seul (/ui est
d'tippro.rirualion niininiuni sur K. Ce polynôme fournit des
eciirls de même valeur absolue et de signes contraires en deux
points consécutifs de E et cette propriété le caractérise. Il n'y
a d exception que si la représentation est exacte et l' approxi-
mation nulle.

.')ll. Théorème. - Si f(x) admet dans l' intervalle (a, h) une
tlériyée (//-+- i)"^""" continue et de module <^^l et que sa
meilleure approximation sur V ensemble Rq formé de n -r- ■>
points Xqj X,, ..., x„-^.\ de cet intervalle soit Co, alors le plus
petit écart 0 di" di'ux points de l\, satisfait à la co/idition

o>

(n-hi)l -îpn
(6 — a)" M '

Translnmions l'expression (a) de o„. Soient m le f)roduit de
Imites les distances de deux points de P], toa celui des seules dis-
tances de X/i aux autres |)oinls. Ou a

A/, = m

! HT,

•1

1

^-.

. .±

/"(•r«-f-l)

'"«Il

1

1

H

M,

-..

1

m

«4 1

Supposons .r„ <; JTj <! d:^i> • . .. L approximation de /"(./•) esl la
même (pie celle d(! f{.c) — J[X„). Suh^liliious cette (onction
V. E'. (>

82

C(IAi>lTHK VI.

à f{x) dans la forimile pi'écédenle el supprijiions le premier
loriue ilii (léiioiniaateiir, ce qui augnienle le quotient; il vient

?0<

f(.r^)—f{T,,)

T7J|

_^ f(T,^^-,)—f(.T„}

^« + 1

I

Soit E,(x,, x-2, ..., Xn-\-i) l'ensemble obtenu en supprimant le
premier point de Eq. J3ésignons par nr, , ra.,, ..., les divers pro-
duits de distances de deux points de E, et posons

/.<■'■)

f(x)-f(xo)

X — Xo

En observant (pie .r, — x„ est de même signe et <; b — a ))()ur
tour les indices /, la formule précédente peut s'écrire

?o<

1 1

(•^■l-

- ./•oIct'i

(a-,,+1 — .r„)77T;,^,

<(è — a;

/■(a-,)

/l(-2"« + l)

OU, plus simplement, en désignant parc, la meilleure approxi-
mation d'ordre n — i de /, sur E,,

po< (/>' — « )/l-

Jl y a là un procédé de réduction qu'on peut poursuivre.
Posons, en général,

Aix)

X — Xk-\

et soit Zk lii meilleure appr(j\imation d'ordre n — le de fk{x) sur
l'ensemble EA(:rA, ^a+h •••; x,i-^\)i nous avons, pour /i == o, i,
2, . . ., /i,

.pk< (6 — a)p/.+i

et, par conséquent, de proche en proclie^

po<(è — a)«p„.

l'OLYNOMi: It AI'I'IIOM.MATID.N MI.MMl.M. Si

Ici p„ csl 1,1 iiu'illciii»; approxiiiiilt loii irordre <» de /'„ sui- leii-
semhle (le (Jeux poiiils sculcmeiil l\„(.r,j, ./„4.,): nous avons dune
iiniiM-dnilt-iiicnl

Soit, en j^enéral, M^ le modidc niaxiiimiii de /"/ sur (rt, 6) ; nous
avons

?« < - ( J-,,-^1 — a:„)I\I,>

et, par eonséqucut,

?o < (^« * I — .r„ ) -ib — a )" M;^.

l^\aluuii^ maintenant M^. .Nous avons

.. ,- . ^ > ./■/,-,C.r-^j-/,_,V — //,_,(./•<. ,1 r' ,

/A'.J^ — Xi,-x ) = [ = / //,-i (^A-i — ux) du,

fp{x ■^Xk-^)= I fi'J^l * ( :f/,_, ~ ux) W du.
Xous en eoneluons, par le lliéoièine de la moyenne,

M^; < m;.:; f w du - — !— m^ii ;

puis, de proche en proche,

M

Finalement, si nous portons celte dernière valeur dans la horne
assignée à Oo, nous obtenons

?0< {3r„+i — Xn) —, —T--

Dans ce calcul, nous avons fait la réduction des ensembles Eo«
E,, E;,, ... en supprimant cluupie fois le point extnMue sur la
gauche. \(ni> |)iiiir-iiiiMs loul aussi bien siippriiiicr le point
e\tr(Mue sur la droite et même laiit(U celui de gauche, lanl('»l celui
de droite. .Si la suppression |)<ute d'abord / fois sur la gauche,
en>uil(; n — / foi> -.iir i.i ilroiic, nous obtiendrons, quel que soit

I indice /,

(h~a 1" M
,;o< (xi^x — Xi) -

ce qui revu'ul au tlu-orènie énoncé.

84 CHAPITIIK VI.

GO. Corollaire. — .V// (.r ) est continue dans /'inter^al/e (a. h):
.<f/, d'autre part , pour /'ardre /i, c est ht meilleure approxima-
tion de f{x) sur l'ensemble M, formé de n -^ i points de («, 6),
on peut en conclure une borne inférieure de l'écart de deux
points de \\. pnunii que c soit > o.

En olTel. soit t un nombre positif donné <; i . Nous savons con-
stiMiirc un polvnonie (^ tel qu'on ait, sur tout (a, b),

l/-QI<^p-
Lu meilleure approximation d'ordre n de O sur E est donc

?o>(l — £)?.

Alors, en vertu du théorème précédent, le plus petit écart o de
deux points de E est supérieur à

•'.(«-r-l)! ,

(b — rt)«M
où M est le module maximum de Q "+".

61. Théorème. — Soient f{x) une fonction continue dans
(«, /> ), 1'^ //// ensemble de n -\- ■>. points de E, P le polynôme de
degré ^ /i qui donne la meilleure approximation sur E, c cette
approximation. A tout nombre positif donw' r^ correspond un
nombre positif z qui jouit de la propriété suivante : Si un
polynôme Q de degré ^n donne sur E une approximation

p'<(l-+-£)p,

on aura, dans l'intervalle (a. b),

|P-QI<^..

Si z =^ o, on a aussi -i' = o; donc P et Q, coïncidant sur E, sont
identiques.

Sujjposons 0 différent de o. Nous pouvons désigner les écarts
de (.) aux points successifs de E par

où le signe ambigu est celui de l'écart de P. Substituons à o' et o
leurs valeurs (ij et (2) dans la condition p'<<(i + e)o; elle

POI.YNO.Mi; D'\PI'ltf)\l.MATION MIM.MLM. 85

(lf\ ll'Ul

A 0 ~ A ,-...- A „. 1

A,, "o •- A] «i — •••-•- ^V/^ 1 "/;+-! ^ >

(I OU

c

Ao(i — «o) -^ A|h — «t ) — . . . : — '—^ (S.»-\- A| 4-. . . );

cl. ywx <iiiis(''(jiifiil . (jiicl que xni / ,

£ A„-i-A|-^-...
I — ///, ■ .

I -H £ A/.-

Ou peut, en proiianl £ sulfisainiiu'nl pclil, rendre «/; i qui esl |~ i)
aussi voisin qu'on veut de i, doue rendre l'c'carl de (^ au point ./'a
aussi voisin (ju'on \('ut de e(dui de 1*. Ainsi (^j)eul être rendu
aussi voisin «pion veut de I* sur K. donc sur {a^ b), et (^)peut »'lre
astreint à vcrilier riiK-galili' |P — (^)| < ''^i-

licuKirijue. — (Jn peutappliquer le lliéorème précédent quand
Tensenihle E varie d'une certaine manière dans («, h). Le
norid>re £ (qui dépend de r, ) p<Mi! ;iloi> dt-pcndrc du rliolv des
points de \\. iNTais on |)ourra le prendre indépendant de lî, si
l'écart de deux points de E ne peut pas tendre vers zi-ro. En ellel,
A|, Ao, ... ne tendent pas vers zéro non plus, i — ?/^ tend unitor-
niéuient vers zéro avec s et Q tend uniformément vers P sur E et,
|)ar conséquent, aussi sur (rt, b). Cette condition sera certainement
rem|)lie, en vertu du corollaire précédent, si l'on sait que p reste
supérieur ;i un noudjrf- posilil assii^né quand E varie.

()!2. Théorème. - Si un j>(j/)/hi/ii(' <) t/c ili'gi'f ~' n Joiirnit
sitr \i(Xo, J^n •••' ^ii+i ) <i('''> ''C'iffs de signes a/ter/irs. f/o/it les
nih'urs iibsoliies i non toutes égales) sont

lu meilleure approximatio/i sur E est comprise entre la plus
jx'tile et la plus grande de ces ra leurs absolues, limites exclues.

\m meilleure approviuialioii de la tourliou / r^t hi luèine que
celle dey* — <K ii savoir

_ AtVo-t- Ai/'i-f-. ■ .-f- A,;. i/„.,-|

^~ Ag-f- Al -(-.. .4- A,..-H|

ce qui prouve la |>iuposif mu.

S(> CHATITRI-; vr.

(13. Meilleure approximation d'ordre // sur un ensemble de plus
de « -i- •> points. — La meilleure approximation d'orclre // sur
un ensemble fini ¥ de /dus de // H- a points, est celle sur un
ensemble de /? -h 2 points de K. choisis de manière que cette
meilleure approximation soit la plus grande possible.

Soient K ua ensemble de n + 2 points, o'o, 2"), •■■^x„j^\, taisant
partie de F et satisfaisant à cette condition; P le polynôme donnant
la meilleure approximation, z, sur F. Je dis que P donne la même
appi"oxim:\tion p sur V .

En effet, dans le cas contraire, il existerait au moins un point z
de F où l'écart ^^ — P serait de module >p. Si ç tombe entre
deux points consécutifs de E, x^ et Xi par exemple, f — P a le
même signe qu'au point ç, soit en x^, soit en 57(, par exemple
en X\. Vlors, en vertu du tiiéoiènie précédent, la meilleure
approximation sur fj^o, ç, ^2? •••1 -^«4-0 est plus grande que p,
contrairement à l'hjpotlièse.

Si ; est extérieur à l'intervalle (.a^o? -s^^+ij, par exemple <<,r„,
(Ui considérera l'un des deux ensembles de n + 2 points,

( ç, JTi, 3^2, . . . , X„j^\ ) (;. ^0) ■'^1; • • • i ^11 h

selon que f — P prend le même signe ou des signes contraires en ^
et en x^. On sera conduit à la même conclusion,

64. Théorème. — La meilleure approximation d^ ordre n de
la fonction continue f{x) dans un intervalle ( a, b) est celle sur
un ensemble de n H- 2 j)oints de cet intervalle, choisis de ma-
nière que cette meilleure approximation soit la plus grande
possible.

La meilleure approximation 0, sur un ensemble

Kji{X(i, X\, . . . , .?■/(-(- 1 )

de n + 2 points de («, b) est donnée par la formule ( 2 ) du n" 08.
Celle-ci met en évidence que Oj est une fonction continue de Xq,
j:,, ...,a:„^( dans(^«, t). Cette fonction admet donc un maximum 0
et l'atteint pour un ensemble déterminé E contenu dans («, b).
Alors on montre, par un raisonnement identique à celui de la

POLYNOMK d'approximation MIM.MIM. 87

(K'iiionsiraiinn précédente, que z est iiiissi l'a|>|»roxiinali()ii iiiiiii-
iiiiiiii dans ( a , h).

iNous a\tnis ainsi tlt-inonlrt* l'exislence du polynôme (J'approxi-
inution inininiuin et retrouvé ses proj>ri(''l»;s essentielles par une
voie liiulf (lillfit'Hlt' (If (•(•Ile iililisHc au d(''l)ul du cliai)itre (n'^'So
et 5(3).

(C). Théorème. — Soit J\x) um; fonclion continue dans (a. h)
et l* le polynonte de dei^ré ^ n (fui en donne lo meilleure (ii>j)vo-
Xinialion c. I tout nombre f)ositiJ y, correspond un nombre
positif i qui Jouit de bi pi-opriêté suicante : Si un polynôme O
de degré ^ n donne sur [((, b i u/ie (ipproximation

on aura, dans l'intervalle (a, b).

]P_Q| <r,.

b^n eflel, z est la inei Heure aj)pnjxiination sur un certain
ensemble E de in-\-2 points et elle est fournie par P. Or O
donne, sur E, l'ap[)roximation p'. Ce tliéoW'ine revient donc à
celui du n" (51 .

()6. Calcul approché du polynôme d'approximation minimum. —
Soit y (j:) une fonction continue dans un intervalle (a, b). Il
s'ag;it de déterminer, avec une approximation donnée Vj, le poly-
nôme de défloré p n qui en donne la meilleure approximation o. 11
n'existe aucun procédé qui ait un caractère pratique pour résoudre
ce problt'ine. Mais nous allons montrer que théoriquement sa solu-
tion dé'pend d'un nombre fini d'opc'r.itions, qu'on peut ({('limiter
a priori.

Nous supposons (\iie f(x) n'est pas un polvni>uie de dei;ré p n.
Alijrs nous commençons par déterminer une borne inférieure, Oq,

de la illciire approximation dans (rv, b). Nous utiliserons à cet

ellet lune des règles données précédemment.

Soit P le polvnome inconnu de dej;ré ^ /i qui fournit la meilleure
approximation p dans (a, b). (Test aussi celui d'approximation
minimum p >ui' un cfilain ensemble E ( n" (Jl) de n -{-■'- points
^énéralcnicul imcoiiuu^. Lr tli(''orrme du u" (')() nous permet de

88 CHAPITRE VI.

(It-ti-nniiier une boinc inférieure o de récarl de deux points de E.
Celle borne lixée, nous pouvons, sans connaître autrement E.
d'après la remarque du n" 61, faire coiTespondre au nond)re r^
un nonil)re t tel que, si un poljnome Q donne sur E une approxi-
mation «< ( I -(- £ ) p , on ait I P — Q 1 < 1 •

Soit M le module maximum de/dans («, />). Partageons («, b)
(■;i n parties égales. La formule de Lagrange permet d'assigner un
module de continuité uniforme à un poljnome Q, de degré //, dont
le module ne surpasse pas a M sur l'ensemble des n + i points de
subdivision. Nous pouvons donc, en prenant l'eritier). assez grand,
diviser (a, b) en \n parties assez petites pour que l'oscillation
de y — () soit < îpo dans cliacune d'elles.

Ay.iiit divisé (cr, b) en \n parties satisfaisant à cette condition,
désignons par F l'ensemble des points de subdivision (a et b com-
pris) et soit Q le polvnome d'approximation minimum sur F,
lequel est de module ■< 2M et vérifie les conditions pi'écédentes.
("-e polynôme Q se détermine par un nombre limité d'opérations,
car il donne la meilleure approxliuation sur n -h 2 points de F
choisis de manière à rendre cette meilleure approximation
maximum, et il n'y a qu'un nombre limité de choix. Je dis que Q
répond à la question et qu'on a |Q — I^| < ^i-

En effet, Q donne sur F une approximation p'<o ; mais tout point
de E tombe entre deux points consécutifs de F, entre lesquels
roscillatlon de / — Q est <^tpn. Donc Q donne, sur E, une
approximation << p -|- £po < ( i + -)p' ce qui prouve la propo-
sition.

67. Détermination analytique du polynôme d'approximation mi-
-nimum. — Soient y f^r) une fonction admettant une dérivée con-
\\nue f (x), et

P( X) =^ Oo-i- aix -h . . .-h anX"

le |»olvnome qui en donne la meilleure approximation p dans
l'intervalle (a, b). Soit

E(.ro, 3",, X-i, X^n + l)

l'ensemble de n -\- 2 points de (a, b ) sur lequel P donne cette
même meilleure approximation 0. Supposons d'abord tous ces
points différents de a et de b. Alors f{x) — P(-2^) est un extre-

l'(il.\ NOMI-; hAI'l'ItiiMMArin.N MIMMIM. ' 8<)

nmin ci\ cIi.h un ^lt•^ poiiil^ de I'. cl nous asoiis le sv>lèin«' de
y. Il -f- ■>. rqiial nuis

i /{ j/)— !•( j-/)dr p = o

• I i -j ( f = <>. 1 . 2 // -T- n.

{ f'(x,) — V'ixi) = o

(jiii |K'iil sci'\ 11- à lU-hTiiiiiicr les •.</« + 2 iiHoniiiK-s du |)i<ildrine : J',,,

Si I'^ contenait un des points r/, h <tu tous les deux, cela ferait
une on deux incimnncs en nioin>, mais, en nn-nir leni|)S, une on
(Jenx t'-qualnjus seraient à su|)j)riiner dan> la seronde s«';im(.'. Le
problème est donc i^énéralenienL délennine.

Si/(x) est un polynôme, le système (i) est al£;él)ii(jnc. Il peut,
comme dans le cas général, admettre un nombre pins on moins
<;rand de solutions. Mais il n'y enaqn'nne seule qni miniiiie o, et
c'est celle qui repond à la question. Lorsque le système (i)est
algébrique, ou |)eut. pour le n-soudre. employer toutes les
métliodes particulières d'approximation propres à ce cas.

Le cas général peut être ramené au précédent, comme M. Borcl
l'a déjà fait observer ('). En elTet, soit R un polynôme voisin
de /. Soient P le |)olvnome qni donne la meilleure approxima-
tion z de /, () celui qui donne la meilleure a|)proximati(m z'
de K. .le dis que |P — <^)| peut être rendu aussi petit qu'on vent
avec I /' — H|. Lu elFet, si | /' — M j est •< t sur (d, 6 i, Q donne de/
une approximation < o -t- s sur (a, b ) et, en particulier, sur l'en-
semble L où P est d'approximation o, donc Q est aussi voisin qu'on
veut de P(n"Gl).

Il suit de là que le calcul approché de P se ramène à (fini de la
meilleure approximation d'un polynôme R snf(isainment voisin
<ley, c'est-à-dire an calcul pn-ec-dent .

M. P>» iiistrin a iait connaît ic un tlH-orème qui peut être utile
dans la qiicsiioii qui nous occu|)e, et tpie nous allons exposer.

l)S. Théorème de M. Bernstein. — .\(nii^ saxons (pn; 1 approxi-
malK^n niiniinuiu sur (f/, f/ ) est la nn'me que sur un ccilain
ensemble 1-. de // -h y», points, mais il peut v a\oii- plusieurs
ensembles \i'ri(iaut celte coikIiIkm). Nous supposerons, dans ce

( ' ) Leçons sur la théorie des fonclionx.

go CHAPITRE vr.

qui suif, que cet enseinhlo est unique. Nous distinguerons les
quatre cas suivants : \\ est de la pirinirre classe s'il ne contient
ni a ni />, de la seconde s'il contient a seul, de la troisième s'il
contient 0 seul, de la quatrième s'il contient a et b. Voici main-
lenanl le théorème de M. lîernstein ( ' ) :

Théouè:mf,. — -Soient 'j(.r) et ^lix) deux fonctions analytiques
régiilièrrs sur Le segment ab, )> u/i paramètre (o < X^ i). Posons

Désignons parP(x, K) le polynnnii d 'approximation minimum
de j\x^ A) sur (a, b), par E>. l'ensemble sur lequel l'approxi-
mation est précisément l' approximation minimum p(A). Si
l'ensemble E) est unique et appartient toujours à la même
classe quel que soit /. ; si. en outre, la dérivée seconde de la

fonction

F(x)=f{x, >.)-P(.r, À)

ne s'annule en aucun point de E),, alors les 2/? H- 2 inconnues
du problème, à savoir p('a), les n -\- 2 points Xi et les n + i coef-
ficients ci/s sont des fonctions analytiques régulières de /.sur le
segment 01 .

Supposons, pour fixer les idées, que E). soit toujours de la pre-
mière classe. Alors les •2/1-1-2 inconnues sont déterminées par le
système (i),

( ¥{Xi):Jzo = 0
(i) ' (t = o, I, -2, ..., rt-M).

' F (xi ) = 0

Formons son jacobien, qui est d'ordre in -\- 2. Ses n -h i pre-
mières lignes sont respectivement («'= o, 1,2, ...,/i-|-i),

d¥(xi) dV{xi) oV(xi) d¥{Xi) d¥(xi)

-^ , ■ , • ■ • > — ) ^ > • • • > ; > it I,

djTo Oxi r>x„^i OttQ 0(1,1

se réduisant à

o, o, .... F'(^,), ..., o, I, Xj, x} , ..., xf , ±1.

(') M. Bernsteia formule un énoncé plus général qui s'élend aux polynômes à
exposants non entiers {Sur fa meilleure approximation des fonctions conti-
nues).

POLYNOME d'approximation MINIMIM. 91

Los n -\~ I (ieniicrcs lignes sc^nl (A" = o, i ,:>,,..., /? f- 0
OV'ixi/) OV'{x^.) dV'{.r|,^ OV'ixi,) OV'ix,/}

</./•„ Ox\
>(' rc(liiis:iul à
o, t)

tyF'(.ryi.> oV'ixu)
> > ; >

Oi(„

■' O,

F"(:r,), o,

dV\xk)

dY'ix^.)
àa„

1 a-„ .

.. n'

-!- I

I .r, .

. x'(

— I

I X,

. x'.i

-1- 1

C.e jacobicMi est clmic

J = F''(Xo). .. V"lx„+i)

Niuis savons que ce (liiciiuiuaul c^l (lidrriîiil do zéro, car c'est
celui tloMi (l(''|)ond le calcul do la nieillcure a|)i)roxiiualion sur
rensomhlc K. Donc J ne s'annule pas, si les facteurs FV^r^) ne
s'auiuiloiil |ias. Le tlii-orème est ainsi ('•labli.

N'oici uiaintenanl couimont le tlu'orèine de M. Bernstein
>'a|>|>lique au calcul de la ineilleui;o a[)proxiinalion d'une fonction
analytique donnée (s(x)^ dans l'inlervalle («, b).

O.'i suppose que l'on connaisse la meilleure approximation p(o)
d'une fonction analytique ']>( -p), voisine de 's(x), ainsi que le
polynôme V{x^ oj et l'ensemble Eo correspondants. On forme la

fonction

f(x) = lo(x)-i-(i — l)'i^(x),

(lui devra satisfaire aux conditions du tliéorèmo j)r('cédent. On
connaît donc, par hypothèses, les valeurs initiales (jxtur), :^o)
dos ■?./( H- :>, inconnues du prohlônu', p, a^. .r/,, cl il s'ai;it (l'en
tniuvoi- les valeurs pour X = i , auquel casy(a: ) = 'f (^)-

Ou remarque que les valeurs initiales des dérivées des ordres
successifs de o, «/, X/^ par rapport à X, s'obtiennent, de proche en
j»ro(lic. en (l< rivani succossiveuuîni. les équations ( i) |)ar r.i|)p(>il
à y, ot posant chaque fois X=:o, Les dérivées d'un juème ordre
s'obtionuont par la résolution d'un svslèuio lint'airo dont le détor-
luiuaul .1 o^l toujours lo mi'Mic. < )u peut (buic ••( iiro les dc'vehq)-
pemonts do o, di^ x^ suivant les puissances de A par l,i lorniulo de
iMaclaiiiin. Si co^ dé-vfdoppeinents converj^ent pour /. = i. lo |)ro-
bloMio •'■>! n'solu. Dans le cas contraire, on connaît un édc'-niont
anal\li(pir de (liaciiuo dos lonclions p,rt,-, .r^; co (jnl snlllt lln'ori-
(pieniout pitui' les di'lorniiuor eut lôrenioni .

9'.l (.IIAPITHE M. — POLYNOME DAPPROXIMATION MINIMUM.

SI la louclioa '}(■/) est l>ieii choisie, les (l(-\ el()|)])enients de
Maclaiiiiii seront rapidement convergents, mais il csl clair que
c'est nu Ici choix qui fait toute la tlilficulté de la (|nesli()n.

M. Bernslein a fait la remarque que voici :

L«'s expressions approchées de P ef de z. pour )> :=^ i , qu'on
nhfie/it en hornnnt la srrie de Maclaïuin à ses deux premiers
termes, sont respectivement le polynôme d'appioximation
minimum et r approximation mi/iimum de 'f(^) ■'>«'' l'en-
semhle Eo-

Pour le montrer, dérivons une première fois les // 4- ' premières
('■quations tlu svstème (i ), en observant que V'{xi) est nul; il
vient («' = o, i , :>. « -f- i )

dV(xi)

p'(X) = o{xi) — 'h{Xi)

:p(^/)

p'(X) = o,

mais la caractéristique & indique une dérivation dans laquelle les
coefncients a seuls sont considérés comme dépendant de A. Fai-
sons A = o; il vient, Xi appartenant à Eq,

ç ( a",- j — 'o(Xi) :c^ ± p ( o ; = o.

D'autre part, on a, par hvpothèse, sur l'ensemble En,
'ij{Xi) — 'P{xi, o)±p(o) = o:
d'où, en ajoutant membre à membre,

0

S).

(t = G, I , '2, .

= [p(o)-f-p'(o)] = o
n -+- i).

Ces équations, relatives à Eq, mettent en évidence que

e-<t le p;)lvnome d'approximation minimum de ©(iP) sur l'en-
semble Efl et que cette approximation est o(o) H- p'(o). C'est le
théorème énoncé. Il s'ensuit évidemment que l'on a

?{^) >?{()) ^ ?'(o).

Celte dernière remarque est encore due à M. Bernstein.

CHAIMTRK VIF.

APPHOXIMATION TKKIONOMÉÏRIQUK MIXIML'.M.

1)1). Propriétés des expressions trigonométriques d'ordre n. —
Les llK'orrme^ ichilits aux polynômes d'approxiiual uni iiiinmmiii
«.\'len<l«'iil aux o\|)r«'s>ii)ii.s IriiiinioiiK'Iriques et se tléiiunilreuL de
la iiK'ine manière. Mais il faiil, au jinialahle, élenclre aux expres-
sions trii;on(unétriqucs les proprit'tes alf^ébriques des polynômes
sur les([uell('s reposent les démonslrat ions. Voici res propriélés :

i" C/fie expression trigonométvLque d'ordre ^/? ne peut
tn-oir plus de in racines non équiKalenles^ et cela en tenant
compte de l' ordre de niultipiicité des racines.

Celle propriété a été- dé-monlrée au n" 30.

2" Deux expressions dOrdres ;^/i qui coïncident en :in-\-i
points non équivalents sont identiques. Autrement dit, une
expression trigonométrique d'ordre ^n est déterminée par ses
valeurs en 2/t -t- i points non équi^^alents.

Kn ellet, leur (lifTé-renct', avant :>. // -i- i racines, esl identique-
ment nulle.

.)" Deux expressions d Ordres ,^n qui ont ). n racines non
rquiicilentes communes sont les mêmes à un facteur co/ista/it
près.

lin clli't. soirut P(x) et ^^{x) deux expressions d'oiihe //

avant > n iMcinc'> communes el ne s'annulanl pa^ au point r/: la

dillereiice

\'ix)Q(a) — (h.r)P(fi )

admet les uièuies lacines et une de plus (^/. (mi tout >. n i racines,
donc elle est itieni iquenient nulle.

9^ ciuriTUK VII.

j" On ju'iit f(iii/(Uirs itutsfrt/irr une r.r/>/c.v,s/f»// fn i;()ni)m«''-
trif/iir il (U(l rr n ijui lahiirt > n rari/ii'S (trhi/rdircmrnf (/on/nu's.

S'il II \ a (jiit' (lcii\ iMCiiics .r , cl .r... I"t•\|>^l'^'^l(>ll du prciiiKT
ox\\vc

.r, — ,

, .»• — .r, . .r — .r.i
m .sin

i'(>;>

cos .r -

s;U islail .1 l.l (|ll('>l lOM.

Si ./•, cl .^^.. uc soiU pas ('(luiv alenls, ("rs raiMiics soni siinplcs cl
l'expression cliani;»' (l«> si^iic (piaiid .v passe par <'es vaIcMirs.

S il V a •> // racines (joniu'cs .r,, .r.j, ..., .r^,;, le prddml d un
iiomhre pair de laeleiirs

II

('^^ 1, •>.

in )

e»l une «"\pr«>ssi(tM <'nlièie el repond eneort* à la (]nesli(>n.

à" Une (\r/>rrssion (f ordre . // peut sr iirtermincr par les
'xn-\-\ valeurs arhitraireuient don/n-es (fuelle prend en
o.n 4-1 points non ('(fuicale/its, et elle s' exprime par uni' for-
mule analoaui' à eelle de lAii^ritUi^e.

l)ésij;nons les poinis par./-,,.ro, ...,.raH^.i ol soil /"(.r,) la valeur
assij;née au poini x,. l'Orinons l'c^xpression (e<dle-ei non (Milière,
car le nombre des laeUMirs es! impaire

S(.r) = I Isin

n

•>.

1/ — I, i,

n H 1 ) ;

I e\piessu)n euUèri' dtu-dre //,

S(.r)

X—Xx S' {Xi)

rc'pond à la (|uesLÙ)U el remplace la formule de L'ij^rangc (il" l\^).
(iellc nouvelle lormnle couduil, de la même manière, au\ conclu-
sions suivanles :

6" Deux expressions d'ordre \^n </ui juennent des râleurs
infiniment voisines en y.n -j- i points donnés, non ér/uicalents^
sont infiniment voisines.

ACI'ROXIMATIOV TRI(.<»NOVfKTHIOI K MINrMI M <)S

~" Une. f'xnrcaaioii tlDif/ir n. thiiil lf'.<; cficffu imH smil
rm itihlra. ittois, /jui '■«/ huinrc sut ii n fn arin hlf th- a n • r iK>inl%
ilnnni-'i, non iffinK al.r.nt'i , a. Ions ars. corl ficicn Is hornra.

70. Expression trigonométrique d'approximation minimum
l/fxprpssiori rrif(ori<»irif'frif[iU' qui Hfniru; r}i[»[»rf)xirrif'if,i()fi mini
rniirri <Y\\i\c. ff»nr,tlon p^'-riorlif jiic fix) pfnir \()M\(:s \(:^ \,i leurs
r»''f-llf<i fif .r, possf'dft fifrs |»r(»prl('-trs fHi;i lo^iifrs îi ccWc^ fin ["'«Iv
nonrifr fl'unnnix im.tfiou rniiiirinnn. L;i ;.'«''(i«'r;i I isation f|f;H df-fini-
fioriH f;l fif; la |»liip;irf df;-. (l«''iiiori-,lr,if inOs (;>.r \u\iut'-(\\.\\(:. Il suffira
J'«rK»nf>-r Ifrs rlnroniines, ffuarwJ Ifts df-ujonsliHl lofis pourront. M:
ri\(i\\cr sur lf;s prf'Cfîflentfîs. \ oif;i lf;s |)ririf:i|><iu x <!*■ c«s jh«';o-

r tiiif-

I ■ // c.rhle^ pour f hafjne ordre, n, une exprf'aaion tri;/ono~
tnétrifiu.e d (ipproxiniation. mi ni nnim.

'i" Si l'expression 'V ( x ) d ordre ^n eal d'af)i>rorimaliftn
minimum, pftiir la fonr.lif>ii pi-riodi/iiie /(■/'), <>n f>enJ. assi<(ner
A n -h % point..<i^ r.onlJ'nitfi a V intérieur (V une même période d am-
plitude 'AT., oit I. écart f — f atteint ses i)aleurs extrêmes rt c
avec alternance de sif^nes d un fxnnl au su ii fin t.

II l.iur ir.i prf';f;isf;r fjuf;lfjufs [»oiu(>> Ac \<\ 'lérufjiisl r.il ion.
hiviàon.s unf; fx-riorlft, c'esl-à-flire un inrervfjlW; flonrif; fTiinipli-

fuflfr >.t:, eu intervalles assez pefifs pour que l'écart ':,(x)-- f — T
ne s'annule dans aucun des inrervalles, o,. Oj, . . ., ^,«. où il aM.eint
sfs valeurs extrêmes. l)ési;,'nons par *,, t^, •••• '-«/ les uniJ<''s du
si;u'ne de '^(x) dans chacun de ces intervalles. Soit o^.^ i l'inter-
valle cr)ngni à o, rians la période suivante, et t,„j^\ ~ '-t I unité du
sifj'ne de '^(x) flans o^^(. Le tliéf)rérne énoncé revient à flire que
la ,uiff

Sj, îj. .... -.,„, 1,1, . ) = îj

contient An -^2 variation.s fie si<rnes. li'aillcurs. les terinfs
frxtrèmes étant les mêmes, elle ne peut en Cfintenir fpi'uii nombre
pair.

Suppr)Sf)ns. par impossible, que la suite ntr conti»;nnc fpie
^/.'^An variatif)ns. Soir ;/, î/^, Tune quelcf)nque frcnrre elles.
Assijçûon.s un point ; intmufidiairf; entre Ics deux intervalles
corresponfiants 0, et 0,^,, fpii sont nficessairement non continus.

96 ClIAlMTKIv VII.

Soit ;,. ;._., ..., ç.tfi la suite des :>/• points ainsi clioisis et qui sont
tous intérieurs à la |)(''rio(le. Li lonchdii eulièie (.lOrdrc ^/?,

t . ^. i ,,

.'ii(.r) = £1 siii^ sin^^

aura le sij;ne de 'j dans cliaque intervalle 0(, Oj. ..., o,,^. Il en
résulte, coninie dans le cas des polynômes tl'approxiniation, que
l'expression d'ordre ^/j, T H- S'ji, donnerait une approximation
meilleure que T, à condition de donner au nombre positif £ une
valeur sutTisamment petite.

.)° L'expression d'ordre ^ n qui donne la nieilleare approxi"
mation de f(x) est unique.

j" La propriété 2" est caractéristique : une expression qui
fournit des écarts de signes alternés et de module égal à
^approximation correspondante en 'in -\- 1 points consécutifs
contenus à V intérieur d^ une période., n^ est autre que l'expression
d' approximation minimum.

7 1 . Borne inférieure de la meilleure approximation trigonomé-
trique. — A la rrgle du n" o7 pour les polynômes correspond la
règle suivante pour la représentation trigonométrique :

Soient f{x) une fonction de période ir^. et S une expression
trigonométrique d^ ordre n. Si f — S prends avec des signes
alter/iés., des valeurs absolues ^ p' en 2n -\- 2 points consécutifs
et non érjuivalents d'une même période., alors p' est une borne
inférieure de V approximation minimum.

7l2. Meilleure approximation d'ordre n sur un ensemble de
an — 2 points. — Les résultats obtenus dans le Chapitre précé-
dent, quant à la représentation par polynômes sur un ensemble
de points, s'étendent à la représentation trigonométrique.

Une expression trigonométrique d'ordre n peut être mise sous
la forme

n
— n

avec la condition que les coefficients dj. et a'_i^ soient des imagi-
naires conjuguées pour que R soit réel.

AI'I'KUXIMATIO.N TnH.ONOMETlUyLK MI.M.MLM. 97

C()iisi(I«'t()ii> un eiisemhle ii de a/i 4- '*■ [)oiiil>,

imn 1(111 iN.ilfiils (i ((iiitciiii^ Aa'a^ une nu im- |i»-ri()(lt' ■>— . Suit
f{x) nue loiictiiiii: iiiMis ;ill()iis niiuivcr (juc |):iniii \<'> f\|ii(;s-
sions K ( .r I (I ordre ^ /i, il en fsl une T(x)(jui tlonne la ineilleuif
a|>|)rt>\iniatii)n de f(x) sur ren>einl)le E. (lelle expression T e^t
dite d'approMiiiat ion m iiii iiiiiiii >iirl^, et nous nionlieroiis (jn'clli'
esl uni(|ue.

IVoposons-nous d ahord le prohlènie |)lus général de déter-
miner R(j") et rapproxiinalion correspondante z' sur E, par la
condition (|iie les .i n -{- 2 écarts aux points successif de E soient
lie mêmes si|;nes et dans le mriue r.ipport ({iie les 2ai -*- '.i nombres
donnés

"1, —"2. —«3, ..-. — «2H + 2.

Les lettres u désignent des nombres positifs ou né|;atifs de mo-
iliilcs :p I , mais l'un au moins de module t . Ils sont précédés d'un
si};ne alternatif pour la commodité des calculs ultérieurs.

Nous avons donc à déterminer a' et les a /i -h i coefficients a
de R(.;) par les .in — a équ liions liiu-aires

/(x,n ) = zr »,„ p'-r- ^ a'/.e''

( /n = ], î. . . ., in — \).

Ce système a pour dt''leniiiii;iiit

D =

(,nxj

Soifiil A,, - \j, —A3, ... les mineurs relatits aux. •■Icinenls
dr 1,1 prtiiinic cidoiiiie. Nous avons

Calculons le coeflicient Ay;. Nous axons, en excluant l,i littre Xi,s

A,=

(^-llx^i g-{n — \)Xfi _ e"^''

f3-nx,i g—'ii-lx,i ___ e'i-^i'

Al = e-'« Jr, + x,4-...)/

V. I'.

gS CIIAPITRK VII.

Désiiiiions par 1 I un prodiiil cjui séteiid à tontes les coiiibinai-
sons de deux indices A, ^ différents de X avec la condition A >> [x.

Il \ icnt

=n

n

e 2 (exii_gx.^i^

A-

. . -fl—^p.

Il sin •

-k 2 .

Désignons encore par co le noinbi-e des facteurs du produit I 1
(nombre qui est indépendant de Â'), nous obtenons

A/ = (■ii)^k'h,

A/.= I I sin

n.

Tous les facteurs étant positifs, A^ est un nombre réel et positif.
Résolvons maintenant le système par rapport à p'; il vient

,_ Ai/(Xi ) — kjfix^)-^...— A2„-t-2/(.r-2„ + 2).
Ai t<i -f- Aj «2 -t- • • ■ -i- A2« + 2 «2/(4-2

et, en supprimant le facteur commun (2/)^^,

A',/(a:, ) — A^ f(Xi)-\-. . .— A2„+2/(^2/(+2)

(') P' =

a; Ml -i- a '2 «2 -+-••• -I- a 2 n + i "2«H-2

Les quantités A/ sont réelles, positives et non nulles. Cette for-
mule, entièrement analogue à la formule (i) du n° 08 concernant
les jîolynomes, conduit aux mêmes conséquences.

L'approximation minimum se réalise en faisant tous les w égaux
à ± 1 et du même signe que le numérateur de (i). L'approxima-
tion minimum 0 sur E sera donnée par la formule

ir,\ . _ I -^ 1 /(^i ) — ^^2 /( ^2 ) -+- ■ • . — a; „^2 fi.^in+2 ) I

A j -+- A2 -H. . .-(- A2,i+2

Ces formules conduisent, comme dans le cas des j)olynomes,
aux théorèmes suivants :

i" Il existe une cxpreasion rV ordre ^« et une seule donnant
la meilleure approximation sur un ensemble E de :>. n + 1 points ;
elle fournit des écarts de même module et de signes contraires

AI'l'IlOXIMVriON rRl(;0\OMKTRI(,>l'K MlMMl M. 99

en (l('ux /toi/ifs <-onsri-iitifs de 11, ri crlU; propiiéli- hi ctiitic-
térise.

:^" L'expression d' ordre ^j- n qni donne la meilleure approxi-
mation sur un ensemble F <le plus de 'xn -\- >. points [o// dans
un i/tfe/Kalle \a, h\\, est celle ijui dmine la meilleure approxi-
mation sur >.n -h >. points de F [oa de (a. h ij. elioisis de ma-
nière <jue relie meilleure approximation soit la plus 'jurande
possible.

73. Théorème. — S^ apposons que fi z), de période 2z, soil
une fonction analytique de z = x-\-Yi' holomorphe dans la
bande comprise entre les deux horizontales y=z!zb, et de
module << M sur ces droites; alors si f a pour meilleure
approximation po sur uti ensemble Eq de '2n -\- 2 ptoinls réels
non équivalents^ le plus petit écart 0 de deux de ces points
rérifie la condition

16 /i , 6\2"-

\.iu^ poiiVKiis su|)j»(t>fr que les points j:', . x,' •■•. x^n-iri ''•' E„
salisfasseiil à la conclitittii

o < ^1 < ^2 < -ï^s < • • . < ^2n-+-2 < 2-.

Aj)|n'l<)iis, eu al)n'':;é. distance de deux points Xi et Xk <!«• F

i'\|)rf>>i(iii

.r/.

et ili''>ii;nons ywv tt^/, !<• |iioiliiii des tlistaiiccs ilc ./■/, au\ aiilics
|>(imis (!<• F. l/i luriiiiile ( :i ) nous donne

po

/{ Ti I fi T., )

/<J-΄.2)

m,

^î//-*-2

^■>ri4-i

Soil E, l'cnscuihle ohlcnu tn ^u pjiiiiiiaMl liin de» |»i»inl
extrêmes de Ep, par exemple Xf ; posons

f(T) =

f(X) — fiXx)

lOO CHAPITKE VII.

accentuons les produits iclatll> à E,. ÎNous avons, comme [)oar les
polvnomes (n" 59) et en observant ({ne les sinus sont de mo-
dules ^ 1 ,

Ti7.,

I

Celle fols, le nombre z^. tléfinl par cette formule, n'est pas la
meilleure approximation de /) sur E|, parce que le nombre des
points de E, esl Impair. Mais cela n'empêche pas de poursuivre
la r(''ductl(in. parce qtu" p, ne cliani;e j>as quand on remplace, dans
cette formule, y\:r ) par /'(j;) — a. On a, en effet,

parce que cette somme ne dlfVère que par un facteur non nul du
développement du déterminant

suivant les éléments de la première colonne. On s'en assure par
des calculs tout pareils à ceux du n° 7!2. Or ce déterminant est
nul, |)arce que la (/? + i )"^""' colonne est identique à la première.
Posons donc, en "énéral.

//.■(^) =

fA--l(^)— //,-{( ^//)

^•/,-

Désignons par oy; l'expression analogue à o^ et o,, mais relative
à l'ensendile E/,!^/;.,.,, . . ., x.2n+-i), et qui est la meilleure approxi-
mation d'ordre n — - de fk{x) sur E^ lorsque /. est pair. iNous
avons

et, de proche en proche,

Ici Oo// est la meilleure approximation d'ordre o de /"sw ^n'" l'en-
semble de deux points seulement ^2n{Xin+\i ■^a/f+ii)- Nous avons

APPRdXIMATKtN TlUGONOMKTniOt K MIMMIM.

pj;i — - \Jîii* -''in ' i > — Jiii'^in-

■1)

Sdii. ou iit'iiiTal. M',,, If Mioiluif iiiiMmiiiii de f.,„siir l axe réel;
il \ it'Ml ;iiii^i

Il taiil niaintfiiaiit <\ aliMT M.,^^. Dcsignoiis. on j;(''ni,-ral. iiar.M/t le
mocliile inaxiimiiii Je /"^ dans la bande comj)risf cnlrc lf'> lioiizoa-
lales V = .— 6, inaxiiuuin allcliit sur ces clroiles puisque /'a est
liiil()iuor|»l»e el ixTiodique. La loruiule

. , fk \i2-^ Xk)— fk - 1 { -Z"/. )
f,JZ-r-Xu)=--

I

sin- z

ilôuuf iiiiMirLlialOMicnt

M*?

hU

d'où, lie proche en proclie, M (iesii;nant ^Iq.

l*(»ur cvaluer la dérivée. dési<;nous par i\ le contour ilu rectanj^le
<"0uipris entre les deux abscisses x zn ~ et les deux ordonnées rz: b.
On a, pai- la lliémie des rt-slilus,

I /• I - X

fi„(X) = : / finiz) - COt dz

4 ■i'in*-

Mai^ Ic^ inlé^r.iles >ui- les ccUés verticaux se (U'iruisenl ( îi cause
lie la périodicité'), les inté-grales sur les cé>té's horizontaux y = rt //
^id)> latent seules : ri il \ nul , par \r linoréin»! de la mi(>\ cnne,

lOi CHAPITRE VII.

On porte cctlr rx|ircssion dans la borne de p,,, il vient

?0< i^in+i — ^-l„ + l)

\<

l(i

On peut aussi laii'c la rt'duelion de l'ensend)le en retranchant les
points sur la droite, ou encore sur les deux extn'niitc's successive-
Mieul. (Jn a ainsi, quel que soit /,

/ .^ \ 2 «+2 ]M

ce qui revient au tliéorèuie énoncé.

74. Corollaire. — Soif fix) continue et périodique; si sa
meilleure approximation cV ordre n est p y^ o sur un ensemble E
de 2/1 + 2 points non équivalents^ on peut en conclure une
borne inférieure de l'écart de deux points de E.

En eflet, soit £ un nombre positif <; p. Nous pouvons cons-
truire une expression trigonouiétrique S d'un certain ordre, telle
qu'on ait. sur l'axe réel,

|/-S!<p-£.

La meilleure appioxiniation d'ordre n de S sur E est donc

?o>? — e.

Alors, en vertu du tbéoi'ème préc<'dent, le plus petit écart o de
deux points de E est supérieur à

i6 /i , 6\2«+2

où M est le maximum du module de 8(3) sur les droites j' =ii:: b.
Le clioix de b reste arbitraire. On le choisira de manière à rendre
cette borne aussi jurande que possible.

75. Détermination de la meilleure approximation d'ordre n. —
La détermination de la meilleure approximation trigonométrique
d'ordre n. sur l'axe réel, d'une fonction périodique donnée f{x)

AI'PnoMM ATION TRIGONOMÉTRIQUE MIMMl'.M. Io3

l'Sl iiii prohiriiic iUiiiloi^iic il cfliii de lu (It-lcrminatioii du polynoiiir
d'anitroviiiiiit ion iniuiiniiin dans un inicrvallr. Il s«^ n'-soul, an
dt'i^ri- d'i'xacl Itnde assi<;né, an iMovfii diin nonihii' liniilc d opt'-
ral ions (jne Ion peut i'wiv a priori. La inélliodr se jnslili»;, coninic
dans \c cas des polynômes, en s'appuyanl sur les llu-orriiics cor-
respondants, que nous ;i\ons «'-taMis cl-dcssns. Il est innlilc de
reprendre celte (picsiiou dan> le dt'iail.

Observons enfin (jiic le ihcorcine de .M. Bernstein ('n"6S) s'étend,
sans dillicnlté aucune, à la repn'sentation Iri^onoini'trlque, et peut
\ rendre les mêmes services cpie dan> la reclierclic du polvnome
d'approximation minimum, dette extension n'a pas •'•ti- laite par
M. Bernstein, mais elle ne présente aucune dillicnlté.

70. Meilleure approximation sur un ensemble de points équi-
distants. — Uevenons d'abord à la meilleure approximation z sur
un ensemble E de :i n -\- 9. points

(E) Xi<Xi<X3<:...<Xin+î,

non équi\alents et int<''rieurs à un<; même période, c'est-à-dire à
un intervalle d'orii;ine arbitraire et d'amplitude 27:.
Désignons par S(x) l'expression entière

. Jr — jr \ . X — X't , ce -^ ^2//4-2

S (^37)= sin sin -" ■ • • sin

' ' ■>. 2 2

et par II le produit, ('tenilu à tous les cou[)les d'indices A, a, véri-
fiant les conditions 'jl << A^ 2/i H- 2,

n

nous aunjns (n" 72)

sin

,.=n'i„îi=f. =,-,)'

.k 2 S'(.r/,

La formule (2), du n" 72, nous donne donc la suivante
/(.r,i ^ /(J-r> . ^ fixin+i)

± 0 = »

qui est encore applicable au cas général (que les points soient
('•quidistants ou noiij.

loi CHAPITRE VII.

Arrivons iiiainlenanl au cas parliciilier (|iii nous intéresse. Sup-
posons que les points de rensemble E partagent la période en
pallies égales, de sorte que l'équidistance des points ^T), j:'2? •••

soit — - — Dans ce cas, S(.r) admet les nirmes racines que la

fond ion

s\a(n ■+- i)(x — Xi)

et le rapport des deux fonctions est borné, car on vérifie de suite
qu'il tend vers une limite finie quand x tend vers l'infini imagi-
naire. Donc le rapport des deux fonctions est une constante h et

Ion a

S(a-) = h siu(n ^ i)(x — Xi).

L'équidistance des points étant — - — > on en conclut

'■ ^ n -h i

S'{xi) = (n-hi)h, S'f.Tî) = — (n-hi)h,

Ces valeurs sont de même module et de signes alternés. La valeur
de la meilleure approximation o se réduit à

0 = •

■m -{- 1
De là, le théorème suivant :

La meilleure approximation de f{oc), de période "ir^^ par
une expression trigonométrique d'' ordre ^«, sur un ensemble
de in -\- 1 points .r,, a^o, • • -, Xinjf-i-, non équivalents^ qui par-
tagent la période en 2/1 + 2 parties égales^ est la moyenne
arithmétique des 2/1+2 valeurs f{xy)^ — /(j^o), -\-f{x^)^ ...,
— fi^'ni+ï)- Cette moyenne est donc une borne inférieure de
la meilleure approximation d^ordre n pour x réel quelconque.

Cette moyenne peut être mise sous une forme intéressante qui
se rattache à la série de Fourier. Supposons y (a:) développable en
série de Fourier convergente :

«
fix) = - ao -+- 2,^*^l< coiAx -+- bu sin/.ar)
1
Si nous posons

APPROXIMATION TI\l(;ONOMÉTRI0rK MINIMIM. loi

nous |)((ii\ ons ('•crirr

■ ■ A- ■

Lonsi(l<i(nis maliilcnanl reiisniihle des points ('quicllslarUs r,,
j'a- • • -, •'"2//+2 t;l supposons cral>ord j", 3= o, auquel cas

_ ( /// — 1 )-

11 \ienl

2 " -(- 2 as î n -4- » , , , ^

2_, (—>'"' '/l •^'") == 7 2 ^^/' '^ ^~ 1)'" 'e "+' .

m — 1 A =: — 00 //I =: 1

Si /• esl un uiull i|)Ic impair de n -\- 1 , on a

în-t-2 .,_ In + i

(— l/"-'t^ /i+l = V (_,)//) -I(_,)m-1 = 2« -f- 2.
fn = 1 //( = 1

lJau-> tous les autres cas, on a

2« -1-2

g2A7» — I

V"-» e " + ' = ;-^ = O.

km
m - 1 — e"-<-' — 1

Il \ ienl donc

«1=1 ). = — «0 ), := 0

De là, If" tlicorènje suivant :

Si f{x) périodique est développablc en série de Fourier
convergente^ la meilleure approximation trigonométrique
d'ordre n sur l'ensemble E des 2n -+- i points,

T. ->■- (^n^D-

(h) o. , . •••. >

n -\- i /< -i- I n -i- i

a pou/- r.rprrssinn

oii les a sont les runstuntes de Fourier de la fonction J{x).

I06 ClIAPITRK VII.

Le cas où le proiuier point de l'ensemble E esl 00{ (an lien de o)
se ramène an précédent par le chanfienient de z en r-t-a^c Or,
on a

f(x -h cci) = -ao-+-^( «A- cosAa", -4- 6/. siuÂari) cosAa;
1

-1- 7 ( — a/,. sin/>a7i-+- 6/, cos/ .ri) s in A' a*.
1

De là, le théorème suivant :

La meilleure approximation (Vordre n rie fix) sur Ven-
semble E des a ai + 2 points^

,T^s ~ 2t: (in -+- \)tz

(E) Xi, xi-\ > Xi-\ , •••) 3-1 H >

^ ^ ' n -M n -4-1 /iH- I

a pour expression

±p = V[«(2X+i)(«-i-i)COs(2À + !)(« -l-i)a:i
À = o

-f- 6(2>.+ l )(«+!) Sin(-2X +l)(/H- l)Xi].

77. Nouvelle borne inférieure de la meilleure approximation
trigonométrique. — Revenons encore une fois à la meilleure
approximation p pour Tensemble de toutes les valeurs réelles
de X. Le théorème qui termine le numéro précédent en fournit
une borne inférieure quel que soit a?), et cette borne se présente
sous forme d'une série trigonométrique en .r,. Choisissons Xt de
manière à majorer le premier terme et remplaçons tous les sui-
vants par leur borne inférieure pour x, quelconque; nous obte-
nons le théorème suivant :

La meilleure approximation trigonométrique d ordre n
pour une fonction périodique, développable en série de Fourier
convergente, admet la borne inférieure

pourvu que cette expression soit positive.

APPROXIMATION TniGONOMKTRIQlE MIMMI M. I07

Les diverses bornes (jin- iimis venons de si<;n;ilii' sont dislindes
de celles leiieonlrt-es iinlt-rieiireincnt.

78. Application des résultats précédents à la meilleure approxi-
mation par polynômes. — L a|)|)ro\iiiialioa de / i .r ) \),\v polviioines
dans l'iiilerv.ille ( — i, -h i ) revient à l'approxiinalion trii;onoiTi<''-
Irique dey (coso). Nous venons de voir (jik- la mcillciiic approxi-
rnahon de /('coscs'l sur renseiid)le

- -i- (-i/j -i- 1 )-

o, . , ...,

/< -(- I n — I /i -f- 1

a pour valeur

P«

p = /"(coso ) — /( COS ) H-. . . — fi cos ] .

•^ 2/1 -4- 2 L V « — I / \, «-+-'/ J

Saufy (coso ) ety (ces— ), les termes sont deux à deux éijaux et
de même signe [ceux à égale distance des extrêmes quand on sup-
|)rinie/ (coso)]. De là, le tliéorrnie suivant :

La meilleure approximation de f{x), par iiii polynôme de
degré ^ n sur l ensemble E des /i + 2 poi/its,

- 1- n-

( h) I, cos j cos — — > •••> cos — ■ — , — I,

a pour expression

En mrnir temps cette expression est une home in frrieure de
la meilleure approximation dans V intervalle \ — 1,4-1) conte-
nant V.. On peut aussi lui donner la forme

— p = ««4-1 -+- rt3(/j^i, -h- as,„-Hi) -—...,

oit les a sont les ((instantes de Faurier fie /(vnso), qui est alors
supposée développahle en série de Fourli'r fomerge/ite [*).

(') M. S. FJernsIcin donne des résiilt.-ils analngiics. sauf ({iieli|iies in.idvertanccs
de cairui (Su/- /'ordre de In meilliurc (ipproxiination des fonctions conti-
nues, n° iô).

Io8 CHAPITRE VII.

79. Exemples simples d'approximation trigonométrique mini-
mum. — l^rtudc des fondions analyllqiies louinit des exemples
remarquables d'approximation minimum sur lesquels nous revien-
drons plus loin. Mais nous pouvons indiquer, dès niaintenanL,
quelques exemples instructils.

i" L'expression trigonométrique d'ordre ^ /i qui donne la meil-
leure approximation du terme d'ordre /; + i ,

a cos(rt + i).r -}- 6 sin(n ^- i)ar,

est identiquement nulle.

En efllet, posons a=^ r cosa, h = rsina; cette dernière expres-
sion prend la forme

/• cos( /i -t- i)( J7 — a).

Elle prend 2/i + 2 fois ses valeurs extrêmes zb r avec alternance
de signes en des points intérieurs à une même période. Ce sont les
valeurs de l'écart pour l'expression approchée ï=:o. Donc o est
dappi'oximation minimum.

2° Le même raisonnement montre que l'on connaît aussi la
meilleure approximation d'ordre n pour la fonction d'ordre ii-\- \ :

f[x)~ ^ g/. co%kx -4- bi; sin/.\r.
L'expi'ession d'approximation minimum est

n

T(.r) = ^«A co?<kx -+- bi; i'\nkx:

/. = 0
l'écart est

©(ar) = a„_ui cos(rt -+- 1)^- -H bn^i sin(« -»- \)x
el l'approximation a pour valeur

.^° Un exemple d'un autre genre nous est donné par la fonction
sans dérivée de Weierstrass. Nous allons montrer qu'on en con-
naît les expressions les plus approchées pour tous les ordres (').

Soient a un nombre positif •< i et h un nombre entier impair >> 1 ;

(') S. Bernstein, Comptes rendus Acad. Se, u'i novemljre 11)12, p. io63.

AI'I'ROMMATION THI(i<)N<)Mi;TRlyl K NIIMMI M. I ng

la tond loii (If \\ cicrsliiiNs

f(x)= y (f" cosb"'x

III =0

adiiK'l. *'i)iiiiiic cxpro^iiiii J'a|)|)r(>\iiiiali(>ii iiiiiiiiniiiii d'ordre // .
la >oiiiMit' (les /«■ H- I pifiiilers lerines de celle série, ù savoir

/,
T(.r) = ^«"' co^ù'i'x,

0

on /. est délermiiK' |>ar la condition

En ellot, I écart, qni a ponr «;\|»rcssion
^rt"' cosb'"x.

afCjincrt ses valenrs evtréincs avec alternance de si^ne an\
i'//^"*"' |)(!int^ consécntils

^''= p^ ^'' = I, v>, 3. . . ., a/v^-^')

el 1 a|)|)iit\unation corrcs|»undanlc e>l

0=7 a'" = •

CHAPITRE VIII.

FONCTIONS ANALYTIQUES PRÉSENTANT DES SINGULARITÉS
POLAIRES.

80. Correspondance entre les séries de Fourier et de Laurent.
— Soit f{z) iiiie foiiclioii périodique de la variable com-
plexe z- =z X -\- yi. Supposons que cette fonction soit holomorphe
dans la bande du plan z comprise entre les deux droites y = ± A,
parallèles à l'axe réel. Sou dévelo])|iement eu série de Fourier est
de la forme

2

^^

Faisons la substitution

(i) e-i=t.

Cette substitution transforme y (^) dans une fonction '-^{t) qui est
uniforme, à cause de la périodicité.

Quand z varie de a— sur l'axe réel, t décrit le cercle de centre
origine et de rayon i . Quand z varie de 2 tt sur les droites y = ± 6,
t décrit les cercles de rayons e~^ et e*. La substitution (1) fait
donc Correspondre à la Ijaude du plan z comprise entre les deux
droites^ = ± 6, la couronne circulaire du plan t comprise entre
les deux cercles de rayons <?~* et <?* ; et ^{t) est bolomorpbe dans
cette bande.

Par la substitution (1), le terme ij;énéral (bi développement de
Fourier devient

( 2 ) A/, = a'/, //'• H- b'i, -jj, ,

où

a/^ = j b/^. = :

KONCTIONS ANAKVTiyLKS. SIN(;i LARITKS l'Ol.AIKKS. I I I

Uoiu; le <l<'\ cloppi'iiicnl de VOiiricr di- J'{ :■ ) ^c Inilislormc iliiii^
celui (le 'i(/i ^iiiMiiil !(•■< |)iiis>;m(es positives et négatives de /,
c'esl-à-dire en stirie de J^aiireiil, (•i>u\er};enle dans la couronne
circulaire considérée. Par const'-queal, la série de Fourier dey(:: )
sera aussi converi;ente dans la handc correspondante. Nous allons
déteiinnu r roi(li(' de fraudeur des coeflicieiils et le de^re de con-
vergence de la série.

SI. Théorème I. — Si /(z) de itêviodc •>. - csl liolonioiphr et
que son module soit "" M dans hi bande conifirise entre les
deux droites y=^zhù, alors, pour z réel^ le module du term.e
général de la série de Fourier vérifie la condition

|A/.|^-;iMe-/'^

Considérons le terme ^én<''ral ( :•>. ) du développement de '^{l) en
série de Laurent dans la couronne. Soient C| le cercle de ravon <?"*
et Ci le cercle de rayon e* (jui limilenl la couronne. Ou a

, I r 'z,yt ) <tl , , I r , , dt

par conséquent,

l«A-|

■.'.- ./,. \ t\

et, c étant réel, |Aa| ne surpasse j)as la somme de ces deux hornes.

82. Théorème II. — Sif(z) est holonto/p/ie et de module ~- M
dans la bande eomprise entre les deux droites rrr^±b^ la
somme S„ de Fourier donne, sur l'axe réel, une approxima-
tion

■?. M
,'"•" ''"''■

On a, en ellel.

Jmd À^ I — e '' C* — I

83. Singularités polaires. Décomposition de la partie principale

CIIAPITRK VIII.

en éléments simples. — Nous allims inaiiilcuaiil éliuller comment
se compoiic la série de Fourier lorsque J\z} admet des singula-
rités polaires sur les droites j' =rr= h. Nous devons d'abord mettre
sous la forme la plus con\enable la partie jirincipale de la fonction
au voisinaj;e d'un pôle d'ordre /".

[^a fonction /(^) est supposée réelle avec z\ par conséquent, les
1)0165 sont conjugués deux à deux et, si .3 = « 4- bi est un pôle,
z =1 a — bi en est un autre du même ordre. Déterminons la forme
de la partie principale de fiz) au voisinage de deux pôles conju-
gués a =t: bi. En changeant au besoin z en z + «, ces pôles
deviennent ± bi. Considérons les deux fonctions

•^ ^ -^ ' sinz

Ce sont des fonctions paires de période 2-, donc des fonctions
uniformes de cos;. Supposons qu'elles admettent les points lii bi
comme pôles de degré /•; nous aurons

f{z)-^f{-z^ Ao , A,

•1 (0OS5 — C0S6/)' ■■■ COS5 — co^bi

f(z)~fi — z) Bo B,

.èsin.: ict)S^ — cosbi )'' ' ' c-osi: — cosbi

y.(^),

les fonctions •[> et y étant bolomorphes au voisinage des points zt bi.
Multiplions la seconde équation par sin^ et ajoutons; nous obte-
nons la partie principale de/"(^), décomposée en une somme de
termes que l'on peut considérer comme des éléments simples :

Ao-t-Bosinc; Ai^-Bisin^ A,. -f- B^sinz

(cosz — cosbi t' (COS3 — cosbi)'-^ cosz — cosbi

Si le pôle est d'ordre /■, un au moins des coefficients Ao, By n'est
pas nul. Si les pôles conjugués sont z ^^ a diz bi. on changera :;
en z — a dans les formules précédentes.

8i. Développement des éléments simples en série de Fourier. —
Le développement en série de POurier de la [)artie principale
def(z) dans le domaine d'un |)ôle ne présente aucune difficulté.
On l'obtient, comme il suit, presque sans calculs, si le pôle est

FONCTIONS ANALYTIQUES. SINGULARITI-S l'OI.AIRES.

.iiii|i|c. SdiI I) lin ii(iiiil)i(' ri'fl pnsitif; on ;i

— p.-i'-'>

* = o

I __ (.z/ /' ( I _ e~i-i> \{ I — (--~'-i>)

t""-+- e " — ^cos.

cil /> -+- sh 6 — cos ;; -f- f sin -
•i( cil 6 — co*; z )

On I ne (le l;"i

1 sli ^ -1- i si il

^ai ■}. ,t(cli6 — cos^j

et, en sc'paranl les parties réelles et imai;inaires,

\ e '^''' cosA z,

Aiù

vî(cli b — C0S5 j 1

2 (cil 6 — cos 3 ;

y e-''''?.\n/.z.

Ou lire iminédiatemenl de la coaihinaison de ces deux (-quatioiis
le développement en série de Foiirier de réléinenl simple du

premier ordre :

A -4- B sin z
cos- — ch/j

Le di\ I l(i|)pcmriii de 1 (df-meiil simple ddrdrc plii> tdcv (■ csi un
peu |)liis ((impliqin', mais le calcul se fait par de sim|)le> dériva-
lions cl ne dnnnc lieu à aiiciiuc dilliciiltc. Posons, p >iir ^implilicr.

:hb

c/h _ 1
i//n sh6'

iiiui> aiiruii-<. en dcnx.ml /■ — i fms par iMppiul à ///,

2(— i)'-' </' ' v^ <■' '''' ,

= -, -, : — — : ^ -T— r cos/. G,

(/« — cos s)'- (/- — I)! clin'^m^Axb

•2( — 1/ ' d'

(•.)>«)'• (/• — I) dm' ^ ^

Il est actuellement iniilile d'ellecl lier ces di-nval ions. Ile>t plus
inlé-ressant de dé-terminer la \al<Mir principale ties roetlicieiit> de
|- 1111 lier piuir /. == 70, Or ce Ile valeur e-<l manileslcmenl celle (pidn
V. I'. »

I I i CHAPITRE Mil.

oblienl eu tK'-rivanl m — i fois de suite l'«'X|)Oueutielle e^^*. On
lidiive aiii>i (jiie les coefficients de eos/,-:: et de s\nkz ont respec-
tivement pour valeur asvniptoliqu(!, pour /. = x,

(r — I)! (shA)'-' (r — i)!(sh6)'--»'
Si l'on considrre le ternu' d'ordre k dans le développement tle

A -f- B sin.r

(ch6 — cosa:)'',

on voit que le maximum de son module pour x réel a pour valeur
asymptolique

{r — \)\{%\ïby

Ces diverses expressions sont de l'ordre de /.'~'e ^*. Cette con-
clusion subsiste, quelle que soit la [>osition du ])ôle sur les
droites y = dz /^, car on passe du cas particulier traité ci-dessus
au cas général par le changement de 3 en ^ — a.

11 est maintenant facile de démontrer le théorème suivant :

80. Théorème III. — Si /(z) est holoinorphe dans la bande
comprise entre les deux droites y t= àzb et n\i, sur ces droites,
que des pôles comme points critiques^ ceux-ci d'ordre r au
plus, alors, pour z = ./•, la somme S„ de Fourier donne une
approximation

oi( h est une constante par ranport à n.

En elfet, nous pouvons mettre /"(g) sous la forme

f{z) = Y>^^{zL

où P est la somme des parties prineij)ales relatives aux divers
pôles supposés ci-dessus, et '^{z-} une fonction holomorphe et
bornée dans une bande débordant la précédente, comprise par
exemple entre les droites y :^± [b -\- z). Le terme général A^ de
la série de Fourier de /'est la somme des termes du même ordre
dans les développements des diverses parties principales qui com-
posent P et dans celui de '■:.( z). En vertu du théorème I, le terme

FONCTIONS ANAI.YTIQl'ES. SINGL'LARITKS POLAIRES. Il")

relatif à o est «Je l'orilre de e~* ^'^'- , elles termes relatifs au\ parties
prinripales. <ie l'ordre de /:''*(' '^* au plus. Donc leur somme Aa
n e««t pas diiii ordrt- stipriiciir à celte dernière expression. On
peut donc assigner une consltnt»' // telle qu'on ait. «pid fjue
soit k,

lAAJ^AA'-'e-*'-.
Il \ ient alors

n-t- I

iJaiis celte somme, on passe du terme écrit au suivant en le
multipliant par l'expression

//.-f-r,'-' , /« — 1\'

«-'■ = >,,

et nous pouvons supposer n assez grand pour que ). soit << i . il
vient alors

ao

|S„| < ///j'-'e-"'- V//-

0

//
I — /.

ce qui, sauf la manière d écrire la constante, est le tliéorème
énoncé.

Ce théorème montre la dépendance (|u'il v a entre l'ordre de
grandeur de l'approximation de y'( r) par les sommes de Fourier et
l'ordre de grandeur deyi z) quand :; tenil vers les droites )' = ±h.
Nous allons démontrer maintenant un tliéorème qui établini la
relation réciproque, mais qui s'applique à louie rejm'-sentatioii
Irigonométriqiic et pas seulement à celle de Fouiler.

80. Théorème IV. — Soil f{ x) une fonction 'le période .>.-;
sf/pf>osnns <j II' elle admette une exjnession t ri i^onomi' trique
approchée d ordre n, T„, telle que lapjn'ojiniation sur l'axe
réel vérifie^ quel que soit n, la co/ulition

,o„<9(/Oe-"^

oit 'i(« ) est une fonction non décroissante de n. mais qui finit
par rester inférieurr à e-" , t/uid/^ui' petit que soit :. //ua/id n

I l6 niAl'ITRK VIII.

augmente indéfiniment ; nlors f(z-) est une fonction liolo-
morplie de :• = x -\-yi dans la bande comprise entre les deux
droites y =1 ± b {frontière exclue) et l'on a, en supposant y
positif,

\f{xàzyi)\<ie-^i> f o(0e-"'->" rf/.

Dans notre hypothèse, la diflérence T„ — T„_, = p„_, — p„ est
une expression tri<;ononi«''triqiie d'ordre /«, dont le module reste
(sur l'axe réel) inférieur à

2o(n)e-'"-'''-'.

Nous avons donc sur l'axe réel, par le théorème général sur le
module des dérivées (n"30),

lT,/^i — T</''| < 'iei>o(n)n''c-"'>.
Considérons le développement, pour x réel,

/(r) = To-+-(T,-T„) -+-... -+-(T„-T„_, ) + ...•

Cette série est indéfiniment dérivable sur l'axe réel, car, pour
in\ ordre k quelconque, nous formons la série majorante

\f '' {x)\ < ie''\o{i)e-'' -4- !p(2)e-2*2/'— . . .-+- 'j,(n)e-"''n^--h. . .].

Or cette série a une valeur finie, comme nous allons le montrer
en la majorant elle-même par une intégrale. Nous avons

'j,(n)n''e-"'' < / '^(« -f- /)(« -u ^/. e-(«-i+< /> <i/

/rt + 1
o(t)t''e ''i dt

et, par conséquent,

1 /(« ( a: ) |< 2 e2'' / ^(t)t'^ e-i" dl.

Cette borne va nous permettre de définiryf^) dans la bande par
son développement de Taylor. Posons

» = 37 -)- » , I w 1 = u ;

il vient

J{--)-^'^f''K'^)

roNCTioNs WM.v nul i:s. singularitks polaires. 117

Je (lis ([lie {('Ile st'iu- ctiuvfri^c clans la ImiuIc, dinif si y. ('«.I <^h.
car (»ii a. par la majorante |»r»''e('Hlenle,

<-ie-'' I 9(t)e-^''-P'dt.
• i

Or celle iuléiirale exisle pour -j. <[ />, car 'j(0 est d'ordre iiilV--
rienr à e^' par hypothèse. Si l'on fait u=iy{. d'où |jl=j', on
obtient la iorniule du théorème.

lirinaïque. — On peut aussi su|)poser la lonclion '^(nj non
croissante. Dans ce eas, la majoration se t'ait en écrivant 'c>( n — i)
au lieu de 'i(/M, donc 'J(/ — i) au lieu de oit). Il en n''>ullerait
a Jnrtioii

\f{x ±yi)\ < ■xe'^i' f o(t)e-'/'-y^' dt.

87. Théorème V. — Si. (jueL que soit it ., fi x) peut è.tre repré-
senta sur l'axe réel par une expression trigonométri</ue
fl' ordre /i, a\ec une upfuoxinidtion

OÙ r est un entier >- o et '!j{n) une fonction qui tend vers zéro
pour n =-- 70, alors f{z) est holoniorpke dans la bande comprise
fntre les deux droites y ^= ± h. Si, de plus,f{z) n'a, sur ces
droites, dduties points criliijut's que des pôles., ceux ci sont
(tordre <Z r.

Nous avons, dans ce cas-ci,

o{n) = n' -^ •l( n i

et nous pouvons toujours admctti'e (pu* celle fonction soit crois-
sante si /• est >> I, ou (hfcroissante si /• e^^l <C 1. Ap|>liqu(jns donc
le théorème pn'C(''denl ou la remarcpie finale; il vient, en tous cas,

\f{xd'zyi}\<,ie^-'' ( 'h{ t)l'-^ r-''}' dt.

» n

( )uand y tend sers 6. cette expression e^l niliiiimeul petite par

I t>* CHAPITRE VIII.

rapport à

-IC-ib-yHdt ^^''"^

{i^-yY

el, par conséqueul. f{z-^ no peut pas avoir de pôle d'ordre /• sur la
droite j' = b.

Comparons le ihcorèiue |)recédent au lliéorème 111, nous obte-
nons renoncé suivant :

88. Théorème VI. — Si la fonction ./(«), de période 27:, est
liolomorphe entre les droites y=±b et n'a sur ces droites
que des pâles comme points critiques; si, de plus, l ordre
maximum de ces pôles est r, alors /{x) admet une représenta-
tion d'ordre n quelconque fournissant, sur l'axe réel, une
approximation qui, pour n^^cc, est d'ordre égal ou infé-
rieur à

mais cet ordre ne peut être inférieur, n. restant arbitraire.

On conclut de ce théorèaie que, pour les fonctions considérées,
r approximation obtenue, par les sommes de Fourier est de
l' ordre de la meilleure approximation.

Il suit des théorèmes précédents que l'ordre de la meilleure
approximation pour n = 00 suffit, dans certains cas, pour déceler
l'existence d'un point critique essentiel. Par exemple, si f{z) est
holomorphe entre les droites j/"= zt 6 et si sa meilleure approxi-
mation est d'ordre inférieur à e-'*+s)« quel que soit t, sans l'être
jamais définitivement à n^e""^ quel que soit ;•, on peut affirmer
quey(^), supposée uniforme, admet un point criticjue essentiel
sur les droites j>' = ± b.

89. Approximation minimum d'un élément polaire simple du
premier ordre. — L'élément simple du premier ordre relatif au
pôle z =^ du hi est le suivant :

A -h B sina:

cosbi — cosa"

C'est un fait très intéressant qu'il soit possible (Ven obtenir, pour
chaque ordre n, l'expression trigonom(-tri(jue d'appr(j\imalion
minimum. Nous allons former cette expression.

(•MNCTIONS ANAUTlyLES. SlNGL'LAHirKS l'OLAIRKS. II9

Sii|i|)(i>.(iii> I) |)iiMtil cl posons

. . .r—hi

M) \[x)=. — .te'"-*' sin^ ;

■4

T(x) est iiiir expression Irij^onoinclriquc entière d'ordre n -\- \ .
Soient. piMii- X réel, 'o. el 'i le iiujdiile cl liiri^uinent de

.r — ///

nous avons

. ..r — bi , . , , . . . «in it

— -2 s m = ç.(i^{ X — hi ) — i = (cosxco?w/ — I) — ^tsin:r — : — ;

par con-«éfpicnl . !<■ c.irré du iiiolIiiIc a pour \aleui'

;x- = ( cosx cil b — 1 j-H- sin^a; i,\\-b

= cos- J7 cil- 6 — i cosj:- ch6-f-i -t-sin-x(cli-6— ij
= (elle — cosa:)-

el rar^uinenl 'i est déterinint' par les équalious

cns^rcli^ — I Nin./-liA

(Il 6 — cos:»:' ' rhô — cosj"

Ces dernières formules uiettent en évidence que 'i varie de <• à i.T.
quand x varie de «> à a- el que ç est une fonctioji impaire de x.

11 vient ainsi

T(a7) = (chô — cos.r)e "-r+ç"",

(Jn en lire

T(x)

cil /> — cos.r

= cos(nrr -f- 'i) -1- t sin<' «.r -i- 'i).

La partie réelle est paire el la |)arlie iniai^inaire impaire, .\oiis
pouvons donc poser, P, el Pj désignant respectivement des poly-
nômes de degrés n -+- i et //.

T(a:) = P|(cosj-j -+- / sin ^"^^(cosa?).

Séparant alors lr> jiarties réell<'> cl iiiKi;4inaircs dans 1 rqualion
précédente, on liduvc

l'i I COS 3" t

cil b — cos j:

(2) ...

sin j-PîI^cosj:-)

— j-T = sin ( nx -+- o)

clio — cosjr '

Î20 CIlAI'lTRi: VIII.

Posons (Micorc

„ , , PiCchi )— l*,(cosa-)

R,(cos.r)= — — r-^ ,

cho — cos j"

o , P.2(chb)~ P2(cosa~)

chh — cosa7

K, el lia sont respecti\ enieni des polynômes <lo deijré /i et n — i
et les éqiiiUions précédentes peuvent s'écrire

l —r—, Kl = cos(/ia7 H- es),

1 CM W COS.7- ' '

(3)

J sin.rP5(ch6) . ^ . ,

\ — 7—, sina7 H-ï = sin ( «a- -i- co).

cti b — cos J" " '

Quand x varie de o à 2-, nx + '-p varie de o à i{n + i)- et les
seconds membres atteignent in -\- 1 fois leur maximum absolu i
avec alternance de signes. Donc (n" 70, 4") 'es expressions Irigo-
nométriques entières d'ordre /?, R, et sin-rRo, sont d'approxima-
tion minimum pour les fonctions respectives

P|ichZ*j sin.rP2(ch6)

chè — cos.r ç\\b — cosa:

et l'approximation minimum est i.

Calculons maintenant les valeurs de P,(chZ>) et de Pofch^).

Nous avons

„ , . T(.r)+T(-.7,-)

T(^)-T(-.r)

P2(C0Sa-|= ^-.

■Il 9-\X\X

Faisons x = bi et remarquons que l'on a, par (1),

T( 6f 1 = o, T( — bi)= — ie"''?,\n-hi = 2e"'''sli-^;
il vient

r. / ; ■ T( — hi) , , , ,

}.

Poi C()s6/ ) = r-: — — = p-p^ = e'>''s>hb.

2isinoi 2sn6

Donc, en divisant respectivement les équations (•)) par ces deux
quantités, celles-ci prennent la forme

, chb — cosa- slHo • «h-^

(4) ;

RosiiKr = si'n(rta: -f- ç)

cho — cosar sliw ' sho

lONCTIONS ANALYTIQUES. SINtJL'LARlTES l'OLAIRKS,

Ces loiiniiles niellent en t''vi(l»>nce le lliéoi'ènie snivani

Les dedx élcmi'iits simples

•\\b — cosx cli^ — cohx

iidiiii'ttrrt l ies[>c<tiKfmfnt . cnniinc cxpicssions lii^ninoiiit'liitjiics
il u/>i>roxini(ttiiin ininiiniini d ordre n . les deux J onctions

,.-nb

Ri , „ , » s i n ./• I{ > — 7— jT >
/'/ Les approxiituidons /ni/ii/nuni correspondantes sont

Miilli|)lions maintenant les équations i\) respectivement parles
constantes A et B ri ajoutons. Posons

„ / Al{, FJH., . \

l expression S est d Ordre n et il vient

A-i-Bsin.r ,, P A cos( «ar -f- ci ) B siiu /«a™ -h g jT ,

S =: '-— -r- — e~"''.

ch6 — cosa7 L sh-6 sli/> J

l'osons encore

A = cosa v/A*-t- B-sIr-/^,

Bsh6 = siii av/A2-r-B2sl»2&:
la dcrnièrt' t'(pialinn dfvirnt

A — BsiiiJ- ^. /\2_H B-isliï^

(l) -;— ; b = COS( « J- -f- 'J a) — -; <?-"''.

cil w — cosa7 ' sli-o

()n en conclut le tliéorcme suivant :

Iji nieilleaie (ipproxiniallon de V élément polaire simple

du premier ordre

A -t- B sinj-

cli 6 — cosx
par une expression trigonoinétriipie d'ordre ^ n est

v/A»^ B»sliïA
sh*6

1V>.2 CIIAPITKK VIII.

90. Valeur asymptotique de la meilleure approximation d'un
élément simple d'ordre quelconque. — Posons

1 / _ db _ i

dm sh6

Dérivons /• — i fois l'équation (:")) par rapport à m. Comme C3
et a suni des fonctions analytiques de m et ne dépendent pas
de n. la \aleur asymptotique du second membre pcnir n infini se
réduit an terme qui provient <les dérivati(jns successives de l'expo-
nentielle t'^"*, parce que chacune de ces dérivations introduit le
facteur n. Ce terme sera

( — i)'-' cos{nx -+- Cl — a) -—, «'-' e-"'>.

Il admet donc in-\-i extrêmes égaux et de signes alternés dans
la période.

La dérivation de l'élément simple au premier membre de (5)

donne comme résultat

, , , A -f- B si lia-

I — !;'■-'(/• — i)'- ; r-

{m — cosa7)''

En vertu de la règle du n" 71, la meilleure approximation
d ordre (infini) n de cette expression est enfermée entre deux
bornes, asjmptotiquement égales à la valeur absolue commune
des extrêmes mentionnés ci-dessus. De là, le théorème suivant :

V approximation minimum de l'élément simple d^ordre /■,

A -+- B %\\\x

(cllÔ — COSJ7)'

par une expression trigonométrique d' ordre ^ /i, a pour
valeur asymtotique (pour n = œ)

I /A2-(- B^sh^ô

(r — i)! (sli6)'-^-'

Il est intéressant de comparer cette approximation avec celle que
donne la série de Fourier. D'après nos calculs antérieui's (n" 84),
le terme d'ordre n du développement de Fourier de l'élément
simple d'ordre ;■ ci-dessus a pour valeur asymptotique

A cos 72 a? -i- B sli 6 sin /? j-

2 ; i— — rf-^e-"''.

(/• — i)\{s\\b y

FONCTIONS ANALYTIQIES. SINGULARITÉS POLAIRES. la!

L;i valeur as vmptot i(|tic de l'apprdximalion rorrespoiidanle sera

donc

(/• — i)!(sliA )' ^ '
ce tjui, asvniploliqncmenl, revient à

^'' '^' (>hi»)' -(e^— 1)

La meilleure approximaiion est donc à celle de Fotirier dans le
raj)|)ort

2sli b I — e^''

Ce rapport lend vers Tiinité quand b tend vers Tinfini.

Les résultats que nous venons d'obtenir jiour les éléments
simples peuvent s'étendre à la fonction /(;) elle-même dans des
cas assez généraux. La valeur asymptoti(|ue de la meilleux'e
approximation de/(.r) sera connue si/(5) n'a qu'un seul couple
de pôles conjugués sur les droites y = ± b, ou s'il existe sur ces
droites un couple de pôles conjugués d'ordre plus élevé que les
autres.

il I . Application à la représentation par polynômes. — Les résul-
tats ])récédents s'étendent, par la transformation j?=^cos'i, à la
représentation d'une fonction f{oc) en série de polynômes trigo-
noniétriques et à sa meilleure représentation par polynômes dans
rinter\alle ( — i, + i).

Si 'i décrit les droites )'= ± b. la variable x décrit une elli|ise
de fovers ± i et dont la somme des demi-axes est W =z c^ . iNous
l'appellerons, en abrégé, V ellipse (W). A la bande du plan 'i
conqirise entre les droites correspond, dans le [)lan x. I aire Inle-
rieure à l'ellipse (Rj-

Il sufilra donc d'énoncer quelques-uns des théorèmes trans-
formés. Le théorème il ( n" 82) se transforme dans le suivant :

Si J'ix) est lioliHnorf)lii' el de r/tof/nle <; M tl(t/is l'eUi/ise (W),
la somme S^ c/f la sérir de polynômes t//sronomrlrff/f/t's ilonne.

l'.>4 CIIAPIIKE VUl.

stfr l axe rcel, une approximation

^ 2 M

P»< R"( \\ — i)'
Voici niaiiiteiiaiil le théorc-ine transformé de \\ (n" 86) :

Si, quel r/ue soit /?, J\x) peut être représenté dans l'inter-
valle { — 1,-^11 par un polynôme de de^iré^n, avec une
approximation

où 's^njest une fonction monotone de n, qui devient inférieure
à e^" quelque petit que soit s quand n tend vers l'infini,
alors f(z) est holomorphe dans V ellipse (R) ('). De plus,
si r << R, on a dans V ellipse (/)

|/,^j|<2R^ f o{tJ'-\' dl.

Voici le théorème transformé de ^ I (n° 88) :

Si f(z) n'a pas d'autres j/oi/its critiques que des pôles sur
l'ellipse (R) e^ cjue l'ordre maximum de ces pôles soit r, sa
meilleure approximation d'ordre n infiniment grand sera
infiniment petite d'ordre égal ou inféiieur à «'""' : R", mais
cet ordre ne pourra pas être moindre si n reste arbitrai re.

l'assons maintenant aux singularités polaires.

Considérons la fonction

I
X — a

OÙ a est un nombre réel de module ;> i. On peut toujours sup-
poser a positif, car, si a était négatif, on changerait le signe de x
et celui de la fonction. Posons

nous sommes ramenés à lu fonction
1

C05'^ cil fj '

b = logl « -f- y/a"^ — I ).

P; Cette partie du théorème est due à M. Bernstcin. Sur la meilleure approxi-
mation des fonctions continues ( n° 24).

FONCTIONS ANALYTIQUKS. SINGULAIIITKS POLAIHES. I v».5

( >r lunis connaissons la nieillciire approxiinallon Iri^ononi»--
tri(|ne de coite fitnction (n"89». De là, le tliéoirnic suivant (') :

On connail la inri lIcKif (i/>/ii'>.nf/nili'>/i da
( rt > I )

l>iir UN j)i>/)//(>ntc i/c (Icaii- Il f/riiis I I II Ici^ (I lli' ( — 1, -f- I ) at
cclh' iiK'i Ih'urc o pjiro.ri inniioii rs/

Si nous considérons inaiiitcnaut ioxpression sini|)I('

(X - a )'

<|iii admet un p(M(' d ordre /" entier, nous pouvons encore déter-
miner la valeur asvniplolique de sa meilleure approximation
d ordre // lulinimenl i;rand dan> rintervalle ( — i. -f-j). Cette

valeur est

__i rt^_i

(r-i)'. C±i

( /■/■- — M - (a-+- v/"- — I ;"

Si, au lieu d un ptMe ré-el, uou> eonsidciions un couple de pôles
ronjugué's dans le plan .r, la suhslihil ion j: = cos'^ introdui-
rait, comme on s en aperçoit facilement, deux couples de pôles
conjugués distincts sur les tiroites i' ^ it /y du plan o. Nous ne
sommes plus en é-tat de ddcrminei- la valeur asvmplotupK' de
la meilleure apj>roximalioii d'oidre iiiliuiment grand n . Cette
approximation e>t un inliniincnl jtelil dont Tordre st'iil nc^us sera
connu .

l'ius généralement, si nue fonction n'admet pas d'auties points
critiques que des pédes, sa meilleure a|)pro\iniation, dans Tinler-
valle ( — 1, -|- i), [)ar un poljnome d ordre infiniment grand n, est

M) S. l$ERNSTi:iN, Sur fa ratriir asym/itoli'juc de la nieilleiire approxi/na-
linii des fonctions ancdytiques admettant des singularités données ( ISull.
Acad. U. de Hrlgiijnr (Cl;tssi' des Sciences, ii° 2, i()i3)]. M. lieinstein n'a consi-
(icré que l'approviiiiiilion par pdlynoines. Nous venons de ni'inlref <|ue l'on arrive
;i di-s résultats plus rciuipli'ls riaiis i'apjinix i mal ion I ri^onouiél rique.

I >6 CHAPITRK VIII. — lONCTIONS ANALYTIQUES. SIXGULARITKS POLAIRES.

un inlininirul petit iloiil l'ordre est connu. On suppose toutefois
<|ue les |)(Mes sont extérieurs au segment considéré ( — i, -h i).

i)!2. Remarque générale. — Les pôles sont des cas particuliers
de points cntiqurs plus généraux, que nous appellerons points
critiques d'ordre s ( s fractionnaire) et que nous étudierons dans
le Chapitre suivant. \ous allons utiliser dans cette étude des pro-
cédés entièrement différents des précédents, mais qui s'appliquent
au cas des singularités j)olaires. Nous serons ainsi conduits à des
tliéorèmes plus généraux qui contiennent les précédents comme
cas particuliers [s entier).

CHAPITRE IX.

rON'CTlONS ANALVTlni'HS PUfiSKNTANT CEIITAINIÎS SINGILAUITHS
NON POLAlRliS (POINTS CUmoUHS DOKDUIi: s ).

i)li. Détermination préliminaire de la valeur asymptotique d'une
certaine intégrale complexe. — - (^)nsidérons, dans le pluii de la
variable z ^= x -hyi'i un serment vertical \*() ayant poiii' extré-
mités les deux points

l'( a -+-/>/), Ofa-f-(6-f-£)i],

où 6 et £ sont positifs, (le se;;inent est de longueur t. Désij^nons
par L un lacet, parcouru dans le sens direct, formé des deux bords
du se<;ment PQ et d'un cercle infiniment petit décrit autour du
point l*. Kornions Tinlé^rale sur ce lacet :

(0 u.= i/'

9{z)e''=' dz

cil b — cos( z — a) I

OÙ '•s(z) est une fonction cpii est ré<;ulière dans le cercle de
centre V et de rayon Vi^ (ou i ) et qui ne s'annule |)as au point P.
Nous supposons que k et s sont des constantes et que s n'est pas
uu entier né^atil ou nul, de sorl<' ([ue P e>t un |i()iiil siuiiulier de
la fonction à inl<''|;rer. Nous nous proposons uiaintenant de déter-
uiinei- la valeur asymptotique de l'intégrale 1^, (juand k est un
entiei' pi)<-ilil qui aui^nieMlr nidilimiuent .
^a1>^oIl•^ le riian^eiucnl de variables

Celte >iib-<l iliit loii lait coiiH^pniKlrc ;iii\ poiiils P <•! () le>
points P'(/=:oj et (^)'(/r^£f) et Iranslorme le lacet L dans un
lacet égal L' qui contourne le segment P'O' de Taxe imaginaire.
Ce lacet se dé<luit ilii lucct-dciil par une ^iinplf I raii^l.il lou. 1/in-

128 CHAPITRE IX.

t(''i;r.»U' Ira lis tonnée sera

(.-hh^kxi r C5 ( 2 -t- 6{ — / I e''^' dt

_ r-'-''^*»' r o(/x-\- bi— t i^''" c
T. ',.\c\\b — oos(A/— /

l^ir livjtotlièse, snir L', on a le développement convergent, pro-
cédant >iiivant les puissances de < :

(s('x-^bi-^t) (to^- (tif -h (lot- -^ ■ . ■ ^

^^^ îc\rb — cos{bi-\-t)y ^ ^^ '

donc, q désignant un entier positif et <j. une fonction de t horiK-e
sur L', on a

o(oL-^ bi -^ t) V /> c , ,«-s-

f/ — 1

( 3 ) I/, = y ^ e /. 6+/. a/ r fl s gUi

>, = 0

dt

it'7-se'''' dt.

Prenons ])our q le premier entier positif >5. Alors, dans la
dernière intégrale, q — s est positif, ti~' s'annule sur le cercle
infiniment petit de centre V'(t = o) et l'intégrale sur L' se réduit
à celles sur les deux bords du segment P'Q' (où t = n\ r variant
de o à t). Soit M le module maximum de 'x\ on voit, en rem-
plaçant la quantité à intégrer par son module, que le dernier
terme de la formule précédente est de module inférieur à

2M ,, r' /,j, ^ ^ î^' Viï + q — s)

2^1 /; /"

/.I + 7-

.Nuus allons constater que celte borne est inlinimeiit petite par
rapport à la valeur asymptotique des autres termes de la mêmer
formule {'.\). Considérons donc l'un d'eux

't-Aai / {},-!■ Qkti

^e-i'b'rkxi I tl-se'^i'dl.

Supposons provisoirement A — 5> — i. auquel cas l'intégrale
est encore nulle sur le cercle inlinimcnt ]ietit de centre P' et se

IDNCTIONS VWLVIIOI i:S. SINiiUI-ARITliS NON l'OI, AMIES. \ }.\t

iidiiil ,1 celles -iir les dciix IhumU du scj; nieii I !'()'. i'usuiis

t = /t'?' ;

r.irmiiiioul .:. (Ir / esl — — à "iiiiclic cl ^ — à droite du se^.

■j. ^ ■}. "^

iiieiil !'(>. I )',iill<Mii>. sur les tieiix bords, on a / = //',(// ;^ fr//-
cl /• v.irii- ciilie o cl £. Il \ icril iuiisi

I /'■-■" e''" dt = ie - I rt'-'e-'"dr

ie- I !•'>-'€'•' dr

siniX — s)t. I 7-A-.S- ,.-/,/

-^i>-

dr.

Aliu de laire dispai'ai'lre la resUiet ion iiii[)os(''e h\ — v, inellou-
celle lelalioii sdus la loniie smvante :

4) I Û-'e''"df — le^ '" '^\n(l~s)-

r(X -hi — s)

— r /•>— c '-'dr

Sous ci.'llc iiouNcllc loiiiic. I.i rcdaiiou subsiste pour loulcs les
valeurs de ). — s et. eu pailiciilicr. |»oiii- les valeurs ré(dles ii(''i;ii-
li\es, c,ir les deux iiiciiiliics sont des louchons iiiiiil \ I i(|iics iini-
roiiiics tic /. — ,v. .Si /. tend vers llidini, le dernier ternie csi
nt'-iilii;e;d)le en |)r(;sence du |M<''C(''dciil . ('/est donc eelui-ci qui
louiMil l.i \;ilciii- ,isviii|i!ol Kjiic. cl I on ,i. |i,ir les pr.iprK'tc's i liis-

sKIlICs dcs loMCl lolls I'.

f.

• e''" dt ~ i - e -

!1Z.._>, J,s-x-\

V(s-iy

le sii^ne .^^ dcs|oii;iiil l'i'i^a I ih' asyniplol opic.

Donc ( (7n «•laiil pi: o i. le Iciine principal Liiis la loiiiiiilc (Ij
(•si celui où A = o. La \ aleiir as\ mplol kjiic de 1/, seia

1/. ~ /n„r -■ e-'-i'-r''^'.

\ { s)

\ . 1" ',

iSo CIIAPITRK I\.

L;i \alenr ilc ((,, x' liir de lii Idnimlc ( >). On a

rt„= C3(a -r- 6/) lim —— — -

(sin/>0*

o( a -;- hi i

Par la suhstiUUiou de celte valciii-, ou Iroinr la rclalioii asym|)t<»-
ticjMc cliorchée

1 r o(z)e'--'dz

-./, fcli/y — cos(\3 —

(iclte lormiile est en détaut si 5 est mi entier nul ou néi;alil. et
ne Test que dans <e cas,

i)^'. Dérivation de la formule asymptotique précédente. — i^.i
dérlvatiDn par rapport ;i la lettre 5 des formule^ i :-• i, (!) et (4) •''<'
jusiKie à simple vue. Donc la formule (.')) est aussi d(''rival)le pai-
rap[)i)rt à s. Cette (h^rivalion conduit à la formule asvniplotiqiie
suixante, dans laquelle m est un entier positif:

(T.)

a

log[ch^ — cos( :; — a)]|'
[cil 6 — cos( - — i)Y

o{z)e''~'dz

■i{-x)'

r(5)(sh6)v

ç( a -^ 'pi).

Ceci suppose toutefois que s ne soit |)as un entier nul ou néi^atif.
Dans ce cas, nous poserons 5 = ^ — p ( /) entier positif). Il faut
alors, j)our obtenir le terme principal, faire porter une fois la
dérivation sur le facteur i = T( s) qui s'annule pour s =- — />. On
trouve ainsi, comme valeur asymptotique de 1 intéf;rale (()),

r I "T/--inoir/.)'"-'e-'"''+''=''

L I ( .v) J (sli6)' ' '

IJ ailleurs, pour 5 == — />, on a

I_ \ SI 11^5- j.^^ _ ^s I — (.USST.V(\ — S) = (— \)''/>]

Donc, si .s = — p est un entier nf\i;.itif, et en supposant pour
>iiiiplilier a = o. la formule (G) doit être remplacée ])ar la sut-

FONCTIONS \> VLV TK»! KS. SINGl 1 VHITKS NON l'dl. AllUCS. I>1

\.«lltf :

(G > - I c\i/i — voi^z)/'[\o^(cUfj — cn^z)]"''^{ z )€''-' </z

■ • I

( lo"/ )'"-' e~^''
~ :m{— i)"'^f{>Ub)P — "^ ^ r (*','•

9o. Points critiques d'ordre v. — Nous all<)ii> iiialiitcnuiil ('In-
<ll«>r (le- loactiiiii.N |trt'v-.eilliml cerliiiis points critiques j)lu> génc-
iMii\ que les piMf's et comprenant les pôles comme cas parlicii-
lier». Il tiiul tiHil (I "alinid (Icliiiir cc^ pi)iiil> criliques.

Soit fi z > ont' loiiction analvlKjue, uiiilorme clans le\oisinui;e
«l'un |>i)int :■„. Non-, (lir.in»- que le point ^o e>l un point crilit/iic
il oïdic s lie /( :; ). si. dan^ le \()isina<^e de ce point. /> z ) e^t dr
ht tiirint>

/{Z) = — ■■ : ,

t»ù s,(;) est rr^ulirrc et a >n iiullr an p nnt z„. et mi .v ot un

n<»uil)re n'-el quelconque autre qu'un entier nul (oi iifi;.il 1 1 . Si \ c^t

r.itionnel. ^o ^^' "" pi>int cnt ujue ali;élirique.

Supposons iiiii intiiiant (jiic /'( z) soit périodique de péiunk' >.-.

Il est utile de nnidilicr ii icpit-^ent it ion |)récédente de manit-fe

à faire a|>j)araiti»' la pt'imd icit»'. (! »a>idtiMiis un (•i)iiple de pi)iiit->

criti(pie> conjugué»

a n i/ :

au voi>inai;e de <"e^ pniiil^. iii>ii> aui.ni»

<:) /' - ) =

I cil I) COs(- a)]"

où '-^i^Zj e>t liidomtnjijic a\cc 'j; , , c ir le qiintit'iil

I (Il h — c<>s( z ~ y. ) \
e-t réj;ulier aux points 'j.rhi.

96. Élément simple d'ordre s. - ( !on>id«'r.Mi-N un «• hi])!.- d.-
|»i>iiit> (iitupif^ iiMipi^ui'-s d Ordre \. ;; :-^ a it A/. < )n Ic^ imiikih'
sni- 1 a\f iiiii^iiMirr. ilonc a l,i loriiic Tzin, p.ir le «lianijeiueiil
de r en r- — a. A in->i. soit /'i r > iiiif Iniiciinii pr-riodii pic ad niellant

ciiaimthk i\.

les (leii\ points (M-illcjucs oaiiiiigués :±: bi . \u Noismu^c de ce.^
points, /"( z\ os| (le la lornie (y), à savoir

/(^)- •*='

(cil 6 — cos^;*
Lo> (lfii\ l(iii(li(>n> rt'i;Mlières

'^ 1 r ) — 9 ( — j ■) ? ( - ) — <? I — •= )

2 .>. sin-

sont'paires de période 2- et sont, par conséquent, (les fonctions
uniformes de cosv. Elles sont développahles par la formule de
lavlor suivant les puissances de eos3 — cosf/i. Elles sont donc
respectivement de la lorine

A -+- { cos bi — cos5)'I/,(cos:;), lî -;- (cos bi — cos - i'|i2''cosi:),

où -v, et -l-^ sont Iniloiuirplies an voisinage des points r = nr bi.
(Ja en tire

o( z) = A -i- B siiis -+- (cos 6/ — C0S3 j(A'^i — B sin ^j'I/j)
= A — B sin^ -f- ( cl) i — vo9,z)o.2( z ).

où '^2 <'^L régulière au\^ points ± bi. Il vient ainsi (inalement

(8) f(-)^ A^Bsinj ■, o,(z)

' '' "' (c\\b — co%zy (cliZ* — cos;;)'-'

\ous donnerons au premier terme de cette décomposition, qui
est le terme princij)al, le nom cVélé/nent simple d'ordre s. H est
relatif aux deux jioints ± bi. Dans le cas général, les deux points
conjugués sont o.zhbi. On re\ ient à ce cas par le changement
de z en z — a. D:>nc l'expression de Yélémenl siinpb' d'ordre s
pour les deux points conjugués a m bi est

A -H B sin(z — y.)

l ch6 — cos( - — y.) Y

La formule (S) nous permet dénoncin" le tlu-ori-ine suisant :

Ail voisinage d'un point critique d'ordre s. /(:■) est la
somme de l'élément simple d'ordre s et d' une fonction pour
laquelle l'ordre du point critique est abaissé.

î)7. Valeur asymptotique des coefficients de Fourier. — Soit

KONCTIONS AN M.V riolIKS. SINt.L I.AHII KS NON l'OI.AlHKS. 1 3 5

/(CI iiiif rmiclioii |n-ii(>(li(|iir, liul()miii|ilii' ciilif Ifs dciiv dioilc-
Y - i'^ h. Sii|)|ii)-M Plis d'iilxird ([iitdh- ii iidiiitilf. >iii <rs deux
droites, que deux pdiiits ciil kjim's ((iniiiitiK-s imii (•(jm\.ilfiils.
3 = a zir />/, ct'iix-ci dOiilic v |»(isilit On ii('i;;il il . Les ((ndlicifiils ^/A
cl bfi de I" Oiiiicr. doiil lunis nous |(iu|»i»si)Ms de IroiiNcr les valeurs
asviuplol i(|iit's |)iiiir /. x. soni dclliiis yw l'inlf-mMle, ellectucM^
sur l'axe réel.

'■ • u;

«•Il d<'simi;iiil |i.ir AJ} un >ei;uieiil de cet axe de ii)ai;iieui- :>.- et de
situai ion qneleonque. Nous elioisiions un sei;menl AB conlenanl
le poini y. au sens itioit. ( ! )ns|rniM»iis le icelaii^le ABA'B', qui a
pour base le sei^nient AB et dont le cnlv opposé A'B' se trouve
sur la droite v = b ^- t. Nous supposons que t est un nombre
posiiil' ■ ' /j cl assez petit |)()iir cpic le i((l;in^ic \BA'B'ne con-
tienne que Ir seul poini crillipic a //i. (pie nous désii;nerons
par P. Joiiin(Mis ce point crilicpif P au rnlr supérieur A' IV du
rectauiile par une (dii|»iiif Ncilicalc l*() el dési<;nons par L le
lacet qui eonlourne celle coupurt' dans le sens direct. La lifine
irinh'-t:ration AB peut être reiuplaet'-e par !e contour AA'B'B en
avant soin de conloiirner le |)oinl critique l* par le lacet L. Les
int<'i;ralrs sur les cùh-s \erlicaii\ AA' et IV li du rectaniile se
détruisent, à cause tle la périodicih'-. l/intci;rale (9) se ii-duit
donc aux inti^iirales sur A' IV et sur L, c'esl-à-dire que l'on a

(lO)

rt/.-t- tVv/.= 1. I -^ z I f*:i}e''-'dz.

Il s'a-il di- IroiiNcr la \aleur asvniploli(pie de celle expression
pour /, r X. Le terme priniip.il csi linhiiralc >ur L, car I inté-
<;ralc sur \ ' IV cs| . /( c ; étant bornt-, de l'iudre ilr |(^.Ari | _ ,, Ari6+£) ;
donc inliniiupiil petite par rapport à rinl(''};ralc sur L. coninie le
calcul de irllf-ci \a nous je monirci . Nous aurons d(Uic asvinplo-
I npicini-nt

«/. -T- //>/. ~ - / ./< - >e''-' (/z.

Mais, pai' li\ |>o| licsc, /'i ; I ('si de la loriin-

/,,, = fin

' [dib — cos( z — % )|"'

l3 î CIIAPITIIE IX.

cl ('t'Ilc iat(''i;rale l'ciilrc dans celle doiil nous axons clélernnné la
v.ileiir asviii[>t(»ti(|ne au déhul du Chaplin-. H vlenl, |)ar la for-

niule ( ;> ).

I I i '//. -r- ibl, r^ -2 'i ( a -f- bl^ e''^' — --; 1

I ( A- M s II /y i"'

ce qui fournil les \aleurs asyniptutiques clier('li<'«''^ de c//, el de b^-
Il \ a lieu de reniaïquer que si l'élémenl >iin|)le principal
de /( c ) au poinl a f- bi est

A — H sin ( ^ — ai

[cil 6 — cos( z — y. )]■•
on a, d'après la lorniule (<S),

o(j) = A-f-Bsin(5 — a)H-[cli^ — cos(:: — a ijooC-);

d'où

!;i(a H- è/ ) = A -f- /'B ^ll h.

\\\r hypullièse, l un au uioins des deu\ eoetlicienls A ou B est
di lièrent de o.

En second lieu, supposons cjue ./^(^i, holonior[)lie entre les
droites ^ 1= zt ^, admette, sur ces droites, plusieurs couples de
points critiques non équivalents et d'ordres déterminés; par
eveuiple. les points

2] rr bi. ^2— bi,

des ordres 5(,.Vo, ... respectivement. Si lun de ces ordres, par
exemple 5,, est supérieur à tous les autres, je vais montrer que
l'on connaîtra encore la valeur asvmptotique de «a+ ibh et qu'elle
conservera la même forme que dans la formule (i i).

En elTel. la valeur de ah+ ibk est donnée par l'intégrale ((>)
sur VB. Celle-ci se ramène, comme ci-dessus, à l'intégraie
sur A'B' el sur dixers lacets L,. Lo, . . . analogues à i^ et conlour-
n;int les divers points critiques situés au-dessus'de Taxe réel. Ce->
inlé'^rales se calculent comme ci-dessus, mais c'est l'intégrale
sur L, qui est prépondérante. La formule (i i) subsiste donc, saut
qu il laiit V reuiplarer 7. par a,. 'j> pai- '^, et s par l'ordre maxi-
u I u u 1 .s , .

Passons maintenant au cas général. Supposons que la fonction
périodique /'(; ), liolouiorplie entre les tteux droites ^■z=±b.

Ki>Mii()\< \\\i.ni(,ni>. -.iM.M vuni;s min i-oLvirus. i>>

ildliit'l If. ^111 rcs (Inulcs. /, coiiiilo di" iniiliK ci 1 1 Kji'.r» df I iiiilrc
III. i\ iiiiiiiii .V. il ^ i\ iiir

V.| ht, 7., ht, ..., 3!> ■ ///.

Sii|i|iii-.ciii> (|iic Icli'iiiciil •^llll|>ll' iiii ini|i;i I ii'l;ilil il 'J.^'ZL bl >t>il
A 7. — l>a >iii ( •; — a.,. )

I cil b — c<)s( z — y.,j. )|-^

fl |t(>Mlll>. Cil .lIll'C^I

( ;JL ^ I, > I)

A^.;-/IJ^ç|i^ -: Jlu..

I);i|irrs |c> liii-oimciiicnl-; pn-cédenls. la valeur de Clif—iln sei'a.
eu ^i'iii'mmI. -;miI iiiir fiTciir d'ordre siipérifiii' à /,^~*r~''^,

~. a=i /'

M ni s ccl Ir roriimlf ne donne la \ a leur a'^x iii|tl()t Kjiie de «^ -j- /A;;
i| ne s| la soimiK'

U. I

ii'esl ni nulle ni inliiiinienl [telite. Dans ces cas (rexceptiou,
<ik-\~ il'i, (*sl un inliiiiinenl pelil trordre pins élevé (|ue /,'-•,'*''
<'l iii>n> Il l'ii e(»iinai>^(Uis [dus la \aleur asvin|)t()li(|nc.

'!(S. Ordre de l'approximation fournie par la série de Fourier. —
Soil Ion joins fiZ) une lonelion |>énodi(|iie, liolomorplie enlre les
droites )' _ zr: A, ii avant mii ces dr'oites (|iie des points critKjiies
d'oidres délcrniinés et d(uit I (M-drc niaxiinnni e<t v. S(n<'iil S„ la
-.(iiniiie de Idniier ddrdic // de /'( r ) et ^^^ I ap|)io\iinat ion ((U-res-
pcnidaiitr : 1)11 :i

\(in> ,i\ciii^ ilal)li. an niinn-ro jné-eeilent. (|iie \' cif. — l>j^ e^l un
iiifininieiil prlil de r(n(lre de /, ' 'r ^'' on d'ordic |dus élevt'-. il en
roiilli- (pie Inii peni assii;n<i une eoiisianlc// trile ipie Imi ;iit.
ipicl (pir Mil I // ,

i3G

niAPiiHi; i\.

Donc : L'appioxinuitioi) par la série de Foiirier est i/n infi-
niment peLÏt^ qui est au moins de l'ordre de

et il en r('siilte (ju' il est exaetement de eet ordre, ear nous
allons prouver que c'est celui de la meilleure approximation.
Soit, eu cflet, '„ I.i inellh'iire ;ipj)roxim;il ion. Nous avons
(l'altord p«<p„-- Daiilie |nii't, nous avons, ywv une loi'iniile
connue ( n" 9, 6"),

'-^{al + bl).

Si la \aleur asviiiploliqiic de Kh^ib/i esl donnée par la (or-
mule ( I i), elle est de Tordre de /r' ' e~^^' et l'on jieut assii;ner une
constante A, telle qu'on ail

p„> hin^-^e-^"''.

Donc o„ est du luèiiic ordre que o^^. Dans ce cas, la conclusion
est immédiate.

Il n'y a de difficulté (|ue quanti /(z) admet A cou|)les de points
Critiques du même ordre maximum s, car, dans ce cas, la for-
mule (i'^-)' qui renq)lace la formule (i i), ne donne pas nécessaire-
ment la valeur asjmptolicpie de a^-h il>k-

On se tire d'affaire en déduisant de la formule (12) une formule
asvmptotique qui subsiste dans tous les cas.

A cet eff^et, formons le déteniunant d'ordre A :

A =

1

1

1

ei7.,i

e-i'j.,i

e^oc.v

;iX— i)a,/ gO.— i)aj(

g'>,-i)a-/.i

Ce déterminant n'est pas nul, car il est le produit de toutes les
diff'érences non nulles

e'x.i—e^J^ ea,(_fX,/

Nous désignerons les mineurs relatifs à la première colonne

par Ao, A,, Ao, . .., A>_,.

n)\< rr<)N> AN\i.\ iK'i i:s. m.\(.m. \itrn:s min i'(ii..\inK.>-. l'iy

Sull V l'illl dt'^ IlillllIxTS (>, !.:>....,/ I. I'UMII|)I.H()I1> /,

|>.ir /i -r- V (l.in> la ('(miimiIc ( i :>. i : ii()ii> en liinii^. a\r( Ir iimmiii-
ordre (riippruxiniiilinii.

,/.v-l ^ 'A+vV,

/ X^ V .,/..v-l^ -A+VV,

\ 11= 1

M iill i|ili(iii> rcltc ic lai 11) Il |»ar A.,''"'* ot soin ii mus |»ar ra|»|ii>il a v ;

\ M'Hl

(iJ)

a/,^., ^ iù/.^.j I A,, €•''• ~ A H 1 e''<^>'

. ■i/.s-ir-''/'

r ( .9) (sh /[»)■■>•

C'est lu formnlr que nous rliercliious. l'LIle subsiste dans lou^
les cas connue toruiiile asvni|»toll(jue. car le coelliiienl AH, e>l
diUV'ient dezi-ro par li vpollièse. Il n'-siiltr iiiiiiK-dialtMuenI de celle
foruiule (Aye"'* étant l)orn<'') que l'on peut assiijner une eon^lanh'
])itsitive Ao lelle que l'on ail, quel <pie soil /. .

A— 1

2 1 rt/.-^v - iO,,^, I : ho /-- ' e -''■'',

V =0

ou (en reniplaçanl /. par n -\- i . v jiar A el en chanj^eant au besoin
la valeur- de /i.,j telle qu'on ait, quel que si»it n.

n -i- 1.

"V \ (l'I — b'I ^ //,«-■ ' (—"''.

Revenons niainlenant ;i la lueilleure approviiual ion '.„. Elle
vérifie a fortioti la ciuidilion

?">i / ' yc^z-^D-

Va\ prenani />/,= \ a'f. -^ //j^ el r//, -. i dan> la r<lali(iu (la>-<i(pi<
on en eoiielnl encore tt far/infi. \>.\v <c <pii pnrède.

?n > -^ T V «* -^ f^l : -^ "^ ' '■ "'■

/•>. À

V '/.

1 58

niAPlTIlE l\.

Le llicdième csl doue {li'inontrc. Lapproxiiiial loa oblenue par
1,1 xmiiiic S„ (le Fourler esi de l'ordre de la inellleure approxima-
tion, cl cet ordre esl ((dnl de n^*e~"^ exactement.

9i). Valeur asymptotique de l'approximation minimum de l'élé-
ment simple d'ordre s. — l'.talilissons d'ahoid une lorinule préli-
minaire. Soit V{x) un polynôme de degi'é fi -+- i ayant toutes ses
racines réelles et sihiées sur le segment (■ — i, + i). Soit
ensuite / (.rj une lonction analytique, régulière sur ce segment.
Si l'on désigne par R(.r) le polynôme de degré n qui se confond
■.\\ecf(x) aux n -f- i points du segment qui sont racines de P(x),
on a

(«4) f(x)~Rix) =

V(j-) r f(z)dz

^ f-

•r)P(-)

1 intégrale étant prise le long d'un contour G entourant le seg-
ment ( — I, H-i) et ne contenant aucun point singulier dey(^).

En eftet. en remplaçant l'intégrale sur G par la somme des
résidus def(^z) au point x et aux n + i points racines de P(^),
on retrouve y(j7) — ^^î-^)^ où lV.r) est exprimé |)ar la formule
dinterpolation de Lagrange.

Nous allons transformer la formule (i 4)- Rem|)laçons respecti-
\ement .r par cos; et ; j)ar cos^. Prenons comme contour G une
ellipse de foyers ( — i, +i). La variable :■ décrit cette ellipse.
«jiiaïKJ / décrit le segjnent AB parallèle à l'axe réel, d'ordonnée
|)Ositive et limité aux abscisses — - et + t. L'aire intérieure à G
correspond alors à celle du rectangle compris entre AB et l'axe
réel, doncy(cos^) sera supposée régulière dans ce rectangle.

Par ces substitutions, la formule (i^) devient (le sens direct
étant ïiA.)

(i5) f<co%z) — ï{(co%z ) =^

l*(cos3) f f(cos,t)s,\ntd(

C0S3) r

( cos t — ■ cos ^ ) P ( cos / ;

Nous aurons à faire deux applications de cette fonnule. en choi-
sissant respectivement pour P deux polynômes que nous avons
déjà rencontrés et sur lesquels nous allons tout d'abord revenir.

Nous savons (n° 89) que, si l'on pose

T( z) = — 2e"=' s\n^

Ko.M TIO.NS ANAI.\TlgLKS. SI.N(.l LAIUTKS NON l'iil.Allli;

r M,

T( c ) — l'i ('cos ; I — / ^i II c I '«((•(»«. c 1.

où i', ri l\ soiii (liMix jiiil\ lll»m('•^ (le (l«'i;i<> n <l // — i i e^jUMl i ve-
menl. (jiii oui loiilcs leurs r.icines sur le >(L;iiifni (■ — i, -u i i. ( ;,.
sont ces deux jtol \ iioiiio (|iif nous ;iurou> ii inlioduiic d.ui^ l;i
lorniule (i.)). Avant de t.iirc crllc ml toduri nui, faisons cacorc
une i"eiu;u(|u»* jM'»''alid)lc sur l'oidrc de ^r.indciir de ces polvnoines
pour // inlini. Nous ^u|»|)o^«M^»ns la variaMc z =^ x -\~ yi d Hi-
clonnc'e )■ |>o>ih\e. Alot> on voit iiuniédiatcnient que T(:;j est
infiniment petit de l'ordre de e~"y et 1 ( — z ) inliniiuent iirand de
Itu-dre de e"y. Donc les deux polvnoines

PiCcosj) =

T{z)-^T{ — z)

!'»( C09-Z ) =

'ViZ) — T(—z)

•«onl inlimiiieni ^lands de l'ordre de e"y.

CiHiime preniièi-e application de la foriiiiile (^i)), nous allon>
<lélerniiner la valeur asvniptotique de rapproxiiuation niininiuiii
de l'élément simple pair d'ordre 5-. A cette (in, nous substituons
dans la torimile les louchons

/(cos:;j =
le (jii i iioii^ donne

( c h /> — ros j )•'
l'i ( cos;: )

I rli ^ — c-i

Ki(cos^)

— — , I' = P,( coss).

cos;: ) r siii / (It

■>. - i A ij ( c II 6 — cos / / ( cos t — cos 5 } Pi ( cos /

Li loiiction /[costt lia ici que le ->eiii pmnl cnlKjue ( = /}/.
KnCermons ce point dans un rectanj;le AlîA IV <le hase AB et ttd
que l'tM'donnf'e h -\- t du côté sup<''rieur A'B' soit«<:^/'. Joii^nons
le point hl , que nous (lésii,'nerons par I*. au côt('' A'l> par une
(•ou|»ure \ eil icale l*( ) ; d(''sii;non^ par L le l.irel ipii i niiloiiine celle
coupure |»ar les deux hords dans le sens ilir.-cl. La lii;ne d inti'-iiia-
lioii AH peut r-tre remplaci-e par le cinlour \A li'l», à ciuidilioii
(1<' contoiiriier le ponil I' p.n le Ik <| |,. I.cs i iite<;r.ile-« -~ui le-
c<*»t('s verticaux -e di'lriii-eul . I. inh^r.de se n'-diiil dtuic à et Ile-
sur A'B' el sur L.

Nous non- propo-on- de lr,iii\er l,i \alem a-\ iiiplol unie de I iii-
téj:;rale pour // iiilini. l,"iiileL;rale -iir A 15 e-l alor- inliniiiKiil

Ijo CHAPITHE IX.

prlilc tie Torilre de <?'"*+-, car P|(cos/) esl de l'ordre de e"'*+^^
taudis que les autres facteurs sous le si^ne d'inlégrallon sontlînis.
Cette intés^rale est uéi;lii;eal)le par rapport à celle sur L. C'est ce
(jue le calcul de celle-ci \a déuiontrer. Nous ohtiendrous ainsi la
for nui le asjuiplolique

I^i(cos:;)

Pi(cosi;) r sin t dt

~ ■i-::i J (cli/> — cos/;''(cos^ — cas s ) l'i (cos/ )

Calculons donc la valeur asyiuplotique de celte inl<''grale. Nous

avons

,. . t~bi . . t -h bi
ï\( cost) = — «"'' SOI- — e-'<" sin- •

De là n^sulte, sur l'axe imaginaire posilif (donc surL), le déve-
loppement convergent :

. J ^ bi Zâ

I _ ^".1111

' . t — bi\ "- \>

sin

Pi(cosn t ^ bi ^\ \ . t-^-bi

Nous en concluons, en désignant par q un entier positif et par [j.

une fonction bornée sur L,

|~ / . t — bi\ 2~|^
7^'I / Sin

.y

Pi(co-0 • J -^ bi ji^\ \ . t ^ hi

sinî — ; ).=ol \ sin-

. l — biy-'i

, . / . f — bi\

Donnons à q une valeur positive >> j substituons ce développe-
ment dans la dernière intégrale et désignons par |j., une fonction
qui est bornée sur ]j en même temps que le facteur

/ . t — biy-'i

'■ (cil 6 — cos//'
nous obtenons l'équation

'/ — '

(chb — coszf ' "^' iT.i .^ Jl (cli^ — cos^i

/. = 0

Pi (COSG )

: / fJLie 27+1 /(fi

dt,

FONCTIONS ANAI-VligUES. SINOll.XRITKS NON l'OI.AIRKS. l4l

OÙ I on a |)t»sc. cti ;il)réj;«'',

( sin )

sint \ 2 /

* r= / . t -i- ùiy.

t — ^>/\î>^

{ sin
sinf \

»).( O = I — I )'• : 7^ — : , . , , —

ces/ — COS- /. /-(-Mf\!>^ï

Cninnie '^\i t } t'^^l ln>I()iiiiii|tlit' diins le criclc de cfiiln' lu cl dr
ravonî, cliaque U-nno de la snmiiic 11 est as\ mplol ifjiieiiienl dcimn-
par la t'ornnilc ( .') i du ii" 1)3. Lr Icinic compli-iiM-iilairc rst (!<•
lurtlrc de

doue de l'ordre de e-(-v+"'"' el, par conséquent, m'-gli^eal)!*-. Lr
terme principal est celui où a = (». H \ ienl donc, [Vdv la l'orniulc
rappelée,

r-r-i T — Ri(cos3) ~ —. (»o( t"; p- . , , •

Sul)>>i II iKiiis encore

sin bi — /

»o (bi) = — , , ■ = — T—, r-T ;

' <co^oi — c<i- :; I «111* /// iclio — cosoisliy

il \ icnl . i-n définit ive.

I ,. , I^(cos^ ) n'-^c-"''

— Kl ( cos;: ) ~

(c\\b — c.oiZ)^ «;li6 — coss r(s i(sli 6)*^"'

Ua|tpcl<»ns ( n" 8i) ) <pic le cpiolienl

P,(cos-)

, ■ — = cosi n Z -r- O )

vUb — cos;; '

allciiit ■>. n — >. fois S! (Il MM \ lin II III aii^ du avec a llfriiaiicc de M^nc^
rpiand r- varie de o à iT.; n )iis voyons ijnr iioirc r<dal loii a^viiip-
lotirnu- culmine le llicorèine suivant :

rMKor.h;Mr: I. — La nicillfiirr appfo.riiniition //ii:o/fomf'f/i</itr
«/ onJre n in fi ni nient :^r(iiul de hi fonction ( r vrcls

{ c\\b — cosc i<
n pour rtilciir /is]/n/>t'if/f/it>'

„x-i,. II/.

I Vi (MIVI'ITUK l\.

Coniinr seconde a|)|)l iciil ion, n()n> iillon> tlt-lerniiniT la \alcur
asvinpldl Kiiic Je léh-nienl ^iniple impair d ordre .s". A cet effet,
nous reconinieii<;on> le <alcnl précédent, en conservanl la même
tonctioa

( cil ù — cosz )"

mais en prenant, à la place de P. le polvaonK^

Pwcosn = ^ V . -.

•2 1 sin f

Le calcul esttcMil à lait analogue un précédent. Mais, comme sin^
ligure au dénoniinaleur de l'expression de P^, il s'introduit sous
le signe d'intégration nu (aclenr suit en plus au numérateur, d'où
un facteur sh^ en moins au dénominateur du résultai. Il suffit
d'indiquer ce résultai, qui est

I ... P,(cos;:) n'-i <'-"''

— — ; Ko ( cos - ) ~ -i—^ T—, — .

(clit> — cosô)< ' cil 6 — cosz r{s ){sho y

Multiplions par sin c : il \ ient

sin.sP.2(cos2) /i-^-'e-"''

— sïn z \{^( co>z

(cUù — coszy' ' cli6 — cosz V( s){ihb f

Or, on a maintenant i n" <S9 )

sin- Pgf cos j )

— -— — — = sin I /< ^ -(- o ),

cil 0 — cos :;

doù le lliéoième sui\aiit :

Thkouemk 11. — /.(f ineiUcurc appirjxiinalion li-igononié-
Irique d ordre n i iifiiiinieiU grand de la fonction (z rrrl)

( cil 6 — cosc j<

a pour valeur asyniptulif/ue

II" 1 e-"''

''" '^ r(s)( sii6)-''

Kn combinanl lo loniniles l'où de-coulent les deux lliéorènies
précédents, on olthenl le lliéoième suivant, exaclemeni comme
dans le cas des siiii^nhuile-. polaires ( n" 89) :

FONCTIONS AN.\i,\ ri(,a'i;s. siN(.ri,\urn':s non I'oi.miu:s. i i3

THKoitKMK III. — L(i nieilicurc (tppro.riination tvitinnomc-
liiiiue d ordre n infiniment i^rand de La fonction ( c /vV/)

( cil I) — cos z f

(i pour râleur (is)ni/)lotitp/e

z„ ~ /a* -H B»sh»6

n< le "''

Les exjtri'>>iiiii^ pncc-dciiles dt* z„ sii|)|ii)sciil l'iv) posllil.
<^>iiiiii(l .V esl a<''<;ahl, lis) peut lètrc aussi. Dans ce cas, il l.ml
rt'iii|»lacor, dan^ les lormiilcs pirci-dcnlcs. V(s) par- sa valriir
al)><)lii('.

Exaclfiiicnl coiiiiiir dans le cas dos smj^ii laiih-s pnlaii-cs. pom-
n iiiniii, la niedlt'iiic approximaliou esl à celle de 1' onrier d.ins le
ra|)porL

et ce ra|)pi»rl Icnd vci-s I miil»' cpiaiid A cinil iiidcMiiiiiirnl .

1(10. Valeur asymptotique de l'approximation minimum dans le
cas général. — Sml f\z ) une lonction péno;li(pie rej^ulirrc rntic
les droites y = ±: h et adnieltanl plusieurs couples de points cri-
tiques d'ordres (lélcrininf's sur ces deux droihîs.

Nous ('(jnnaissons I n" ')<S) l'ordre de l'appriix iiiial inu ininiiiiiiin
d'ordre //, mais sa valeur asyni|)l()| upic uc m'im connue (jucs iln \
a qu'un seul couple de points critiques distincts sur le> droites, (>u
rn coït un co II |>I(' d'ordre .V plus (■•|f\('' (pic Ion s !(■•, aiil rcs. |-"ai (dl'cl .
dans ce cas, on pcul isoler le Irniic principal de /( c-) au voisina^»'
de ces points criticpu-s. (l'i-si un cliiiiciil simple d'oi'dre .v, qui es|
prépondérant dans la dclcriiiin il ion de lapprox iiiial iiui. La \aleiir

asymptotique de l'appriixiiual ion le /'( c- ) ser.i la iin' (pie|)oni

ee leriiie principal. Idlc -era donc :l;>iin(''C par les llieorènie,^ pn--
(•('•dents.

loi . Points singuliers logarithmiques. - On peut aussi trouvci-
Il \ a leur as\ inpiol npic le la inei I Iciirc appr. i\ iiiial ion de la fonc-

hon

( A — i: s,,, c) ! — =-— '-!— ,

^ oii w — cos s y

l44 (IIM'ITRI: IX.

(I.ui> liKjmlIc /// csi iiii cnlici' posilil el s iiii iictiiihie réel (jiicl-

COIKJIU'.

Nous ne tl('\>'K)|>porons pas la (li-monslralion ; (ju'il nous sullise

lie iloiincr quelques inclicalions snr la niarciic à sui\re. Nous

remarquons que celle fouet it)n est, au sij;ne près, la dérivée ///"^""'

pai' iMppi>i-| il \ lie

A -h B si 11.-

( chb — cosc )■'•

La ili'leiiuinal ion de la \aleur asvinjilol upu- d<' la meilleure
appiMximalion de celle lonclion dépend du calcul de l'inlé-
i;r.ile ( () ) du u" i^)i au lieu de celui de l'intégrale (5). De même
que (6) se déduit de (5) par dérivation, de même cette valeur
asvmpt iti(jue se déduit par d<''rivallon de la \aleur de c„ fournie
par le lliéorème TII ( n" 99). L)e là, le théorème suixant :

■Si m est un eut ici- positif, la meilleure approximation tri-
i;onométrique d'ordre n infiniment ^rand de la fonction

„ . ,1 ioii(r.h6 — cos5)l'"

( A — b SI n 3 ) - — ^-—r— ■ 7-=*—

(cil h — cos^ f

a pour valeur asymptotique

Cependant, si s est un entier nul ou nét;atif — />, la formule
doit se modifier de la même nvanière que la formule (6), qui doit
se remplacer par (6'). Le théorème est alors le suivant :

La meilleure approximation tri gonomètrique d'ordre n
infi niment grand de la fonction

fA -f- B sin c M cli^ — cos-)/'| l<>g( cli6 — cos .;)]'"

'/ pour râleur asymptotiijue

o„~ \/ ■^-— B2s1i2*^/j!//m log«)"'"'( sli/^)/'-' — 7^7*

Comme cas ])articulier^ inlf'ressants, signalons les deuxsuivanis :
Les nir-illeure^ a|)|)r.)\im il ions dOidre n des fonctions

\Q'Ji\ ç\\l) — COSC I, (cil ^ COSC j|i»g( cil Ij — COS.3 j

l'ONt TKtNS AN \1.\ I lui i:S. — SINiil I.AIII ri:s \(i\ l'OIVlIlKS. I|>

ttiil ic>|if( I i\ ciiH-iil [iiiiir \ .1 leur- ;i^\ iiiplnl i([ii('- :

f>—nh f> Il II

' /l <\\ h II-

10^. Approximation par polynôme. — • I^cs n'•■^llllill•^ |H('(édciils
se liaiisIdiiiH'iil , par les siihsl itiil ions du u" 1)1, <;ii d aiilics oqui-
valeiit><. rcdalils à la mcillciiic approviiiialion par un [>nl\n«>m<' (!<•
di-^i(' // dans l"iiitcr\ a I li- [^ — i, -h i).

IJ"a{)r(''S (;(da. -^l ii ist une cnii^l inic réelle >i. on eoiiiiaîl les
valeurs asvinpIolKpics de la iiiedleiire approxinialion par un polv-
uonie de dej;ré /i des t'oiiclions

log(a — .r ). (a — .r)log('a — .r)

»"l, plus i;('iifialciiifMl , de la touchoii ( /// culier. nul ou [)ositil)

I loj;( a — .T }\"'
(a — X y

Ce résullal a ('lé donné, pour /// =^ o cl /n i , par M . lU'rnstcin.
Cet liahile géonu^-lre n'a étudié que la représentation par polynôme,
li'étude de la représentation Irigonoinétrlque nous a conduits à des
f(jriniiles plus générales et plus ('lé»;antes; mais, [)Our les établir,
nous n a\ ions (pi une •^ un p le ad i pi a lion à la ire dr- proc«''dés analv-
liipies imai;in<*s par M. licrnsliiii.

V. 1*.

CHAPITRE X.

APPROXIMATION' TKiaOXOMKTKlOll- DES l-ONCTUAS KNTIÈRKS.

103. ^ioll.s iillons m \iiileiiant sii|)|)i)S('i- (|iic la toiictloa j)ério-
(Hqiif fi c) soil liol(iini)r|)lie dans toiil le plan. Xous allons
inonlrer (jiie Tordre d"a|>j)roxiinalion dr ,/ ( /' ) sur l'axe réel
dépend, en ])reniière analyse, du dej^ré j)liis ou moins rapide de
croissance dey(;;) quand c séloii^ne de l'axe réel.

SM|>posi»ns qu On ail, |>our toute valeur lévdle cl positive de y,

où // est une constante et 'j(y ) une fonction non décroissante. Le
module de f{z-), entre les deux droites >r= zn 0, ne surpasse pas
la quanlih"

Appliquons le lli(''orèmc II d\i Clia|)ilre VI. La s >mme S« de
Fouricr (loniir. sur l'axe n''cl. iiiic appioMiuit ion

]Nous allons déduire qiudqiie^ conséquences de cette formule.

lOi. Théorème I. — Si '^{y ) est bor/ié ri ^ /• (entier) quel que
soif -)■. nue fonction jn'iiodique entière, fiz (, qui satisfait à la
condition i \ )^ est une expression trii^ononiétri'/ue cV ordre = /•.

En ellet. lîiuis |iou\(jiis poser, iau^ la relalioii i:-».), n^r.
ensuite faire tendre h \ers I iuli;ii; nous Iroinoiis alor> p,=ro.
Ce lliéoréme se ramène aussi ai.séuie;il au tlii'orrme classique de
L'ouville sous sa forme i^énéra lisé-e.

Ecartoas doréna\ant I'Iin p >! Iièse qiic/ir) > ni iiui- e-xpressiou

U'i'iKiMM AI iiiN I iiK.nNoMKiiuoi !■; i>i:s roNciinNs i\iii:ui;s. i47

lrii;i)iuiint'lii(|in' liiiiilic Nous su |t|(,»scii»Ms iloiic <|iio '^( _)') Ifii 1
\ris liiiliiii ;i\LT i . Il a ili'jà ••t('' ciiIcikIii (|ii(' cclU' toiiclioii esl
lion (l<'cn»issiiiilf.

Ni III". (Icsi^iirntii". |i:ir »" = •|i(a ) \.i foml nui iiivcr-r de il = 'f (,)')•
Il ii'\ ,1 |>is (r;iiiil»ii;iiilc si l;i fonclinii 'j, csl cio i >s,i ut c . S'il v iivail
(les iiilfiN iil les où ':i(y)rsl coiisluiil , ou lcr;iil (li>|i;ir;iil rc l;iiul»i-
miïlf (le ■!-( Il I <'ii clioisissiiul hi |ilus pcl ilc -m il iil ion possible. I );i li-
ée Ciis, -i est la ronctioii iiiNcrsc de ■[> eu clioisis-aiit la plus i;iiiii(l<r
sol iil mu possiMe.

I(l'). Théorème II. — Supposons que la fonction périodique
l'i cn/ièii' /{ z) salisfassr à la mnclilion (\}. Dési fanons par '\
la joncliiai inverse de •:>, par a //// nombre arbitraire compris
entre o et i . Hors la somme S„ de iOurier de f(x) donne, sur
l'axe réel, une approximat ion

(3) ?„< —^ c, I ).)«.V>.'";

<'t l'on a,, éi partir d'une pudeur suj/isamment .grande de //,

(4) p„< e-'>->-)"4''>"'.

La foiiiiulf (>>) s'obtient en posant /-» = 'i> (),//) dans la roruuile(2)

l'I en observant que

(o| •!/(>, /i )\ = rn.

L.i roniiule ( /j ) se di'duit de i.!) en observani (pie •!/(),//) est
infini a\ee //. Ceci siip|)ose loiilelois (si A d(''pend de n) que A//
>oii infini avec // .

Hii pciil faire A = //~'(o < t < 1 ) <I.nis la furuiiile ( |). l)one,
quelque petit que soit i positif donne, on c/, t'i partir d une
valeur sulJisamment iiiande de n,

— ■ 1— « -l|fl •!/!«'-!)

(Jbservons encore que n~^ devient inférieur à loiit muubre
positif donm- y,. Doue, {fiielque petits que soient z et y, positifs
doiiin-s, on (I . à partir d une râleur su iJisauinien I 1,'ranile de n .

((■)i p„< c-'i-'l»"'!"'"-').

Xiiici ma I II I l'iiaiil un I lii'un'inc rcci pnxpic.

lis CI1AP1TUI-; X.

lOG. Théorème III. - Si une fonction périodique de x réel,
/'(.r), admet, quel que soit n entier, une représentation trigo-
noniéfrique T„, d'ordre n, avec une a/>proxiniation

p„< hc'"¥"\

oii 11 est une constante et '}(/?) une fonction non décroissante
de n et infinie avec n\ alors f[z) est holomorphe dans tout le
plan z = X -h yi et, quelque petit que soit z positif donné, on a,
à partir dUme valeur su (fisamment grande de y {qui dépend

det),

(.7) \f(x±yi)\ < ert?(y+E)+2i (y > o),

ail o est la fonction inverse de 'h.

D'abord ./(;) est liolomorphe dans loiil le plan, en vertu du
Jliéorènie IV du Chapitre AI (où Ton |)f:ul |)readre b aussi grand
(jue l'on veut).

Considérons le développement en si'rie, pour x réel,

(8) /(ar) = T2-^(T3-T2) + ...-f-(T„-T„_, ) + •••;

l'expression trigououK'trique d'ordre //

T„- T,,^, = (/- T„_, )-(/— T,,)

est de module inférieur à

'i/<e-'"-' 4''"-"

et, par conséquent, sa dérivée d'ordre /. est de module inférieur à

Il s'ensuit que la série (8) [)eut ètic d«'iiv(''e /. fois leiinc à terme,
car la série dérivée converge uniformémeni ; et l'on en conclut

< ihy l dt^ n -1- / j/.e-("-2+<)'I/(« -s+o

< -ih f dl(i-h t/'-e-i'^'-'K

\i'i'iu»\i\i \ I ION iiiK.dNoMi.ruK)! i: i»i;s fonc.iions kntikrks. i Jtj

Siil)s| il ii.iii-N I f^ Ixiriics dans le tlcvcl<i|t|n'iiiriil

f(x±yi) =

/.

/■ '- ( ./• ,) :

il vie ni

' " A-

}.h I dle-''\'"'e'+-^'y

Faisons la (.Ir-conipitsilKUi m deux iiih'iir.iifs

I e' r-'l' dt = f -~ f e".>-'^' t

Coniinc 'i est linverso de •!<. on a

la secimdi' intégrale csl inlerienre à
la |)roniière inlégralo esl iniciieiirc à
Il \ leni donc, (jncl que soit )' posil il

y

\f(xzhyi)\<}.hr^)

- f .' r y

y

-i]

V partir d une valeiif ■«iidisamnicnl giandc de j'. on a. (Hiel(|ue
jiclil (|Mc soil i donne.

z

i\ (liN InfS

\f{ TZ^.yl)\

/il ' — ,..>l5l.V-t£'+5

y

La forniii le de r«''none<'' est la consf-ciiience nn média le de celle-ci.

La coiiinaiaisoii des t iK'oiènies |)i<''et''denls «ondiiit à des con-
sc(iiienee> i ii Iciessaii I e^ sur I ordre de l,i me 1 1 len re a 1 1| iro\ i iii,i i ion .
Nous en dl•dm■^on■^. en elle!, le lln'orèmi' siinanl :

I K) ruM'iriii: \. — apimiomm \th»> m s |(i.\(ti(in> i;mii.iii;s.

107. Théorème IV. - Soit />:■> u/n: /n/ictin/i in'rin//u/i/r\

/in/o/no//i/u' thiiis tout If jildii. I)('-si i; nous pur 'i' )'i /''/ plus

pelilc foiirlion non ch'cioissnnlc ih- y posilif (jui salisjail a lu

contll I Ktn

\f(x±iyi)\^eyry\ '

et siipfjosons (pic '^(y) cioissr. <i I in/ini axer )■ . I:njin sml y hi
fonction inverse de •:>. Alors, rpichpn- prilt (pic soii e positif
donné, la meilleure (ipproxiniiition tri gononu'li K/ne d ordre n
de J\x) sur l'axe i^el satisfait di'JiiuLivement (ï la condition

, ,-^ y,— 11— tli'î/'n'-'i

(I partir d une raji-iir su [fisa m nicn I 'grande de n. tandis
ffu elle ne n'-rifie jamais ([('fi ni tn'enif nt la condil ion

/Il -., '' I

Li iircinicrf cmidil ion ;i rlr. l'hiMic piiTf'dciii iiicîil <•! iciili'f;

riail-i lu (iil-|lllllc (()). \i)ll> lillnli^ lilOlll I rr (jim; 1,1 >-C((»Il(|c Csl l;i

rctrisf-quciicf; (Jii I li(';orciiH; piôcé loiil.

Si la dernière inéi^alilt' avait, di'-liiiil i\ ciimmI Ikii, mi jujiiriait
assigner une cr)nslante A, telle fjiie I Ou ait. «juel que sdiI )',

Mais la fonction iiiveise (Je

(i-^z)'b{ n -\- '!) = y
est

Ou ei)iirliir-.i 1 1 doiir de li iK-^a I ilf' |ir(M;i''deiitr. piir K; iIk'-o-
rènif 111. nue Ion a, a partir' irnne \alenr sn ((i'-ainineni tirande
de r,

\f(x-±yi)\ -^ r/'''' + î'.

Or eeei e>l. eonli-.iiie à la dtdinition de 'i, ear ■:, |ionrrait èlr<!
remplacé par une fonction plus |)etiie ■:,[■ ^j-

I IN.

TABli: DES MATIÈRES.

Pages.

l.\Ti;oi>Li:riux. — riKorciiies tie \\ lii lï-lrios. (ji-ncidliits i

CiiAPiTRK I. — .\ppio\imalioii par les séries de FoiiriL-r lo

<!ii.\i'iTHr H. — Appioxiinatiim jiar les sommes de l'ejtr S"

(.Jl.^PlTiii: 111. — Mi-lliode ijéiitralo propre il aitaisser la Intrin- préo'demincnl

assigiiie à l'approximalion 'l ^

CilAiiTi!! I\ . — l'Iiéorémes réciproques. Propriétés difléreiiliilles que sup-
pose un ordre donné d'approximation '>■'<

r.ii.^piTr>K V. — Approximation par polynômes: ri'duction à une apiiroxima-

lion IrigonoHiétrique '■ >

r.iiAPiTiii; \'l. — i*ol\ nome d'approxinialion rtiinirinnii - '\

i'.llAPiTiii: Vil. — \|>pro\inialion iri^oiiométi icjue minimu-n gi

CiiAPiTiii: \'III. — l-onilioiis anal\ tiques présentant des sin:;ularités po-
laires III

«JiAiMTat; I\. — l'.iuetiuiis anal\ tiques juéseiilaiit e.rlaiiies singularités

polaires (points critiques d'ordre s) i >-

CilAPirni: \. — Approximation I riïonoinétriiiue des foncticms entières i '|ii

1 IN Ui; LA TADI.K DKS .MATlKitKS.

PARIS. — IMI'lilM KlUK G A U T II 1 K It -V ILLA I! S ET C'
59;si Quai des Graiuls-Aususlins, 55.

> .

usu ^EPlôTJJl

QA
331

La Vallée
Jean de

Poussin, Charles

.5
L228

Leçons sur
des fonctions
réelle

1
d

approximation
une variable

Pfcysical
Applied

Sci

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