Google

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

* Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for personal, non-commercial purposes.

* Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

* Maintain attribution The Google watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web a[nttp: //books . google. com/]

TETRAGO | o METRIA |. TABULARIA, -

Per. Tabulas quadratorum à à. Radice quia- drata 1, usque ad 100000. fimplici addi- tionis, fubtractionis & dimidiations ^ ». beneficio,

" NUMERI FIGURATI QUILIBET 74 am plani polygon tum [olid: & coffici imeniri

| que radices eorum extrabi poffunt; Cum novis & variis ufibus Arithmetico--

Geometricis |^ ^ "4UTORE. L ] - euo diliedr. hes

- Impenfis Auto Autoris -. f"? fons

- »» m risen 2:

-

* |

H 1 i 2 1 . V * * d] v^ 204 [4 » ^ 4 "NL 4 €." 279 E "EM M. e. 1, * ' $ . ? n * . * LI TM * , 5 v Ej LI wc s * . "E

4^"

.- . * "4 1 D & * . s: fo to i Gi" M » - e €? * * . a" Li 4 * * *

Ló

01 6 2

|&

M

L

N T A u L A R | A ? j SN j ' peo H / Qvá per tabulas qvadratorum à Radice £' Aw; 75 gl qvadrata 1. usqve ad 1000co. fimpliciadditionis,4 : | .fubtra&tionis & dimidiationis benefició , NS --MULTIPLICATIO & DIVISIO - N

peragitut, — - * CS NUMER1FIGURATI 4 [A QQyi/Jer sum planipolygonii ràm folidi 6$ coffci N^

imvepiri atque vadices eorum x extrahi poffunt ; Cum Catalogo brevi propofitionum ex Eu- ,£lide &« Apollonio hüc facientium, 4A4UTO. RE |

L. JOBO LUDOLFFO, P.P. Math. in. C) UNIVERSITATE HIERANA ibidemqve

Senatore.

- — Impenfis Autoris Typis GROSCHIANIS Erffurtenfibus,

t . —- " ^ - . * a " - 4 Ld í* »,* ^ 1 «7 * * . w 2 - . - $& o'T 8 "* £7 e * * . * * 7 H *. Bl ^ ME E " . , 1 ^ - » EN - Li , M LS . - , A - - »"n LI * s. * M . * . . 4 - J . € ' M . * , . : ' ' * * ., ^ . L « i : ' , . Li . f x LI * -* - o , . 1 ' . »:t . LJ » hi 2. SN -— * e ^ , , N . * * 1 e uM - o7 [ » * , ^ "n0 » . . , "m e . , A . ' . * ' ., ' *. r . e € . à . - á . eC . r * * ^ . . » . * a - 4 " , - ! 4 - * . LI 5 ^s . . e * 1 M . .. x. - . $ . , Ta . £ " ^ n ^ ^. . . «4 . . m * * » . - $e . t * . » , w E " | . * - ^ » "^ * " K (t . . . . 1 ". J e x . . "A . ^ * . . * UC N 14 "a . ^ - * * L1 4 y . 0 ^ » "d » . 4 : . e d E * ' "n - P u N . e , * r "s M , - 4 * v Cet LI » N . : » á . , » " 9 , €. LI ' "E . - 1 . SU 089 * .ot EM LL] . "f a , P ^

aot

[r4

a

"q.s

MED dn oit c-—À— ————"w-— —— —9 0000 MM

|

2-2?-9 0 mv

MW Pd INVICTISSIMO 0f POTENTISSIMO

Principi ac Domino,

b-21- 27 wj DOMINO

JostPho,-

UNGARLE, DALM ATLE CROATLE SCLAVONLE, SERVLE, BOSNLE &c.

REGI

| ' AI , gloriofi s rfimo, Regni Bohemie & Provinciarum annexarum

PRINCIPI HIEREDITARIO, ARCHIDUCI ALISTRLE, Burgundiz, Brabantiz , Stiriz, Carinthia; Carniolz, ' Aufirafig , Wirtenbergz &c.. : Duci POTENTISSIMO;

Sveviz, Habspurgi, T yrolis, Kyburgi, Gory- tiz , Alfatiz, Illyrici , Vandaliz; Portenavia falinarum '&c.

PRINCIPI, COMITI AC DOMINO,

Dontivo fuo Clementisfi (mo

TETRAGONOMETRIAM '" TABULARITIAM .

dovorisfimd, . &onlecrat humilimed?e eftt

| | ! Autor

AS | * | JE P" CUZ tU ^ fruftrà delinesntue E. dern ibranén, ingcnio. finé qvimvis, ní ante omnia demonfttéve?i nummum ;. Hoc eft illud, Da. demon/trandi, hu. jus perverfi zvi , qvod qvalibet' divin? Mathe: feas /ícis- Gcometrix "arcana; fujs:culpribur now tàm parcé, frugaliter & oecenomicé diftribuit, qvàm. inter hoftes & contemtores copiofisfimé difleminat & profusé disfipat ; Longé alius antiqvis tempori- "busfiib Byehagorz, Platone; Archyta & Ariftocele — Giémetriz fuit cultus; Divinus Plato, Philofophos, qvidem à.fchola.& otio ad Rempub. gerendam, à contemplatione artium ad ipfacum, utilitatem. exer- cendár cocgiffe, A rchyram veró & Eudoxum, qvi mathetnaticas contemplationes ab animo & rebus in mentis. inclligentiam tantüm cadentibus, ad re» . rum fenfilium & cerporearum , exempla traducerg &: Geomcettiam varietate demonílrarionis non fo-- làm logicz fed etiani practica per inflrumentaria & machinalia, dryénxd xd) uexeriya €CXOrnare voluerunt, ex indignatione, qvód nobilisfimam Pbilofophorum - - voffes&onem in vulgusindicarent ae publicarent, & velut ascana Philofophiz myfteria proderent, ab in- fituco dererruiffe, legitur: Sed; hodié minis follicti furone de.refervasionc ejusmodi Magifleriali, qvic- | gyamhi rpísyande pro Magiftro, fed pptiüs com- 2». d

muniter

—

hC0À )

imurüter ftudemns, M oikem odis propagare de . ad majera atqve fublimiora indies evehere & fuba- litate & utilitate plenisfimam doctrinam Mathema- ticatn, qvam neto facile motraliü folus & ex affe ex- . €olre& minüsadhucad praxin illa omnia deducere

: valebit; qva ingenió affeqvi capax eft, qvaqtopter . Optandum,ut omnesingenió praditi, tàm nobilisfi: mo &utilisfimo ftudio ftam havarent operam; Et profe&ó omnes qvidem naturá 'inclinamus ad pe- netrandas Mathematicas jucunditatés partim rei

-—

mirabilitate adducti, partim emergenus tandemi:

lucri & commodi gratiá, fed qvàm plurimi diffi- ciliorem & minüs expectátum labori feritientes & ad lucrum magis prafens réfpiciéhtes, actutum refiliunt, ceulevispila, vi ad durum lapidem impul- fa; Omnium veró primó: permulti :deterrentur a- . rithmeticz prolixitatibus &' horrendis operationi- bus &íàné nifi exdem per varia £ólnpendia & ta bulas paffim elaboratas remotz fuerint, parum aut

ferénihil pratet fpeculationes ad praxin feu ufum de-

duci poffét;Qvapropter elaboratas habdmiis Tabulas

finuum, Tangentium & fecantiurn, Trigonometriz

anfervientes, habemustabulas Aftronomiicas perpe tüóoruní motuum coleflium, ex qvibus & Ecclipfes lumiridéium fipputantur & Ephemerides de-feculo fid fcculum excerpuritür pro Caléridarns ex iisdem

porre

ef o. . - 204 (5 ) jórrà forihiridis, eu Cn Maioris "odetibna éxaminandis & rit& inftiraerdis Ec cldy ultrà fedecits fec. ]a hbore iatolerabili in tabulis (inuum &c, maximi nu- merifecum & multiplicari & dividi debuerint, fummoperé de compendiis follicitifuere fummi Viri; Mirabilerh inven . tionem füb nomi doftrint' Profthapheretice exhibep- Lóngotnontanus in Aftronomia fua.[sniva ; Feliciffimo Logarithrhos invenit Neperus, locó muktiplicationis & divifienis, addendos & fübtrahendos, qyj cüm tabulis finu- Ua tantüm infervirent, ad numeros ctiam vulgáres éosáp? plitare aggresi futt Crugerus, Vlacqvius &alii cireumfej funtür étiam bacilli Neperi aliaqvé cómpendia; &hter qv« fabulz qvadratotnm haud minimum preftare ufurn à. mul, tisabhinc annis ab(ervavi, easdem veró à Magino & Clavio 89 rediceóp 19990. asqve elaboratas & ad radicem irioo. Vs qve ab authore incognito manuals Matbeitadici argentos ratenfis cofitinuatas offe hactends olt per dictum mianuav Je fum certior réddítus ; exiltimavi vero opere pretiut es» fe, easdem usqse ad radicem ipogoo. éongngare.& ad. varjs fecundum tenofgm capitum applicare, atqve variis invetie tionibus exornare ; Decztero quamiis tot it deferiptioné £laborationes fuffcietiter teftari poffint, dvàr paucisfiná , 3neffe iisdem errata, nihi] ominis ramet; poft inftututam) plenam revíBoheth 3a qve in £ne annexa funt.errata: de- ndi deliteF communicare volui ,. ut benevolus Te- &tor fecuré tabglis noftris uti posfit & fie horrendus labo? maximos gvosvis numeros fecum multiplicandi & ex -qí busvisnumeris radicem qvadratam extrahendi, plané übla. "jus fe; ádeo itqvdad bocfalrem Mathefiseblabogis soe. '. * Kefliag non fit fugienda, (ed.porins propter facis... | . Buremcxereenda &éxcolenda, " — ^ 000 ot RETI

b CRIPT C 4 P. 4p. K

tabularíam: pertinéntium notatione &

hignificatione. ad ek

Terminorum Precdpuamu ad tetragonometriam ZLLE

, oH Ocabulum oisi rie ni Sie dE

ca menfürationem ejus, . qvod qvadrangalareeft $.2. Éjus veró , qvod: qvadrangülare (vtzegyemter) eft, &

| qvinqvo funt fpecies apad Gcometras :

(1) Qvadratum, qvod & zqvilaterum & "d

lum eft ; Euc/. fm. & vid. Fig. fubjec. &b.ed.?

| () Rhom.

» SÜARAS 00

Wbowhe, 2) Momus qvi sqvilatera quideiti gu ia dh,

qvid? E . fed non rectangula. Euc/, ndn vid. Fig | ibjed, ede

Wes - —d) Pardiclogammum oblongüm rectangulum &-

- — gurarectangulaqvidemeft, fed non zqvilaterag Dicitur cóottunitef parallelogrammum XT $zexdy & Synechdochice. .Euc/. b Jes F vid. o Fran übjectam, « €. d. ef

q .- *

over 4) Rhómbo; quz advéría & letera E ulos ua? | € i * hábens ide fe zqvales neqve zgriülatea eff

. teqve egviangula ; £c, d. df 4, vid. fubjedt, . Wig. éefg.

€

à

ÉL |. «8$ Traperianteft, gara qusfiscunqve qvádrarigtte

|o duid? larisáprioribus [pecicbus diverfa, Euc/.def. ss. L. vid. fubjed., id c. f. g. É. vel£ g.h.i. |

$4. Qrid

V *t 2 e" M a Pj. PU, ' ^ 2L . I^ 27.2 , ela Loa» dll oseaFP e. ^3. UC, j ' Ub 2H & Q4. 4*1 EXREEN e 47 . 4f at. $. - Qvia itaqve tabula tetragenometriz nora nu TeirAgemes Vetrs4

los alios sgtneros continent x. vàm. qvi immediate Fepta ,, catur

fentant. vel faltem reprafentare poffunt primam & fecua- ; dám Tetragonicarum figurarum celer atqyt tricdiaiich einietia ' bus hisce duabus fpeciebus ctiam espritmere valept reMfqvas tres [pecies, ut & qvásvis figuras planas nnmetó effabjles, & benefició Tetragononvetriz noftre tabularig determipa-- biles; atftio diceturlocó, mesitó Tetragonometria rabulas ^ ria audit hec noftra doctrina, 000). RV sn "n . * 6.4. Flinc definitionem ponimus talem: Tetragono- 7*eragoss, metria Tabularía cftdoctrina, qvà per nnmeros plarios ín ta- fBRV?ria m. bulas redactos & qvadranguleres-figaras planas qvasvís re- Plane prafentate valentes, qvantitates in univérfali Mathefi ny. qid? - ieró determinantur, & vulgaris caleulus abbréviatur, ; ^ $. 5. Planus numerus dicitur , eó qvód' poffit repra- PÁerse me

fentare figuram planam. | er unde

uf onanonis j 6. 6. Cüm enim duo numeri fefe multiplicantes ali. ^4" ? , qvemfecerint, qvifactus erit planus appellabitur ; qvi yeró ^ snis numeri fefe mutuó multiplicárint, latera illius dicentur: fic 404 qvia? ait. Eur]. def. 16. VIL. e.g. duo numeri 4. &9. multiplicantes — '.—— - fefe faciunt numerum 56. qvare is ipfe planuseft , iidem, . cnim numeri 4. & 9. fi in fübjecta figura a, b, c/d, tanqvam 8 n ne f :

074 ! -* 5^5 *ec0 cc «5 2a . D . : ^" "4 090505 0 €

^ «29.290955 à 7 punda

L

E 4T * puncta zqvaliter diftantia juxta feinvicemin directum po- Pongau Mig. a duo figurz Latera 4.b.& b.c.üibi invicetn qv us lateribusic. d. Sd a figuram. vadra lárem comprehenddntibus & totidem, P ta iiL c gus Wes a. b. €. d.56 complectens nda, cujusunum latus a.d. vel b.c. habet 4, aleerum verólatus a;b.velc. d.9. habetpsndta, - cto 7 S miter Güidemwumeri tanqvam particule zqvales dua- ut vum lincarümaftimentury qva tánqvam duo figure latera

B Sw wWOwS

BOO NSSSSNN IEEELEGCEH,

9. b. & b.c. fibi invicem jungantur, reliqvis duobus lateri- bus c. d. & d.a. figuram qvadrangularem xnl hendentibus & totidem partizulas zqvales habentibus, tota ^ figura plara a. b. c. d. comprehendet 16 figuras minores. planas eqvalesinteríe, we fint quadrata ive Rhombi, 4- «lem judicium efto deeumeris3. &n. NN gura bur. d.c. &inomnibus aliis; — . 2

111] 11111 -H

|iEITIOIOTUITT.

! aBREEEPBEREF| "idest vando verójlli duo numeri (e(e iultiplicm- E

Sen NIA EA & 4:5. & 6.7. & 7. 10, & 10. 96. &95. .-

&c. & aliqvem fecerint, qvi factuserit, planus qv idem -et-

iam eft, fed in fpecie quadratus dicitur.

Boeiere $.3. Qvadratus numetus ab.£e7, def ag. VII. definitur,

mv Cqedtle, qvi xqealiterzqualis eft, "vcl, qvi fub duobus

4m? — qualibus uumeriscontinctur, !

, t - . v u , à

$.9:Ch-

c4». Y .3

7.9. Claviushanc definitionem fie explicat: JEqvali- »

weriqvaliséftnumerus qvift — ^7 . TUUS WEeadur giam & latum difpofitas refer gulini, cujus lohpitudo latitc laterafintzqvalia; Vel qvi.e ' rum numerorum zqvalium p continetur, Hujusmodi qua füsfüb duobus numeris equal

3$10. Dicitur qvidem «quadratus :numeeus Zi. igpra e ores »quaárata., «ceu pracipuafeu potiori, quam«arqprehendit, Sonet fedideó non ftatim figura 'Rhomiborum excluditur, cüm zi-wmde dicas ^dem numerus quadratus Khombos etiam drifirütz «multitu-4wr «dinis quoad planitiem minores J&mpcf .atque minores ro- o gexíentarc poffit;quamvis latera «Rliomborum fint femper E Nx » :eadem

fa deme alla guaprapzer cedi da Bii defini ge * peraliter au ombrs. etiam conveniens, malé$

£lavio. d: 1, 4d parallelogrammum. rectangulum. taptim, "'geftrinitur Pur M jjeetis ignis, iaquitus quodi

D

. betlabs d i $ Eu tqdes tute ra T Negare mjualesintesfe, « E Latw qt, ih $. óto. numeri qai efe fu-

&wi pe ? tu) voli d nuineri dicuntur, ita ctiain.,

Mh ese bre ps

. prae, d, vellatus d. £. vellatus f. c. vel latus c, e. dicitur Cisquairnn Erinfigura d.e.f. & latus d.f, vel g. £. vel

/

giediieu laf iade; env ése pe de relie eus Niguris, dc omoibüs ala; Zad x 200 bu.

* a9 T .

es MR EIL UU 7 . É.. 4. d "ou 9 *

5 —

| ^ 5» . € «t 9 99 9 € : «X. $ é . * « 4$ 9 € , 9 à 4 & 4 6$ à à . E N - r QI . . e 6 e Are E | 0, t a d ED ^ u** e Ó. "H * 6' t6 5448 à ^58 E

! REEL eL EL MEEETA S. tj. Quadrató veró ntimeró dató (ive propofitó, vice ire orm ;

Yershetiam inejus radicem ahA rithmericís induiti cadem gU cde d)a gue inveniri felet , qux inni sk iut^eetratHo Fadicj qVilf. quadratz,quod ipfum cütmadprimiaziamisbotapür T etta. Deme Bonometriz noftra segpriam pertineat, tarima radicig ^ quadrata retineri $ nobis, fas ef, . MEN Numer! i Á 20 $us Tabulzenim;tetragonotnetetz fofire, eulos 4- ; bula

. . .

lios reprzfentant nuu

ro, hii Regicee, "«drafá ; Et quidem ótnnes

Banttndetigiré Qt: oae, f

& fingulas radices infer ardestera

A, & nuttictum 156600; cómprehenfas five dabilis & dnte. iet ^e gtónumeró effabiles, hoc eít fradió áliquó tibméró miní« wl Amé affectos 5; Oinnia Yetó & (ngu aitiderh-quadrata in4^ — . férunitatem 1, & nimerum toooogoooao dive deeers tf. : iut tnillionutti:comprclienfa, & éxaótat: radicem übsue : "fracionehabentia, —.— MEME $1. Czterüm quat in tabulis fatte quadrata, "óbetee s oul lam funt Triangula &quilatera, quarti diterataiiibér dia. í Wii «lici ácommodata, tot efficiunt triangula equilateratrino.: vomedo f

N - e. [] - Y! » 1 . e (Tr a^ 33; qnot-radix efficit quadiata, € g, in fabjecta Fijpita: BiLa. ase 73 2 | . EON. o2 * 2M 04 z i ; ' - à PIX B. 4. I | « " (71: P -- eo f : TOES P.o.1' D 2n vá PH i ]t2^; e! 22 IN - t .C€ , fis L

e £A. 5. E etranguliehé partium & xepcsinttue 6 triangula aut fatéra, quia radicis ó quadrarum ctiam ef sé. idem congi- pe de aliis omnibus, llCa4R ih | De Tabubrum: Difpófitipog, utendi modo |& "Compendio.

-

- 6 t Radici mil. Enteoarii & millenarii radicum numeri ;difpofi fant -—

denar NR in fronte(eu facie (ive fürrimitate , ubi peesHiaribus - Cemew cellulis oblongis inclufi & ab inferióribus numeris$

prie) "i non minus etiam, à feinvicens intetjectà lineà , diftin&ti &

feparatifunt. Sicvidebis, quod in'prima paginainfronte3 -

. . fint pofiti, o. 100. 209.300.400.500. 600. 700. & fic porro in ) - fequentibus paginis per centenarios omnes erefcentes us

quead 999o0. - . Rad de — — GS. Centenariie: áutem & millenariis adharentesí in«

weritf tra centum numcri in margine five latere ad finiftram,. —

fimplices reperiuntur, c ànnmerisjuxtafe pofitis duabuslineis fejun- y heo Gi fune, feliciasis.ctiam iuventiónis grati, quini numeri u- quomodo nam habent interjcctam lineam & quidem femper poft figu. Agni: ? raso.vel;. ceu numeros vel (implices vel cum reliquis nu- merorum figüris qvibuslibet denariis fcilicet campofites,

. ^ fic e.g pet poit zo. vcl $o, vol 40. érit fubjuncta linea, item m poft

. Xj. vel gs. &c S 3 Reliqui omnes in tabulis numeriyünt numeriquá-

Qvadwti,

| Ey Toomedo fuos Radicis millenarios atquecentenarios in fronte, ad (i-

dieftit — niftrum veró Latus ad Radicis numeros fimplices vol etiam denarios refpicientes.

/ : $. 4. Qva-

| 64 -

drati, fingulis fuis radicibus correfpondentes & furfum ad

NNNM

| 19.04M IT. El '8. 4. Qvomodo itaquefingüke radices db 1; usque: ad Redicet 160600. in tabulis quzrantür, per fe patet; primó enim ad 2vemode millenarios deinde ad centenarios in fronte, ad denarios 7277/75, veró vel fimplices, nimirum qui funt infra centum ad latus ^ P. finiftrum refpiciendum eft. E. g. querenda eft Radix3ó605ih ^^ - fronte invenies primó 3600 & in latere invenies;, hocfere. :. ^^ - modó : [i6oo: Iteni quzrenda eft Radix 365253: evolvendo — — ss t Aad |

& revolveido, tandem inveniesin fronte 36500 & in lare — | a3. intellige : |óreo: Sic quzrenda, in:tabulis eft radix -- - t 137 — |

30300, in fronts videbis fuo locá 20 joo & in latere q, ita nij» ) mirum: ! [re j00 & fic de cateris, | o

$. 5. Ad faciliorem quadratarumEvolutionem (ex pq» Cue i» món flremz numerorum quadratorum figurz femper funt ex- /*qvadne- preftz, antecedehtes verà cütn pluribus numeris quadratis f^^» ne communcs fint, non nifi femel expre(T» funt, ita tamen;ut ing fem i proxime fequentibusetiamtanquam expreffz fubintelligan. omis fr. tur, usque düm adalios prepofitos numeros expreffos per- ri eonrinud veniatur. | | ferte expri- 6.6. Hinc quilibet quadratus numerus facilà evolvi. "tr ee 0. tur, abícindendo nimirum per interpofitum punttum vel Quadrari comma, 6 pofteriores ad dextram numerorum figuras ; fi pie i hoc fieri poffit, hac caf enim aut nulla numerorum figue T uA 4. ra, aut unica, aut duz aut tres, aut quatuor füperfünt, qui-zemsr?,— bus fingulis cafibus primó feré tabularum intuitu invenies, (Primé) ubi (imiliter vel nulla vel unica, vel dux vel tres vel quatuor ab[cindendq numerorum figurz predictis 6 ultimis fint antepofitz ;Non [ex a as " minus etiam in altero cafu, idem evenit, quó fex figure ab« e RAUS (cindi non poffunt, quando nimirum propofitus vel datus numerus quadratus pauciores fex figuris habet ; facillime | B enim

e

LO Q0 EAPLH. .. ,- enim téperitur tabularum . locus , ubi vel ex unica vel ex , duabiisvel ex tribus;vel quatuor vel quinque numerorum, : figuris quadrati con(tent numeri. —— | (Sicundi) &. 7. Factà tali abíciffione initiales ad (iniftratn nume- imiti«les — Ti omnium primó confiderandi, & in tabulis querendi funt. — venfidenendo [ucceítivé de proximo ad proximum pergendo, usque dàüm €» rabnl namerusin tabulis cum dato feu propofito aut exáàcté cor» ^ ^ reípondeatin humeris exacte quadratis, aut (altem omnium aninorum maximus, i,c. Dato numero proximé mimor in -numeris exadhà radice carentibus, reperiatur, E. g. queren- Pepe dus in tabulis eft numerus quadratus 3479112256 ; abfciffis 6 Wltimis, remanent priores 4 nerhpé 3479, hunc nurnierunt, quzro in iíto tabularüm loco, ubi continuó 4 fünt antepo- tz figura: quidem ubi umerus initialis eft 3j. poftmodum, . facillime invenitur, ubi [equens fit 4 & porró ubi fit 2 & nbi 9. Hifíte 4 inventis reftat, ut abíciffz figure conferantur cum ó figuris in tabulis five cum antecedentibus 4, conjun- €tis fivé proxime fubjectis , in quibus omnes 6 nempe r2256 exacte in tabulis reperiuntur, & quidem conjunctim cum; . fuis 4 antecedentibus, EM

Exemplum Itém quaratur e.g. $j1, $4189 1. abfciffis 6; remanent 853 Sechitidum. quem numerum in tabufia invetjes, habentem 6 adjunctas . * . figutastempé 6534025. & de(cendendo., ftatim perveniesad —

abíciffttm exacte, nitnirüm $4188: I Exemplum Potró qugratut quadratus nurnerus 45500496. abícif- Tertium, lis 6. pluribus comtiiunis4U, 1teer alios etiam exacté fub fe, | habet,5050496, quod non potet non (ttim inveniri,ctiín hic etiam initiálesjó celeri curfu ad fuum competentem locum -

- deducant qu&rentem. ME | |

Esmbhno —— — Tandehie.gt. qu&tatur nürértis quadratus $1076, fine QQuartur difficultate eftendetit tabula, ubinatu lecorum $ tannim. ! fint

4

€Ab 1h lint figure & ubiearundem initiales fint fubit totus qus tus fimiliter innote(cit. ) Unicum falrem exemplum proponi numerorum radi- Ex, Join: cem quadratam exadié non habentium neceffitas ordinis ^s zn su.

mero exalid | , exigere-viderur : Quaratur- numerus 7069500176 , abfeifis 97^ eÉ-

6 ultimis in tabulis dantur antecedentes 7369. communes «um adjecto eidem & quinque aliis fubjedtis numeris qua- dratis inter quos unicus 364015 dato soor76 proxime minor e(t & dati loco affumendus, in finem detertninandz fractio- - nis Radici quadrata adharentis ; ut infr explicabitur. — ^ 15, eu, a 6.8. Difpofitisfic & Radicibus& quadratis Gnguls ra- dicus cy dices refpiciunt ad fua quadrata & vice verfa , quadrata ad 4v4draro- fuas radices; Nempe : rum insrbg- $.9. Sidetur aliqua radix, iftius quadratum deprehen- "* "9few.

rente,

ditur in communi concurfu, quando in.tabulis à millepariis Radici dà-

& centenariis Radicis datz numeris defcenditur usque, '* yin düm aliquis numerus quadratus fit é regione numerorum fuomodo Radicis infrà centum in latere» Vel brevius: A fronte in ea- quentur ? dem columna defcende tàm diu usque dum pervenias ad^ numerum qui é regione polituseft illi in latere, E. g. Ra- Es Primsm dicis 236 quadratum eft 55696. quia in tabulis, tam diu à cen-

teriariis defcendimus usque diim 55696 fucrit & régione i6.

fequenti fere gaudet figura. ||1oo LM '

36 1155696 (0f Ln Similiter'quadratum radicis too nemp? : 1446000: có- Ex. Stdtnb.

dem modó queritur; in tabulis cnim videbis : |l 11Go dum, .

144.0000 (o '

QNadratum radicis 15962 fimiliter invenierur & erit ^ T: ere. 674, c15444,nimirum in cabulis videbis qu Ui | "oc 674015444 7

$. 10. Vice versà dati alicujus & in cabulisíecundum $. D«té m | Bz [extum

4

l !

IT | * 4. 21. | Alntó, q90» Sextum & leptimnta hujus. cap, evóluti "quadrati invenit medo Pres, tut limiliter radix, afcendemdo nimirum usque ad Radicit Tar EM 4o» millenarios & centenarios in fronte & verfus finiftrum, Aux? —latuspergende usque ad Radicis numeros , ? regione in * ' latere lümma enim horum omnium erit quae(ita Radix. Vn Primim. Exempla lint eadem cum precedentibus, quadtati 5,655696 Radix quadrata erit 25$. quia afcendendo ad frontem usque «*leprehenditnuszoo & & regione ver(us finiftrum latusadex- Yremitatern usque ypergendo inveriimus35, horum fumma;

,, $36 eft quod quaritur, quod ipfurn etiam patetex appolita..

xlelineatione, ] | : 160 p | 416 556551 m

- . ^" ^. L . M -w. T Radix quadrata erit 1200. quia if»

aExSNea Qvaarati1446050 q erit .

ew» — lumüitateeft poo &ad [atus o. erpó eciam fumtra1z00, elt -

7 dpfaRadix,utfimiliterex figura patet. IB IECCNNE t

Wsdeue — Ytaetriam quadrati ó74,025444 Radix quadrata eftz5962.

. — swfcehdeenim & invenies 25900. ac latus refpice & videbis

, Uo utoftenditfigura: ldmee—4 |

(oos pahe Dale 09491624 0154441

"wr —— 5o Utautem innotefcat, quantum compendii affe-.

*ompenilium rdht Xabule quadratorum in fimplici quadraturz negotio,

vf wiliie (dealiisenims& compendiis& ufibus irfrà dicetur) opere

Mortis "reri melt vulgarem modum arithmeticum in iisdem ex- qu... *mplismodópropofitis fübjungere. |

qi)pergoa- |. Daturex, gr. Radix 256 & queritur per modum Arith-

vs" meticum vulgaremejusdem Radicis quadratum; quod 3.

| DE aré 3- p(amexpediri debet multipliatione.radicis cum femet à-.

- X " * .

t

4

Ergo

t A P. m

Ergo operatio erit talis: miltiplicationis preda £x deii r a5 T fextuplum a1416 d&umefts5ó96.idem - uultiplicandi$ triplum 708 cumquadrato inta- duplum 471. bulis reperto. Summa .. $5696. Similiter datur Radix 1200, cujus quadratum per £x Sri, vul garem arithmedcam quaritur,fequeri moda. ( Biceutuplum 0. 240002 i----- (implum. . (0 1440600. .' productum idem cum quadrato in tabulis inverite. "Tandem datur Radix 75962, cujus quadratum per vul-- |» Saaremaridhimeticam invenitur hócmodó látis quidem - «liosó: ,

mulüplicandi

4. Tertid.

2y96523 | 0007 25962 uu Tduplum ,....... 5 : $1924 . Afextuplum ... .. 155772 multiplicandij moncuplum « . . . 233653. | |] quintuplum.. . 129810 (duplum... .. . 519124 Summa ... 71674013444 quadratum quz(itum&idem cum illo in tabulis . multó commodius $.m. Ad extrattionem radicis fecundum vulgarem, (2) Prrex- aritimericam ratio ordinis nos perducit; cujus Regula:cR : edicion - EI cH amd

vulqavene. figura

e 20 C AP. 11, fit intermedia absque puncto,stque tutic initium ope-

Mritbiicti^ vationiserit ad (iniftram , ubi prima numeri figura puncto

$4N.S c

notata, unà cum fua antecedente,non notata,(i quam habet, quariturinfübjedta tabula A. autin fchedula aut in men- te affervata, fi veró in tabula non inveniatur, affumitur in., eadem ille numerus, qui proxime minor eft; & ceu quotiens in divifione poft lunulam ponenda eft ; hujns in quotiente; pofita radicis duplum, vices gerit diviforis fequenti figura .punctó nom notatz fubjiciendi, ut emergat fecundus quoti- ens, poftlunulam ponendus, facta itidem fübtractione, ut in

' divifione fieri fólet, ejusdem fecundi quotientisquadratum.,

ex fuübjecta tabula depromendum, à fecundo puncto (übtra- hendum eft ; Porró duorum numerorum in quotiente con- junctim accepterum duplum eft divifor fecundus fubjiciene . $usimmediaté poft punctum fecundum, ut emergat quoti- ens tertius, cujus tertii quotientis quadratum fimiliter fuüb- trahendum eft à puneto tertio, & fic porrà fi 4, y. 6. vel plu- ta ctiam adfint punta, usque diim ad finem perveniatur,

Radix, quadratum. Yo»... 1- ; 2 ..5...4 |

03 9 ^. 16. . . . 2j 6 . . : 36 74... 49 8 .5.4..64 8: $t oci: 8i

veniam Typographo Cyphre diffe & in vulgari di-

vilione ufitatz non fuerunt ad manus, modum dividendi

" minus

em

CAP. IN ! minut ufitarum, commodiorein tamen & meliorem adhibe. bimus. Datur itaque quadratum 55696 & quaritur ejus- Er, Primé,

dem Radix, fequenti mE i 2 * (n6 Rodi. quadratum .- 1 4 Divifor Primus divif tripl, - " ] quadratum. -. 4 -- "36-7 Divifor. Secundus,

*divif fextupl. .

3 quadratum --36

Similiter datur. quadratum : M4btoo & queritur Es frrindi

mms

4 W oo0o 200 * - Radix,

quadratum - - c

^e Divifor Primas, divif, dupl. - - -

"$$ auadratum -. REI ; Nota: qitoniam bicin feeunda dant : operatione áppartt, nil nifl duas 9 iti; g& uotiente fubíécututás effe, fécundus

tertius divifor fraffrà quafitur.

7 Tándemi

d CAP. If. ExTotié. . :.— "Tagdem datur quadratum 674025444. && quabritum EE ejusdem radix quadrata. EE

. 6 als ala 4 (e - » Radix, quadratum - -- 4 . ioc

[4 Divifor Primus,

divif. quintupl, ---21 i$ m . 2 . quadraum - - - | 5o Divifor Secundu: : a . 499 t VL divif. soncuplum -- - 45 dEES ove pr 2 18. Divifor Tertius, quadratum - - - - 81 59 ] 215| —á—ái diviforis fextuplum - - - H o8 | 5192. Divifor Qvattus. 1074 «quadratum - - » - - 3á . 103 84 diviforisduplun - — - 19] i4 . quadratum - . . 4

c . Tabularum $13. Satis fuperque.ex precedentibus dijudicari pof- .

* eompendiwm (e exiftimamus, quantum & tadiofis operationibus & cem- Bn confr- poris difpendio hz tabulz conferant remedium, przprimis, Qccafionalis càm ej*modi operationes Geometris fint quoridianz, quàm- memiiode Viscnim alio etiam modó ex noftra inventione & multipli- move dw- ' Catio & divifio & radicum extractio ad fimplicem additio- fboráin- nem, fübtractionem. & dimidiationem utiliffimé ita (int bili 4- redacte, ut planénon opus (it tabulà Pythagoricà, hoc e(t, ut jon dio; neceffe non fit vel memoria: mandáre vel etiam uti ifta ta- . fenis &f Ra. bulà in qua habetur, feme] unum;ba8 Cintmabl etrié/ucali- dicum ext - - quo ionis,

Y

ey | : | | |eC4R Hh MM - quó modo colligi potéft infrà ex $. r1. capitisIV. nihil omi- nis tamen , tabulz quadratorum compendiorüm ftudiofis «^ ^ ^ '- lisdemque deditisnon' minus etiam arridere poffunt, pra primis cüm accedant alii ufüs & peculjari ingeniofiffimà fundamento, füper quo conftructe funt, nitantur, de quo fequenti agemus capite. ^ |

P

CCAB HE De Tabularum fundamento & conftructione:

|. $41. Fundamentum conítructionis eftprogreffionis A- Fundamen-

rthmeticzbeneficium ; . — fum qvod s ^ $. a. Eftveró progreffio arithmeti T js» $. ró.progreffio arithmetica continua feries Pregresfo

numerorum, zqualiter fefe excedentium, vel, duod idem, 4,/ppurtica c

equaliter differentium ; Sic ex gr. in numeris 3. 5. 7. 9. ri, eft qvi2? :

progreffio arithmetica, quia major proximé minorem can- m

tinuó excedit binarió vel , quia differentia femper eft equa- T "lis & hóc locó a. " 03 8 NU —

$. 3. Verüm enim veró, univat(aliter duorum quadra-

torum differentia (emper eft duplum producti ex multipli- Du

catione Radicis minoris cum differentia qua eft inter radi- 2n diffe - ces, majorem & minorem additó infüper quadrató cjusdet resria av«-

radicum differentiz, per prop. 4. II. Eucl. atque fic, fi radi- sm ?

cum differentia eft Unitas, (1) quadrát. majoris radicis differt

five ditat à quadrato minoris radicis fecundum differen-

tiam quz fit ex additione dupli minoris radicis & unitatis.

Utrumique exemplà illuftrari neceffe eft ; Sint pro ju-

bitu duz radices 317 &423, quarum , differentia eft ur, füb.

. 428

trahendpnempe minorem de majori; 317 Qvadratum ra- cC dicis

£x. Pri- Stute.

C4». INS

dicis | 7. eft 160439. *& tjuadratum rai icis 413. elt nya, (quod utrumque ex tabulis liquet ) quorum differentia eft £695, itidem perfubtrattionemuminoris quadrati dema- jres 2 1831.83.13. |

190489

Qo. $1855 HN . Dico; hancdifferentiam:g:695 conftare ex duplo producti

*x multiplicatione radicis minoris 317 cum d

entia radi- 317| *cumnrmetnpe, 70374, addito infuper

—LLU] wuadrarbejedem radicum differeriie

y : 7 "myquod in tabulis erit pr, Summa. - 317 enim erit differeritia quadratórum pra»

mepastestentutilb e 2 . .

35187] dica, 82695, ut patet. .- 5197 !

$0374 ;

3 2.32311!

2698$

Oe. Set" — "Deinde, fint dpz radices 3t7.:& 313. quatum differentia eft ven. unitas, fübtrahendo nemp? minorem de majori ; minotis

Es, Torri- AE

quadratum eft 100439, majoris veró rorma , quorum diffe rentia per fubtracttonem minoris de toajori eit 65, Dico:

anc differeritixm confillere in duplo mino-

| in ris radicis ój4; (ceu duplo produdto ex mino- C $9] ceradice &ditferenia, quenonmultiphcat)

635] - -adjectàsunitate (ceu-quadraró differentiz x.) "ut eveniat predicta sjuadratorum "Summa 65. utpatét — | | |

317] . Metnerit;in quibusliberexemplis;in quibus radi-

— ces unitate differunt, e.g. evolvanturradices;719.. - 633). & 5715). illius quaditatum e(t 326655104, 'hujus veró- i|. 3166465409, dico ; differerttiam horum quadrato- 63

Tumi4joy elleduplurm minorisradicis, adjectà .— | 27 anfuper .

C 4 P. 111. Ip infuper unitate, — 3366465409] . $7154 3266351104 : Y

114305 114304

X 6. 4. Hóc prafüppofitó latere quidem jam non. poteft, ratio con(iruQtionis tabularum à Radice r, usque ad Radi- cem 100000. imó continuationis earundem iri infinitum, (i placeat ; Sed nondum apparet, quomodo fecundum dicta... . in$.r hujus cap. fundamentum conftrudtionis fit progre(s (ionis arithmetica beneficium, quod porrà videndutn. - u , S. s. Univerfaliter omnis progreffio arithmetica itas affecta eít, ut ejusdem equé multiplicia fimiliter conftituanc Pregref- — progreffionem aritheticam , alia tamen differentia pro-9» bos greffionis gaudente, nimirum illà, quz fit ex multiplicatio- Giendli f . medifferentie prima progreffionis cum illo numero , per eva, quem altera progreffio etzqué multiplex, $. 6. Exempló reserit clarior; ponatur progreffio arith- Ex. Pri- metica3. 6. 9. 1. 15. &c.. cujus differentia eft 3. dico; hujus men | progreffionis zque multiplicia rj. 3c. 45.60. 75, facta ex mul« tiplicatione cum numero ;. fimiliter conftituere progreffio- nem arithmeticam, cujus differentia e(t 1j. facta nimirum, ex multiplicatione differenti priotis progreffionis cum nu- . meros. per quem altera progreffio eft zquemultiplex ; Sic tadem progreffio ;. 6. 9. 11. 1. multiplicata equaliter & fem» Es cin. . per cum numero 2, exhibet aliam progreffionem arithme- dum, ticam 6. 12.18. 14, 30. &c. cujus differentia eft 6, facta nimi. - rum ex multiplicatione .differentiz prioris progre(fionis cum numero 2. per quem altera progreffig eft equé multi« plex& fic de cateris. 0 $. 7. Demonftratio hujus rei eft talis; Ex definitione ,,, enin . Progreffionis arithmetica in $. 2, tradite patet,candem con- '' (ie. ftare excontinua equalisexceffusadjectionejponaturitaque ^ primus progreffionis arithmetic numerusceu primus A ZU 2 207 IRunD

-—

- E

*

| 20 | C AP. 111, 0. minus íeorfim ità, üt fecundus terminus conítet ex primo & Exceffu & tertius términus ex primo & duobus exceff.- bus/ffimiliter etiam quartus terminus ex primo & tribus ex- - : 'ceffibus fingulatim ; atque fic porró in infinitum; Jam. veró omnium iffoórum terminorum fi fumantur equé tmul- típlices, ità quidem , ut tàn multiplex femper fit primus terminus in quolibet alio etiatn termino fippülatim pefi- / tus, quàm multiplex eft Exceffus five femel five aliquo- — gies in aliquo lit pofitus termino, erunt etiam perprimuam V, | €ucl.&qué multiplices termini progreflionis füummatim ac» | cepti, à quibus fingulis, fi auferas primum terminum equé ' . Amultiplicem, erunt refiduorum Exceffus,exceffibustotorum — equalesper ax. 14. Primi Eucl, Scd.tali modo, equé multi- plicium fecundus terminus, e(t foldm unus exceífus equé multiplex, tertius terminus funt duo Exceffus zqué. multi« ' plices, quartus terminus funt tres Exceffus qué multiplices & fic porró ; fed unutn, duo, tria &c, fantin progreffione; atithinetica , per definitionem d. $. 2. quare etiam hi emnes termini erunt in progreffione arithmetica & quidém fecun- ! dum differentiam, quae fit ex multiplicatione Exce(fue cum, |. 70 eópér quod altera progreffioeft zqué muktiplex, Q.E.D. NEN " 7$.8. Quemadmodum vero íià progretfionalibus arith- rétrésfo- tiieficé numerus auferatur £qualis aliquis , ipfa progtesfio . mis deb, — A ut thaneat arithmetica p.d. ax. 1g. áta etiam fiulli pro- effeiiio, NN DEDE $ . . P UU gtesioni arithmetic obflat fi contínuó fingulis in progtes- fióne términis equalis vel idem numerus infuper accedat P. d. ax. i6, Primi £ucl, Vcita:.— | BE - Süpilicafes |. S. 9- Univerfalitér in omni progresfione àtithmetíca ;. dio, filingulistefminis accedat áliquisnumerüs perpetuó idem, ! adhüc illa progresfio fit arithmetica, cujas differentia i!li, qu£ ab initio £qualiseftp. d ax. ^ —— c | | TEE $.16. Qvoniain itaque in tabulis feoandum ordinem. - L 24 Radices.

-

-' €APRIIL 005 3: ""Radicesariththetjce/progrediuntur, fecundum differentiata 4 " Unitatis (7) & fecundum $. 5. differentia quadratorum fem-

per eft duplum radicis minórisunitateibfüperadjectà;per- . . fpicnum eftnon attentá juxta $. 9. unitate, differentiasqua- ^-^ — ^ dratorum fecundum ordinem Radicum in cabulis adícripto- EM rum, fervare progresfionem atithmeticam, cujus differen- £iaeflz, juxta S. y. — ^ ^ 5. mE $. ar. -Hhrjus rei véritas fortasfis facilius colligitur, fi - «uis confideret fubjectas figuras, quafi ex radice unitatis or» tas, & fecundum unitatem fuccesfivé quoad radices auctas 3. , Vinicuta enim primó erit punctum, fi tanquam quadratum cóncipias unitatem, jam veró fi pergas ad radicemaz.quatuot habebis in figura quadrata puncta, ergó differentiam ho-. rum d&orum pritmorum quadratorum conítituent triz., puncta ; Pérge ulterius ad radicem 3. & videbis antecedenti quadrato radicis2. accedere qninque.punéta, differentiam quadratoruniexradicibusz. & 3. conftituentia ;'Sitniliterad radicem 4. perge & accedent ceu differentia 7. puncta & eo« tC dem modó inradice y. accedent 9. in radice 6. acceder ri, puncta &fic porró in infinitum fi placet, ubicunque verà defieris, rutfus abinitio differentiascolfigendo, habebis, 2» 575 9, It. &c, omnes arithimeticé progredicntes juxta di£-

— -—-—

^ 23 0 . C 4 P, ID. E 6.12. Tales quadratorum differentie in G ttia ni* hil aliud funt , quàm Gnomones fecundum def. 56. Prim- Eucl. qualemin fübjecta figura quadrata a. b. c. d. determi — nant a, b. c. e. f. g. Concipeenim in fübjecta figura quadra. turi d, e. f. g. effeminus quoddam quadratum, & cujus ra* ' dixeft aliquis numerus e, gr. 4. quem reprzfentat linea d,e. vel g. d. vel g. f. vel £.e. concipe deinde lincam e. c. cui z- qualis eft £. i. vel h. b. vel h. f. vel b. i. effe unitatem(1) qua- propter etiam quadratum, f. i. b. h. erit unitas, fernel enim. unum eft unum, reftant jam in gnomone duo paralicla- gramma, g.f. h.a.& e.c. i. £. qnorum longitudo eft eadem nempe, g.f. &f. e. aliquis nimirum numerus, e.g. 4. & la- titudo fimiliter cadem eft, xempé unitas, quales funt lineae. f.h. & e.c. fed quoniam unitas non multiplicat, predicta , duo prallelogramma per cundem numerumexprimi neceffe eft, idem ergó numerus bis cum unitate in. gnomonco 3B. o, b. c.c. £g. reperitur, quignomonadditus quadrato d.e.f. g. totum completquadra- ? tum a. b. c. d. eujus radix priotis quadra-- ti radice major eft unitate , quod ipfüm facit ad majorem intellectum $.;. hujus —JÀ4 Cap. | | $.15. Liquet jam conítructionis tabularum ratio, fecun- : dum progresfionem arithmeticam & differentiam 2. diffe- . Frentias quadratorum omnium, quousque libuerit colligen- do & füis competentibus quadratis addepdo, ut emergat. proximé fequens quadratum, cujus radix prioris radice eft - unitate major, quod facilius ad oculum apparet in fsquene tibus tabulis ; EE DEM S

-

LI

Radices. *

' € AP. IH. 23 B JR: |Radi- | Gnomo- Quadra- u

Ces. ncs. ta. ' , r9391| 397123 1395651881 19892! 39785 6916

119893| 39737 19894] 39789 1939$| 3979! 19896| 39793.

]19897| 39795 - 19898] 39797

119895| 39799 : | j*»9oo] 39861 : 396oroooo ls 4kc. | &c, 007

$n. Progreifionis igitur srithmetisz benefició &Xa-- «ili negetio conftrui, & fine erratorum,periculó elaborar . poffunt, fecus, acfi & magnó temporis difpendio , & erra- torum faciliori 1rreptsone fecundumamodum vulgarem z& 8. 11. c3p. 2. przfcriptum fingula quadrata fingulatitn fuppu- tarentur«& in tabulas redigerentur; fingularenrprogrelffio- | "nis arithmcticz naturam & affectioneman'Cübis, quadrati- ' | quadratis, furdeolidis.& ulterioribus quantitatibus *Cosfi- —'- | cis in infinitum 'üisque, nobis referamus ;pro tábulis no- - ftris Cubicis, brevi publico donandis , Ti DELIS Vitam &d- mitatem Jarpiatur.

. C.P. ZXF. . |

* ADe Tabularum ulcegtoci ufu, feuPraxi, xiranume- v « zotum quadratuxam Jeraditisexwtacdlionem. ^ c

6.1. Primarius'ufus Íon praxisyeft inventio quadrato Pe,

- 4 .

Á

A / . r7 REN € A4 P. E.

. rum datisradicibus & Radicum datis quadratis , quomodo veró illud in tabulis fieri debeat in $. c. cap. z. Hoc verà quomodo fieri poffit in $. 1o. d. cap. exhibitum eft, explica-

" tó fimil"compendió, qued hifce tabuliscomparátur. . *

deducit ad... S. 2. Sedin dictis locisnorinifi de illisnumeris, five; swneros i». radicibus, five quadratis; agitur, quàm qui precisé in tabu-

| Sibulis noL ]is reprefentantur ; Cám veró Ezdem tabulz ctiam ad ali-

(exICNÓS, o numeros intabulis noncontentos extendi, imó etiam,

aliis quam quadrature amplicis negotia infervire poffint

| fingulatim deillis porró agendume | Nr; s- ^ — $.53. Sidetur aliqua radix major quidem quàm 10aoco., peru quán. fed tamen minor quàm 10000, coooeo. (decies mille mil- 40000000008 ,- . :. NU . » quadontutm liones) ejusmodi radicis quadratum quaritur & invenitur

". quamodo perfequentem regulam z Priorum ad finiftram quinque,

quanzur? nümerorum ceu radicis quere quadratum in tabulis & in- venturn ill&d in tabulis quadratum tot Cyphris (nullitatis characteribus)bis auge, quot numeri ad dextram fünt seli- quii. e. adjicein fine bistet Cyphras, quot ablatis ad fini- ftrum ;. numeris ad dextram fuperfunt ; multiplica jam di- Gs priores quinque numeros ad finiftram cum reliquisad *

, Qxtram quetquor fuerint, five multiplicationismodà vul- gari , five benefició harum tabularuni fecundum $, 3. & 4. capitis 5, & producti duplum auge tot Cyphris, quot nume-

ri ad dextram fünt. reliqui atque porró quate reliquorum numerorum ad dextram quadratum in tabulis, & tandem, adde hec tria inventa 5 nempé quadratum priorum nume-

rorum Cyphris auctum , dictum preducti duplum unà Cy- . ^ -

phris auctum & quadratum pofteriorum numerorum vel, pluribus, Summa, enim erit radicis date quafitum qua-

—. . dratum, | ; be Prevum E. g, Radixdatafit » - 157928. priorum jy. numérarum : | | - 4)79?-

—

| C0 Pak t. | 379. quadratum duabus yp UP nbómel biomóqod.... Ute duplum myultiplicetionis podus bis eyphra. dum .

—

aua NON Co nl : 18 $6536 | &tandem quadratum uni- | 00, 0i 3 us reliqui 8. eft 64. addi U e . $726710 ^ tione horum factà, ? | D 128106726409 MERE 0 - $716210 "

Summa erit P - *5- 128112453 184 - - quadra. tum quzfitum. -

Similiter Radix data. fit $965479.- Priorum s. nume- sent rorum 89o5j. quadratum fex Cyphris, qniaad dextràrhtres — — numeri fünt reliqui, auctum eft 79:3314169000000; duplum -7 multiplicationis productum, tribus Cyphris, quià tres ny»

aneri, ad dextram funt reliqui, auctum ) $9013 479 $01117 - - ! 623091 . ua m | . | eM D 35605t E | Ul 4163 71: 7 m

| eft modó vulgari - $5174 "AES Idem productum benefició tabularum elaboratum . vide infrà $. 5. capitis s. in exemplo ibidem, quadratum trium reliquorum . 479. e&t $44 o 2. 7933j14169p00009 - ; Additione horum factà 3 55174454000 ) 329441 Summaerit - - - 72513399441083441 - - quadratum quefitum. | n ^n

^

- Tandem

| . . . . 9 — | |

| uw (Co -"m:A Serm 07 Tee Bate lg (stltpod anie P PER jn fie- ^o "oratifió3i 4. qüüdvaroni dedbte Cy phris dtturtinieg -- .- —- | . 3894307560000000000. :duplum 4nultiplicationis produ- | «tum quinque Cyphrisauctum ^ — 19734 - | Üipiesiveibr o risbast S0 8$219.——— vo - ada de PisgSm*b fo oc * 177606

M []

eS Piamien ccn eoTeUguga t ode o ' €u. e TEES! - 39463 m AES 98670 Gov—mn—. IMS —Pn—À B

T» T e

. —- . * . 025 v o£. Yv rM Y dE dd . d eftt. 1t * - £. r] A. * ^ IM t B! *o- . ! MH .

iégiz11249 j0

0.7 tote f SU A —— ——Ó— Áo! . flimodó vulgari.- - 7.336343349290 0001 7. ^ - Ydem productam benefició cabularünzelabu- 0 3: . e watymevidiinfzkSiaí qapinsy. : 07 7002 | Qvadratum quinque reliquorum | 3439430756000000000b / | . Wig. eft -—72622777961-additione (330347350 177961 * horumfadià: - et —— | Summaerit^-- .-. ^ 3894643909611477961 s v quadratum quz(itum.. (Numeri &. 4. Majores ultra 1ooooocooco. Radices vix ac ne viz epar " — quidem dantur in praxi Mathematica, ut illarum quadrata. T eo0tvPe queri debearit, quapropter meritó ulteriori majorum qua- wrvaabsrom Xiratoruminventiori fuperledere poffenius ; nifi éx nimia. ^ — .«vemode , curiolitate quis £fortille defiderare posfit vel velit, quomo- venitur? do ulterius faltem fcientiepratià procedendum fit: Dicam 7 breviter : Manet ;»precedens "Regula in füó vigore quoad ' omniay& quadratimveliquorum ad dextram numerorum, . quoniam in tabulis nondlatur, quaritur .juxtà $. przceden- -4 *tepn. ^ |— . - x l

^ "Radix

DAD ( N

-

2-4 7 ? '

| CAP.TKS — o0», 00 wi Rodin detafit- «27994901479; Bücruradieitbhi- po pis ierorum -- - 2789t quadratum fedecim Cyphris auctumo »wms. ^.

eft - - 7779078810000600p00eoo0090. duplum, multiplica« tianis productum 8. Cyphris auctum: , 89013479. . nultiplica-

1.2289E77* :-19 MNonevulgt-

A c8. 8 us sui... [99913479 , ríe ov

' PC 801121311 ' DEBA

' " 712107831 7 DEED TE 62369435£ n

d S. ue d 178026958 — . 0 4N THLSIEUCUÓÜ QUPUQUELdaesess 2482674941789 . PALA

. - ———————ÓTT PL «R. medó vulgati - - - 496534988557800060000 , . Vos

, Idem productum benefició tabülarum tribus diverfis mo- ay Jtiglicé dis elaboratum vid. infrà$. 5. capitis V. in Exernplo ibidem aiose per e- Priino. So tto tea s AE mda... MOM. e LuIuV

* * DENN ELREA 11

'"" Ovadratum octo rüfiquorüm 9951470. Elaboraturt vid i Ask o1».

i Exemplo (écondo $; pistédentis, duod dft, -.« 7932994430844. ^: 7 7 7 SDouMat v.

LI 4^5 .

($6 of WOUCuN AS C . Additione borámrfaclà ^ -". 7779478816600008600600008 ^ . - TA Dior defende oe Red or , 4968 Art irai reos OHecs piro Uu 07.7. (5; nb iP sICgpajibe4 43683441 7 7 on 08 Us 5 5 iMObSaRE RR I. "uro PS f IP SUY RAM US vi «ádratumaue(iram j. Co og T ult os "c : .. Radix data fit. 379861973485219. Priorum quinque nume- Ex. Secun. rorum 37986. huatlratum viginti yphris anetum; eff. 4 -. - dum. 1442936196G00000060006(90589000. dupipm multi- i. plicationis productum, deáce Cyphris audum., negleslà. . o jam ob. prolixitatém. vulgarielaboratione , fecundum $5..' — ^.à . Capitis V. in Exemplo ibidemfeeundocft. —. - - -. — 7 T 01092961905786800000000900. : 2o redd n7 Nan dol 4 iT Quadratumddcémreligiorum -'- -«;197348929, eJabo- ' fatum. vide in Exemplo: estia, psxcedenus, quod eft; -..- ( ó1 Nc - 4 | s. WO4M41909 1MTTPPN D Additione

- e2::ias ^

| B 4. ag EM álsionbarim bli - 1442936196

6060006060000050060009- 0) 1499296190578680000000006 - , fuma » - 7 1441951 rsoeos gaza 589611477961 | erit quadratum uet tum. | - Nene 6.5. Examen prazmifforum vulgari quadrature modo rum jy '&itare aliis relinquo, quibus & major patientia in calculo

aubulis nog Conceffa & nimia cuciofitashaud molefta e(t, properandum 'wrperteram, jam mihi ad quadratura correlatum, Extractionem nempé radicis quadratz, fi nempé dato quadrató ejusdem quzratur radix. — qui femper $. 6. Etquidem, quomodo radices quadratoruni, quz ux aet à tudi- przcisé in tabulis habentur inveniantur, traditum eft füprà Benin $. 10. cap. II. Illorum veró quadratorum, quzin tabulisnos habentur alia funt minora quadrató 10900000000. àlia ve- Peprbvsese ró majorajilla femper hac veró. quoad maximam faltem par- wz plarinó tem exactà radice catent & ne quideni per ad jediam fractio- Jfimajores5. nemfolida radix exa&é determinari poselt, cim omnium we quidem . Radicumjadjectas fractiones habenttüimquadrata. etiam fint co 500 U Bist" numeri fracti, quorum denominator fempererit quadratus BE j G qure? denominatoris in radice, numerator verà quadratus nume. . ratotis fractionis in Radice, redactà pridsex integro & fra- E €to numero fractione ad fractionem (implicem , quod illi - quibus doctrina de fradtioribus nota e(t faciléconcedenr. Wed ditun- .$. 7. Dicitur Cero radi£ ejusmodi numen Arithmeticis eur novieri nuütnetus (ürdus, Gcomerris veró.irrationalis, nenq,aàd pla- | érntionalts tá nulla ejusmodi numeris ad fuas radices infit ratio (eu. . pedi ,2 Proportio, enim confiderari omninó debent nt numeri, in: /7 figuris quadratis contenti , quarum 1d. fttas. radices ratio nallo modo ittationalis eft, aliàs enim falsó dixiffet Eucli-

xcs in prop. 19. Vi Peolgena (quale vim clt quadratum)

e

4«

' licitum eft homini, lequi,tinaugfpeedolche 9'60rfe »ut ira radix éjtismodi dici-poffic numero ineffabilis , ficuti etian, " tiumeró exaclé dici nequit, quod veró dici nequit, illud et-

rj 2 uds Lt es aesti THE D » vun ! :

*

. eb. "m 0? .29 "dapDcahen dabenteum. Inter fe sationzm; quam. latus bomolo- euin (Fadix) ad bomelogum Latus. (radicem.) Sed proptereà - irratienalis dicitur, quód fatio quadrati adradicem nume-

tà exprimi nóh poffit. :

$9 Gricis ideó meliusejusinodi radix cujus quadra Mehks is

tuin fiümeriis non quadratasexprimit, diciturdjjmros, quad febiik,

pon tàm irrationale , quàm ineffabile (5 ignificat , notabilis locuseft in facris z; Corinth. 11. V.4.. (6d Pause. dépit ua TA € x t2iy apu sro Aun gecs, Exaudivitatcana verba, quxjnen

sam nec audiri, hinc fortaffis fimdus audit ejusmodi nume- ros, tíne unauefpredolicbe obe Dumime/ baube 3abl, -

$. 9. Nihilominus tanzen dantur modi, quibus quàm De osa - proximé per adjectamaliquam fractione ejusmodi radix rexaHam

— faltem ad fenfüm füfficienter numeró esprimi pos(ic, de, "iem ba-

ibus ante uama tr , qu o exactorum did qu q gatur, quomodo exactora quadrato- pits agen

rum numeroruin uftrà 10006006000: sfcéndetitium exa- dem. £a radix inveniri debeat, premittendum eft. $.10.Cwolibet qnadrate nuffiero majori IOOO00000000. De qua.

dlató, prirrtó omnism juxtá 6. 12:cap. 1L. purtlatso fieri de- dmtis exa- ' bet, qnó factó quinque phiora ad finiftram punda, Argliquis | mori

ad dextram numeris parantur; & füb itis quinque punctis eee contentus numérüs Zur (tem qui ipfo hünor quidem (ed '

proximé rninor quarituriir tabulis medó in $. 7. capitis II, potiffimum veró fub exemplo V. ibidem praicriptó, corrg-

Tpondéns veró in tabulis radix pottponitut- ceu quoriens in

divifione poft lunulam, & aumerüs in tabulis repertus ab ; illo qui fab quinque parcis continetur fubtrahitur, anno- - Eco reidub, pofimotlom nibil aliud faciendum "n quim ut ,fenti- 0*7

* 4 F ( i ^ RH Hr »ià £a

d — hi

hj

ge 00 vamfr

continetur extratio radicis fecundum- modum xegulym vulgarem $. 12, cap. Il, traditam 5 Némpé radicis im quori—

nte pofitz-duplum erit divifor fequenti poft s; punctum.

-0f4

numero fübjiciendus, ut divifione factáà emergat, fextus quo--. tiens, c ajus'quád rató fabtracdtó & modo vujgari. proceden-

- idoyporró7. 3.9i Kc. quatiens, usqüe. ad ulimum panétug

Ex. Pri- BIN,

feentidum dictum $.122.. . J'PPERPER

*- Qvadratum.datüm.& punctis notatum f t 2 - 1gr2453184.

quodtft inventum $. j. in Exeniplo T, hujuscapitis. 'Conten- ti füb 5; prioribus pundtis. Dumers -'- 081245 proxime - án tabulis rninor eft. -- —^ 281067164 cujüsradix e(t 357.92. quz ceu quotiens.in divifione poni- ejusque quadratum ab illo numero; qui füb quinque punctis continetur fubtrahà - debet annotató refidtió, hócmedoz,, .-tzlyuecee aine atia. (airs DEMNM 1181067264 DELE $374 $7467 MEE T - adici quetiente poli E düplum ^" 337 92 imus V ^ | 5 chu ! unes. gp. AMBAE G5 . Ó

EM eb oor. 6 - 7158, -

.7 Divir, fequenti poit. quintum [punctum. nijmerá. fub- | jiciendus, ut emergat (prsanpriens bas mode, '

Qn Sy er «b vct eYi "mu S47 deno ,JA8824531 MEI Sa; 08 0 € 11284067 1 á4| ! ons MEC 571673 . opa

diri odupl. 57226724: -. niii utri UP "u eM: "tond Vu

* Refánt 64. Ei quibus n fabicifns quadrátum inventi fdii , quotiEntis $- nimirüm 6 : fécünduriitettorem $. 13: Ga- -

| pitis fecundi, remanet il3.(ic tota extractio peracta eft & finita

[|

—-

UE S ineencs coh T Anitj ak | uJ e" hin Vigo das A ' o116 |

que a mí, php: bent, | ue fea feq sul E (337913 j ! AD vire 7s 64 ; AL .- $3

$n ^'*3

Ton 33 2015 $8 ux238 fioq 5 sib. i&l ps D amma » sac ucro enoiiosp $5 4i 371673 Wl M $4

"

ARN - 2.- - pem a égpuen pare em ht - - Mesas $3441 quod eftinven- (. "tum$.s. in Exemplo ido hujus capitis; .Gbntenti fab

«quinque prioribus punit (tis Hütmeri 79239944 prexim? in tabulis minorelt - - 7922414169. cujus [adix sott qua . «cuquotieusin divifi ofe peni-ejusdemque quadratum fe- — «quenti modo fübtrahi deber ahüotató refiduà. ZEND bes eer Qn t 79233 14/169 008 $YTue E -- "Radicisin quoti- $9ery- '"' | ente polita duplum 3. P HE eft - -^- 178026 -.-:Diviforfeguenti poft 5. punctum mimero dubjiciendus;pt emergat Ó. quotiens - eujus: etiam quadratum (ubtrahendum, hóc. modà:

* -. 09079 5$. uo "ot. * --

t7 7913399 4435 S] 4-41 quee | 00 2913 14169| | 4. " | 0 8$5Y546|1-

dlivif, quadrupl. -- 71 Ert

^

E d : Porró -

g$ 50 CARES c "7 Porrófex rutferorüm in queüiente tones accéi prorumduplum i9on« : JL

et - e Dis ^. "Divifor fübjiciendus iramediaté poft fextum punctum, ut emergat feptimi quotiens, cujys-ctiam quadratum fuübtrahendüm 'hóc modo. Dé Uy

HEN

UP mon (soon?

(02921314169 ^ $52746 2 , divif. qudnpl. -- Dada ' toT 1406428 ; ] quadratum - -^- - 16 ' 14 064125 divi eptopl, Ton 32461876| j 16021474] - quadratun - - - - 9 ; 16021415

Tandem feptem numerorum in quotiente conjuts ftimacceptorum duplum. . - 3 2

i9orier

f - 7 c 028 o1694 T Divifor fübjiciendus immediaté poft feptimum punétum ut entergat.odas —

' vus quodens cujus ctiam quadratum fübtrahendum " modi

- 20n3gg

D

[24 EE

- PERPE PEE Y L2 " .

vt 2221594 2 (sg ed4?. d .252331 4169) 224 VENE 4224 6

divif. quadrupl. ^ -7 (27a 4 L. (214 964,2 MEN ; quadéetum « « . - 0: 0s — 2? 406 4 '

divit feptupl. .« «124614 5 laà6e22424/1|]. | quadratum. 9. 9 - 7 47| C : 160224254 divit noncupl « - 46022424 &| —————— m : ) 41: qudratum » ^. r4 r£ - v . p mE . X. Quoniam verà inexercitatis difficile videtur effe, queephum. conje&turare quotupliim diviforis (übjici debeat; quod i- diviforis píüm quidem in arithmetica naftra nevitér adornáta; atque pendork typis de(linata facillime addifcitur, ut intertà temporis pa» iyvegiszur sumfaltem huie difficultatr cónfulatur, fubjiciaeà bic K- , i;erup xemplum Extractionis Radicis , ' cujus . quadratum. per exem

3494643909 6014775461. non minus ac precedentia,. ple.

* duo Exernplà per radicem datam-inventum fuit ih Exemplo

tertio, $. 3. hujus capitis. Ex que ünicóéxemplo folo iptuis tu intelligi poteft, quód falvis prioribus operationibus, füb

. quotiente fücceffivé accreverit ojusdem duplujm; nempé dis

vi(or, fimiliter fgb divifore, i| figs. diviforis duplum , & "perro füb hoc diviforis dupl Turfus hujds iphus MA 2 - T un,

£4 P. m. plum, quod erit diviforis quadruplum | X tandem fub hoc quadruplo rpríus ipfius duplutn,. quod eric'diviforis octu- plum ; Hóc ficfactó pér fe dantur (implum, duplum, qua- -druplum & octiplum;per quietiam reliqua haberi poffunt, nempe tripluni peradditionem dupli & fimpli; Quintuplum ' per additionem quadrüpli & fimpli; Sextuplum per addi- tionem quadrupli & dupli ; Sepdaplum aut per additionem . quadrupli,dupli& (itmpli autper fübtractionem (impli ab

.. *tuplo ; Nogcuplum per additionem octupli & fimpli;

Hic veró notdndum, quód propter defectum Cypbrarum... diffectarum,nümeri füb quetiente áliquos (apra (criptos ha- bentes, prodiffectis, ficut in vulgari divifione fieri folet, ha- beri debeant, & tantüm füpra &ripti valeant, Poftquin- que igitur in tábulisinventos quotientes 1p774. fextus quo-.- . «1 /12:3:4.5.6.7:8:9,10. .

3594 64350 Jlps n am s 73 44 3215. Radix.

339 439736 f| ivi. fuccet-

97

uer ] 309463460.42 fivécrefc. divif.oQüplg57444 2H -:94. diviidupl. füc-

| 3 Pppid | ue ZIP ceff.creic.

: iviCquint. zy 7 347 9| o3 c o E ^4 £1 divi&quadre-

t co 7ig0a4340417 l Tf2£724065 pi. crefc, -

| divi dupl..- rus | 7 | or TEES. (d 46673 divilotupl, Ur Aivif. fimpl. -39 469070 4]n1($ 337 4o creícens,

: (335227344 ij

divif. noricupl. 3332273374

009900009

Semet qtia divifotis octuplum proximeminor ngsmerus à ! eít

^

*. -

. . 2l €CAb. T) ts . DID » eit ill5 4 quo fuübtractio fieri debet, quod ftatim initialesnu, meri in fuperiore quidem fübtradtionis 37. in inferiore: ve fübrrabendo veró 37. indicant, cüm noncuplum.non pot erit fübtrahi, componi enim debuiffet ex octuplo & fimplo, & initiales fuiffent 24. qui fubtrahi hon potüiflentà a; ; Se- primus quotiens eft 5. hocipfüm ftatim fignificant initiales quadrupli 15; nam fi hos'addas dupli initiali 7. habebis 22, numerum majorery initialibus in füperiore à quo fubtractie

fieri debet zo. fi vetó addasadinitialemfiimpli;. habebis i£, ^ —— *

'qui numerus propter fequentes fitzz. minoresnempe 2o. aft — . — '

quadruplum & fimplü,fi cemponanturfaciunt quintuplum, — . s - , quod facilé in fchemate , cüm fibi invicem füppofita fint, '

fieri per additionem poteft immediate fummam in compe- tentem locum transferendo :' Octavus quotiens eft 2, (ta- tim enim fimpli & dupli initiales efficiunt ro. fed initialis fuperioris in fübtractione facienta eítg. Ergó ipfum du. plum, cujus initialis 7. eft proxime minor, qui fübtrahi po- teft: Nonus quotiens eft 7, cünij dupli initiales fint 74. fupe- rioris vero in fübtractione facienda initiales(ünt 74. Ergà preximé minus erit fimplum, Decimus tandem quotiens eft 9. ciim octupli & fimpli inicjales fimdl faciant 24. & ini- ^ tiales faperioris 35, & tandem propter fcquentes in o&tu- plo & fimplo fuperiori in totum feré fit xqualis; Hac per- . picuaeffe nullus dubito, fed etiam quadratur fimil fub. guddrstum ^—— traxi aliter,ac in precedentibus duobus exemplis factum eft, guotienri - . Vrevitatisnempé gratià, nam facilé hoc fieri poffe ex fche- 79»»4o mate colligi poteft, ubi fimplices quadratorum fub puncto f ppendiarà invenies, denarios veró lunulz inclufas, in hunc finem ut in ef fabrma-. - mente fubjecto inferiori fübtrahendo addas, atque fic am- 447, ? bos fimül fubtrahas ? Nempé quia quadratum apmeri 7. eft. &a. fimplex 4. extat fub nümero puncti 6, denarius veró 6, 220 fT Pg $e | lunuiz

4 Em wv c tX. "oca t olt PES

& *s e-9 Per d Lj

wv

-—

v4. HP. ede: inclufs et&in MR additus tibjste 4. ut. Tant. to. & Yócó fübjedti numeri 4. in-mente concjpias Ó. & fub». ttahas; locó vérófequentis 4. cóncipías j. & fubttahas, quia. Sfi T accedit, additione üt dixi in mente factà: Porróquiaa Qquadraáciim nüréri 5. eft 4j. fimplex 5. "extat füb numero puniti 1, denarius véró 2. luiulz inclufus eft & i in mentes. 'additus fiübje&to o. üt Jocó fubjecti mumeri o. in-mentea, torícipids 2, & [ubtrahas, Idem intelligi de reliquis. Doe. 20 $0 Reltaüt adhuc duo exempla $. 4. hujus capitis. - qp proba- iobatiónis Etgó iccomimodanda. Exempli primi quadras, tjónwtreó tum inventum eft - - - 7779)7151919)72436834-41. WÜSÍA — quaeritur] jim hujusRadix, operatio esque explisationg «it. | urfequitürz

"

zii II bh 43 sis 4i ra rjtyor sert Ce in oT — 1.1. | 51826802684 114.62564. (8 3 | ' I jo 2805 11 ] | - jozopir| l| B asit. Us NEDNESUE 22 77 XoadzT7 4g. ML : 16755134069. 167104107468, ^ 44969 1864 1 in ! 39048646187 69lrg $020 462242541.

|^ yoxoj 4o 22424. 6t mM 40090099 999 00.90 —— JExémpli.

UCAÉ rr uw

: "rempli feeundián d. $. 4. capitis TU. quadrátuin in- -Séntumreft «o 14429511890008522258061477961.

queritir jarehujesrádik ; Operatib absque- explicatiónt, xx precedéntibus petcada eut "quitar. *

144292619

ires fortiter [scm

3 reri Afia ^o. TEE sod eat iicet [oce : 4 3188882641408 j 9257 |j, 79564663) Er te iam

19777915374 34l0 396499917911 322861973 48591 .

20000 077 306637358 ise egets oco EPIS 44789 94g. DS | E E SE LATSATPRAETS T (ua

ues 25972 394697 0141/8 44 . sean

-000 00000000000 o9 TNOT A Tanto Tixemplum Kxtrahenda adipis rua- "dtate vulgari modo absque errore vix ab exercitatifüi- * 3mo quámvis elaborati poterit; quod tali modóticii- ànà, procedit; ;

ets

UB I 0e * pite

vvu.abk

Cor | - CA4P,TF.

.0 Extra — . $13. Traditisjam modis quibns quadratorumrxadto-

FRadici qu4- rum radix exada extrahatur, dis à nunc , quomodo, ps

medo f74- 4, 10, capitis IL. & $.10. picepiirhii traditas, atque tunc nd ? illud, quod tot$ extractione peractà zemangt lecó nume- . ratoris, radicis veró per iftam , .extractipnem i inventz du- plum additá infüper uni£ate, derominatórás locóin fractio- ie addenda invente radici poni debet. e. g. Quadrati 2. radix hoc modo effet - - ^ quadrari. y radix hoc. modé

- effet 2 utpatet:, . |

IL 1 G5 d [GE | m

, Extracdtà enim radice ex 1, provenit radix I. & remanet T. quare I.erit numerator, duplum veró radicis eft 2. & acce- : denteunitate fit 3; bócque erit denominator fractionis, at- que fic radix quafita eft - - IT 1 f c in altere exemplo rema-

etym nent 2.& radix eft 1 hinc. LL erit radix quafita.

gjurmod; exe |

gra 4 — — 6.14. Quantum veró ha dus tadices, ceu non exa-

vro djftet ? &à (ed proxime faltemvera in fuis veris quadratis à prefüp- pofitis quadratis aberrent, facile dijudicatur, fiinventarum radicumn quzramus quadrata, & cum prafuppofitis quadra- . . . tis conferamus; Eft veró Radicis X. (five reductivé 4 £) qua-

dratum e quodfrcum prefuppof to quadrato trcs s tur ad candem denóminatioriem, erit illud 18 1$ hoc] 2.16

P - yero 16 & fic liquet, hoc ab illo differre feu ila mi- ja r8 "16 "n | nns 9 »

e.

"a4. IF, ; ou ede ; diferencia fimiliter Radicis AME PE "oc ! dative 1) quadratum eft ?5. quod f cum prafup-I17

213 " 3 9 19 5 pofi to quadrato 3. reducatur ad eandem derominationem erit illud - - 27 7 hoc veré 25 &ic liquet, hoc ab illo differ- .

TC e feiilló miuus seffe Ll diferencia. EE s 5 iv ila 4 tt-

"gc ce. — &. t$ Sed nequis ex hifceduobus allatis exemplis A par- rà diflentia ' dticulaci ad univeríale coucludat, differentias: femper. effe. à 3. olfervatar

9 bhiccuriofau opera pretium effe exiftimavi, fecundum ordinem, (ub- pregrefio

jicere nameros fingules, ab unitate usque ad 36. quorum il- arirbmecica

li; qui füb fe habent o. fant numeri quadrati, illiyeró qui- guinem.

bus eft fübjectus numerus fractus, (ünt.ejusmodi numeri, ex !"7?,*» -quibus fi radix (ecundum regulam $. 15. extrabitür, fli talis ME" -adi&, cujus verum quadratum, ab ifto numero, exquo ex- ^ ^ tracta eft, differt & minuseft,(ecundum illam differentiam, . 2 cuilibet nunfero in fprma fractionis fübjediaeft,prz- . . 34e M 6. 7. 8. 9. 10.. 1. primisseróho- ^.» 2.0.4 6 36 c 4 qe E 10 (fce fubjeci nt^ 88 LS ' 4

iÉQ tw.

z n. 6 » 2 ;4g meos quodin ^ - —9.9 3,9 5 5 49 39 differemiiscüb- ; ^ —— 1 E 1]4 1 1017 3138 39 20 (je élisprogre fo 1 n n." $ » 3 14 138 20 arifhmnetica mi- ct cd A9 io 49 - 49. 49. 49. $0 . m$& m à m rum inmodum | 233 22 3j 3 24 a 1525. 27. 27. i8. :9. . . variando. quafi 20 1$. n $ o1!0 1$ i4 3$ ' judat & crrio-

fum ingenium, - Do 1n DI X mo

a s. Eos m TEC EQUO. fatspuehréer-

3o * A 34. 5 3 3. 4 : rCeDEÉ :poffit.,

3o » j O24 3.170 oom CEGU . prout fequitur: al oui'nr I DI DI 169 c. &16.I1n . ',

PE mmm

^

*1'.5

E , 49 D € 4^, NH. xi Jorio ? $. 16, In hifte differentiis diver(imodé: obférvatà pee. - s geo atithmetica fimül oftendit modum, quó univerfalie ter cujustunquenumeri fimilis differentia. ievenirt queat, ut certi effe queamusquamlibet fic extractam radicem. pra- ; ximé ad veram accedere. — . progeesf d $: 17. Et primó quidem ineft progreffie. arithmetica s y Stn ?P- ratione fuperiorum nunaerorum in numero. termesorum, . 4 —. inter duosquadratos numeros dilferentiaso. habentes come " ' " prehenforum, i,e, numerorum nen quadratotum y Nam ue. . MEE que ad quadratum numerum 4. funt 2, termini, usque »! E quadratum 9. fant 4. termini.usquead quadratum IÓ. funt 22 €. termini, usquead quadratum 35. [unt 8 termeini, & I0. unt; " termini usque ad quadratum 36..numeri terminorum MS - 2.4. 6.8.10. conftituunt progre(ionem. Arithmetic - cundum differentiam 2, confer ad rationem liujus rei tede

quic fne . dendam $, 4, cap. IIT. Fine : Datis duobus quadratis nume- sin in- mm di ux . ris,quorum radices unitate differunt, duplum radicis min.

ger quelib 1 . ris, Vel'etiam differentia quadratorum minus unitate detet« . guadnetas minanr, quot numeri non quadrati (int intermedii: Ex. gr. quorum nt^ inter I6, & 25. fünt 8. numeri non quadrati, quia quadrati Á- crmimit 16. radix eft 4..cujus duplum eft 8. vel ctians differentia qua« ife: ? : draterum eft 9. unitate. fübtradià relinquitur, ut ante, 8, Progsesfo, — ' 8.18. secundé ineft progreffio arithmetica ratiope ng« fecimnda obs meratorum in. differentiis, quadratos numeros immediaté& Kf 69-— velantecedentibus vel con! équentibis; cim enim inser du-. «^s quadrates gumeros duplum mingrisradicisfit cemmu«- ; fis. numerator & diffeeentig minus quadratum immediacé -Rquentis & majus quadratum immediaté anteoedeatis & yadiees arithmeticé fecundum unitatis differentiam, pro- Mies Wire. arigbmtice pregrefienaiss SORTOrGet per y cop.

QCARMPA o£ 5 c£ o c 4t tu * $.19. Tertió, differentiarum numeratores , f&cundum Pragreffpe. : ordinem non quidem crefcunt & décrefcunt, jn proportia- ^74 ebfct. - mearithmetica, faltem tamen crefcunt & decrefcunt, ut ny... V4 meratorum differentiz fint proportionis arithmetice &. —- quidem ita , ut cüm. perventum (it crefcendo ad differene tiam o. quod in medio terminorum femper contingit, de-. crefcendo, ordine támen retrogado eadem prograílig fer». —- .vetur; nempe e. g. 10. 18. 24.28. 10.30. 28. 24- I. IQ. Deteromni- «6. 4 2 0. 2 ^ 6. 8. ande hujue | $.20. Hinc quanto minus fit radicis per Regulam $.13, 4 vero di- jnventz quadratum; numeró illó ex quo eadem. radix extra- fame ex &ta eftcx przcedentibuscolligi poteft,nempé Regula ; A ra- 44e pregrefs dicis (remorà ramen fractione) invente, duplo unitate au, /?"* ftre. &16, fübtrahe extractionis refiduum & quod remanet multi, «£4 s

E

numerum ex quo extracta radix eft & extracte radicis exa« A4tum quadratum, cujus etiam fractionis denominator erit, quadratum denamingtoris, in fractione inventa radici ade - harentis. Ex. gr, | |

|». Exnumcero jo. extrahatur radix quadrata, eritquejuxtg Dereymi-— regulam $. 13, radix 55, queritur, quantum radicis f$ ye- ""t"de 4 E

. 5» (t 11 rumqnadratum differatà — 9! di nid ' . 2j «€! numero jo. Dico: fi radicis invente f. remota Voss. $ 19 nempé fractione f(umatur duplum jo. & huic -——

,. A Huplo IO, addatur unitas, ur fiat 11.ab haa (um- su mar.fübtrahendum effe extractionis refidus um 5. & reftabit 6, quod multiplicandum cum dicto refiduo s. eritque prodpctum jonumerator fracltionis gualite,cujus " denominator eft quadratum humeri u. .nempe. dupli radi- cisunitate aucti qua ipfa fractio 19 in pramiflo fchemate ( ici i3! conf picitur, | . "

A 2 ——-A- LL .-

-——— —— — -

dum

- e A». im.

* ltemex. gr. ex numero 14.exiratta radix quadratierit at ; quaritut, quantum radicis 4$ verum qua-. 24 . € 8

9. 9 16. dratum differat à numero 14.Dico,radicisin- "y z

venta 4.remotà nempe fractione, fimatur du- à plum$. &huic duplo 8. addatur unitas, uc fiát 9

9. ab hac fumma 9. fübur ihendum effe excractionis refidnum

' 8. & re(tabit t. quod muttiplicandum cum dicto refiduo..

. eritque productum 3. numerator fra&tioni$ qualite , cujus E denominator eft i. quadratummumeri 9;nempé denomira- toris in fridtione invente radici adherente. — Ideni tenen dum deomnibus aliis & fimilibus Exemplis.

. Mullá di. $.20. Qvz ha&enus $$. tribus prazcedenribus dida funt,

Es, See Wm

»

flanria 4 ve- faciunt, ad intelligendum ; operationemiin $. nj. traditam:

vé bic xce- non tultumáà veró aberrare, & ut paucis :tqulta comple- 4*ü 1. — Qr, dico: invente radicis:genuinum & exactum quadra-

* .: tum,à numero quoliberexquo 'extrahicur radix nünquim — diferte ultrà differentiam, 1 feré, qu& differentia eft maxi-

à ma atque tunc feré contingit, quando extractionis refi- «duum invetite radici equalis eft, ut ex fchematé $, 15. colli- "^ . Berelicet, quantó veró illud hàc majus vel minus eft tántà JpmBionie 'etiam'major vel minor e(t differentia, mwditis exo '8.51. 'Hóc fic evictó-operationem 8. 13. non multum;

pumeria mon veràüaberrareteftatyutoperatio $.15.. aliquibus. adhuc illu-

ex? qn4- (lretur exemplis, deii,

» d Ex numero 375934 1 ro extrahenda elt per tabulas - (4 .

uns. ig radix quadrata,in: quibus quadratum proxime minusinveni-

^9" ;tuty 373972100. cujus radix ibidem eft - - 103po.itaque fub- putet

trahe quadratum in tabulis à numero dato, 57 5984210 ^

"erit refiduum 12119. tractionis adjiciendie 375 3759 72100:

^ . Í1110 . B nume-

n MM

^ me erit 19390

QCARE PE BE siemerator, denominator veró erit duplum, radicis iriven-

tz unitate auctum, nempe 38781. & fic radix cum fua fractio- 1Z2110

38781e

ON v

v . ' e e. e e.

' Ex numero 879234871.2319. Abfciffis juxta S. 16. Ex. Seeun-. quinque prioribus punctis,quere in tabulis quadratum pro. 4. — ^ ximé minus eritque - - 879. 181801. cujus radix eft 29651. quae ceu quociens in divifione poni , ejusque quadratum ab illó numero qui fub quinque ab(ciffis punctis continetur fübtra^ m bà debet annotatà refiduà : Deinde juxta $. 10. ulteriós — — usque ad finem progrediendum & tandem retrianebit nu- merator 2906598. cujus denominator eít 5970379. duplums Bimirum radicis inventz-.2965189. adjecta unitate, |

q 22. Alió accurariori modà & fimül etiam magis pro 7^" y intellectus capacitate faciente & Gcometris ufitatà, adhz- ^, 4777 rens fractio per logifticá decimalem exprimi poteft,de qua j, jew, logiftica decimali, cüm defint typi idonei, arithmetici libri (5) fecus. communes hic confuli poffunt, in effectu tamen idem erit dim dene- fequens modus, quó denominatio fractionis femper effe po- matre teft in to. Too. Iooo 0009. I00000; &c. partibus, tenenda orunda. if autem eíl regula : Fa Fiat 100. (000.

. 1ee9. &

-

c 8 | C4 b. IPs | Weyula, *- —^— Fiatextra ctionis operatio fecundum pradictà usque. eric " , adfinem & adjiciabtur pofteà numero ex quo radix extra» poni i fe- hitar du£ Cyphr& oo. & continetur operatio extractionjs, ominaio. invenieturqué muniefator, cujus demomüinatót elt ro. i weminná- nonvelis hhcinvenrá fractione acquielcere, porró adjice» cri "9 — daasCypliras! 65.' & ulteriori operatione inítitutà; habe- WWÁdH. — bis jam lin. numeratere fractionis duos numeros , xu jus denominator e(t too. fiulterius continuare velis, pote« *his efimin infinitum, continuó adjice duas Cyphras , quo» ties enim .duit Gyplite adjede funt, toties demominator €reícit unà Cyphrà 6, tandem neglectó in operatione refi4 duó, radix extracta habens fractionem adhzrentem án pat4 tibus Io. Iooo, vel sjoooo. eric. préximé véra, quod exem plis éft illuftrandutm & quidem prinio, in numcris qui ilu tabulis habentur, unà cum Gyphris adjectis, (0) inti- . — Extrahaturradix ex Rumeroa. quia adjectis licet quater. iidod Pe binis Cyphrisejusmodi numerus vel faltem proximé minot . er relir, intabulis reperiturquero próptereà intabulis radicem nu» E»Pr sp, eri 106.600900. & inventio quadratum proximé minus -« 19999616 4. cujusradix et 14.14. 2. erit igitur numeri radix »« - ,214*.— ! | *6000 ' "Nam, curn adjecta (irit quater bine Cyplitz , denomi« titor habébit earundém quatuor juxta regulam, Beyuue 20. BÀ 0 báturtadix ex nuteroj, Similiteradjecfis quas spi fer birfisCyptmis, quiero ir tábuilis quadratum proximé trit» |- Hüésriumefo j60.5o00c60. & invénio -- 299.0$2400. cujus rádi£dítr2320. Pritigicur numeri j. tadix. 1539 to ' . 16000 tl quod idem - - . 731 MEME 10001

e

) 7 i pt RTPE Y -

(C345 : | e. |! Eitrabhatuf radjx ex nutnero 75. adjeclis quater bi- Ex Tertio inis Cyphris, án tabulis quzritur quadratutn preximé minu Tumero: - 2$60.00:0006. quod ibidem eft 7299099360. cu* Jus radix efb -- - 35440. quapropter tádkk numeri - - 5! . epit». giti? velqued idem.- - git reduclvé miss — -

10090 I000 :

| enirum, ad minerem £ractionis.denominatienetn.

Sitradixextrahenda ey namero-97. adjectis ter binis £x. "E J Cyphis, quznitur ig tahulis —- 973.000000:€wi nuniero qua-;'4"t áratum Jbidem prpxim minus ett.- - :97:9408Ó4. cujus rào.

«dix eft .. jg2-quapropter radix. exp erit -- 5 135; ned

IocoQ &ohtimiatione uflá fiic" opus erit inpraxi geometrica, cms

xjusihodi fractio fatis appropinques » 4d xcram 4ndicenm

quafitam,

"Sit fadix extrahenda 'ex numero 97 M rurué ad jets Écgui ter binis Cyphrisin tabulis quzritur quadratum proxime wv minustiümero - 9753.0oo0co. quod ibid.eft - 9752.941049,

— tüjus radix eft - - " 98757. quapropter : radix numeri- - 979»

LY

erit, 7 57 | Yu ] 98 zoot Tooo0 Ut. 7t *

Sit radix extrhhendaes: numeto » - 4890. ;djedtis bis zx. Sextum binis.Cyphis, in -tabulisqueritur quadratum proximé mi- aus numtro-- « 418:990000. Quod ibidefn eft -- 438986704. eujis radix elt 2.0 9 52. quapropter radix numeri 4589 9- ritzo9 5:

1000, .

Xxtráhatur radit ex nutnero -- 55304. ad jettis | bis binis Ex, Seys SCyphiris in tabulis quariturquadratum proxime fninus nu- m4, àmeroó - - 5338.040000, quod. ibidem:eft - - 5337:909721. cujus

radix eft - - 706. quápropterradim numeri ri59lo4- tic .

TRAC *à Extrchaut

- -

C P. Iv. Éxtrahatuf radix ex numero.6970903. Adjetis duobus

' Cypbrisin tabulis quaritur quadratum proximé minus nu-

mero - - 697.099300., qupd ibidem eft - - 696960060, cujus

radix eft 16400. quapropter radix numert -- 6970603. , erit -.» 2640. 9 hoc eft.- - 2649. absque fractione, nifi ves,

P (ej juxta $. fequentem extractionem- continuare. .

Ki,No"u". ^ 'Tandenrextrahatur radix exnumero - - 8572975. Ad- jedtis duabus Cyphris,in tabulis queritur quadratum proxi- mé mirus numeró - - $576297500. quod ibidem eft- - - 8£157.122446. cujus radixeft go206, quapropter radix numeri

4537297f.€rit -- 9o20 6 Continuari verá euam poterit ex io. tractio fecundum fequentia,

Biecafommul'ia 6.27. Singulari ftudio in precedentibus Exemplis Q- gabularum , Yes exhibui cafus , qui in fimilibus occurrere poffunt in. ercommep-. quotidiana praxi geometrica, cüm in ejusmodi cafibus in-

! 45 Es. 084-- Onm.. |

dti. ——— credibilecommodumaccrefcat per haíce tabulaspraxi Geo- metricz,ut nullus dubitem, ob hunc folum ufum, nullum, . fore Geometram, qui tabulas tetragonometricas de mani-

bus fuis dimittere cenfuültum judicet , reftat jam, ut per e»

6 ip same. xempla illuftrentur illi cafusin quibus extractionis conti- pis tran[cen-

aentibns il- Quatie transgreditur numeros in tabulis contentos, dor 42: funp | Extrahatur radix ex numero 375974210. in tabulis pro-

ént5x 9. xim& minus quadratum e(t - - 375.972:00. cujus radix poo, Ex. Primum. Erit ergà operatio continuanda ut fequitur.

P4 N

* f--

e

' doptene

-—

, «ontinuanda us fequitur:

€AP. 17. UV € n

7 $94 4210100,00]00]90 121 reed | i | (ra 1 1 "o 4211090 34785062 | Mlivifor, eripl 416 16340]. - : ' "474910 7756024 , . Sivilorimplum 4 7306] | | 2 | $fa4o5po) —1255!29 47 divifor.dupl. -- 2552244 42:

ipe. - o -netenfbaupesRe can d

-. J0fq205g D 0 31024938 EE ioc ipfam Exemplam, fuitEremplum $. 2t. & quideth primum, Obferva: Divifor, quàm primum utimum quem- libet determinavit,operationi finem imponére poteft ita. t ultima fübtractio pro refiduo determinando;qua fieriali- às (olet, negligi & omitti poffit, infigni & temporis.& labo- xis compendió, ut ez fuperiori exemplocolligi poteft. Extrahatur radix exnumero 37.923 4 47127 19. in ta- Ey, Steuy- . bulis priorum quinque punctorum quadratum proxim? mi- als, nus.eft.879181801. 'cujüs-radix e(t 29651, quare. operatio efit

^- "9 "-— 9 "

.. 479244374 13: 5]eo|vo|io (try 55 99. 32791244 eUr( 47 190Q 3392923] | | | | osoztga. divit edpl. -- 47441 (4:6 lcgb CX. ME 4 2799 9| lanpüog2bó . 4ivif. - noncupl, -252 2 3 2 gll, Jos 2390 0y 93:0 ü o MI S. divi quadrupl, -- 237u:$5rd(g| | 720842. o R- ^ 303 ! 25364406 4 00. Qao su -divif. noncupl. - - - j33734oy z3| Ter eertgag a | 712539900 $.214.Sum-

0 w- —— n €45B. 9. 0 0 0 . Tabularum 6.24. Sumtna igitar hujus. capitis in hifte confiftit,, wis prin4- cc6d cabularum beneficiótabtinumeri, ii | rius €f fe- -* Doe : neri, quanti in praxt Ma- exndariu, '"hematica vix occurrere folent, facillime & breviffimó.tünm temporis tum laboris compendió & quadrars, & er illis ea- dices extrahi poffint, id quod tabularum primarius eft ufus, . fequitur jam fecundarius ufus in operationibus tànx arish- meticis tiir geometricis, ubi primó de applicatione & ufia tabularumán communi multiplicationis & divi(ionis nego tió agemus, | m . | | € 4 P." F. -— De Tabularum ufü feu praxi circa multiplicauo | nem & divifionem, x $. 6 — | M PUM conftet Arithmetica duas fpecies multiplicationem vifioni. dif N- 9108€ divifionem difficilimas & tediofiffimas effe ope- cultar im Fationes, adeó ut multi ab arithmnetico & in hoc feré funda- vslgari 4-. to(tudio Mathematico nobiliffime propterillas deterreane ritkmnttic4, tur, in maximumrei Mathematice detrimentum,cüm tabu. lam pythagoricam, i, e, Semel unum eft unum &c, memo-

' rüà retinere non poffint nec, etiam aliquando ob imagina- riam difficultates veliht,quod tamen communt arithmeti. cz medó necelfarium eft, & infuper quamvismemoriá idem

.. fit retentum, tamen adhuc operatio ipfa nimiamrequirat & ; " gttentionem & patientiam atq; pretereà multuro confumat. temporis, varia propterea à praftantiffimis Viris excogitata

Confsliiwr. (unt compendia, quibus hifce difficultatibus confuli poffit . efi dificul- quorum pracipua in prafatione à nobis funt recenfigaj Hic tuti Labuld- am agendum oft , quomode cx inventione noftra tabula r9 P^. teca gonica rultiplicationi & divifioni haud fpernendum | ! Do. : Come

&

-

,

productum.

J

04M 4fpodi at cOropendium afferant, & primà tidem. im ulpa quidcm (y

i» pltipli-.. Mac». . €Ationc,

$. 2. Prarequiritur, ut is qui fequenti compendio uti Uti pregniri voluerie dimidiatione: -numerorum fit exercitatus ; eft veró, tur MS di. dimidiatio nihil aliud quàm divifio.mentalisper disiforenr widiarreni 1; €x quo fit, ut À finiftra verfüs deXream, procedendo fingus setitit,. lorum nuraeroruni,fi j paresfint,. dimidium folummodó füb- fcribatut (i impares (int, in mente unitas remanens cim fe-. quenti can jungatur,(imiliter fic fubfcripto dimidió e. g,

1487262" LE . H4276 dimidium. - - 144 381. dimidium, « - 767 38$

6. 7. Prafüppofità fic dimidiandi notitià, aut multipli. Difngoem. candi(ma joris. numeri ) &. multiplicantis (minoris numeri) ind Cft fumma dimidia major e(t quàm 109600, aut minor, fi minor eft dimidia fumma multiplicandi ,'& multiplicantis, quàm, 100000. tunc fumma dimidix ultimus ad dextram nugerus, aut eft par aut impar, fi par eft, tenenda eft Regula ;

Addemultiplican um (majorem numerum) & multi. Regula, CA. plicantem (minorem numerum) ur fic habeas éorundem. ^7 f^7 Ht.

diwidie.. futamam,hujus fümme accipe dimidium,eidemque dimidio pls pi

. ex tabulis adícribe quadratum fuum, fubtpahe deinde mu'4 tiplicandgee .

tiplicantem à dicta, dimidia fumma, & refidui quadratum mulriplicen..

fubtrahe &priori quadrato, quod seitat erit muluplicationis i pim

^ Vel breviter . .. , din

Differentia inter quadrata dimidize muleipticindi & multiplicaptis fumme & differentie iter multiplicantem, minorem numerum, & diajidiam fummam dictam, eít t pre. ductum mulripliationis,

à. "^ $h

jo 8 4 b. E »" $it numerus moltiplicandus iron & ranktiplieatis 4*9. . E multiplicandus - - $9013 . . Operatio eric alit, muliplians «.« 479 — | ] Summa ^ 89492 | "EN dimidium -» - 44746 hujus quadr.1002. 1645 H . fübcradó muliplicanté! 44267 hujusquadr.i9 5 9.567289 | differentia eft productum - « - 43637127. Ydem éxemplum vulgari modó elaboratum eít in Ex, . 1L. 5.3. capitis IV. Xem ba, — Sit nümerus multiplicandus 1aégr. Malriplicans 3769. t Operatio erit talis : -mult&plicandus -« i636; " muliplians « « 35769 -" Summa: -- 199406 dimidiam - -' 9970 jhujasquadr.$946. tiios ! fubrradtó maltiplicante - 639 34 huj jus quadr. 4087. 4087.53 6556

differentia e(t productum «2443313185 pia Ca $. à. .Si veró füumme ultimué ad dextram numeras fit 4$ d pecedi ;4/, TÜPatS quedidem raríus priore cafü accidit,tunc ablatàá | ame »341. fumma ünitáte & éruce memoriz ergà appofità , operatio - tiplicamhi 8 cum pr&cédenti quóad cetera plané eadet eft fed à àn fine,

jsntiliipli- ^ "taultiplicans nümerus adhuc addendus eft, , N4htistl-— Sit nymerus multiplicandus - - 8 ii, & multiplicans 19234.

inu Ad "Operatio erit calis i

estem eil quktplicandus - - $5219 WümePWÜU 7 — tultiplicans : » - 197j3 emper. c Sum «- $5493

Miemplum., — dimidiam - « $ 1426j-. hujtis quadrat. ? 251.5 je $78 forse mulüplicanse 32742 - hujusquadtat. 1 071.038 $64 difzrentig . « 1681652014

sdditis fawltiplitans 2 . - «: 195 19734

Áicit prodiánra * ^75 1681 ; 711746

' Aden

DU | -. tà

. CAP. F. ut - tup Ne PEE E . Idem Exemplum vulgarimadó elaboratum, vidu in ^COExgILS$G.capitisIV. 570020 6. 5. Si veró dimidia fümmá smültiplicangi & multipli- Rygpla Cgs.

gantis major fit quims1b6ceo. crit türc falcem dultiplicans "4€ "is minor quit 1c0po0. qué cafir nithéros multiplicandi fe« 2/7 55 ^ : 1 . pcaw

para ubicunque libuerit, vel ad dextram vel ad finiftrgm (in- wajer quis. gulos mineres quàm 190900. idquealiquories, fi opus fit & dem c£

: d - f

ita feparatosà fe invicem, feparatim malsiplice cum eodem ee rui wultiplicantis humero & cuivis produeto adde tet Cyphros plicané Vi: (o)quot ad dextram funr feparatà, timeri tandem adde. ro MH

) producta duarum, trium vel plurium multiplitatipnum.,;

quot enim feparationes, tot erunt multiplicatipnes, 0

Sit numerus multiplicandus - - 89091479. &- multipli- pini dint

cans -- 27891. Hoc exemplum preut feparatio mulüpli- 1 re ribus candi numerorum libuerit, tribus diverfis medis elaborari Ziyerfis won. poterit, aut enim ad dektram tres nümeros » « 479. ast die elabenoo quatuor 3479. aut quinque 1479. feparare poteris , femper /9e,

enim in fine iaem provegiet productum, quod ipfim ad o- «ulum demoenftrare & elaborare eperz. pretium effe vide» sur, 2c 07

Medus primus féparatorum «d dextras Prim Mode pri NAHICTOTMPIE, mM. multiplicandus - »- 89613 -' : SEE &ultiplicans » « 37891 gperetie —Á———

Summa -»- 116904 - | j dimidium -« - ' j8452quadrat. 3416.656304 . fübrr,mulriplicante -e36561 quadra, 9:5974713 — Oper, primz productum tribus Cy». 34 82661 1830909 phris auctum, | Ga multi

| jg C4». 3. ADprmitio * viultiplicandus »- - 27891 | imultiplicans - .- -- -:479-

Summa * - 18376. " |

"C Rinidium xo - I418j. T. quadratum « «201214 y

| | 13796, «:- "quadratum -—- "r$*.8 54455 gprodu&um —— - - - 213359789 (epos pcne productum - 71481661585000 produ&tum quidfitum - Mc ML d

Ane v idu, fetuvia ipsarum ad: lesrran: Quee -

[E S a

nsi i uimerérute, peri, » »3 o0Y- NN 0 5991 JUPE CU . . BEN 38398 - - 7533841231$. ) 2 . 9495 - ox $01; $5025. ^. íC 27 EE Age 5776 Ue. n "Wa 037891 | (3475. ; 313579 15635 *-o. oe 4605 - s 12206 - - -— "-48.9864336 - . | v 2..970513789. - , | 2482577910000 . . ^00 Cecile — coorestctiocliapittilim cit dall iid le qua- 2442674:94 0999 - "E licam qe ipà | | MM

-

CB Y» 0 - - AMediu tertius japaratorum ad dexzram quinque —— . Me dut Iro ' WEPIECFOFRPS. |

13990 - - - 195726100 : | 33901 - - - 1932378601 . | - , u 00. 7*5 248229 9otoo000 E 3n thultiplicante;ut ex athmeticis norum Cyphe£O. ^ 70. "Quotquot fucrint, in fine producto funt -brevitaris. grarià fokim adjicienda, necadáp&aminmultiptitatio- . anis'operationem perducendz, | B | "tos 27391 . ; . ! t ; C " " . ' 9343459 QU 204 . : 2 dopemiaa, ] 41370 ^ | . | E | x *O6gEy - - - - - 427369215. 206 .- -. - $1926436 Le - mE 2375942789 ^, | box |^724982299000000 t dproduciam qualitum utTuprà-2 4:$26 74:93:27 89. Í AMultipficandus in exemplo 2. $4. c-1V.elt«-1973485119. nrultiplicans verà -—7986.Separastn multiplicando quinq; : ad'dexerum 8$219. 4 quinque nurmeris -ad fihi(!rzr9719734.. u$ fic ;peraluas Gporationcshabebis produóbtum qualisuyut * 7 5 "fcquitur: | MEM (o NN 53798$ | E 205 0s fÜprnuio n, 1 9734 M. . * "E * : BE - ' 57727 "Y" 7. T 7 9860 - 12:89 600 $1x6 -- - 83283876 . 4961572340990 20083 5077

hd

(pmith 0 — p.519 0 0-7 n .- : 37986 | $23205$ eU. 61602 4 - - gosse | $óié — 0 c 55271545 )3:37050948 — ed 37986

qu———À € Óá—— BARI ÜD 3337128934 - pa49$6 49$ 1572400000 .

| gtodudtum quefitum 7496489911 79 34

Jeephi. —— sit multiplicandus « -. - 1357908642024.68. inulti- - plicans efto 97531; Separa in multiplicando quoties potes, minores quàm Io0000: nempé primó,ultimos ad dextram --

(24.68. fecundà intermedios - - 08642. & tertià extremos wd (iniftram 13579. & fic per tres operationes habebis produ etum quafitum, ut fequitur;

prie i 87531 | to ^

o1 9:468

795992

4934 1499990003 $/531 4. 23591959 G1 61

TES | | 249796508 — eei BAUR EM

106173 $3086 -b--1818. 123306 «4144 t6 397526091316

843854260 . 775 ww 8643

7 — $41462902000686

€aP v.

37511 13579. IIIIIO. .- - -— - | $533) ** * 30686.39802$ . .-— . (9976 - - - 1261984576 - 13243734 49 O0 000508 - | X

Operatio fecanda -, - - 4286290200006 Operatio prima - . - 24,07065,08 Sumnt product quxfit. -132 4.3818 7765 30906508

$. &- Reftat,ut detur regulaincafu,quó & multipfican- Regula Ce dus & multiplicans majores fant'quàm 160000, cít autem, s iori, ' 1h55 Separa cümvmultiplicandi, tit meltiplicantis nume- 2^9 9 7" - Ae minars Seu tiplicardus vos minores quàm roooo0o. & fingulos numeros feparatos s; »rheiplie. tum fingulisceteris feparatis multiplica; & productis fingu- caps pao dis adjice tot Cyphras (5) quot uterque feparatorum relivzes fun quos (imül habet verfusdextram, producta denique multi- 7*4. plicatiorrum adde (or epim erunt dillinéla multiplicatio- 100080q pes, quor funt féparaHoaes P2 vaultiplicamdo » CNTI. Jéparsto- pilus. multiplicantis mulriplicate) X&'habebis productum - emultiplicatiohis quatfitum. EMEN Sit multiplicandus - - 3/79124.6801j79. 'etultipli-zxesylute, xrans efto 24.68023579. — Separa in rhultiplicando quoties wniecntu, gpotes minores quàm 100960. nempé primóultimosad dex-' tram 13 $7 9. fecundó intermedios - - 24.680. & terció ex- aremosad finiftram --- 357915 Separa porró in multiplican- te extremos ad finiltram 24,680. ab.extremis ad :dexrranu 23579. & habebis productum quafitur, Ó.-operationibus peractis: | u | n E AExtremue

o 66 5 CAE. Ogenttie s, Extremus ad dextram niultiplicantis- - 23579 extremus ad dextram multiplicandi —- 13579 37158. : .18579 7-2 3491792 41 $£o00Q -- 25 000000 329479141

A , —

Gpemtio 2; Extremus ad dextran multiplicantis.- 23579 intermedias multiplicandi:. - - z4680 16047. 130233169.59 8519 10555- 11408025 - ^" $8199594 | vi4608d 581929 7290009 Oyentio 5; Extremus ad.iniftram MM ! tnultiplicandi - ^- 3579 x . — extremus ad dextram. multiplicantie - « 21579 mn E $9;6o 29689. -8£0.90z400 619 t» 7 37.122201 $41 6&a19 90009000000,

| , FExtremus ad dexttam - Opmio 4. — multiplicandi - - 13579 .. extremusad.finiffram. ^ — : multiplicantis «» 3 4680 16047 IE qg01f5- - 64168515

$355 -- 39858915 u 33510504 | INL 46 8 íd 135129472 990000. E ' Interme-

G 4 P. . P lnteryedius.multiplieaoedi -.-,,- a4689 .- Extromus ad finiftram multiplicantis --24689 .

Horum,tanqvam ex accidenti equaliurg, quadratum

1? Ogemiio g.

e(t - - 6e9.102400. huic producto;propter intermedium.

quinque & propter extremum quinque Cyphre (o) (unt addende, fent in (umma decem Cyphrz (o) ergó operatio quintá erit « « fqpip2400so00002908.

Extremus ad finiftram oem rà, multiplicandi - - 357 94 Kutremus ad finiftram aaliglicantis - « 34680 38259 49129 -- 365.9186 41: 16664 - - 177.58892 fF 883297320. (o cb3468. . | 331511880. Et huic operationi propter extremum ad finiftram

multiplicandi accedunt decem Cyphra (o) & proptet-

extremum ad finiftram multiplicantie accedunt quin- que;Cyphre (0)-&ita precedenti producto 5352150. accedent quindecim Cyphra (o) & erit fic: ——

Dperatio fexta» - - £52j218 £0000000600000000

| Operatio quinta m n 6091024000900000000 Dper atio tertía LRL | 43640:1990000050000 — Dprtatio quarta - 7 7 7 3351297 2000000 Operatio fécunda - - - 7 44129 633600000 Operutio prima. T 7 - 5 525429179241

C ————À Bmpsaproduéium. tA Ts 3133353475178 329 25179247.

4

H Hanc

AV ^a 7»

m y? | CAP. P.C

piatto '$. 7. Hanc dentem per t tabtilas opetátionem $.5.

rem NN & fexti fatis effe. rolitans quilibet legens , ut cxiltimo, pre difeal. C9 conqueretur; fed refpondeo, fatis prolixtm etiam effe inza-

pe . li cafu valgerem multiplicatianismodum & non prolixum od. 'folüm, fed etiam erroris periculo mapts dbüoxium, füfficiat

Ma a nolim :demonftraffe;pro cvitandis erroribus d; 10llenda neceífitace

WIPIRCHET, vulgari modo multiplicandibenelició tabulz Pythagorice

&. e. per femel àónum e(tunum, &c. quadratorum canonem titilem elle.

S. 8. Reítare videtur demonftratio mulüplicationis im- DMsltiplica- jus noítrz, ad fatisfaciendum illi, qui forfan earidem défidc- mea rabit, defümimus autem illam ex propof. ;. r1. Eucl. ubi de- monitrat : 5j Feifa linea fecetwr in equalia € non aqualia v, D. emonpra-. Yeslangulum fub inequalibus fagmentis "totins comprebenfüm, . dienisfunda- unà ciim guadsite, mod ab intermedia fechionum, aequale effé Week IM, vi, quod À dimidia deferibizur. quadraro, — Jur damenti '$. 9. Hzc Euclidis propof(itio per fubjectam figuram, ! epica ie. explicatur h hàc modá : Red&alinea a. c. 'k. b. fecta. elt in z- "e — quales partes a.c. -& c,b. nec r noh induas'inzquales par- "tes - - a, k, & k; b. quapwo- pter intetmedia harum:.dua- rum fectionum eft c.k, quà b | «'nimirumdimidiac.b.minus ' fcgmentüm k. b. füperat vel excedit jDicit jam Euclides: Re- "dangulum fub fegmentis inzqualibusa, k. i. f, unà cum qua- &drato rect. k, rempé h.iJ.d. quale effe; ei quod à dimidia "deferibitür quadrato, nempe b.c.d.e.. | "cFuwderes — S:10. Ponamus'ergó Imeam a. k; efle aliquem numie- uppllvittio, "ütértudjorenr multiplicandum & lineam k.b. eífe aliquem, , "oko Vm Aminorem - aülcplicantem lineam a.b, effe;

ifum-

| CAP. Po, EE | fummam horsm-dporum i.e. mulriplicandidimmlgpycan- -. 757 tis, lineam veró a.c. vel.c.b. effe dimidium ifliusfumggi de 7 intermediam c. k, effe differentiam, (i à digsidiafummaimis ^ ^! norcm multiplicantem auferas vel fubtrabas fed; qpadsas —^ uu tym dimidiz fumma cft. zquale, redtaggulo; fub ipgqualis —, bus.& quadrato intermedia.ceu füis partibus fimül fümtis,, "E ablatáitaqueuna partequadrato nempe intepmediereftabit — - altera pars nempé rectangulum (ub inzqualibus.i, e, multis; plicationis productum 5 Q. E. D. B eod ET II. Algebraice hzc noftra. mu]tiplicagro & commo- Eleganter. »

diis & elegantis demon(tratur hóc.modó : . Sit multipli- Jemonftmria, : candus b. & multiplicansc. erit borum fumma b..g c. & hu- elgebmeica.

jus.dimidium b.-Fc, áquodimidiofifubtrahasmulriplican-. — — -

2 AN "M tem c.reftabir b - c. illius quadratum eft bb -F 2 b c. cc.hu- i 4 ! | Jus veró bb - 2bcz-c c; Hócquadrató fübtractó ab illo: re-

4 EIE T flat - - 4 bc—be.— producto mulipkearionis; Q.E.D.

. 4 $. 12, Qvoniam veró multiplicatio in $ 4. bnjus capitis pesos pps. à pracedenti in eo differt, quód minor numerus multipli- rio »iltipli- cansinfüper priori operatióni addi debeat, brevibus hujusvarionis no- rei reddimus rationem , quód in quovis multiplicarjonis r4» f/ sfts- producto totiesinfit multiplicans minor quot in multipli- fien merMC cando majori numero funt unitates , quare fi. unitatem &iypup,— multiplicante demanus faltem in mente. & fic qpultiplica- mE tionem perágamusjid efficiemus, non folüm;ut fumma mnl- vod tiplicandi & multiplicantis non amplnis fit numerus impar fed etiam, ut productum deficiatipío multiplicante nume- ro , addatur ergà defcctus & erit productum completum.

Q.E.D. Hz ^, . $1j.Utrum

! d CAP. Y; | S Jy Iioilone 8, Wy. Uttiti etiam circa divifionemtabulz tetragóno- Yr vn metrice aliquid afferant. ntilitatis vel compendii jam vi- | per dendum, &fciendum quidem,ficut in vulgari divifione quo- axbela dw. ticnshaud fincanria inquiitione an procedat, nec ne? fin» wewiPi paf- gulatim invenitur, fic etiam quidem per tabulas hutneri in Jm. 'quotiente non fittül omnes fed bini & bini inveniuntur, fed ultró apparent fimplici additionis & fubtractions benefi ció, fingulari &atiliffimo & faaviffimo compendio , ut fe- «uitur. — | Dot MEE pubp $.14. Indivifionenoftra per tabulas tetragonicás duo aibilar, futit diftinguendi Cafus; Aut enim divifor minor eft quàm. quindo 4j- 99906. aut rnajor illó-numeró 99900. Sidivifor münor fit. "wifor eft mi- rurfus fübdiftingur debet; aut errim divifor habet. quinque 40r 44" numéros aut hacet pauciores, — mE vo. $15. Hoc cafu divifori adjicienda für cot'Cyplirz nul- 58i páncioes litatis, quot divifor quinque numeris habet pauciores ; ex. «livifor b4- gt. (i divifor fit 559. adjiciendz (uttc dus nullitatis Cyphra, vot, uim. , Dt fiant quinque. numeri; hóc modó: 35900. fimiliter, fidi- 'gain2ae, de. Vot. fit 9. adjieiendz lur quátuor Cyphre hóc^ modó, et i. die. 90006. & fic, fi divifor (it 25506. erit adjicienda una: Cyphra, iu Qypbrie ut fiat dwi(or --2560.&c. "Quotquot veróà in quolibet E- gutes n" xemiplo divifori adjecta fuerint Cyplrz, tot etiam.unt ad | quA "i - Jiciende CypHre dividendo; Quo factó hic cafus adequa- tuseritilli, quó inivifóre'fürit quinque numeri- :

aS wiitiferis rua i db E Sie :$. 16, Adzquacds hifce duóbus cafibus & inunum reda-

fntmajores CiStafüm, rutfüs átit diviforis initiales ad finiiram funt mi quáminitia- nórcs aut tiajores imitialibus numeris dividendi; Hóc cafu e t, r« n dividendo numero à finiftra verfus dextram feptem funt, zprem; 2$ 24, Utr iiterjectamitiàeblam abfcindendi numeri, illó veró cafü ed. frr su Cent Ex, ficut etiamrin viülgari arithmetica divifor, cu- Afunt ab/ciw- !)sinitidles func minores ihitialibus dividendi, totà divi- «eie j 71 NHNC« . Dot . UO M - ^l .-- Tx. . P de "Pb ee ido

at —

-—

BEEN J7)92 200 *Àygee? fum : Wlendo uhius quotientis gratià abforbet Tiufmeros , quot i- miverer ple habet, & in fuper adhuc unum, fi initiales ejus fint màjo- Aexriow fex wésinitidlibusin dividendo. In divifione'autemmnoftra ad fmt 4H e liuc unus mimerus accedere debet, quia duo quotientis nu- 4, focur c 4neri fimül prodeurte, |. 1 — Sevmlgari * — $. 17. Tali divifionis przparatiotie peractà, dividendo mifesc. fübjiciatur ejusdem duplutn, ab(ciffis fimiliter 4b hoc:duplo fp/a divifie-- illis numeris, qui aábíciffis fünpli fuppofiti fant'& porrówis epemie fubjice hifce ab(ciffis quadratum diviforis, cujus quadrati£/? A fex ultimi &iumeri ad dextram , db ántecedentibus ad fini pu euh 3 tram, Conmrmate vel puncto firit'interdiftindti , jaxta $.6« M uad a *Cap.2. tque jam examina fümmain diviforis & dividendi (rosa. . 3lupli, aft non integram, fed folüm illam, qux fucura eft, in, 444endo; ihitialibus ante punétum vél comma numeris , &igfupér iti) fuemam «duobus poft punctum vel'comma fequentibus, quatn fati borum exa- atiam ad inrerimrelictó[patió irttermedió fübfcrrbe, & eni-minemo,. nus follicitus de quatuor numeris fequentibus, qualesilh', , , HJ lÉ Misc -—— LA T2 ] (42fummo, pr&cife futuri fint; iisdem quare in rábulis quadratum pr quartum ximé minus, in numeris faltem initialibus, i(tis'fcHicet, qui 2754/52 »i- funt ante punctum vel comma, & duobus'feqüertibus atque» quaeret liic duofünt diftinguendi cafus; Aut enitn duo poft punctum doi bulis, vel comma feqüentes numeri, in fumma ad interim addita(j) ete»- - differunt foliim unitate à ducbus póft punctum vel comma derdend m mend NP RT, s.a Ql A ferentia. riumeris in quadrato dictum proxime minus m cabulis WI, spitire /"mediaté Tequenti aut differurt ab iisdem majori quovistus,,;,. uu. mero ; Hóc cáfu quadrati proxime minorkf'in tabulisesferiepe 4 074 Sbantur feorítur radicis.duo ultinri ad dextram ; qui femper (47 májer in.tabulisfüntia marpime, & ab hifce duobus ultimis exfcri- 45 leis — otis, Tabtrahantur duo tiltitiii diviforis nürneri, five His'ex- ác fib | Jeipeifinc minores five májorts;freaim fineminores, eó dn ds xandum ét, quod ab antecedentibus radicisdenariusmutuó diviforit,, MN 2 (42 m fumi ow

! e -

| 44$ CAP.PF. — | fumi poffit, ficut in vulgari fubtractione denarius mu "^ abantecedente numero fumi folet , refiduum liujus fub-. |o. —traddionis habebit duos primos quotientis numeros ; llló. (9) f mint» ver cafü rariori quàmyis, quó duo numeri poft punctü vel ; ets. has coiia taptüm differunt unitate, vel min" exfcribanrur adhuc: quadretum. quidem proxime minoris quadrati duo ultimi ad dextram; refdui addi- fitque fubtractio eltimorum diviforisut jamjam dictum, tum ef|ci4t (edcentanduns eft, utrum hujus refidui unitate aucti qua- famimam [ dratum, quadrato diviforis & duplo dividendi additum, ef- rm ficiat íümmam vel equaJem, vel etíiam majorem, quadrató dictum proximé minus immediate fequenti, nec ne ?fi non. faciat z qualem, vel majorem; illud refiduum adhuc habe- , Mt duos primosquotientis numeros;fi veró faciat zqualem ' vel majorem, quod quidem fítatim apparet per initiales. . quadrati addendi, tunc refiduunr unitate auctum habebit . duos primos quotientis numeros, quapropter confultum.. : hic erit,antequamcertiores hujus eventus fimus,in peculia- rifchedula hec ipfa tentare, ne feries ipfa operationis dif- , turbetur; Poftquam veró certiores de duobus primis quo-. (3) Drvents: gentis numeris redditi fumus, illorum quadratum diviforis, quo reri quadrato & duplo dividendi in relicto fpario intermedio . $'ud. fübjici& cumillisaddi debet, fümm&horumtriumrité fub- | .. fcriptà vel potiüs refpectu numerorum jam anteà fübfcri- (9)quadra-. ptorum füppletà,À qua fumma demü quadratum illüd quod; tumproximé ipli proximé min" vel zquale eft in cabulis, (ubtrahendü eft; ' minu fuüb- — (ibfcriptó refiduó, cui refiduo pro inveniendis fequentibus erabend?. — c n otientis duobus numeris,adjiciantur duo fequentes, poft. | ( te) [quen abíciffosin duplo dividendi numeri vel faltem unus, fi duo. e vehe ne ys 9i : ; , 4. non füperfint, iftó enim cafu duo quotientis numeri prodi- jiciendo. bunt, hóc veró unicus tantummodó, atque huié refiduo cumadjectis fübjice,; ut anteà, quadratum diviforis & exami-

na

l

CAP. Y. *

— Óna,ut amteà, horum duorbm fummam in anitialibus & ad (i) epem

anterim relictó fpatió intermedló fübfcribe & quxre qua- auda Cf "

ratum proxime. minus & plané ut anteà operando, petgé, c u.s

tum proxime minus & p perando, perge, cuem divi-

"usque dàm nulli:in duplo dividendi numeri fuperint, & 9- £u coni

'mnes quotientis defiderati numeri prodicrinc; Tandem, ii »aando.

addicó fecundum:przdictum modum quotientis ulti vil

*etiam duorum ultimórum quadrató, fi quidem: fümima fic

*wqualis quadrato in tabiilis, ita;ut hocá fumma fübtractnin nando

"nihil relinquat, fcito, quotienti nullam adharere 'fra£tie- »u/a 4uo-

. "nemy'fi veró poft fübssadtionem.difti .quadrati'im tábulisArienti adbe- —

fumma przdictanamerus quispiam remaneateritdimidium re4tf7 46:0

dajusnumeri qui-remanet , namerator in fractione quo- Quando ef

"tienti adjicienda, cujus frattionis denominator eft ipfe divi- 124 fra-

Tor & quidem unà .cum Cy phis, (i quas juxtá S. 15. adjettas 7, 2

abet 0 7 77 BEN M

S. 8. Cüm defcriptio divilionis noftre in S. 17. fatta vix Defzr:pise-

"contrahi potuerit, ad.declinanda omnia dubia, quz operan- "4 "fire ti in re nova nec aliàsà quopiam hactenus pro mea quidem ifevitas

MAMnTOEP d 4 075. Qr teu oro tr c WircA divifio. notirta, Inventa, per. marginalia-nonfolüm, ibidem brevius sess, .con/a-

"operationenttradidimus, led eciam .demoenftratiopem.illi-4 pere us divifionis hic fubjiciendam effe arbitrati (umus, cm hac (1) ser mav-

: ipfa démonftratio ad meliorem intellectum , facere yidea- 2/s4/ia de-

, tur Illa veró demonftratiofaum haber/fandapentrm ig. 72907. jpropot. 4. n. Eucl; ubiproponit& xlemonftrar: Xj zeffa [is (2) pe£4- 0$ s. f Bea a,b. [ecl a At utcuque in b.quadr atum , 7? to-

Nl Oo 04 H quod tora 4,6. ofertar. ne c. d. P aoa

Nu 9. aequale G5 illia, qua d fegenantis.A. b, && bob. ese upe- | deféridimtur quadeusi d.e. f 3 E b maio 3-448 Mi quad ^n fub fequreatis a.b, 07 bb, nis fuma

d cemprebeuditug reiiapulo. nepepe. a.b frg, mention.

| K-EUTP |

"7 € 4P. F.

6 Ki.c.e. Sit itaque divifor altemutrum fegmentoruot, quodlibet a. h; vel h.b. & quotiens efto alterum fegmentumy.

Fandemtnti Qumma veró diviforis & quotientis, nempé a. b. efto illa ip(a pplisdtity dix in cabulis, cujus duo ultimi ad dextram exfcribendi | . funt juxta regulam, nam integram exfcribi & totum diviíà- rem fübtrahi proptereà in regula tantummodó non opus

fuit; quia radix ifta & divifor tantüm in ultimis duobus fem-

per differunt, cüm per tabulasplures duobus fimdl numeris

jn quotiente reperire non liceat, fed fi à fümma illa,ceu tota

linea a. b. fabtrahatur una ejusdem pars nempé divifor, re-

linquetur neceffarià altera pars,nempé quotiens, fed & qua-

dratum iftius (umma feu line conítat ex quadrato divifo- ris, quadrato quotientis & duplo Rectanguli fub fegmentis.

- &c. duplo dividendi, quare additis his tribus, fümma aut ft equalisaut major quadrato ex fumma diviforis& quotica- tis, (i equalis, factà fübtractione. nihil reffabit & proptereà

nulla adherebit fractio in fine operationis, fi veró major fit

fact fubtractione & adjectis dupli dividendi fequentibus ex eàdem[ratione operatio continuatur, ad finem veró perdu-

£tà operatione; re(idui dimidium erit illud ipfum, quod in

dividendo divifore minuseft;ut is adhuc femel in dividendo

contineri non poffit, quare per fractione determinandum | .. quotientis reliquum ; omnia quidem fecundum tenorem

Conjulipo- Regula. Q.E. D | | )| |

pe Aeui- — 6.19. Éxhacipfademonftiatione fluit divi(iónis noftra . (), e» Re fequens regula breviffima : Dividendi duplo.in tot humeris ii ex de- quot ad eruendos unum vel duos fimill quotientes fufficiunt menfmrie- addatur quadratum diviforis & infuper quadratum futuri sedem» — quotientis in uno vel duobus numeris, Summa, quadrato pe — diviforis & quotientis fimdil, füumtormm aut. zqualiserit aut pujer, ubi adjectis porró de duplo dividendiunó vel dao- id a MEULESS | ATHEN bus,

| CXEPF,. | dp butsnumeris códem, ut anteà modó divifio ad inem usquc 'entinuanda c(t. MEE v $. 10. Quemadmodum univerfiliter qualibet regula. ,,, o. o. -^ exempli fit clarior, ita etiam multa hic fübliciemus & Emil Men ctiam unumquodque illorum compérenti (iia explicatione sjemee. «tque illuftrabimus, ita quidem, ut ex ipfis ftatim exemplis ratioe7fPirsimto — operationis defümi& intelligi peffit, preprimis ab illis, qui in ftudio arithmetico & Geometrico peregrini nonfunt. €. 21. In ipfis veró Exemplis rationem ordinis haberi, f J Exe; ) multum facitad rem ipfam perfpiciendam,quapropter pro- pÍorumor- ponemus primó Exerpla fine fractione , eademque rurfus Zue ef jud fecundum ordinem cafuum, tempe ab initio Exempla abs. met bad. | que fractione,quz habent diviforem, pauciores quàm quin- ue numeros habentem, quz quidem,(i duos & plures pau. CétPené- ciores habeant, pr aliis hoc habent prerogative, quód nul- am im i " la debeat fieri. fubtradio ultimorum duorum diviforis » drvifor Pun. (quippe funt tantüim due Cyphrz nullicatis) à duobus ulti- oy c5 uni mis radicis; deinde Exempla absque fractione,quorum divi- * ve! 4woz.— for habet qninque numeros, utraque veró ita comparata , veltri. funt, ut quotientis duo numeri absque ambiguitate (tatin, "i "mit vo appareant, ctm duo numeri poft punctum in fumma injtia- . ' Ji dupli dividendi & quadrati diviforis, à duobus numeris: poít punctum in quadrato tabularum proximé majori, plus unitate differunt, pofteà (equentur Exempla itidem absque . &ractione ubi hzc differentia unitatem nen excedit & de. hinc abibiguitatem quotienti defiderato parit, tandem E xemplum cum fractione proponemus & ad fragtipnem i, numerisrotundis defcendemus,

- * |.

, Divide,

4 | DMEWROS 000 Exemplumo — .—— VAvidendits fit y 7 46952. divilor 5. cum a.Cy- (0) 491gue Teac olco) Pliris 8 o 6 09.

fnittiom in duplum cum 4. Cyphr 1s 15.4 939 L^ 4 2 & diui- qeadretum divi» G400/000:0 004. 1. 1. ; A" divi- - z i. 4.B OM . 20. hr hi " quadratum quotientis : 9i 16 quotientis pri» funt. «djici- Summa - o 641.5031 2-0 mus & fecuns»

ende Cy. quadratum. minus ——3:369216| 1| laus 96. 4^ ——— c Reduum cum fequentibus 3 3 9 0400 : | | raum divi T 6 400.000000| quotientistere . «quadratum quotientis -c $8 39! leus& quartus Summa - - - 541x397323| 1. .- - $ quadratum minus -- —— 2363839. |. rcíiduum cum fequentibus - 11 0 4 oocoquotientisquin- quadratum diviforis - - 64 06.00 co60|tus & fextus 69. , quadratum quotjentis - | - — 4761 integer quoti- Sutra zqualis quadrato - 64:1. 6 4 47 61 ens 968769. xempl. 2. .. Dividendus fit - - 3507.8 »ola divifor 98. cum tribus «absque fre-— duplum cumj. Cyphris -- 7.0 157 8 0180,00] Cyphris $8000,

dHone,iB — — quadratum diviforis 960 4,000000| | jquotientis primus quo €. divi-: quadratum quotienffs - -^ ra2 $| I |&fecundus- - 3» ; w)oeo us. .: . . , anus co DÀ d ' . | ndo dre 7 q Summa - - 9órroi7oog | 7p. — Wuédrmüm minus -- — 0.861225 funt Ad [co t . M usunnsctieenssstut dus adiibinaup igne iut 2. ende: Cy- Refiduum tum fequentibus 15.5 7 8o 85|- pire. | quadratum diviforis - - 9604.00 ooo] .

'quadrareinquodeatis - -- -— $241, Summd - - - 96194843211 qpsdratum minut - - : 2 490241 . Refiduum cum (equentibus - - - 9.40 SocO|quetientis quint quadratum diviforis - - - 9604.00 0000|& fextus - - 48. «quadratum quotientis - * - 2 jo4| inreper quotiens »- O7 Sptnaequalis quadratc&o 6153.421:0304..— 357? 49- mE . Dividen-

-

quadratum minus - - 1... 5765; H quotientis

refiduum cum fequerítibus - - 816 goo! tus& quadratum diviforis -.-- 6 nni o doo [extus . 5$.

quadrattüm quotientis - . 31 «nteger 0S. P '" Summazqualis quadrato 622a ^ , THOGIDS

—— de equans quadrato 6234.0409536 125456.

| Dividendus fit -: - 6790 5183loo 6. divifor 6789. & cum una, Exeorpl duplum cum Cyphra - 13 4t 036 6l o ilz oladjécta Cyphra. 67890. pl. 4.

quadratum diviforis 4609.05 410 0 Pique [oa ^, dosdcumquorsm - - 9óog| | jiUlimicalici - ^88 ructy dui. 4. . $utma - « 3612,47. 1070 pn Virimi diviforis ^ 7-9? nri (f djuj- quadratum minus —— . 368144 | .[. [12 Primi quotientis -- 98 dend; una

n tefiduum cum fcquentib. I 039 2 001 et 4djicirn- . quadratum divifaris - 4 609.0$ 310 o| - |2: Ulltimiradicis - . 66 d4 Cypbm. quadratum quotientis - - $7746] |z, Ultimi diviforis - - oo | | Summa ».e- 4.6 19.4.5 0 477 A. Medii quotientis -- 76 quadratum minus -- 5.377 156], |. un refidnum cum fequentibus - - 7,3 32 120|:. lUltimiradicis - - 44 quadratum diviforis - - 4 6o 9.0 5 a1 Qojz. Ultimi diviforis - 290 Summa equalis quadrato 46 16,58 4 I : 6 quotiens integer - 987654.

. Dividen-

MED" € 4 P. F. Bep; — Dividendusfit - - 41637 217 probationis -

é2à cirre- duplum dividendi - - $527 44 ) 4

Divifor veró $901. ;, Ultimi radicis - - 6o ?, Ultimi diviforis - - mr

fonde e- quadratum divif. 79 133 14 169 xemplo pri- quotientis quadratum -- 2209 |

JF. 1. Primi quotientis - 47 Girpd. Summa- «794-8438 39 ss pacis -. 2 wifor b4per quadr. minus - ——.683690| 477 uud gi. nmnvetros. reiduum fequent, aut. 1 602 23 4 dirumus diviloris uL.

quadratum divi, 7923.3 14 169|Ulltimus quotientis - .9

quotientis quádratum - - - 81! quotiens 479. absque ,

Summa equalis 7924.91 6484 fradione, | quadrato. 2

Qum

qumMMEEENMNDEMESP

Dividendus fit - - 585515[8 5j. & divilor - - 35769. Byemgl, 8. duplum - - - i170616 371o6|2. ulrimi radicis - $y probationis quadratum divif. 12 79.42 1361 1, Ulritni divif. - - 6g ergà cor't- quadratum quotientis - - 156| | |; Primi quotientis 16

9». qammibunsenguu.

ph z$ 6g. summa - 712 80592244 '" i»4we& quadratum minus -- 56611;

1, Vlrimi radicis .- oj

4

| P fv ,fefiduum fequent. aut, 1601357]. |" Ultimi divi. -- à9 ve, quadratam divifor. 1279.431361| |. Medii quotient. 36 Quadratum quotientis - - 1296] |

3, Ultimi radicis -- o6 ?, Ultimi divif. - - 69 2, Ultimi quotient, 5,

$umma -» - - 1282014494 quadratum minus ——-$,9980 2 5 te(iduum fequentibus auct, 2.646906 Qquadfátutn diviforis - - 1279.42 1361

! 1369 ' Sumta tqaalis quad, 1 2 85.0 696561 -

. quotiens 163637. abs- que fractione.

Dividen-

-

€ A». F. ^^. | . Dvidendusfit - - 1681711 [^ á 6& Divifor fjz9. Even Ex opm - - - - d presetiomp

2. Ultimi radicis 38 ergó torre- quadratum divifor. 7i 61227 7961 2, Ultimi divif. 19 /fondens e-

quadratum quotientis - - 361 xemplo $..44 q 2. Prími quoti. IO (p.. €f ix que divifor

qnadratum minus - —-. 546644, Ultimi radicisga, quiw-

refiduum feqnentibusaudt.t2.5 10149 Mu Uinmi divif. 19 eu, niit quadratum diviforis - - 7 262.27 796 1| |2 Mediiquoti, 73705 quadratum quotientis - - — 5329| [2 Ultimi radicis23

Summa .- - - 7274.793439| |2. Ultimi divi. 19 quadrátum minus - - ——... 725264 , Ruenient. ultim. 4 rcfiduum fequentiaudum - - 68175 2] quadratum diviforis - - 7262. 177061 quotiens 7. quadratum quotientis — - - 16]

Summa zqualis quadr. - r.- 7262. 959729.

Dividcndus fit - - --3 88 88 ó [ 4 9! 9759 & Divifor, 89 7 5 p. Éxempl, p: duplum - - - 1:17772299|95]:18/2. Llltimi radicis - - $8 ?& quo duc

summa - - 7165641745] | |

quadratum divifor. 8056.678081] — . Ultimi diviforis - - 59 nunreré pofl quadratum quotientis - - - og oz 2. Primi quotientis - - -penüumimo n4 rennen reum, D, f MINI 4 quae |

Summa - - 207 4.460181 quadratum minus -- —.46016 ; refiduum cum fequentibus » - 1795 ^ m bulis quadratum divifor. 8056.67 8081 tantummodo «quadratum quetieatit— - - - O| |; Ultim radicis » - 6o d:frerumt. ue Summa - -80;5.6 (7 98.6| 1. Ultimi diviforis - - 59 nizzte yel quadratum minus - - ——-. 678081! ]: Ultimi quotientis - - 01 etiam miyid gefiduum cum fequentibus --- «- 217 93 1 18 m 4dbnit, aadratum diviforis - - 805645750 ; qu«tiens integ:r eft -« quadratum quoticDtis - 4 9005 -

Bumma qualis quadratg $0) (337 os u : 13 Dividen-

2, Ulltirni diviforis « - 99.77€ majori

: Ultimi radicis - - $9 drio prex-

1. Medii cdi quotientis --oo

Exemple. — Dividendusfit -- 5565584|46 79. &Divifor - - 36789-

priori femile, —— —ol--. TP — "duplum - - 1r130768 9j 2,.Ultimi radicis 87 . quadrat. divif. 3224. 990521] 2. Ultimi divifor. 89. quadratum quotientis - - 9604 2. Primi quotient, 9& Summa - 3236.13089j s

quadratum minus —.13 0769 0 re(iduum cum fequentibusr24:95| | 2. Ultimi radicis. gg quadratum divi: 3224.990521| | 2. Ultimi divifor. 89 quadratum quotientis - -. O| | 2.Medii quotient, oo

. Summa - - 3225.003014|

quadratum minus — 4.99 0 5 21| E refiduum cum fequentib. 1.2 4.93 58 2. Ultimi radicis oo quadratum diviforis 3224.9 9o521| 2- LLltimi divifor, 89

quadratum quotientis - . - . r21|quotientis 2. ultimi mn Summa zqualis 3226.240000 quotiens integer eft.- quadrato. - . 98ooII..

Ksrwplie, ^ Sitévidendus - - 8:7703]ióp & Diviór.Rggz. — préorifomi- dupum | - - 165540é1i 5p. 1. Ultimi radicis - . 9á

PA quadratum diviforis 6983.458409 2, Ultimi diviforis - 97 quadratumquotientis - - 9801 2, Primi quotientis . 99 Summa - - 7005.022271i —M—M —— . | quadratum minus- -" ".02 0416 . 2. Ultimi radicis . "908 refiduum cum fequeutibus - 185585 2, Ultimi diviforis

quadratum diviforis - 6988.45 84 09 2, Medii quctientis E '

quadratumquotientis - - I Summa. -- 6988643995 | - quadratum minus - —— .625604| | 2. Ultimi radicis — og re(iduum cum fequentibus - - 18 19. 134| ^ Ultimi diviforis 97 quadratum diviforis *- * « 6988.458 409| 2. Ultimi qnotientis gr quadratum quotientig — - - 121 "quotiens integer eff - - Bumma zqualis quadrato 6990297 6 6 4. 990111, | ) Dividen-

€ AP. $. | gt!

Dividendus fit -- 426572217. Divifor veró, 479. & hi odo c274A4- ojo 2, Cyphris 47900, — 7? iori fimile

xluplum cum 2. Cyphris 8527445|49 . 6 proba- xjuadratum divifor. 2 294.41 0 0 oo . dionis ergo AXuotientis quadratum ^£ 4 » 7 921 . eorrefpon- Summa » » 3402.945366 os dens exems quadratum minus ; ——.9 44121] |] | z. Primiquotientis 89 pio r. $. 7. refiduum fequentibusaudem 1245 40]. 4p.

quadratum diviforis 229 4.4100 oo quadratum quotientis «5 — 1 Summa » 5 2194.534541 quadratum minus » 5». ——.50; $01 meliduum fequentíauflum 725 28740 0 «quadratum diviforis 52; 2.2 94.4.1000 0! Ukieus quotiens /55 quadratum quotientis » , 54 , 9| quotiens 89013. Summa equalis quadr. 2294.597 409 . | Exemplum probationis ergó correfondent exempto S. y. c.f. tri- Exenpl 1i. plici rod elaborato, 4f quidem absque a arianr Je rtferem N Dividendus üt sz Q2 48 26 zin 21y 8o & ' Divifor, 2789 $.54.j.

quotientis tert, quart.or — m|n————" A n ——— u— PE

^». ,

dupüm » » 4965j4p 8p go. 7779078815 1 1. 9 - ,

| N 777907881 | 9! nant * od l^ | 27723391 5 : —M59 9 3:904| * WE 4409778 ^ —— uu] 3 777.907$881 za 1230555 34 - 6241 777907881 782.310900 .. 1136 76$ 8 2e "am AU a oe ono 23 2i 10900| 77 9:8 4.9691]. | 91 —-——Á—— ST 4dso 5:6 25 503 79 hannes m uncia amcencmncet ccm ^

OO OO ooooo. a

"quotiens integer etit $.900434.7.9, prout etiam inallegato Exem- plo triplici modo elaboraro in $. 5. carfitis IV, multiplicandus ibidcsa JEEP AE! n -" «uam

-

um Exempl. tt-.

| E CAP. V. ZEN

| | .cum hoc quotiente exacta quadrat ; In hoc verà. exemplo quadea- 7 . tum aequale in fine fübjicere, idemque fubtrahere potuimus, quod in

precedentibus propter charta brevitatem facere non licuit, infuper,

etiamin hoc exemplo,in primisftatim quotientis numeris determinau-

dis, initiales (ummse unitate folüm ab initisjibus in tabulis diffcrumt,

k cauté procedendum erat, ne fureretur locó radicis 8o. radix 79,

€xemplum probationis ergó correfpondens exemplo fecundo . G. quinti, capitis IV. absque explicatione. Dividendusfit - - 749648|04 528934. & Divifor. 179g. |

Brempl. 1. 14992 96/59]o578]68| 95 ft referema 1441936196 28 94$4.6.9. 361 19 : 1444.4358 5 3 -—-— 380025 $.582 819 99 . 1441936196 $6 —— 319 7$ 3448.52 4 344 48 7 481 4 686305 34. y

1442.95615 26 2394| . 48

14 46,624805

e—— .585 156 3964978 3$ 1442.936 196 86 - , à704 si

1446.901878 - 7.889444

1443468| 73 tl | 1442.936196| 86

361 144418001; 144438 90 5|Integ r quotiens eft eeoepooog 197;495287,

PE

tr.9

um DIEITUR

——————— 95 29«r6o056; d— 15-8 6

M 951139596:

Uo het i 1764 d 952049514;

v 49 0319 ——2239

erU Gf 4 170 48141) . 9512:295961

EAT M

RLLUIT:3a78.

. Im .6860og89| ——TBÓ2239! .Y5606496| - . 9.128901 95121295961 95121,295961

46

4| 2116 l ER ——ÀlL16

9513856521 9521426973 ,

951),885651« TMMA70919|43 1

eoocasocgs. el T

9000000000 H

quoticns integer eft y gignat

U*» e E C4 pP

pet Diridendus fi -- 36pze: 028/5498 "&Bivifot -» $972,

penic /»- duplam / 9.384157 àj p | 2 Bitimi radicis 16 . aw. -quadret. isi «79 Na 25 6L5: 1.u timi divifor. 75 ^ quadr; qutientis -I081|

2. Primi quotient, 41 Summa - 7977. 4.1463] MM

, quadratum minus —.3 47356 856 -. ref dugmicum fequent, 63169709 . quadratum divi 2970.02562.5l. 2. Ultimi divifor. 7j . quadratum quotlentis --- 122 5]- 2Medii quotient. 3j ^ ' p———————- . . ——MM—M—l ^ Summa » | 79763875 59F 1; quadracum minis e—- C e a 7 0 re duuri cumfeQuéntü 1.114599Ó.- 2- ultitniradicis 37 quadratum diviféris. 797 9025 625| ?- Ultimi divifor. 75 quadratum quodentis «: »: /3844| quotientis quintus: - d dT qetIr & fextus , Summa ,-' T9ETIT O3 | quadratum mínus e OSTIO

2. Ultimi radicis 10 .

t

EX - 718 96 refiduum uorens. - ^ pela 37948! dimidium. | 27 327 umo do $25. Pracedóms Mir fuam adherentem habet

oiii. 9ul- (rationem fecundum villgdrdm arithmeticz modum & $7 gati nidi hujuscapitis. St vero defideres ad (imilitudinem Extractio- adberins in

"umeris po. nis radicis $22» €. 4in numeris rotundis fade, eriamtra- undis de-. Cionem divifiónis in mumerts rotundis. foo.1000.$50000. Weninetur? &c. dénominare, tunc adjiee folumtodó dividendi duplo Cyphras quotquot volaeris;qnotquot emm ádjectz fuerint,

tot nci cium diviflone coatinuath, in quotiente plures nu-

4 ad BATRETGCOCOHÉ ráctionis pertinentes,cu jus deno- - ininator

-

"- ^

"refiduum cum 2, Cyphris - ; - 7069g00|

CAP Yfiiriator eft unitas cüm tot Cyphris, quót funt adjedfà; jne-. 5.77 glcétis i in fine & quadrati quotientis additione '& quadrati minoris fi ubtraGtiorie & ulteriori i fractione; , |

séfiduum fuit . - 75896.

idem cum2.Cyphris 7258 9600 quadratum divif.797 0.0 2 5 6 2 5 fjuadratum quetiontis - -1764.

quadrat, minus —^77,26489V ze(iduum cum z.Cyphr.9 0500 0Q

quadratum divif, 7979.02562$ TRE. : demi radicis 4p ^ ———

quadratum quotientis » - 2599

Summa . e 72979-979125|) quadratum minüs -——— 8.955025

rehi'duum - — -

' 12250000

quadratum diviforis 7970.02 5615 quadratutn quotientis neglectum - -

Sumiia negledtis 738227 : ultimis,

MEME, n DEUM MERE DO —7Dividendusfit - - 371 & divifor 49.&c cum ;. expri 49000.

duplum cum 4.Cypbris74 2 0000 quadratum divifor, 2401.0 00000 'quadtátum quotientis » - 2 $625 : Summa - -. debaiséiss ss quadratum minus —— 35562 625,

"quadratum diviforis ^? - 401.000 000 quadratum quotientis cDOIL$M! " 404i $umma - - 2408.005041

' quadratumi minus »- ——- 7.963041

. reíiduurn ctm 2, Cyphris - 714,2 000,00 «quadratum diviforis : 2: - 24010 000'00

)

-.Summa -.- 7577.616989|. dr OS

BET

suene qsorientisueglegup ; 7. 7

L-. -Bungna neglectis. ultimis 2405.2 9,

* n

N »

2. Lilimi rádicis - e D. fertplum.

2. Ultimi divifocis - 25 fudlioneme

"Á 1

2. Primi i in numerat 414 denomimant , bu HB SPIEL E DSL n zu

1 Ultimi diviloris ,.- 25. tertius & quartus , ja

- LG

!

1" nHCFKM |

Ultmiradidis — . 23 po, uud,

numerátoris

2e Ultimi.diviforis,.. 75, . quintus, &, fexqus.. 6 numeratoris: '

quotiens cum fractiong

in .numetis rotundis | |

' 415068 D502 -——— | c nó IOooooo0Q Exe 1L. $c CHI rs

quesiens c cum numerg- 9e 5» »ume-. toris prinio, -. E: rurotundit,

J numeratóris fecundus ). & zertius - 7t

numeratorit: .quártus &

quintas 5o - 4 mime d, $7143 DES 7 joopop

Xi $2449.

ec P ^ Pd

A ^ m Sn n m ull B a

^ -

C 49. F^

5. disomodo 7 $1 Ad fimilitudiacialogiflice decimalis, (i forc doffa ésvifio i? . deretur divifionem per tabulas peragere in talibus. cafibus, you ern B^ im quibus divilor habet fractianem.in numeris. rotundis de- ibt sid nominatam & dividendus vel nullam. vcl fimiliter etiam, porundum | aliquam haheat, effcietur hoc, finumeratoris numeri in di- elenomina- vifore, adjiciantur diviforis integro uni. vel pluribus nu- "U (Ut meris, individendo veró fimiliter integro, uni.vel plüribus dividendi, atquetuné, fi in diviforis numeratore pluresfue- rint numeriquám in dividendo,tot is dividendo adhuc adji- ciendz funt Cyphra (o) quot fitetunt pauciores , & epera- tione divifionis fecundum pr&cedentiaad finem perduci, quotientis-proveRieht numeri integri, fi veró- fecundum, praecedentem $. plures Cyphra adficiantuf, prodibunt tot numeratorisntrheri utin precedentibus Exemplis ; Si ve- ró in dividendi numeratore plures fuerint numeri'quàrn in divilore, quotiens habebit adjectam fra&ionem,in cujus nn- meratore tot furit numoari, quot habuit numerator plures numeros in dividendo quàm in divi(ore. e.g. Dividendus

bt, 4157 2L. 2d divifor veró 49o 2L. 13 Lg Htrique adjectó fuà

sxameratore, erit dividendus 416717, & divifor 39015.& quo- miam utrobique duo funt adjecti, prodibit quotiens integer bsquefradtione, himirum 479. preprimiis, cim in boc E- xemplo , quod in Exesnplo $. hujus capitis jamdiüm elabo- ratum eít nihil reranoat, nam fi aliquid remaufiffet, po- tuiffet juxta $. przcedentem operatio continuari, adi inve-

giendos fractionis numeratores. — Sit porró divitlendus. (6717. & divifor PAS 13 quo-

100 niam hic funt duo numeri in numeratore diviforis & nullus

in dividendo, huic accedere debent duz nullitatis Oypheg, vritque fic dividendu, nes X divifoc. 39ot;. qua-

e prepter

Bxemyl. i.

Exempl.2,

.A pep

^-

'€ HP, *,

propter quo&ers erit 47900. absque frádtione; vide: rutfus dictumExempluti- $. 1. hujus capitis. , " 2 --. Sirihterffi t dividendus -- y 7 «& divifor 3 ad- . : Lair 89975 |o:

jeté & dividehdo & divifori fnó numeratore , erit ille

4262717. & hic $905. & quoniam dividendi numerator tri»

bus numeris fait majonilló:diviforis, quotiens habebit 6ra»

Skioncm cujus mumnecator habot j. numeros, eritqae. torus

quotiens fractus, meHape 497 497' vid, rurfus did. t. Exemplum.

io0Q ^" $1 hujuscapitis. u . Tandem dixidendu: p TA 24. iu quod » Exp

10e99'- dem, - 01235 ;adjett utrique fuo. numeratore erit ille, 9

IOOO

.. &hic 734. fed quoniam. dividendo tantüm &nü$ & divifori tres fünt'adjecti numeri, illiadliuc duz Cyphri accedere; debent, ut at gno. atque a finie hujus | i itocis habébis quotientem in integris nimeris 757.& fi poréó tres Cyphras adjicias, habebis quotientem cum fractione ,,,., 143. Vid. £-

) 757 xoog iooQ, xemplutm 2.5. 22. hujus capitis. upon Sister aia $24. Propófitis fic cibis Bre ad vifi ^ Divifo per 1. hujus capitis expreffos, pertinentibus & n nibus divi- o

"for eftminór quàm numerus 99900. alter jam cafus princi- vifor.edl, palis juxta $. 14. reftat, quà divifor major elt numero iftó oder quám $9900 ; libi diviforis quinq; initiales ad finiftrara pundtó à 999€6... fequentibus, quótqhot fuerint,diftIngvantur atque per hot

ce quinque ád finiftram initiales , ceu diviforem , divifió,

pro inveniendis duobus primis in quatiete nufneris juxta 'tehorem $. 16. & $. r7. hujus capitis peragitür tàni diu; us-

que düm juxtá inarghhale decir fequétites dieta

Kj

———— n f cec c COE M «

7: 2 2 CUCaÓ4P. Y. |

Mis — fünt.adjiciendi , non aliter, ac.fi quinque ifti ad: fiai- tamen^ — -ftram initiales nullos alios adjectos habperint numerqs 4. Mm Atque jam demum difcrepat operatio hnjus cafus. ab illo, poogsoetty quód locó duorum adjiciendorum numerorum, adjici de- beat unus tancüm fequens in dupló dividendi numerus, fi in divifore tantüm unus ad dextram poft punétum fit reliqvus, , dub veró.adjici debeant; fi duó fint.reliqui, quatuor, fiqua- tuor & demum quinque, 6 quinque vel.etiam plures fint re- , liqui, pluresenim quàm qninque haétenus: tiun adjici de- bent, hujusporró reliqui minoristamen quàm 100000.qua- 'dratum addatur quadrato quotientis, & ab hac fumma füb- AC trabatur qmadratum differentiz; quz eft iater quotientem., | & idem reliqvum poft punctum ad dextram ; Illud veró quod in hac quadratorum fübtractioné remanet porró fub trahendum eft, ab illo refiduo, cui unus reliqvus vel plurd& adjecti funt, quófactó eüdem plané modo, duo, fequentes quotientisnumeri quaeruntur, quó. duó primi 4nvend fünt némpe, quadratum quírque initialium ad ffniftram ceu di- viforis addendo, fütminam examinando, eidemque quadra- tum proximéinus in tabulis queréndo &c. de catéro, fi in fine aliquis numerus fuperfit, illius dimidium erit.numerae

vo: |. doríracdtionisjuxta dict.$. 1. ——.. ea ts Dese 7 $25. Bedunicum adhuc. determinandum cft, übi ni- gellogdnde mirum iftud quadratum quinque initialium , ceu diviforis,

pu Hoi denuó addendum; recte collocari debeat ; collocatur nimi- does, . Ium juxtafundamentum s. 17. & ejusdem marginale deci-

. mum hujus capitis, ubi refiduo unus. e(t adjiciendus nume- Tus, fi unicus quotientis nurierus quzratur, duo vero, fi duo fimül quzrantur, jam veró ratio haberi debet illorum nu-.- merorum;quz jam düm propter reliquos in divifore adjedii funr, etgue fic, fi propter diyilosem phus téntür. agdjectus.

od : 3

! UOMR. 0. 0». ^f & queratur rantüm unus quosieritis. numerus , - tiellus, porró adjicidebet, fi .verà: duo quotientis.nümqri querat /—— tur, urtus de duplo dividendi adjiciendus érit ; SfÉporró pro-'

pter divilorem. duo lint adje&i , & quzratur tautüm unus.

. quotienas numerus, collocatur dictum quadratum divifo-. ris fub. penultimum refidui;fub ultimnm veró; i quzrantur: mE duo quotientis numeri; (i ulterius proptez.diviforem tres — U fint adjecti de duplo dividendi, & quzratur tantüm unus quotientis numerus collocari debec dictum quadráturm futy

antepenyulrimyum refidui & füb penultiyium,(i duo.queran-

tur; adhuc porró (i propter diviforem, quatuor fint adject ^^. ^ C

. 5 ose -

Pequsramr tantüm unus qüotientis numerus, quadratum, | .. .-

! iftud col Ocatut füb quartumà dextra refidui "& fub tértidm .. 5...

. fi duo quotientis numeri quarantur, tandem, (i propter'di- ua viforem quinquefintadje&ió queratur taatü&i unusquo- ^. 7:7 tientisnumerus, qhadratumiftud calo£&aturfüb quintum, ^-^ ^57 A dextra refidui & (ub quartutn , li duo quarantur, . -- DM UNT

l 1n Lii at."

$.26. Exemplisquatnor fequentibus res erit clarior, quibus locó explicationis alphabedi litépe propter chapte 477 $üguítiath appofite funt, fignificat veró ibidem Litera C. mpl ré &uadratém quiae diviforis iniiglium ad fjniftram, £eu prefenzene P diviforisebíaloti : d. quadrat quotientis: e. füutumam, | trium additorum, némpé dupli dividendi , quadrati divffo- ris & quadrati quotientis: f. quadratum proxime minus - in«abulis : g refiduum, fi hoc quadratum & dicta fümrála , Tubtractum i cdmadjectistot de duplo ditidendtnumsris, quot im diveiforc paofbqninq; numeros initiales fant reliqui. b: quadratum uflius vel plurium numerorum qui in divifo- re poft quinque numeros initiales funt reliqui: k. fammatn hujus todó dici quadrati & quadrati quotientis: ]. qua-. shracum :diffecentiz, que ef intcr. quotientem & reliquos |

x . -—

« d - *

rs CCP, Y.

Exempl. t. ubique f^t- &fionein "

ekvifor

Bard. mume- MÀ pos, quod e - - 2168.919325

probes E- xemplam aen

poft quinque initiales in divifere : lu differentiam inter tho dó dictum quadratum: modó dictam fümmasn: i redunm fi bec differentia à.ntfiditn g. (ubtrabatur : 0$. radicemia, tabulis:n. duos ultimos quinqueinitialium. ceu diviforis :9«: quoticntis quafitos numeros: p.reliquos in divifore pott quinque initiales: &. p direi inter. 7 hos & quoriznais Rumncros quies. -.

a t t rs cummERES

Dividendus ^» 5$85165]9 1 x-Divifor een duplum - e 1170331|8 2 4| -.

C - - 11267247769 - 1225

. "E" 2|. is mor. 9d d anaay! H-- 6j b. -- 49 0--5

f. 77894404 k -- 1274. Pp.--7

£ - ^ 24911 -- 784. q*-.29 . hl -" T 490 lh -- 490 .. co. s. 15147769 2 meg | € " »" 2 74. 9 -" à... d «5776 8^ 76 € - - 27902140817] | .-— o -- 76 £-- e oTi ETT J82y P--7 g o7 e 1064| ^ 429! q--69 (à - - . 'lo6 P : 1064. | quotiens integer eft» —

3/263.

277. - * Disiden-

L9, MN. Y» Dividendus - "e 135 4510|52 47 & divifer.- - din 93. EYemph i,

duplum -* * 72069011|04l94 abique fruc. € -- 9752.7 47336 T | Umee 9! ferio . -—- - Y12i1l5| d-:121j B 36 1er pue

b--8649 gy .. gg mer. K--9874 p-- 9 l-:3364 q.. gg h--65109 I

- * 9759817781 » e —— 4661681 - - 156 r0ro04j -70- Ó510 - * 15601594 c 9751247516 |: 624

- - 9768357170 - e TM .35711j . JL /14694|. - 3 . 146 94

m--3 d--6241 n-. 36 0-78649. 0 -- 79

7.4890 .p - «9 S196 q-. E h-14694 .

^. quotiens integer cft eft C

£DUS "^o Q6 móq "^06 p ||

md —-

Divid dendus. 2-291

en $ " e 2 ? me

N ivi 914715 29847151 215 jó & divifa. 7 75499. 6g2, Exemp. 3 " aplam : - c 5969 430|427|12] 4, 4bsque fnt«

- 5686517281 Iz: m -- 489b, im.

NI o 152D

- - 5$6924882;2

e.

d--7521 n -- og b 465124 og... pisrbosin eoo mm 490704 k 466645 p-- 681 meros, 2 0. 875218417 l 411449 q4-- 64 . 53 965 |h - 53196. Ve 4 e 9747511 me.s-6 |. € 2 cans d-- 3364 n«« (; " LN 3164 1b 465124 o. - :8 "- 2 $é9ja68168 F4 68483 P--68 e 7 . "68089 | 389376 q "6124 t . . - 07 79112|5-79113 T0 0] t7 . 79 ! 12 quotiens integer eft 3958, L iyiden-

freq "^6 en " sog "^o * a

*

* TAB — Exp. 4 ividendus 2. aL 11 4 14198 $8037 38027 03" '&)Divifor 59743 227. ubique j dione, fn. "duplum €-- I 10448 397 397 76054106 (o6

quo duife" € - -» 35$7287449| debet, . d «9. -—' 7569

Mme. u 27336774341]

E "^ ——72900 o .B. * -. 7051576054 h 1 C

| | m jo (dd - - 25669 1-43 ]b6117.899989 0.87. — lk 6117.906658 p 7827 16104.296900 .q 7890

-* - Yyoyys| |h- 13609758

- 0 TO ME | o! € c - 35572187449| | - mo d - - 23481 d - - 3481n-4 Prlseeme Je 61:2:499o89 o 3 f. - - ———-3:i8804 k 6117.90170 p7827 B - 7 -— 91219606] 6198671964 qr h - - 9119606|h - - 6229606

mE —. quotiens integer:elt - ».

$79

"ivifoper. . $.26. Hadenus divilio per tabulas noftray ad divifo-

tabulet — YemiTOtootoo6O0. "usque afcendit, fed ne quis pntet, hic

quando Di-termyingtiearundem, potentiam, quomodo eadem in quo- papi ,. Vismajore divifore peragi poffit, docendum adhuc reftat :

cr)que Et quidem in*ali cafu, abfciffis à divifore decem numeris

quàm, Operaátioinftituerda eit;per hofce 10; numeros pláné fecun-

4600000000? dum tenorém $,24.. &y.Imjus capitis "usque düm pro in-

veniendis tertio:& quarto quotientis tiumeris, ad additio-

nem quadrati quinque initiálium ad 'finiftram diviforis per

' ventum fit, antequam enim hac additio fiat, rurfus ficut in

$14. tot adjiciuntur, de duplo dividendi,numeri,quot poft

'decem initiales diviforis funt. numeri reliqui , atque fi-

militer

CAP. A E

militer horum reliqndrunr, quadratum additur dusdrato:

quotientis inventi, & ab hac fummi fübtidhitur quadratum

differentiz,quie cft mcer quotienteim invéntuni & di tos ré-^ liquos numeros, atque illud quod in hac quadratorum füb- ^ ^ -

tractione remanet, porró fübtrahendum eft; ab illo refiduo, cui poftdecem diviforis réliqui adjedti (unt; atque tunc di-

vifionis operatio fic ad finem usque continuatur, proüt ab -

initio factum eft; atque fic quidem hic procedendi modus sícendit usque ad diviforem 1000000000000000. ad majo-

rem verà diviforem & quousque libuerit afcendi poreft, fi. poft quinos & quinos numeros cum reliquis perpetuó ad.

fimilitudinem reliquorum poft quinque in $. 24. & poftde- cem in boc ipfo $. Opetatio peragatur. Literg veró Alpha beti in duobus fequentibus Exemplis ezdem , idem etiam, reprafentant, qnod in $. przcedenti determinatum eft ; re. lique veró quz in dict. $. non habentur reprafentant (e- quentia : t. quadratum poít decem divifbris numeros reli- quorum : u. füammam hujus quadrati & quadrati quotientis inventi : x. quadratum differentie qua eft inter quotientem

inventam & modo dictos reliquos : r. differentiam intet. . —

quadratum modó dictum & fummam modó dictam : f. re(i- duum , fi hec differentia à refiduo i. fübtrahatur: y. reli« quos poft decem diviforis : z. differentiam inter hos& quotientem inventum,

Lt Exemplum

-—

"

4m

CAP. f.

Bxemplem t, lsgue fsaclione. im quo Divifor babes

: duplum -- 905643

14, 9UNEF0/,

83666l60 js 71841161

. m . 96

DDividendus - - 451 zi $1130 4208 & divifor 9315547911.

c 14M 60125 d

e-- 144) 5939

"ue

es

UK x 95] 6 fe 9 DN "^6 e e rh nor an n

.- 14478601 z

--. 1425864 1€/| --» 7.897919

T7 "e

d -» - 126 n--&$5 b j002.171849 171849 o.- n

96018 k 3002271970 p54793 diit 6997383666 | jo00L067524 q 479; t 144 0 - T - - Ei10j446 h -« 1205446 ud265 Y. 699617822060 X--Iz--X - - : T2604 —

6996178117 96 | - — 9464 |

| 2992.199401 q,7g; t 144 9 9*

- 072» 1"06| 4959 ani h --100gig 12 8óog Y !*

o» 10909$1012 M dilbérbiuns üBitfbb high donit

| X 6400 Z $o - . 4 À [ -——i Sol 837399 8 484 - 1 2208

- . .631719]8 6176

". s 1441860225 m-94 | tt $1 - - 815--8j 1443544943 go 39913171849 o - og

Lt 54403

2 4493 5| Ik 3002271910 P5479) d £t . - $86176

o 0 4l - 3601.286656 4784 *on4 9 09

- -* 986174| |lh-- Pj - wm . - - 216. ? x--92--$ . . : 21016 f aló

' 6 é o o Oo

. *quetiens integerelt - - 119109.

JSixemplum

Exemplum 2. absque féuclione in que Divifor babet. ' 20. d$ mUMOS ——. | | mM Dividendus - 90 6 32 8136584 59717 83 68. & Divifor - - 694521.52830.4766V..—

duplum 1.8 13 656|73169 1743567 € /4823.5803 64 d - - 169

36 ! /^ "me-ó6j |

l d - - 160 n--52 4. - e b 44.308909. 5. -15 t 2271.184964. k 3344.309069 p 578jo w2271.28 5133 133424805489 q $787 €1.3170.04.602$

* -4$252393129 D-0—,3861:25 - 02 69043 73169

- I 4 03589 | [h-- 1503589 &-- 1239108 - * 68896553917455| |. EE I dM. - 7 688969576783:7 - XT

: m--56

- - )J 82 A 8o Q4 j | . 1 $5 P d - - 1i6 n-2-$52 d « ^ «6 334408900 9 . o4 t 2271L284964 k 3344-308916 p 57830. 1227128489 | 3343.84 5256 q $784 244 X2270:903716

"7 4824469 289 "LLLI a6

.

Ó ' " o u ue ws het ] wes Sut "4 QN M 9o

e -. - 462649 h - - 462640 EK 5 - 381264. " - ) 2 6 . a 04 M 19334 8050383 76 , pr - -o- 145334895|004$1,02 * 47674

. . 1H. A48

]d - - 92166 m--52d - - 9ni6 b3344.308990 5. 96 t 2271.2849 64

TK 3344-21 8:16 p $7830 0 2271.2941 49 l 33 33-2147 6 q 57734 1226143944

4 8 23.5 80304 -. 9z16 " 4836914415

L9 304

E á

* - 1I10 I ^ - - e» JI odo ! h- -1! 103360 f -- 9150336 - 0: 7. 944 50336 Y "m ind - - * 'OI amnbfbndugnEp 2.15033? 1 47562

eu * o Ul ^6 de »^i s oW) h6 66 de 9 9 mad nh

- 7* * * 9000000 quotiens intcgereft - - 130496.

L 4 $. 3. Pofitis

ENT | | CAP, F.

Contela mo

100000. facilis veró eft horum duorum cafuum folntio ; fi nempé in utroquecafu non quinque initiales ceu divifür ac« cipiantur,fed tantummodó quatuor; rcliquis omnibus ma-

. pentibus, ut in precedentibus dictum eft. $.29. Quemadmodum jam ultró fatemur, divifionem

Demonfne- per tabulas quadratorum, in cafibus illis , in quibus divifoe

tío divifo-

mis cafibus eonfultó o- priffa,

qti

. major eft quám 99900. nihil aut parum compendii afferre;

rei Mathematicz, przprimis cüm à me inventa fit alia divi- (ionis ratio, quz & huic per tabulas & aliis quibuslibet pat- marium facilé preripere poteft, duplicató nimirum:&quin- tuplicató per dimidiationem folütn divifore, ad. quosvis quotientes fimplici additione & fubtractione inveniendos, ita demonftrationem ejusmodi divifioni fübjicere haud ne- ceffarium effe exiftimavi, fperans hic cum Cartéfio in fine; fuz Geometrie, à pofteris mihi gratias habitum iri; non fo- lim pro iis, quz in hoc capite tüm utilitatis, tüm curiofita- tis gratià explicui, fed etiam pro hac demon(tratione; quam confultó omifi, quo ipfis voluptatem il- lam inveniendi relinquerem.

'

-

emm :

"- C 4r.

N957.292€ 2 | CAP. VL. | | Dc Admirando Tabularum ufu in numeris figura-

tis preter quadratum, reliq uis, Trigonio, Penta-. gonio, Héxagonio &c.in infinitum. BEEN

:S, t. |

C ex quatnor aut quinque folummodó operationibus Continua tota coríftet Arithmetica, quz funt Additio ,. Subtra- 4 4a. tio, Multiplisatio, Divifio & Radicum Extractio, adeo, ut 'Cartefius non veritus (it hos ipfos Arithmeticos terminos, án fgam Geometrigm introducere; additio ,veró.& fubtra- £Xio :&nt:.& fimpligioris :& cemmuaioris praxeos,econtrà Multiplicatio, diy?io &radicum :extrattio altioris indagi- nis, hzc veró, quemodo per tabulas 'expediantur, in gmace- «dentibus pleniffimé & oftenfa & demon(trata à nobisfint Legitimationem tétragonometriz noftre rabulariz in ge- neralioribus & univerfali Mathefi fufficientiffimam effe, fir- miter mihi perfuafuni eít, infüper etiam fpeciatim aliqua. attingere haud absire effe exiftimo, attingere.dico, non ple- né abíolvere, multó minus hic demonftrare ; quàmvis de- rnonftrabilia fint ortmia, id quod Bata huic 'apufculo prater

intentionem.db initio tneam denegarunt,curabo tamén uc D niverfalem Mathefin hi(ce tábulis pleniffimé applicari, & MD demonítrari , .(i DEUS Vitam largiatur. & operam mganb : 6 ose publicogratam.effe ffentre potuero, . primo. Yero a pro- -uM Us AES ponam, quz circa numeros an xraverfali Mathefi i inter alia UN ^

multa proponi folent:& ad Mathefis univerfalis partem

rithmeticam potiífimum fpectant, $.2. In Arithmeticis ex-natura ipfa numerorum y. : Bragreffa . potius-ex naturali ipforum progreffjone, fcnobis offert a; 4rit begin pec

6f | | CAP. PF. . 64, 4f. mnium primó progreffio vel preportio, que Arithmetica MUPHETOEP dicitur, cujus definitionem vide in $.2. capitistertii; In qua Fgumorem progreffione fequentia obfervarunt ingeniofi. Numerm 6. 3. Si ab unitate incipiendo ponamus naturaliter & sriangnla- (C, cundum ordinem numeros, continué unitate folummodó ris femtri- ei . . u- . . gom —— Creícentes, &tandem, ubicunque libuerit in ultimo aliquo quid? ^ fub((tamus, atq; fümmam omnium colligamusif(tam fum. mam efficere numerum trigonium & in Triangulum zqui- laterum equalibus continuó difítantiis exacté redigibilem, E. g. fifubfiftamusin numero, 7. & (ümmam omnium, 2.6. y. 4.3.1, & I.colligamus, erit ill,28.(ed hic numerus dicitur efle triangularisquia fingulz iftius numeri. unitates , ctu pun €, in triangulum zquilaterum exacte funt redigibiles , ita utperpetuó uniformiterà fe invicem diítent, ut patecexape pofitis Figuris A. & B. "

8 4 «4

duomode — $. 4: Dató itaquequovis numeró ultimó in progreffio- 4bsque 9*-. ne ejusmodi arithmetica, vel etiam numeró terminorum. bulis iPV*-. eiusdem triangularis numerus, feu füumma omnium termi- etum lei. norum invenitur per Regulam in Arithmeticis commu. mumpro. ncth; quód nempe ille numerus,unitate auctus debeat mul- grejfonis — tiplicari'cum dimidio numero terminorum, vel (i hic nu- germinum — yyerusfit impar, ut dimidium non nifiin fracto numero ha- V«[?V"*- beri poffit, quód dimidium ultimi numeri unitate aucti

multiplicari debeat, cum numero terminorum; Sicin prz-

Fum termi- gedenti Exemplo, ultimus erat 7. idemque unitate auctus g,

geryt,

cujus .

|

| CAP. FN - .4 cujus dimidium 4. multiplicans numerum terminorum 7, (funt enim in hac progreffione feptem termini) procreat — criangularem dictum zg. Pariratione invenies, i numerus — .— ultimus fit 48754. ejusdem numgrum triangularem feu fam- (- mam omnium terminorum efle , 1187525745. multiplicando nimirum ultimum terminum unitate auctum 48734. cumo. dimidio numero terminorum 24367. ut tentanti con(tabit. $. 5. Multó facilior & compendiofior hic eft operacio-F4cr/ier is- per tabulas, in quibus folummodo evolvitur quadratum ul. ehula pte tími termini eidemque additur, fua radix i.e. ipfe ultimus ^ 4 ^ terminus, eritque tunc dimidia fumma , que(itus numerus triangularis, feu fumma amnium terminorum ; fie vides quód ultimi termini 7. quadratum fit 49. & horum duorum fumma 6. dimidia veró 28. numerus triangularis; Parimo- do quadratum ultimi termini 48734. eft 2375.002756. & ho» rum fumma 2375051490. quare dimidia 1187525745. erit que- fitus triangularis, feufüurmma omnium terminorum, —..:^ — Nom folie» $. 6. jpganriffime fic fingulz radices in tabulis non, 4w4dnitifod folüm quadratos, fed etiam triangulares fuos numeros de- ^4" rr

terminant. - angulares

| . "NHMECEL PS ' $.7. Econtra ex quolibet numero triangulari velfumms ,,,,/;.

progreffionis, radix triangularis, vel ultimus terminus vel wur,

etiam numerus terminorum extrahitur, (i ipfius octuplum 2s4dotus

unitate auctum, cen quadratum, in tabulis quaratur, ejus-/ew ze£mga-

denique radicis unitate diminutz dimidium ,, (ic. numeri ^

triangularis 25. octuplum unitate auctum eft z25. cnjus ra«:

dix quadrata, unitate diminuta eff 14. cujus dimidium 7. e».

rit radix triangularis quaita ; 2 0l $.8. Siporrà ab nnitate incipiendo ponamus numec« fede C.

rosbinarió crefcentes &fubfiftamusin 3]jquq ceu ultumo at» ang vla s .

que colligamus furiman omninutn terminorum, repraíen- /;4 Trig.

e tabit e,

,$» CAP.PL *abit ilIa ipfa numerum quadratum, de quo, càm füprà,Ca- pitetertió ex profeffo actum fit ; ad (equentes fimiles pet-

gendum lüceft, 2. . Numeri -.$.9. Si itaque porró ab unitate incipiendo, ponamus oequm- humeros ternarió crefcentas, & fübiftamus in aliquo cca ftu quin

quangula- ultimo, atquc colligamus fummam omnium terminorum, wu, quid? Teprzfentabitilla ipfa numerum pentagonium, fcu quin» "quangularem ; quia in appofita figura pentagonia regulari : ternére licet, quód ad punétum werticale, ceu unitates "primé accedant, ad trinimurn quatuor puncta, ad forman- "dum pentaponium primum regulare, deinde porró acce- "dunt tribusadditis7. puncta, quz cum aliistribus punctis, *-Fuerutit in pentagonio priori quali diftantia, formant fecun- Yperitagonium, fimiliter porrà 'dunt tribus additis ro. puncta, cumaliis y. punctis, quz fue- t in fecundo pentagonio, for- it; inequali diffantia tertium, tagonium , non'minus porró . " --..edunttribus additis 13. pundta, "quz cumaliis. pünctis;quz fuerant 'in tertio pertagonio formarit inzqualidiftaritia quartum pentagonium ; &c. 'O- mnia vero punétaiin tota figura C. vel alia'quacunque tma- jeriinunam fümimám colle&ta efficere dicuntur,numerum pentagonium, cujtisradix 'perttdpóriiaeft latus :pentagonii maximi, ultimus vero termirius progrelfionis, juxta diffe- "rentiam 3. repreíeritat tria maxinri peritagonii latera. n $.10. Dató jam ultimó termino in progreffione ab:u- A— "nitéte drithmetica cujus differentia eft j. fumma omnium, Aly iin. Ctritünorum feu numerus pentaganius absque tabulis dre-

Wwioui .

t.

(nt^ CAP. VL | c T D

iori via inveniri non poteft, quàm, quód tertia pars ultimi /? pentsges termini binarió aucti, multiplicari debeat ,, eum. dimidia; "hu. daté parte ejusdem quidem ultimi termini fed unitate folüm uu- progrefpe- : Qi, fi modo ultimus terminus fit numetus impar : fic ex. BT- terminó. ultimus terminus fit 5. & binarió auctus 15. hujusque tertia Exemplum ' pars j. multiplicata cum dimidia parte ultimi, termini uni- i» parvi: tate aucti, nempe 7. producit (utmmam omnium termino- "mers, rum velnumerum pentagonium,3;. S1 vérà ultimus tera " minus fit numerus par, dimidius numerus. termingrum, multiplicari debet, cum ultimo, unitate aucto; Sic ex. er. . ultimusnumerus fit 65658. & binarió auctus 65640. cujus Exemplum, tertia pars 21880. hujusque ditnidium 10940. multiplicatum 7/7 7*7 €um ultimo termino, unitate auclo, 65639. producit füm- ^ mam omnium terminorum, vel numerum pentagonium., 718090660.

S. 11, Multó breviüs hac omnia unt. per tabulas, in poti - quibus folummodo querendum eft quadratutà ultimi ter- Mibiead m mini, ejusdemque binarià aucti tertia pars , eft addenda i- Cf imrue-. pfius radici ceu ultimo termino, fümme dimidium, erit niazur per. (umma omnium terminorum feu numerus pentagonius. Sic mbülas. ex. gr. ultimi termini rj. quadratum eft 169. cui (i addatur Exemplum. binarius 2: erit (umma 171. cujus tertia pars 57. addita radici párvi 13. facit füummam 7o. cujus dimidium 35. €t ut anteà, (umma mumeris omnium terminorum, feu numerus Pentagonius : Similiter. ultimi termini 65653. quadratum binerió au&tum eft 4308. r.,, esplum 3479046. cujus tertia pars1436115682, addita radici 65658. facit jj 4,5, (ummam 143618320. cujus dimidium 718090660. e(t, ut an- majoribur, tà fumma omnium terminorum,íeu numerus Pentagonius, !

$. 12. Datà viciffim fummáà. omnium terminorum feu; - numeró pentagoni, fi queratur ultimus terminus in illa., D«ró sswe« progreffione ab unitate Ma continua differentia jy. " ó pent gos

& tuna

'a

yf CAP. Pt

890, quomo- tunc fumma multiplicetnr cum numero 24. & exhoc pro- - P ircmwe ducto unitate aucto extrahatur radix quadrata, atque abil- pragreflonis la radice fübtrahatur numerus ternarius, j. refidui dimidi- vermimw«. um erit ultimus, qui queritur, terminus; Sic ex. gr. fumma (5 35. multiplicata cum 24. producit 840. cujus producti, uni- JBxempism. tateaucti, radix quadrata eft, 29. & fi ab hac fübtraliitur, 3. $nparvis peftat 26. cujus dimidium, rj. eft ultimus in progretfiong, PENES. usficus ;/fimiliter (umma 7158090660. multiplicata cum 24. Exe »rplam producit 17254175840. hujus producti unitate audi radix in majeri. Quadrata eft 15127 9. quod ipfum facili negotió, benefició. ém numeris, S. 10. cap, 4. experiri licet , fi ergó ab hac radice fuübtraha-. " £ur 3. erit refidui dimidium 65638.ultimus progreffionis que-

fitus. | | Qunomode 6.15. Si verà per datum numerum terminorum,ceu radi- pér radisem cem numeri pentagonii, velimus quaerere in eadem pro- geniagtin- oreffione continu& differenti 3. fünmam omnium termi- ni pio norum feu numerum pentagonium, id absque tabulis cffi- matar eju. Cicmus, fi quidem numerus terminorum, feu radix numeri elem penm- pentagonii, fit impar, multiplicando dimidium tripli, uni- gosin 45r- cate diminuti, & facti ex nnmero terminorum, cuim, eodem que tsbnliz vwyrmero terminorum, productum enim erit qux[ita (umma Exemplum vel numcruspentaponius; Sic ex. gr. fit numerus termino- , 9554775. vum, feu numeri pentagonii radix ;. & triplum hujus, 15. We*c^ — atqueunitate diminutum L4. cujus dimidium 7. multiplica- tum cum numero terminorum 5, producit 3j. quafitam. Tummpatn, feu nimerum pentagonium ; 5. enim puncta nu-

| merabis infigura, C, $. 9. hujus capitis. . Sinis fi $.14. Si veró radix numeri pentagonii fit par, tunc pc dimidium ejusdem multiplicandum eft cum triplo uni- Axemplum. tate. diminuto , ejüsdem "adhuc radicis: Sic ex.gr. fit numeri pentagonii radix data 218go. cujus quaritur nume- 2E rus " 22

€AB.TVL »" fs pentapónius : Triplum ejusdem eft 65640. atque hoc u- mitate diminutum 65639. quod ipfutn multiplicatum cum, dimidia tadice 10940. producit 718090660. numerum pen- tagonium quef(itum: | |

$.1. Rurfus per tábulas hic accrefcit egregium com- Somos pendium, nam datà pentagonii rmmeri radice, ipfe nurat- le mi » rüs pentagonias (tati 'imvtrütuft , quxrendo radicis qua- N dratum, eidemque addendo ejusdem quadrati dimidium, acglectà fractione ex imparitate accedente , atque ab hae füuma radicis dimidium fubtrahendo, rurfüs neglectà im» paritatis fractiotie, ^ Sic ex. gr. fadicis 5. quadratum eft5. Exempíens huic fi addas ejusdem dimidium 1absque fractione, (ümtma * Pervie- erit 37. à qua fi (ubtrahas dimidium radicis 2. absque fra- "nts «tione, eeftabic 55. quafitus numerus peritagonius, Simi- 4. liter radicis 21880. quadratum eft 453: 754400. huic fi addas;, ned ejusdem dimidium 23957100. fürmima erit 718101600. à qua bur sumerik, fi fübtrahas dimidium radicis 10949. reftabit 713090660. . quazfitus numerus pentagonius. i 0 7

$. 16. Dató viciffim numerà pentágonià, fi queratur Duspads ejus dem radix, id efficiemus, (i iumerus pentagontus mul: s4meri peni - tiplicetur cum numero za. & ex producto unitate aucto; egomiex- extrahatur radix quadrata, hisjus radicis anitate auctae fexca tiber nili. pars erit radix pentagonii quafita : Sicex. gr. nutnerus pen- dix penta- | gonius 35. maltiplicatus cum 24. producit "ritate fuper- Exemplum addita 41. cujus radix quadrata unitáte aucta eltjo. &liu-/5 er - jus óta pars 5. que(ita radix pentagonii : Similiter hutneruspsmers. pentagonius 718090660, rauitiplicatuscum 24. producit ü- Eyewp/uyy nkate (aperaddità 172. 341758. 41. cujtis radix duadrata jam, i» numeris anteà in $. I2, inventa eft 1279. quare hujusradicis unitate, t4ioribur, Suxctz: fexta pars 21880. erit radix pentagonia quefila, —'- |

Mj $22 lee

(

"nu . CAP. FL ^ Mexapemier — & i7; Ulteriüs (iab unitateincipiendo;portamus nume Kv fex os quaternarió crefcentes & fübfiftamus.in aliquo ceu ulti-- * geri ni^ mo, atque colligamusfümmara omnium. terminorum ,. re- merui prafentabit illaipfà numerum Hexagonium, feu fexangula- rem ; quia, ut apparet in appefita figura, D. pofitó pritnó, pundtó, ceuunitate & deinde nu-- meró. 5, ab unitate per quater- narium. diftante,. videmus: im fi-- , guraappofita quód numerus 5. ac- . / €edensunitati, formet primum &: E minimum: hexagogum , (i porró: accedane o puncta &quinqne pun-- ] Gis rurfasquaternarió differentia, - qvoad eorund.numerum»hac g.pundta, cum trib. aliis prio-. :^ ris hexagoni formant inzquali diftantia fecundum hexago- Jo Unum, ulterius fi accedant ry puncta, &novem punctis rurfus; m perquaternariud, atque fic in progreffionc arithmetica dif-: . ferentia, hzc tredecim puncta , cum aliis quinque in fecun- ' dohexagono formant in equali .diftantia tertium hexago- ."o bum, non minus [i perró accedant, r7. puricta, codem mo- .". dàdifferentia à prioxibusi. formabitur cum 7. eliis inter-. ^ ^ ' io hexagono in equali: punctorum diftantia quartum & in. . hac figura maximum hexagonum ; Omnia veró puncta in tota figura D. vel in alia quacunque majori in. unam fum- fam collecta, efficere dicuntur numerumhexagonum, cu- jusradix hexagonia eft, latus hexagoni maximi, fecundum: puncta, que comprehendit , denominatum, ultimus verà. terminus juxta differentiam 4. reprafentat tria maximi . pentagonilatera. D Quomodo — S. 1g. Dató jam quovis numero, ceu ultimoin pragrefa. . is invenié- (onc arithuncticáab unitate, cujus differentia eft 4. fumma : omnium,

"CAP, PI p 'inmnium terminorum íeu numerus hexagonius absqueta- 72. deti bulis breviüs vix inveniri poteft, nifi, ut quarta pars ultimi 27^57 die : Zerminiternarióaucti mulsiplicari debeat cum dimidia. "7^ &fe ;parte ejusdem quidem ultimi termini, fed unitate folüm au- au, able. ti j Sic ex.gr. ulsimus terminus fit i7. & ternario auctus20.

hujasque quarta pars jy. multiplicata cum dimidia parte ul- piesplum . 1imi termini, .unitate aucti nempe 9. producit fummatn o- í» parvi, "mnium terminorum, vel numerum hexagonium45. Simi- | liter ; ultimus terminus .(it 13345. -& ternarió auctus 12348. &xemplum hujusque quarta pars 3087. mukiplicata cum dimidia partem mwjori- "ultimi termini, unitate auéti , "nempe 617;. producit fum- bue numeris, mam omninm texnrisorum, xelnumeruim héxagonium- - .' 19056051. MET mE |

—. $19. Adhuc breviüs illud-ipfum invenitur per xabulas, XQvomedh» 4n quibus folummodó quarendum .eft -quadrstum :ultimi Mim 1termiai,illius'ipliuserim tecnarib tauren aucti quarta pars, per. rzbulany 'li addatur fuiipáus xadici, «cen iltimo xermino , erit fum» daré rimé mz dimidium quzfita:'Gtmmaomnium terminorum feü nu-772greffemi merus Hexagonius ; Sicex. gr. ultimi termini 9. qvadra. mne. "tum ternarió gucbumreít 292. cujus quarta pars73. addita ra- Pxehrpewe dici 17,.facit.(ammam 9o. cujus:dimidiuny 45. eft, ut.antcà ^ Pero fumma.omniumxterminorum , feu numerus 'Hexagortius: BE Similiter ultimi:termini 13345..qvadratum ternaríó:auctum Exemplum veft 152.399018. cujus quarta pars38099757. addita radici 1545. 6 mejore .facit.fummam 3$riz102. eujus dimidium 19056051, eft, ut an- Pemerw. "teà fumma.omninm terminorum , :(éü :numerus .Hexago-

-D1us, | * BENE :

$. 20. Datá viciffim 'füummá omniumterminorum, feu | ' ,, '

tnumeró Hexagonió, (i queratur ultimus terminus in lla ird | "Progreifione ab unitatearitlimetici,continue differente 4...» poni debi lbreviffima:inventionis via.erit, fi ex fümme termiihorum., iwrveiiaam.

feu

Ww C£. AP. PL s]nmupro- (eu numeri Hexagonii octuplo unitateaucto extrahatur ra- s efionis , dixquadrata, illa ipà enim binarió dimimuta erit quafitus TP Provreffionis ultimus terminus: Sic ex.gr.ex amma termi- Bxemplmi. o um (eu numeri Hexagonti 45.octuplo unitateaucto 361. jn parum : aser sumerig, Cxtracta per tabulas radix qvadrata eft 19. qva ipfa binarió Exemplum diminuta, 17. eft qvaitus pregreffionis ultimus; Similiter inmajoribu: ex íumma terminorum feu numeri Hexagonii 190560j1. o symeris, — Cuplounitate aucto 152.4.48409. extracta per tabulas radix p qvadrata e(t 1347.quz ip(a binarió diminuta 1345. eft quz- € z. litus progresfionis ultimus. ne mdice $. 21. Si veró per datumnumerum terminorum, ceura- bexagosiá. dicem numeri hexagonii velimus quarere , in eadem pro- datá iwve-. gresfione continuz differentiae 4. íummam omnium termi- gidturspff! horum feu numerum hexagonium, id absque tabulis efficie- jul jg, 00$ fi duplum radicis hexagoni& unitate diminutum mul- "- ») Ium . tiplicaveris, cum illa ipfa radice, fic ex. gr. duplum. Radicis Jin parvis. hexagonizs. duplum unitate, diminutum , 9. rnultiplicans Aumerw, Candem radicem 5. producit 45. quefitum numerum hexa- Exemplum gonium: Similiter Radicis hexagoniz 3087. duplum unita- jo meejoribot c. diminutum 617 3. multiplicans candem radicem 3 08 7.

s4"MIÓ, — aroducit 19056051. quafitum numerum hexagonium. bula . $. 2. Non minus etiam hic tabule quadratorum praz- er

! dice dard, TOBatiVam ratione compendii habent , in.quibus radicis

amvemiatar hexagoniz, qvadrati duplum, ipía radice fuà diminutum;

ejusdem nu- e(t numerus, qvi qvaritur hexagonius: $c ex.gr. radicis he-- .meris be-. xagonis 5. quadratum eft 35. & hujus duplum go. .& radice:

84$?"'^^ hexagonià diminatum 45. qvod ipfum eft numerus hexago-

Exemplum nius ; Similiter, radicis hexagonie 3087. quadratum eft--

pini . 9419569. & hujus duplum 19059138. & hoc radice hexagonià Kaemplum diminutum 19056051, eft qva(itus numerus hexagonius.:

ia majori- | f

bw nsmtri, | ($35. Dató

1 6.23. Dató viciffim numeró hexagonió, fi qvératur e-.2vomode — jusdem radix, id efficiemus, fi ex numeri hexagonii octuplo, 446 »sme^d unitate aucto, extrahatur radix qvadrata, cujus ipfius radi- LEXAgOn | cis unitate auctz qvarta párs eft qvafita radix hexagonia.. : jj, nai, $ic ex gr. numeri hexagonii 45. octuplum unitate auctum 4exagonis, eft, 56r. cujus radix qvadrata unitate auctaeít 20. hujusque Exemp/us qvarta pars 5. radix hexagonia qvafita: Similiter numerii» parvis .. hexagonii 19056051. octuplum unitate auctum eft 52448409. "wmerss. cujus radix qvadrata, unitate aucta, eft 12548. hujusqve qvar- Exemplum .. ta pars 3087. radix hexagonia qvzfita. ' | /» majori- . e 44 NH. $.24. Qvemadm. jam fatis conftat, qvód per certa data& ultim" progreffionis terminus & fuia omniü terminorum & 45, o. radix in precedentibus progreffionibus ad numeros Trigo-5,/eeuius - niü Tetragonium, Pentagonium & Hexagonium fpectantes z» genere. commodiífimé per tabulas qvadratorum numerorum inve-Tonfitw, niantur, ita etiam in qvavis alia progreffione ad alios etiani numeros polygonios ininfinitum dabiles, heptagonium, — ^ octogonium , Neagonium , Decagonium &c, tabula- rum iftarum ufus, vulgari absqve tabulis operationi, qvam impofterum etiam brevitatis gratià , non ampliüs determi- fabimus, ufüi tabularum folüm nos applicantes, longe praferendus eft; & qvoniam hoc femper ertum eft, qvód qvivisnumerus Polygonius per certum numerum de- nominatus, habeat ftam progreffioneim fecundum iftam, differentiam, qve binarió minor eft qvàm ipfius denomina- tio, ex.gr. heptagonius habet differentiam 5. Decagonius differentiam $. &c. facilé proptereà dari poteft folutio uni» ' verfalis, juxta quam illa, qva in przcedentibus in fingulari- büs cafibus propofita fünt, univerfaliter in qvibusvis poly- goniis expediri poffunt. | |

23 N — $35.Dató .

CAP. F1,

Daró euju- ^^ e. 2g. Datb itaqve cujusvis numeri polygonii ultimà vurg, Poly- terminó progreffionis ipli competentis, ipfe polygonius nu- Ani iri rheru$ üniverfaliter invenitur fegventi modó : Ultimi tet- P ermind, míni qvadrato unitate diminuto, atqve fic divifo per ipfam. invenire i- differéntiam, debet addi ultimus terminus progreífionis, Xm wwme- ünitáte auctus fümma'hujus dimidium erit numerus poly- rinm Po099- s Sninsqvafitus. "Ex. gr. numerus Decagonius , fit ex. pro- "- ^ —— greffionefecundum differentiam $. datus jam eft inifta pro- .. .. qreífione aliqvis términus ceu ultimus, nempé, 39993. & Aennplu P. qvritur furnma omnium terminorum,feu ipfe numerus de-

-.. . «*agonius,qvapropter, qvadratoe ipfius ultimi, 1599.440049.

. "unitate diminuto & tunc divifo per differentiam pro-. *cn :greffionis 3. qvotienti 1099309006, debet addi ultimus termi- ,

| ^nus, ditate auctus 39994. & erit fumma 199970000. atqves

^— dimidiam hüjus 99985oco. qvafitusnumerus decagonius. 4Uvómodo — — '&.i6. Econtrà datà aliqvó.rrumeró ,polygonió qvóvis, Waró qvóvis differentiam progreifionis parem habente, fi qveratur ulti- «POUE?99 — mus (ux progreffionis terminus, per folutionem univerfa- veniarar wt. cm hoc fit, i duplum illius numeri polygonii unitate dis dimus pro, ininutum multiplicetur cum differentia lua atqve producto «greffons — unitate aucto addatur qvadratum ejusdem differentiz, di- verminm,É midi lujjs fumme radix, ejusdem "adhuc differen- babeo: 4f- tS dimidió diminuta; efit qvafitus.ultimus terminus pro- Jf iig gte(fionis, Ex. gr. numeri Decagonii 99935000. duplum u- , nitate diminutum 199969999. mnltiplicatum cum differen- tia faa it progreífione competente 8. producit 1599759993. cui producto fi addatur 1é. qvadratum differentiz dimidiz, fumi radix 39997. eàdem differeritià dimidià 4. diminu- £a e(t 59997. elt qvafitus ultimus in progreffione terminus,

SP mimerut ^ 58.27. Si vérà dictus progrelflonis terminus habeat dif- -'Ugovi — fcrentiam progreffionis imparem, tünc adliuc qvidem due 2 pium

AaMaeeonp emo

dre!

Qoo MBPS ue ]

plum numeri polygonii unitate-digmirututt tiultiplicetne &ebedt 2A eum differentia fua progreffionoli fed jam producti hujus; fere | unitate aucti, qvadrupla debet addi qvadratum differentia 77 ii progreffianalis, hujusqye fumma Radix eddem differengid. re», avo- progrefíonali. dimingta & Gic deinceps dimidiata erit qvas »odo proces (tus ultimus. progreffionis terminus. Ex, gr, numeri-Nea, 4^9!/o/vexi genii feu Nonangularis 281549501. duplyuta, unitate dimipn, "^ * fue, tum 5670816ot. fi mulüpplicetnr cum differentia fua pror grettionali 7. producit 3969567007. cujus unitats audi qva» druplo 3587846803. addatur qvadratum differentie pror gresliopalis.49. erit per S.1o.c.4. hujns (umma radix 126009. &jusdemqve differentià progresfionali diminuta dimidium 630c!, ultimus qvafitus progresfionis terminus, 0 $38. Dató verá numerü terminorum jn progresfione. &,, e. cuilibet numero polygonio competenti,(ive qvod idem, da- Zzt4 2er «à Pedicealienjus numeri polygenii, ipfe numerus polyga- mice pely- nius univerfali modó invenitiür, fi qvadratum radicis poly- £eriaimve- gnis, fuá ipfius radice diminutum, tnuleiplicétut cum dif- n " s erentia progresfionis, qvxfito polygonio numero compe- rupi, - gentis, & producti dimidio addatur eadem radix polygo- nia, (ic ex.gr.Radieis pelygonie fooco.qvadratum 25000000. Zxempinfs, fuà radice diminutum 249950000.íi multiplicetur cum diffes. : rentia progresfionali 8. producit 199966000. cuj* dimidTum, 9998009090. additud, eidem; xádici oo. füumma: eri&..— 9998)/coQ. quefitug nutherus degagonius, . 0 0.0 oer 0013 — $39. contri (ie quoxis polyganis mutnero radix ejs- Ausus . ' dem (is extrahanda, qvs.eft labiis figuoat maxime in polygo- dx 4o Jo, numerum detum polygoninm comprehendente , & fi- Dyganió ipe mul etiam eff &urmerué tcniminprum in.progree(ione illi nu- 7e; zrur ns, mero polygonio competentis ef&cietur hoc, fi numerum. dix ges... .flasum polygonium multip:es cum octuplo differentig pro» — «s ««^ Nt gresfio« |

4|

| M CAP, V1. : .. .— éresfionalis & producto addas qvadratum differentiz, qv — ' eftinter differentiam progresfionalem & binarium nume- sum, hujus fümme radix qvadrata atqveaucta dict4 illa dif- ferentió, qve eftinter differentiam progres(ionalem &nu- * - 4mnerum binarium, s. diminuta vero, (i binarius numerus ft major differentià progresfionali , qvod qvidem in folo nu-

: merotrigonio accidit, fi dividatur per duplum differentiz progreslionalis , qvetiens erit radix polygonia qvafita, fic

mE er En numerus decagonius 99985000. multiplicatus cum; differenti progresfionalis 8. octuplo 64. producit 6399.040000. cui fi addas qvadratum differentiz, 6. qva eft

inter progresfionalem differentiam $. & binarium 1. nimie

rum 36. fumm radix qvadrata 79994. aucta dictà differen-

tià 6, nempe 8oooo. fi dividatur per duplum differentiz

progresfionalis 16, qvotiens erit $000. radix decagonia qvz- fita...

casts

CAP. FIL De Tabularum Ulfüin aliis numeris proportionali- bus & progreffionalibus Arithmeticis, Geo-

AMirtesdune . ráetricis & Muficis, . |

eur prace- | : $. 1.

piti » (n Vod in przcedehti capite de numeris figuratis prepo- aritbmeticá fitum & (olutum v(t;ulteriis ad alios cafus inarithme-

progreffoni tica proportione in genere( cujus definitionem vide in $. 2,

generi. cap. j.) cjusdemqve progresfione extendi poteft, nimirum, :Qvomedo [i in aliqva progresftone aNthmetica detur minimus-& ma- ximui inus iffécentia progresfionis, & qvzra-

"minors o. 0f fümmaomnium terminorüm, efficietur hoc, fi differen- onim, in. laqvadratorum majoris termini atqve minoris dividatur

grogresfrone eritémetica; - per

P ond

-—-

CAD. P.IL. ! tp! per differentiam progres(jonalem & huic qvetienti adda- (^) Datis, tur füummaiRarum terminorum datorum, ut fiat fumma ,, maximó cujus dimidium cft fammaomnium terminorum qvzfita "ét iP Sic €x.gr. inter qvadratum 62738849. minimi termini 793. & differentia qvadratum 3453,207696. maximi termini 58764. differentia. progreffo.. cft per fubtractionem 3452578847. qv divifa per differen- *s*.

- tiam progresfionalem 29. fit IIQgOj4.44/3. cui fi addatur Exemplum, fumma extremorum terminorti $9577. fit (umma rr9tr4 000, cujus dimidium 59557000.elt fumma omnium terminorum qvalita. — TE E

$.2. Si dentur, minimus terminus, differentia progres-- Das fionalis atqve numerus terminorum & qvaratur fumma o- () ba mnium terminorum , in progrefsione arithmetica ; tunc sy»ó, diffe qvadratum numeri terminorum dati, eódem numeró ter- remiá pro- minorum diminutum, multiplica cum data differentia , & £reffemli adde producto duplum dati minoris termini , multiplica- 9 eimerd.

tum cum numero terminorum , fumma hzc dimidia erit Mice

qvzfita fumma omnium terminorum. Ex,gr.qvadratum,

1j2.39002j. numeriterminorum dati1234 j.ebdem numeró

terminorum diminutum 152386680. maultiplicetur cum 4

data differentia 22. & producto 33522506960. adde duplum

dati minoris termini 123. nempé 2416. multiplicatum cum,

numero terminorum datoD34j.ut fiat productum 3036870

antecedenti producto addendum pro fümmá 3555$4.3830.-

cujus dimidium 167777191. et fumma omnium termino-", -

rum qvafita. - 0000. sl

$3. Si porró dentur maximus terminus , differentia. G) Bwtár

pregresfionis atqve numerus terminorum .& qvaratur "x2 —

fumma omnium terminorum; A duplo maximi termini P diferent 4

differentià.datà aucto & multiplicato cum.numero termi- 55...

norum; (ubtrahendum eft qvadratum numgri terminorum ss arg, ww- - N3 ^ ^ dati

—-

a. CA». Pr meró tevimi- dati, cum differentia data multiplicatutt, refidui di midi uie wóru. —— erpjt qvafita fumma omn:um tertüinorub. Ex. gr.à miaxi- Kxemplunt. fni tetmirii 271691. duplo ;j45n. differentia datà22, andtà $4340 & multiplicato, cutn numero terminotumni 12345: ni- mirum 6708112380. fübtrahatur ; qvadratum numeri cermi- , norum dati 152, 399o:j. multiplicatum cum differentia date "oH. nintitum 335277 8550.refidui3355543 816. dimidium uemod 1677771915. eft fümma omnium termitiórum qvafita, Svenietur. '. &. 4. Si dentür alicujus. 'progteffi ónis arithmeticz füm- maxim — ma omniumterminorum, nec non.progreffionis differen- 6 4 LM $- , tía & minitnus terminus, & qv&ratur maximus terminus; Be, grub turic illa data differentia aüt cft par aut impar, (i par fit, vU ca tero c ses multiplicetür duplum fumme data, rhinimó terminó dimi- (j)B«ne Wutum,cum differentia progretfi onis & produdto addatur, máe- qvadratum dati minimi termini, nec non qvadratum dimi- gniam (67- die differentke ; hujus fumriz radix dimidii datà differentià minoris diminuga erit qvafi tus maxiinus progreffi: ohis terininus, Mei po ^ Ex.gr. fütumz dat 6348000. düplum 12696000, minim ter- minó G dif- ferentié, minó 354. diminutum 1695646. multiplicetur cum diffe- rentia progreffi onis n. & producto 132347752. addatur. n2516. Sj diferen- radratum dicti minimi termini 354; nec rion 36. vadratum tía fit na- d i d. perut par. imidle differentia 6. hujus fümmz 152473164. radix qvadra- Exemplum, ! fa 1348. dimidia differentià 6. diminuta 1342. eft qvati- etus maximus | progreffinis terminus, .. Si dferen--— $$. Siveróin przcedenti cafu differentia progrelfio: io- pia fi "M nis fit impar, tunc adhuc qvidem mulriplicetur düplüm meri fümmz datz' minimotermino diminütum, cum differentia gare progreffionis & producto addatur qvadratum dati mininri . termini, fell jam hujus fumme qvadruplo addi debet qva- : dratum differeütit progréffionalis, ut fist fgmma; "habens 0? radicom qvadtatam, cüjys differenti" progresfi ondli dimi-

nuta

Moa A

CAP.PFIL —— f^ nut dimidium e(t qvafitus-maximus progreffionis terni- us, Ex. gr. fümmz date 59557600. düplüm n9ma4ooo.miiti- 2mó terminó 793. diminutum 911207. multplicetür cuai, Exemplum. differentia pro gres(ionis 29, & producto .3454233003. addá- tur 618849. qvadratum di&ti rhinimi termini 793.hujus fum- 7m2.345491182- qvadruplo:1819647408. addatur qvadratum

ifferenti ptogresfidnalis 841. ut fiat furnma 15819648249.

habens-radicem, juxta $. 10. capitis 4. inveniendam, 117557-. .— 5.0.» cujus differentià, progresfionali 29. diminutz, dimidium — . ; 4 58764. et qyalitus maximus progresfienisterminus. . —DEEELL : à , to ( «

i

|. $. 6, Si detur alicujus progresfionis arithmetica fum. (2) Daiir maomnjum cerminoruam, nec non differentia progresfionis /uppp 4 o- & numerus rerninoeum, atqve qvzratur maximus téril- zmium met nus ; tunc duplo fümmz addendum e(t qvadrátum.numeri "rerum terminorum, ,epdem. pnumeró terminorum dirinutumy & ffo *ic multiplicatum;cum differentia data, additornm horurfr, , DE op. fütuma divifa per duplum. numeri terminorum, elt quzll- weró rez- tus maximus terminus, Ex.gr. duplo fumma*67777191 i nil- simorwnr. mirum 35555$jo.addatur gxadratum152.399035. datiüumé- — Qvome- E terminorum 2345, diminutu m hàc ipío nnmeró térmiro- do imrvenia- qum, nempe 153386680. atqve fic multiplicatum cum data", niii «lifferentiazz. nimitntn 3352506960, horum additorüm füti- ,,, gne fo 3a 679805079. divifa per duplum numeri terminorum nis AViLbtni- 24690. nimirum.371691eft qvalitus maximus terminus. . eie. ' 7 ^0 78.7. Similiter fi detur alicujus progresfionis arithtné-./,3 sias ic? lumma. omnium terminorum, .nec non progres(iofíls /ywené wew- differentia, numeri paris atqve maximus terminus, & qva-viseramsy;. Tatur minimus terminus, tunc-À qvadrato maximi dati ter- difereneé mini, dimidió differentiz date aucti, fübtrahendum eft pro- 7, "PAM «luctutn multiplicati dupli fammie date, cum dta differef- sj 4,57 "tig,refiduum habebit radicemyqva dimidió differentiie dàta e« fitnume- ' Ie HUBA er ve Un 7*7 ends "pars

"0j

|. "4 G A P. VTL. D.

Wxtnplutr, aucta, eft minimus progresfionisterminus qvzfitus. Ex.gr. | 5 qvadrato 152.473104. maximi dati termini 342. data diffe- rentiz dimidió 6. aucti; fübtrahatur productum 152352000. factum ex multiplicatione dupli fütnmz datz cum data dif- ferentia, refidui hujus r04. radix qvadrata 348. dimidio differentiz auda, 354. erit minimus qvaitus progresfionis

tefminus. : mE tacto Si aferen- $. 8. Si veró in precedenti cafu progresfionis differen- ipi tia fit numerus impar, tunc addenda eft hzc differentia du« pe. |, po maximi termini data, atqve ab hujus füummz qvadrato, /— fubtrahendum eft octuplum ejusdem differentiz progres- ^ .fionalis, multiplicatum cum data füumma omnium termi- norum, refidui radix, aucta differentià progresfionali, & fic dimidiata eft qvzfitus minimus terminus, Ex. gr. diffe- Bsemple? centia 19. addita duplo 167528. dati maximi termini 58764. facit fummam, 117557. à cujus qvadrato, inveniendo per $.;. '" €ap.4- 1819648249. fübtrahendum eft octuplum differentiz 231. multiplicatum cum data fumma omnium terminorum

(c $9557006. nempé productum 13817224. ut fubtractiene fact .

- remaneat 2.424249. cujus radix eíl 1,57. & aucta differenti progresfioriali 1/86. cujus dimidium, 79;. eft qvafitus tmini-

mus terminus progresfionis, à (3)D4tis—— 6.9. Siporró dentur alicujus progresfionis arithmeticz femmás- fümma omnium terminorum , differentia progres(ionalis, niam te atqve numerus terminorum , & qvaratur minimus pro- nec non dif. gres(ionis terminus; tunc qvadratum numeri dati termi- ferentió f. norum, diminutum eódem numeró terminorum atqve fic mumeré ter- multiplicatum cum data differentia, fübtrahendum eft 4 minorem. duplo date fummz , atqve hos refiduum divifum per du- gxemplum. plum numeri terminorum,erit qvafitus minimus terminus. Ex.gr. numeri terminorum dati 1345. qvadratum 152399025. J E . códem

P da c9

. . I e *

MENMESMP CAP. Y 0 0, 77 0a eódemnutteró terminorum diminutum 1/3386680. atqve, * fic: cutn data. differentia 22. multiplicatum , 3352506960. fübtrahendum eft. date (ümmz r6 77771915. duplo — 3355543830. refiduum 3036870. divifüm per duplum nume- n terminorum 24:690. nimirum 125. eft qvafitus minimus rminpus. mE | B

8. 10. Potró, "fi dentur fümma omnium terminorum, Qvomode nec nonminimus & maximus terminus progreffionis arith« svesiatur . metice & qvzratur differentia progreffionalis , fit hoc fe-2'eg*effe- qventi modo: «A qvadrato maximi termini fübtrahatur milis diffe - qvadratum minimi termini &fe(iduum dividatur per diffe. "^'^. rentiam, qvz eft inter duplum fümmz datz, & fgmmam, / D«ri - fnaximi & minimi termini ex. gr. à maximi termini 38764 má to qvadrato, 34532076906. fubtrahatur qvadratum 628849. tni- minorum ,

nimi dati termini79;. atqve refiduum 3452578847. dividatur 44, minim

;, per differentiam 119054443 qvz eft inter duplum, fümimz maximé '

.. dátz 59557000. & fummam maximi &minimi termini $9557. Eremo E 2. qvotiens 25. eft qvafita differentia progreffionalisc - OMBRA ^o Sari dentur füummaomnium terminorum, minimus '

, terminus, nec pan terminorum numerus & qvzratur diffe. í 2) Dti rentia progresfionalis; tunc à fumma terminorum data priu pup. fübtrahi debét minor terminus datus cum numero termi- sisorum, norum dato multiplicatus, hujus re(idui duplum fi divida- "r/mó ser- tur per qvadratum dati numeriterminorum, eódem nume- mod & vits ró terminorum diminutum, qvotiens erit qvafita progres- porum, Pls fionalis differentia,, Ex. gr. à fumma terminorum data -- Exempli "

16771719)$ fabtrahatur miner terminusdatusi23. multis —— P ek plicatis tamen cum njmtro terminorum dato 1234. ni- -

- mirum $1843. hujus re(idui 1676253480. duplum, 3334596960, divifum per qvadratum dati numeri rermi- UU (Um Q '" morum

—

"i

7 Y

T Cute. 4^I5 . norum diminutinm 152386680. qvoritu 35, efiqnefita pro gtésfionalis differentia, —^ | t t») Dara $. D: Si dentur. (umma omnium terminorgm , msaxi- amm49- — imusterminus & numerus terminorum, &c. qveratur diffe: rk, ' rehtiapropresfionalis, tuncdurmma tenrinorum data füb- maximi ry. Vrahatur à maximo termino;multiplicato cammumerotcr-

: ximo término dato 271691. multiplicato cum numero tet» venplo &.,, minorum dato 1345. nimirum 3334023395. te(tabit 1676253486. bujit capi cüjus duplum 3552y0695o. divifum per1536630. qvod ef m", 'qvadratumnumeri terminorum *eàdem numeró termino- düuomed? rum diminutum, qvoriens zz. eft qvata dilfereuda pro- ssvemiatw' gre(lionalis. — unthute—— $ 3, Si deritut fumma omnium terminorum,maximus

. Dara tetminus & differentia in progre(fione aliqva arithmetica, MA ni*. & qvaratur numerus terminorum; tunc differenciz datz

wig» ep. 0Ctuplam, multiplicatum tum data imma omnium termi-

— cwimerem, norum fubtrehi debet àqvadrato, qvodft vx duplo maxi-

waximórer- mi termini datà differermà aucto , refidui radix/qvadrata ,-

minó 8 dif- (ubrractaà dicto-duplo maximi termini datà differenrià au-.

fer rfe, ^ &to atqve(ic divifa per duplum -differentiz date, qvotiens

ps lieife " erit qvefitus cerminorum mumerus, modó in divifiore ni-

vides; ru, DÀ reimanferit, five divifio absqve fractione peragi potu-- sit pari fé. Crit, ve divifor dividendi parsexacté extiterit, Ex. pr. ma- *camdió Exc), xXimi termini dati38764. duplumary2g.datà differentiá 29, M:efs gH. auctum 117 f 7. habet tjvadratum 1819633249. fecundum "xem. fo "S. To.cap. 4. inveniendum, 3 qvofi fübtrahacur, differentie

eréponiess: «daga Gtuplum 25. wulüplicatumcunr data fumma oni

. 4^. . - ^ ^ «m

-

N

€ e

mE . eA TIT [E um ternmühoruis, y95y7000. nompà 198932 4606. celinzcim Exem- qviur; 2.4242 49. cujusitadix qvadreta t9. (übrratta Adi 3$... &o dnplo differenti aucto L77j77: relinqvit tr6000. qvod 4/9 ePi divifüm per duplum differenti 58. facitqvotientem2000. qvzfirum numeramtermineram, - . os ani €. 14. Si veró.in przcedenticafti duplum differentiz dai; 47; tz:non cexacté dividat inventam juxta precedentia radicemvidendi - ' . fabtractamáà duplo maximi termini differeritià auctó, five fi /veric par- in divifione emergat fractio. adhzrens, qvod qvidem ra AF risfimé contingit , tunc eadem radix inventa dicto duplo de deri. differentià auctó addi debet, atqvefic per duplum differen, pr, —— te dividi, ut qvotiefs.lit. qvaffitus numerus terminorum... | Ex. gr. maximi termini dati 4997. duplum 9994. datà difz Exemplum. ferentià 5. auctum 9999. habet qvadratum, 99.980001. t | qvo fi(übrtabatur differentiz date octuplum 40. multipli- — catum Cum data fümma Ottinium terminorum 24.299500. nempe, 9098DOo60. relinqvitur I; cujus radix qvadrata r. 'addita dicto duplo maximi termini, differentià progresfio. tali aucto, facit (ummam 1ooco. qvie divifa per 10. duplum differentiz eft 1000. numerus terminornm qvafitus, $. Ij. Si dentur fumma ómnium terminorum, minimus c, p jc terminus atqve differentia prógresfionis alicujus arithmeti- fio ee. L. €2 & qvaratur numerus terminorum ; tunc differentia datae mim rer» 5 octüplum multiplicatumcum data umma: omnium termi- rrnorsym,, norum, addi debet qvadrato differentiz, qvx. eft inter du- miné 6$ df. plem minimi terininidati & differentiam progres(ionalem 5,6 Pape, datam, (umttitex hac additione fatta labebit radicem qvae ereffonali,. dtatam; qvo (i fübtrahaeur dicta differentia, qvz eft inter 3i duplam. duplum minoris termini & differentiam progresfionalem., 9NÓnrse reve k re(iduum dividatur per duplum diffrentiz progreslona- mH AN lis quotiqxs exit, ipfe qva&ieusnumerus ccrminortimi, mO* qoos ifo Ds Oz. - lO rentia pro^ ——- | grefionalit.

oat c

. wwum Exem-

poo 0 CÓMkRPFIE MEM . ^ . dóduplumminimitermini dáni majus fucrit , differentia Exemp.eor-. progresfionali datà. Ex. gr. differentiz data 12, actuplum; rdP4"4* Q6. multiplicatum cum data fümta omnium terminorum glo $. 4. bn- 6348000. producit 609408000. qvod.addi debet qvadra-

ju capire, tO 484-416. nimitum differentiz 696. qve eft inter mini-

. mi termini dati, 354. duplum 708. & dictam differentiam, progrestionalem, fumma hujus 609. 8924416. tadix qvadra- ta eft 24.696. à qva fi fübtrahatur dicta differentia inter duplsm minoris & progresfionalem & re(iduum 24000. . dividatur per 24. id eft dupluin differentiz date , qvotiens efít1oo0. qvafitusgumerus terminorum, — , -

Si duplum $. I6. Si veró in precedenti cafu duplum mitümi.ter-

minimiter- mini dacifit minus, qvàm differentia prezrcesfionalis data, miri fati? tunc eidem radici, differentia, qvz eft inter duplum mino- oim dif. 5 termini & differentiam progresfionalem addi debet, hu- quam diffe. TOP TAM dU rentia pro- jusadditionis poftmodum fümma factas: (i dividatur. adhuc grefronali, ctiam per duplum differentig progres(ienalis,qvotiens erit £xempl.cor. qYlitus numerus terminorum. Ex, gr. differenrim .datz * rtfpondens octuplum, 40. multiplicatum, cum data (ümmà otnniuma

e Brem terminorum 2499500. producit 9299800003 qvod addi

Mujus eapi-- debet qvadratoj. nimirum differentia, 2. qx: eít inter mi-

ys, ., nimiterminidati2.duplum, q. & dictam diljerentiata pro» gres(ionalem 5. fumma hujus 9998ooot. radix qvadratcà cf

9999. huic radici dicta differentia 4. qve eft inter düplum

minimi & differentiam progresfionalem addi debet, (nm-

3a 10000, dividi per duplum differentia pregiresfienalis Yo,

, Qvotiensrooo. eft qvze(itus numerus serminerum;. si JPrepomendo- — $.17. Omnes jam progres(ionis asithritéticz cafus, qvi | vam im pro- dari pofIunt circainventionem terminorum entremoram, pin ** differentiz progres(ionalis, numeri torminorum & füummz AIPNIHRSA* Omnium terminorum, & propofiti & foluti fant, pracer il- 7 é 7 ; . . MD los

-d

* CAP EIL OS. 0 0 ww Yos qvi pritet multiplicationern & divifionem tabulariam. niperim. : noftram decoetero de compendiis tetrágónonietriz tabu- e.t ee . arie dil'ampliüiparriéipart ; dvóniam veró paucis etiam illi cafus expediti po&ürit, ethec progresfionis arichmeticae Tnatéria; qvie & eabulis'& nóftris, & cubicis, & legaritlitrti- — .——— ' cis & aliis qvibuslibér fü largitur fundamenta , plenitis per | tracer , nec qvicqvàm à "euriofis hic:defi derari. posfity preprimis fi alia exempla fibi ipfis exercitii grati proponc- 7t délidereüt, cafüs illos brevisfité& proponani &folvam, sb exemplorum per fe facillima applicatione abfinendo. ' 6:8. Si itaqve dértur tiinimus tertrünus, differentia & Peri termini N- numerus terminorum, makimisiRVéniturtérminus, finu... 3hcrusterminorum'unitatéditninttus &nultipkcetur cum. differentia & producto addatüt mifiirnds tdriinus. ^ ^. | | 6.19. Si déritur riakttiusfermitnus , differentia & nu- Inventio C. Tnerms teemitorum, mifirus invétiitur terminus, fi nume- minimi. für terminorum trihiplicetür cem. diffesentia produ- ^ cows €tum fübtrahacurá thiximó teiffálitó; differetcid'auckó, .. !—— $.20. Si dentur rnaximus (d riiniriastermirids, nec non y Dreenriodi | . [r*- termifgorum numerus, differetitia' iuvenitur, (i minifnus grcfimali terminus fubtrahatur a maximo, & refiduum dividatur per | | riiiérum terminorunt, unite diphánutum. iti lc " | dr Sidehtur tíbfgmiel&caninimubverminus qoc: noa. ss Vies differentia, invenitütiRüm&erus ténininórur, fimimimus err ,,, iu 3minusfübtrahatur/à maxitro-differentià progreffionali aii- Iu «6 lercfiduura dividatur per candem digeronciam progeee- EN (idüalem. | o7 0019 2 * 0015989 uo tt usus (OP a Sl dentór ovxjntur'e rims tePÁniras BetndH poesie. «erminorumtnümerus, invenitür fümfna-omniunitermiino- farbnna. to: sur yf dimitlia-fürmia mittiinl V máxivii fmíltiplioérur trnseter- «um: nuiero jorninefutn; módo ilta furia (iz qumerus "7707 die. od A 03 : pars v

b

-

' y Q7 $3 7 c'* 3 1.

T

uu

Ne C2 P. YT. | par, baro fiámpar fic; tota illa fumma smltiplicari debet cuam ' . ' ' démidiotermiaorum numiero. — . . praesit, S33, Si dentur minimus cermings, terminorunr nume - ermini — vus & (umma omnium terminorum, maximus. invenitug wAUuP! — terminus, (fngmerusterminorujgp eultiplicetur cum 4uini« «lie. mo termino & producbum: fuübtrahatur.& duplo fummz o. muium.tertpinerzur, aque tefidunm dividatur per. eysdem. numerumterminorum,. . Mewentiomi- — 6.14. Si dentur maximus terminus, numerug'tetmino- wii tTPIDE eom & (umma óomnium- terminorum ,. minimus inyenitug- 4a. terminus, fi maximus terminus multiphcetur cüm nutnero- terminorum, & productum (uburabatur à duplo fummz ox mniom. terminprum , atqve. refiduum. dividatur, pes cune dem terminorum numerum. . Brpentiopu- ^ 5. 25.. Tandemídentur, maximus & minimus termi-- meri termi- nus, nec non famma omniumterminorum , numerus tere ferum alia, minorunt invenitür, fi duplum. fpmms omnium tertnigo- rum, dividatur per fummam maximi & minimi termini, , . 26. In proportionevelprogroffione geometrica qvid. . | poffit noftra Tetraganometria: tabulario jam parüm. Perqni Je pragret. ($ 27. Miffis ilüsinpropreffionearithmnetise qvàm plur fone Geo- — simis; pauca qvedam cirea. progre(fipaam peomerricam Amtricá I8- proponam, ubiftatim Tabylz qvadratorum vel ob hunc fag - fu uas e 1m ufum proportionaliiim Bremertsicorum , maximi, (unt qui? momenti, nibil énijo ferf in-tota Maghdicrebriüs o«eprrit, inv enrieme- qvàm inventio medii proportionalis , qvod ipfum.«alcu[é di propar- alitey deteresinari non poteft, eifi ut desa extiyema faeum., — . BioBeln Geo- multiplicentur, & ex predutte;radix qvadrata-exrabatur, ^ Mrs s quàm facilisqueem (it extradlio radicis per ralulas fupecits. " Sspieqvatto abunde demppftratum ei. Biogt.inter q,& 9. ! i2 , dqmedius

00 05 0 Miu PP. (^ "m *$nedius proportionnalis ef, qvia qvater novem funt 36, cu- a, Exempla jos radix qvadrata 6. eft qfefitus medius proportionalis ; Si- 79 Parvi tniliterinter duos numeros 39601: & 29929. medius propor- "4 eribus tionalis.eft 54427. ita, ut fe babeut 39601. ad 34427. ficut fe; Miti habet 34427. ad'29929: vel vice versà, 29929. fe habet ad 34417. ficut fe habet 44427. ad 39601. qvia extremi dati.nu- merifecummuhtplicati, producunt 1185213329. :cujus radix . qvadrataveftütfüprà 34427. intabulis. —— : «4.28. Porró cnam-certii :proporüionalis inventio per Z»vzm?o — tabulas qvadraeorany fecilljta eft :qvid fecundi termini 77776 zer «qvadracum divi(ünv per primam terminem dft qve(ituster- " Li ie tius termiuus.. Ex, gr. fecundi itermini-dati,6. qyadratum, ri d eft )6. qvod-per.cermiram primuni 4. divi(um!eficit.qvo-. , Exempla. xientem9, qvzfiram rertium cerminum , (fimiliter fecundi ;, 5, eg termini, 23427. qvadratumieft n8y.2i81ó.4jvod divifüm:per »sajoribue- " fprimum rerminum 396ot. efficit qvotieritem 29929. qvifi- sum] o tum*«tftiummtérmimoum. : c 00 S Me n [1 ME Po w$.29. Sic facilé continue progreffie^geottieetica fieri Triampre» -poteltin iifinitum, (i tertió:propértiondfi-ineenró: porrá Dorrindtie inveniatur qvartus, pef fetuhdufsi &itertian, fie qvart& 777 0 invent) deinceps qviütue inVefiiatüry per«cortium Rc qvar- cos riw, tum & fic deinceps, femper qvarendo dudbus prime át- quomqgue ' ^ vecedentibustertium .proportionklem-tvousqve Tilemersé, dibuerir. — - ' Afurntm veróomnitm ceéminordudconipemdlese do venite -Qomod» licet, fi dividas (ecündumi terminum per primum , ut'ha. gmveniatum — 'beasfic denominatorem proportionis ; &oc:elt, (fecondum., mena o-- qvam rationem ex. gt. dupldrirtriplam-&c. vel.aliam qvae 5777. "FP . , lemcü mve;progreffiofacta Tits dotiominatore ficinvento, 5,55. fionis potrà dividerida eft differentia iniasimunt& miris gemere, progrerfióeis teHitiitiura, perit denómitiasorer uri tte dininotütn; qvotiensanaximp:teriuinibauctus weftqva- ZEE 2 fita

x

^-

L 00 €4P. FH MEME - fita fumma omnium terminorum; qvod qvidem hic tradi* tür, non, demonf(trandi alicujus fingularis compendii gra- ' tià) qvod cabulis qvadratornm prater divifionez tabulari; am accrefcat, fed invidiz; declinandz cgusáà; & ne geome- trica.progrefio conqveri poffit; ipfi denegatum efle, qvod | . erithigeticz conceffum fuiffet. J H Proklematis .— S 30: Ex pla vero fumma geometricé progreffionalium promireculo numerorum colligit Clavius fingulargm corundem affe . Clevi «d. ctionem, regul& VII. proportionalifatig Geometric, in Eu- sagi 44-— clidis.fui Libr, V. def; 4. pag. mihi 416. qvam incredibilem,

jure *^** confidératione dignam, imó miraculi qvodammodó effe, amos .. ibidem depradicat, circa qvàm affectionem plura miracu- lofiora deducere in gratiam tabularum noftrarum liic pla--

. £ct. ej TT n

PAEED $.31. Sidetur itaqyc denominatio progreffionis feu pro- iium rer-. portio (i.c.qvàm multiplex fit terminus confeqvens, fui ane minorum, tecedentis vel qvota fit ejusdem pars vel qvot conftituat c- exsreimorim jusdem: partes , de qvibus- vide. definitiones 3:4. & j. VIL

b rec Euclidis:) nec non terminorum numerus, & qvzrantur ma»

/——— uio quo. "imus & minimus termings,qyi fegum invicem multiplica-

modo aqua-ti Cfficiant, fimil; (ummats, omnium. terminorum ; ad hoc li ejf? po(ft ? problema. folvendum Clavius d. 1, prafcribit iter longiffis '" | . mum,nos verófeqvensyia multà hrevior,rüm ad digniora -« aritbmeriet confiderationc,rüm ap; egregias ,CofBsarum qvantitatum. M nid ov. Propriesates deduset,adeó up nullus dubitem, qvàm pluri- dalonala "^. max hoc fonte hauriri poffe, eroum, de qvibus integrum, peso, ^ opuscon[ripfit Ismael BulligJdus fub titulo operisnovi A- ' rithmetice infipitorum, Libuis (£x coraprehen(i, cujns Au .

. fhorisfaciunt inenrippem A £t3 eguditorup. (ji Anno di pag. 108. gvanqyam ipfpm. Authorem. infpisexg; hactenus.

Rühi. nem icu 5 Selntionij veró. mee, fundamen-

La 5 tum

«4

CAP. pr D I eut p tüm pono, numerum Trigonium feu triangularétn, per. & Solsriene 5. cap. VI. iaveniendutn. ( quemadmodum etiam dict, Bul-/*mdemes- lialdus citató locó Triangularium numerorum ulum per-, p» e petuum deprazdicat ] & qvantitates cosficas continuá mul-,,, e ki Am- tiplicatione crefcehtes. (itates coff- 6.3. Duplum enim illiusnurmeritriangularis, feu tri-, 4 - gonii cuj" radix trigonia eft data proportio,unitate auctum, Seíseio ipfa Grit qvafitus maximus terminus trium proportionalium,( Si Ires qvorum fumma eft eqvalis producto ex multiplicatione, dene maximi termini cum minimo, qvi femper & univerfaliter " 2 ratione plurium terminorum; erit inventus maximus per qvadratum datz proportionis divifus : Idem erit pro maxi-. mó terminó inveniendo,fi Cubusunitatediminutusdivida- ^. . | tur per proportionem unitate diminutam, | 0 . $8.3; Duplum veró ejusmodi numeri trigonii, cujus ra-(2) Si ava« . . | Gix trigonia eft data proportio, auctum unitate & infu-twor rermini per Cubó datz proportionis, vel, qvod idem, qvadrató 4^". — cum ipía proportione multiplicató , erit qvafitus ma. C^ qvi ximus cerminus qvatuor proportionalium , qvorum mini-. musfit rurfüsdividendo maximum per qvadratumpropor- — cc «7i tionis data, & qvorum fümma fecundum conditionem re- | qvifitam eftaqvalis producto multiplicatorum fecum ex-. C. tremorum terminorum ; Idem maximus terminus invenie- EE tur etiam fi dictum duplum trigonii numeri unitate ag- ) &um, mulriplicetur cum data proportione & producto ad- datur unitas ; Adhuc etiam idemmaximusterminus inve- — . nietur, fi date proportionis qvadrati qvadratum [ id eft; Zes Zesfue Zerifi Zenfüs,]unitate diminutum;dividatur per proportio- 4*4 ? nem datam & unitate diminutam. | EM |. $. 34. ldem adhuc duplum numeri trigonii, auctum u- C) poil | nitate & infuper Cubà proportionis date, ncc non qvadrati 2,,,,,.. P qvadratà |

Y

*

qvadratà five Zenfi Zensó ejusdem proportionis,erit qvafi

tus rnaxitnus terminus qvinqve proportionalium ejusdem,

tenoris, refpedu minimi termihi & füummz : Idem ctiam

maximus tertinus qninqve proportionalium invenitur, fi

dictum duplumtrigonii numeri ünitate auctum mültipli-

cetur cum qvadrato proportionisdatz & producto addatur

" eademproportio unitateaucta, Vel etiam (1à dicti dupli

numeri trigonii unitate aucti qvadrato fubtrahatur idem

. dem duplum, cum proportione data & unitate aucta mul^ Surdfol. tiplicatum ; Vel etiam, fi data proportionis fürdefolidum; dium qvid ? (vod eft qvadrati qvadratum cum radice , vel etiam qva- | atum cum cubo multiplicatum,) unitate diminutum di-

Vidatur per eandem proportionem unitate diminutam.

(4)8fx ^ S$35.Similiterduplum numeri trigonii, cujus radix tri- tt?mini dem. ponia eft data proportio, fi augeatur unitate, Cubó , qva- tuf. drati qvadrató, five Zenfi Zensó, nec non furdef(olidó, illud ] ipfum fic auctum, erit qva(itus maximus terminus fex pro- . pordionalium,minimum terminum habentium, maximum. fusdeso(cdur« perqvadratum proportionis dat divifüm & cum maximo | multiplicatum,fümmam omnium terminorum efficientem; Sepofitis jam aliis multi$ & variis modis eundem invenien-

Q»abtti/— dimaximum tertninum ejusdemtenoris,tantummodoó illum c ubi fret modum adhuc fubjiciam, qvó preportionis date qvadrati: du a ^ Cubusfive Cubi qvadratum unitate diminutum & fic divi-

qvid? frm per eandem proportionem unitate diminutam, eft i-

dem qvz(itus máximus tef minus, | |

() Siplees ^ — $.56. In promptu jam ex pracedentibus e(t univerfa-

4 vottunqur lis problematis duplex folutio, in qva fimil refulgent prz- vem" cermultes aliasytres pracipux mirabiles coflicarum qvan- citatum omnium proprietates Qvia enim duplum numeri

. &rigonii nihilaliud eft ;. qvàm qvadratum radicis trigonie : 07 » . eàddem

"A

- 4 — aS" 3

€ A». r1 : o7 . Boc m 2L eàdem adhuc radiceauctum, & in precedentibus folutioni- — ^ : bus femper acceffit, (1) uhitas in tribus proportionalibus, Tr*/prack: 1) cubus proportionis date in qvatuor progreffionalibug, P*« Cefice- (3) Zenfi Zenfüs ejusdem proportionis, in qvingye progres-, dude fionalibus, (4)furdefolidum, in fex progrefüionalibus, fimj- oreet "e ]i etiam modó,fi porró fic accedat Zenfi - Cubus vel Cubi-/7) masia ' Zenfüs efficietur maximus terminus infeptem progreffio- tw rermi- nis geometrice terminis & fi deinceps accedat bifurdefoli- "s /écws- dum ( qvód eft, fi Cubi-Zenfus cum radice, vel zenfus cum ^P £F oble- fürdefolido, vel deniqve Cubus cum zenfi Zenfo multiplj- a uu cetur: ) maximusocto terminorum & fic porró per acces- i Coffcis fionem zenfi-Zenfi-Zenfus, (i.e. (i Zenfi-Zenfus, cum Zenfo colecirvi. multiplicetur:) maximus novem terminorum & deinceps Bi/urde fo- per acceffionem Cubi-Cubi, (i.e. Cubi cum Cubo multipli- dem 4vid? cati ) naximus decem terminorum, porró adhuc (i accedat Zes/- Zenfs : furdefolidi Zenfus, (i.e.furdefolidum cum Zenío multipli- Zmfe catum) maximus undecim terminorum efficietur, & fjc qvia? :porró continuari poterit in feqventibus, trifürdefoli- Cuhi-Cubws do, Zenfi-Zenfi - Cubo , qvadri furdefolido , Bifurdefolidi 7v! Zenfío, fardefolidi Cubo & Zenfi-Zenfi-Zenfi-Zenfo &c. (in- Surdefalidi gulis per contingam multiplicationem cum radice qvous- m :qve libuerit creícentijbus, 7 6. 37. Altera pracipua Cofficarum qvantitatum pre- (7) Ewsdrra prietas ex propofito problemate ejusdemqve altera folg- £tg"r ex tione emergens eft, qvód idem inveniendus maximus ter- gU4NLHUUE- "minus, nón fohim,ut antcà defionffratum, in qvantitatibus bir Cefficig cofficis collectivé fumcis reperiatur, fed etiam qvod (inzu. EAR Jis qvibuslibet pro ratione numeri terminorut dati inilt; Numer ue A

qvid?

numerus enlm terminorum plane hic idem.eft , ovóg in., terere Cofficis e&penens diéitur ; Nah itiCafficis uaitatis cyoo- C" ^ pens eit c, Radicis /go) expanens veró r, qvadiati (q.) à, Co- t, et cis (go) expanet Vero qvadiad (q.) ies usted.

^ T. .

3 Cojrcis,,

| e . CAP, FIL 00

Qvidft "bi (C^), Zenfi-ZenGi, (q.q.) 4. furdefolidi, (8.) y. Zenfi-Ca- Fw] ^ bi, (qC.) 6.Bifurdcfolidi, (6.). 2. Zenfi-Zen(i-Zenfi, (qqq.) sai .$. Cubi-Cubi, (CC.) 9. furdcfolidi Zeufi, (8q.) 1o. trifurde- folidi, (tri) n. Zenfi-Zenli-Cubi (qqC.) n. qvadri-furdes . folidi, (qradriB.) 1. Bifurdefolidi-Zenfi, (b9q.) 14. furde- folidi Cubi (9C.) xy. Zenfi-Zenli-Zenfi-Zenfi, (qqqq.) 16. &c. . Qyoniam itaqve in 6. 31. maximus terminus trium termi- ' porumerat proportionis datz Cubus unitate diminutus& fic divifus per eandem proportionem unitate diminutam, videmus, qvàd ipfius Cubi exponens etiam fit 3. Porró in.» - $. 5. maximus terminus qvatuor terminorum erat propot- tionis datz Zenfi-Zenfüs unitate diminutus, & per eandem

proportionem unitate dimirmutam divifus, Zen(i-Zeníus we- . . rófimiliter habetexponentem 4. cum nümero termino- | . rum coincidentem ; Deinde in, $.34. maximus terminus qvinqveterminorum etat date proportionis furdefolidum unitate diminutum & per eandem proporconem unitate, diminutam divifüm , furdefolidi veró exponens, s. adhuc coincidit cum numero terminorum, & tandem in$.5. ma» ximus terminus erat proportionis date Zenli Cubus unita- , tediminutus& per eandem proportionem unitate diminu- tam divifüs, ubi rurfus Zen(i Cubi exponens, ó. idem e(t cum numero terminorum ; Concludimus itaqve univería- liter, numerum terminorum elle, exponentem Coíficum, qvi exponit proportionis datz qvantitatem (Coilicam , qvas Vuxe, Uuitatediminuta & ficdivifa. per ipfam proportionem da« tePsinue — Cam unitate diminutam exhibet qvafitum progeffionis gignetur — geometrice& maximum terminum , qvi ipfe etiam divifae énculatim) per qvadratum proportionis datz , exhibet minimum ejus- | € Purser "- demprogreffionis termjnumjitaqvidem;ut hi extremiser- po "a minilecumunultiplicati producant fümmá omnium termi- roamnus. iorum. | $53. Hifoe

Áh 202€ en d [^ tore t e d cc erf Lu f 24

Cc$pg «co?

. C45. PF . : 27 —— 78.38. Hifce przfüppofitis feqvicur, ex fieprus dicto pro- Tertiepro-— blemate Clovii & noftra folatione; tertia. & mirabilis faneériere co/- proprietas qvarritatum cofficarum,; qvód nimirum ezdem fea mimbi- ab mátate collectieà five fammatim accepte, fint eqvales' qvantitati cofficz inordine proxime feqventi,fed unitate, diminutz, & per radicem unitate dimieutam divifz ; Ex gr. fi fic proprefio ab "unitate geometrica in proportione, Qvintupla & qvidem fex terminorum , continuó cum pro- portione, 5. multiplicatorum, qvorum primus eft 1. fecun- dus 5. ceu Radix tertius, »5. ceu qvadratum, qvartus 1:5. ceu - ACCubus, qvintus 655. ceu Zenfizzenfus & (extus ji. ceu für- defolidum ; Dico : horum'omnium fümmam (inveniendam | per $39.) effe aqvalem Zentr Cubó 625, unitate diminuto && lic divifo per radicem qvantitátis cofüce unitate dimi- &tatn, nempé 4. qvotiensenim 3906.eft fumma pradicts. DE 4.39. Cum veró per hosipfosexzponentes Cofficos in, Coskervm boc & (imilibus cafibus tabulis noftra Tetr:zonometriz in- TP ene- fignis praxis accrefcat , qvod ipfum vel foia qvantitatum minaziswi «officarur verba infinuare poffunt, in graciam illornm,qvi ;,,. 0) e XCotficie dodtring plane igharifünt, ex qvalesqvanti-Cufe, tatum cofficarum fint figmificatinnes? qvomodo ulterids procedendo feqventes vecentur? & qvisfitexponentium u- fus? Referuntur veró omnes qvantitates Coificz per radicis &ontinuammukiplicationem ordinecrelcentes , in univer- fum & principsliter velad qvadratum numerum, five Zen- fumvelad Cubutn numerum, vel ad furdefolidum; qvi ne- ve qvadratus neqve Cubus eft ; Ex hifce tribus reliqvz «vantitatesomnes& in infinitum usqve poffunt effe com- polite, itaqvidem & perpetuis hislegibus, [1] ut ejusmodi exponens, qvi exacte dividi poteft per numerum ternarium (Cobus (it & qvidem illius qvantitatis, qvz habet exponen- os P3 tem

d

qn é CAP, FIL cem qvotientis. Ex. gr. cofficus exponens, 36. :potefh exacte .- dividi per, qvarc, exponens 36. habebit qvantitatem coff- cam,.qvz dicitur Cubus Zenzi-Zeníi-Cubi., vel ordine in- versó, Zenfi-Zenfi-Cubi-Cubus, .qvia qvotiens n. eft expo- . . nens Zenfi-Zenfi-Cubi ; Similiter exponens 9. exacté poteft Denomin4, dividi per 3, qvare 9. eritexponens Cubi-Gubi, qvi qvoti- 8109914 Cofj- ( . . . .

c4, Lex (a) €a5. e(t exponens Cubj, [2] Ut ejusmodi axponens, qvi cx- de quadrato actà dividi poteft per nymaerum biparium Zenfus fit, & qvi- pti Zem[v. dem illius qvantitatis, qva habet: exponontem qvotientis ; . Ex.gr. exponensto. exacté poteft, dividi per . qvare 1o. erit , exponens zenfi furdefolidi, vel inversÓ otdipe dicendo, fur- , de(olidi Zenfi, qvia qvotiens 5. eft exponens furdefolidi. sic

. exponens z;. eít Zenías Zenfi-Zenfi-Zeufi-Zen(i, propter Denemina-. v otientem 16. [3] ut omnes exponentes , qvi per ternari-- "4 Le M Ea um & bjnarium dividi non poffunt, furdefolidorum nomi- fov furdsfo- nc yeniant; & qvidem. ita, ut (i plan& per nullum numc- lide. —. - rumdividi qveant, atqve fic fint primi numéri, (ecundum ()minume- definitionem Euclidis 1. VII, ifti exponentes dicantur fim- yi primi, pliciter furdefolidigninores veró à majoribus diftingvantur | f&candum ordinem eosdem numerando & nutmerum ordi-

nis preponendo «x. gr, quadri- fardeíolidus &c ;. (unt venó

. &xpoRentesinfrà centum omnes (urdefolidi feqyentes 5. 7.u. Numeei pr V. 17. 19: 34-39. 35. 37. 41.43.47. 53- 59. 61. 67. 71.73: 79. 8389.97. jin Pum QNérCC*. gr. exponens 41.-erit unde-fardefolidus, qviais (y rernari- Jatdefolidorum eftundecimus, Similiter exponens ;7.cft bi- gm infrá fürdefoljdus, qvia in ordine furdefolidorutm eft tbcnndus gentum,qui?. &c, Si vero potfinr per aliqvem aliptp prater bihavium & (2)In tume- ternarjum. numerum dividi à furdefolidis & diviforis & pies 4b (s qvotientis fua (ortientur nomina ejusmodi expondntes. Ex. Pm e rer gr. exponens a5. dici debet fardefolidi: furdefolideto, & ex- pariym — ponens 3j. dicetur, bifurdofolidi (urdefolidum ; qvia fj divi- egmpofitio, | doni

; ear bf * 0 7) dàm 3s. pet éxpotientemi furdefolidi ;. Votietis erit 7, expo« - &ens bifurdefolidi ; Idem cóncipe dé dliis omnibus. — ' 5.30. Qyérnadmodum jam exponentes coffici ad déno- Pxposenrr- fnifiandas qvimtitates cofficas infignem habent ufüfn , 1ia.. im 4d ne ctiatn iidem exponentes& tabulis qvadratorum & tabulis jj, yt . . Cuborüm ( qvas feré elaboratas poffideo & (fuis ufibus | a1dornatus DEO danré, publico.donabo] haud fpernéndum afferunt commodum j expohunt enim exponentés utrobi- qve; qv& & qvomodo omnes qvantitates ex continua mul- tiplicatione fen progreffione facta, intabulis inveniri qve- ant & debeant, & ut taceam hic Cubicas tabulas, adufuün] ^ tabularum qvadratorum noftrornin fplüm | nos applicabie mU mus, przmitterido univerfales exponehtium proprietátes, Expomewti quarum prima eft, qvód qvilibet exponens cuilibet alii ad- ditus, faciat exponentem, liabentem qvantitatem cofficam, falis prima S^ huie o. 0 falie prima, qvz per multiplicationem producitur. iftarum qvantita- tum, qvarutn expohentesfunt additi. "^... ^ «5 «4 ——— $. 4. Imprimis ergà intibülis quadratorum habetur Qu

quantitas exponentis 2, nempé ipfius Zenfi, five quadrati, qam HAM. -

quia radicis exponens, eidemesponenti additus Fatit 2. ex» 7, ponentis ponentem Zenfi five quadrati, [ed & radix mültiplicata. a, cum radice producit quadratum ; Deinde in tabulis habe- 6, tur quantitas exponentis 4. quia in tabulis; quilibet qua- ez5openris dratus minor quàm 160060. poteft affumi ceu radix cujus e. - quadratum, erit Zenfi-Zenfus, five quadratiquadratum,ha- — ^ bens dictum exponentem 4. nenipé exponentem Zenfi fibi | ipfi additum, alii veró Zenfi-Zenfi in tabulis non reperiun- tur, quàm quorum radix non é(t major quàm 316. — Porró in tabulis habetur quantitas expohentis $. ceu exponentis 4. fibi ipfi additi; quia in tabulis quilibet Zenli-Zenfus mi- nor quàm roocoo, ceu radix ffumtus in iisdem fuum Ba- ) | ct

£45 HnIUCF-

Qvantitt expeneuts

umproprie» —.

* p—— pM -

[2 CAP. N. bet quadratum, quod erit Zenfi-Zen(i- Zenfus, alii veró in tabulis rion dantur, quàm quorum radix non eft major . quam 17. quia radicis rg. quadratum eff, 324. & hujus qua- . dratum, nimirum Zenfi-Zenfus radicis 1g. e(t 104976. cujus adratum ih tabulis non datur, nifi id ipfum per $.3. c. 4- quarere velis. Ulteriüs in tabulis datur quantitasexponen- tis 16. ceu facti ex additione exponentis $. fecum ipfo, nimi- rum Zenfi-Zenfi-Zenfi Zenfus, plures verà in tabulis non, dantur, quam querum radix non eft major quàm 4, quia. radicis . Zenfi-Zenfi-Zenfus, eít390625. cujus quadratum in antira, tabulis rurfusnon datur ; Tandem exponentis 3z. quantitas exponat. femel tantum in tabulis datur, quando nimirum radix eft z. j^ hujus enim Zenífus eft 4. Zenfi-Zenfus 16. Zenfi-Zenfi-Zer» | fus, 256. Zenfi-Zenfi-Zenfi-Zenfus, 65556. cujus quadratum in tabulis, 4294. 967296. eft ipfe Zenfi-Zenfi-Zenfi-Zenfi-Zen- fus. | 6.42. Omnesfic exponentes ab unitate in dupla pro- We pregre^" portione inventi à; 1.2.4.8.16.32. 64. &c.. defignant pne geome- portione Inventi, nempc, 1.2. 4. 8.1 31,04.&c. de ignant trica expe. quantitates, qua per quadraturam continuam determinari sess qvi? poffunt Quapropter fi in progreflione continua cujusli- 2 bet proportionis Pieu. denoioinstionis minimus terminus concipiatur tanquam unitas habens exponentem o. deno- minatio veró proportionis tanquam radix, erit numerus uÁ terminorum unitate diminutus ipfe exponens. » Pr eni- 6. 43. Hinc, fj detur denominatio proportionis, inpro- me geomc- Bresfione ab unitate, & quinque terminorum, & quaratur erica; f de- quintus terminus, erit is, Zenfi-Zenfüs date proportionis, eur denomi- quia numerus terminorum unitate diminutus facit expo- s4t10 P79-. yentem 4.. Ejg. quzritur quintus ab unitate terminus in, M oemode proportione continua 235. eritq; 3049.800625. quia propor- ivoemiaryr tionis data quadratum eft 55225. hujusque quadratum, qua-

quinti ter». fitus SHINE, |

Svenisitar exponentis i6

- CA PR. y1L - Mh ' fitusqvintus terminus ; Similiter (i detur progreffto ab nni» tate in proportione 12, duodecupla; Zeifi Zeníus numeri t, hoc eft qvadrati144. qvadratum 2076. e(t qvafitus qvintus terminus, 1 : DEN MEE | $ 44. Si porrà detur proportio progreffionisab unita. Q*"ede te & novem terminorum & qvzratur nonus tertninus ; erit len Piu is propter exponentem 8. Zenfi-Zenfi-Zenfus proportjonis —. datz. E. g. proportionis 1j. Zenfj - Zenfi- Zenfüs e(t -- 2562.890625. eít qvxfitus nonus progreffionis terminus, qvia | proportionis date qvadratum eft 225. & hujus. qvadratum, $0625. & hujus qvadratum qvazf(itus nonus terminus. | | S. 45. Si uerius detur proportio progreftionis ab uni- ueveZe tate & 17. terminorum, & qvzratur decimus feptimus ter» 4tcimu fe minus ; erit propter exponentem 16. Zen(i- Zenfi - Zen(j-7 rial . Zenfus, proportionis datz qvaíitus decimus feptimus termi- | nus ; Ex gr. date proportionis 3. qvafitus decimus feptimus | terminus in progreffione ab unitate, eft 43.046711. qvia, cjusdem qvadratum eft 9. & hujus qvadratum $t. & hujus qyadratum 656r. & hujus qvadratum, qvafuus decimus fe» ptimus terminus, ZEN v | | 6. 46. Cüm in arithmetica jocofa foleat proponi ali- vermeds qvis cafus in qvo progreffionis geometrice qvzritur trigefi- Prigefimus mus fecundus vel etiam 35tius terminus, nolo hic fuübfiftere mmm P . ininventione termini decimi feptimi; Proponi verd fóler —— iJle cafus hóc modo ; Qvidam alieni generofi eqvi cupidus, Pro/lema 4 Domino hoc accepit refponfum ; Tibi lubentiffime ce- ex A4rizb- damEqvum, fi pro calcei ipfius claviculis, numeró 22. & in- P€/ic4 Je» fuperuna, in cafüm alicujus deperditz diligenter affervan- cof. HT da, mihi (olvas rantám pecuniam, qvantam efficiet fumma, ,,, 75, fj pro primaclavicula tantüm folvatur unicus nummus,. pro rs» cops- - fecundayero folyantur duo nummi, pro tertia qvatuor, pro peediofiftoià | M 00 T | qvarra/Piwm,

Áo

«

ceo 0700. o €AX3P FINO,

*

qvarta octo nummi & fic. porró continué dupló plus pro fía-

gulis ad ultimam usqve clavieulatuqvaritur jam, qvot hifi.

pro trige(irna tertia clavicula folvi debeant,ut poítéá tota. nummorum fumma per $.:9.hujus capitis détermipari qve-

. "at, qvoniam itaqve numerus terminorum unitate diminu- . -. tus eftexponens31. & proportio data z. ceu radix, erit iplius "qvadtratum 4, & hujus qvadratum16, & hujus qvadratunt,

256. & hujus qvadracutn 65556. & tandetn hujus qvadratut

.00— 4194.967196. qvifitus trigefimus tertiüis terminus, qvia ab exponente 2. ih dupla proportione usqve ad exponentem,

muim qvadratum 4. adhuc qvatuor qvadrata continià ya- tione fümi debent ; Invertó fic ultimó termino, determina. tio fümmz facilis eft per $.29. hujus capitis,erunt nempe -- $589934591. tummorum feu imperialium, 29. milliones cum ' éXlotonnis auri: 1 fallor atqve infüper $2616 r reliqvis ' groffis & numtnisex fingulari gratià remiffis, qvod prounó XZ:nspre CO generofitfimo qvàmvis fatis iniqvum eft pretium, deo areffene caetero absqve exponentibus & tabulie in vulgari arithmeti-

qgeametriea, ca omnes 3; termini ordine inveniri & poni debuilTent uni- :

4 quolibet. üs termini ultimi gratià, — | Aur | cipidre E 47. Stifficiant premiffa de progreffione ab unitate; ge, aeruy d, 1 VéTÓ primus progre(lionis terminus non fit ubitas;